基于FIB MC 2010 的混凝土塑性損傷模型參數(shù)確定及實證分析

■張書文

（湖州交通規(guī)劃設計院，湖州 313000）

混凝土塑性損傷模型（Concrete Damaged Plasticity，后簡稱“CDP 模型”）因能夠同時考慮混凝土在受力過程中的塑性行為和損傷累積，在分析素混凝土或鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的非線性力學響應、評估結(jié)構(gòu)的極限承載能力和預測結(jié)構(gòu)破壞響應等方面得到廣泛應用[1-3]。 準確選取和計算CDP 模型的參數(shù)對于描述混凝土在受力過程中的塑性變形、 強度退化、 損傷積累和裂縫擴展等非線性行為至關(guān)重要。目前針對CDP 模型從理論方面和應用角度的研究較多。 張驥[4]構(gòu)造了一類適用于CDP 模型的新齊次屈服函數(shù)，顯著提高了其分析精度。 李杰等[5]、吳建營等[6]采用拉伸和剪切損傷變量描述混凝土劣化表現(xiàn)，建立了基于斷裂能的彈塑性損傷本構(gòu)模型并解耦了損傷演化與塑性變形。 聶建國等[7]通過對比混凝土彌散開裂模型和CDP 模型，將2 種模型應用于鋼筋混凝土構(gòu)件的分析中以研究不同混凝土本構(gòu)模型的適用情況。 張戰(zhàn)廷等[8]、曾宇等[9]、楊飛等[10]按照規(guī)范[11-12]的建議確定CDP 模型中的相關(guān)分析參數(shù)，并通過算例對所計算的參數(shù)進行數(shù)值驗證。 齊虎等[13]通過在ABAQUS 中二次開發(fā)進行了參數(shù)取值的系統(tǒng)研究，并利用數(shù)值模擬和振動臺試驗驗證了其參數(shù)確定方法和本構(gòu)模型的合理性。姜磊等[14]、Jin 等[15]利用將砂漿和ITZ（界面過渡區(qū)）確定為CDP模型，骨料確定為線彈性本構(gòu)，對混凝土從細觀力學角度進行受力分析。 綜上所述，從理論方面修正CDP 模型使其更符合實際荷載作用條件下混凝土結(jié)構(gòu)受力屬于內(nèi)部改進，目前已有相對成熟的研究結(jié)論。 應用ABAQUS 中內(nèi)嵌的CDP 模型并通過相關(guān)規(guī)范（多為《混凝土結(jié)構(gòu)設計規(guī)范》(GB 50010-2010)）確定其計算參數(shù)屬于外部優(yōu)化，然而與大量試驗數(shù)據(jù)[16-17]對比，GB 50010 所給出的混凝土單軸抗拉、壓強度標準值與試驗結(jié)果相比較小，用于設計相對安全，用于損傷開裂研究相對保守。 而《FIB Model Code for Concrete Structures 2010》（后簡稱“FIB MC 2010”）中同標號混凝土給出的各項力學參數(shù)取值則相對較大。 基于此，本文根據(jù)FIB MC2010 所提供的混凝土塑性損傷本構(gòu)模型及材料參數(shù)，計算確定ABAQUS 中CDP 模型參數(shù)，利用數(shù)值模擬方法分析無腹筋混凝土梁非線性力學特性，并通過文獻[17]的試驗結(jié)果對CDP 模型參數(shù)確定方法進行正確性驗證。

1 ABAQUS 中CDP 模型

1.1 混凝土單軸拉伸行為和壓縮行為

CDP 模型是一種基于塑性的、連續(xù)的混凝土損傷模型，其考慮混凝土破壞主要分為拉裂和壓潰，屈服面（破壞面）演化由拉伸和壓縮等效塑性應變（～εtpl和～εcpl）控制。 單軸拉伸和壓縮損傷塑性特性描述如圖1 所示。

圖1 單軸拉伸和壓縮損傷塑性特性描述

圖1 對混凝土力學行為的描述雖然簡單，但能抓住混凝土的主要變形特征。 單軸拉伸時，峰值拉應力σ0前應力應變關(guān)系為線彈性，材料不存在損傷；達到峰值拉應力σ0時，混凝土開始產(chǎn)生微裂紋；超過峰值拉應力σ0后，微裂紋成群出現(xiàn)，材料宏觀表現(xiàn)出軟化特性。單軸壓縮時，屈服應力σc0前應力應變關(guān)系為線彈性，材料不存在損傷；屈服應力σc0至峰值壓應力σcu為強化段， 這種現(xiàn)象是由于混凝土內(nèi)部孔隙和微裂紋受到壓縮時逐漸閉合所致；超過峰值壓應力σcu后進入應變軟化階段。 若假定混凝土初始彈性模量為E0，則混凝土單軸拉伸和壓縮工況下應力應變曲線可用下式描述：

式中：dt、dc分別為拉伸損傷變量和壓縮損傷變量，其取值為0～1。 需要指出，損傷變量應避免超過0.99（即混凝土剛度值降低不超過99%）。

1.2 拉伸硬化與壓縮行為定義

在ABAQUS 中，通過在混凝土受拉行為軟化階段引入“拉伸硬化（TENSION STIFFING）”以模擬混凝土開裂后鋼筋的荷載傳遞作用（如：鋼筋與混凝土的粘結(jié)滑移效應）。 定義拉伸硬化的方式有3 種，分別為后繼破壞應力與開裂應變關(guān)系、后繼破壞應力與開裂位移關(guān)系、直接輸入斷裂能Gf。 對于后繼破壞應力與開裂應變關(guān)系，ABAQUS 按照式（3）將開裂應變（～etck=et-st/E0）轉(zhuǎn)換為拉伸等效塑性應變，輸入時要求計算所得拉伸等效塑性應變隨開裂應變增加而增加。 需要指出，素混凝土或者少筋混凝土按后繼破壞應力與開裂應變關(guān)系定義材料軟化特性會導致分析結(jié)果存在網(wǎng)格敏感性，而后繼破壞應力與開裂位移關(guān)系和直接輸入斷裂能的方法能夠很好地解決網(wǎng)格敏感性問題。 在使用這兩種方法時需要定義積分點的特征長度。 定義單元特征長度l0后，ABAQUS 按照式（4）將開裂位移轉(zhuǎn)化為塑性位移。

ABAQUS 按照式（5）將非彈性應變（～ecin=ec-sc/E0）轉(zhuǎn)換為壓縮等效塑性應變，輸入時要求計算所得壓縮等效塑性應變隨非彈性應變增加而增加。

1.3 單軸周期荷載下混凝土剛度恢復

ABAQUS 通過定義拉伸剛度恢復因子wt和壓縮剛度恢復因子wc描述混凝土材料在單軸周期荷載作用下的剛度恢復行為，單軸周期荷載作用下混凝土的本構(gòu)關(guān)系如圖2 所示。 當荷載由拉伸→壓縮，壓縮剛度完全恢復，即wc=1；當壓縮→拉伸，拉伸剛度無法恢復，即wt=0。

圖2 單軸周期荷載作用下混凝土的本構(gòu)關(guān)系

1.4 混凝土塑性

ABAQUS 通過流動勢、屈服面（破壞面）及粘性參數(shù)（僅適用于Standard）等定義混凝土塑性。 流動勢通過膨脹角j、偏心率e 定義；屈服面（破壞面）通過雙軸受壓極限強度與單軸受壓極限強度之比sc0/sb0、不變應力比Kc等來定義；在保證計算精度的前提下，粘性參數(shù)取值越小，模型在軟化階段越容易收斂。

2 基于FIB MC 2010 的CDP 模型參數(shù)確定

2.1 FIB MC 2010 中混凝土參數(shù)

2.1.1 彈性模量與泊松比

根據(jù)FIB MC 2010，在無準確試驗數(shù)據(jù)情況下，普通混凝土彈性模量可采用式（6）、（7）估算：

式中：E0為初始彈性模量（考慮初始塑性應變引起不可逆變形），MPa；Eci為初始割線模量，MPa；fck為混凝土抗壓強度標準值，MPa；Df=8 MPa；Ec0=21500 MPa；aE與骨料巖性相關(guān)，玄武巖取1.2，石英巖取1.0，石灰?guī)r取0.9，砂巖取0.8。

對于混凝土泊松比n，F(xiàn)IB MC 2010 建議其取值在0.14～0.26，一般而言取0.2 即可滿足分析精度要求。

2.1.2 拉伸與壓縮彈性極限點、斷裂能

混凝土拉伸與壓縮彈性極限點是混凝土彈性階段和塑性階段的分割點。 在CDP 模型中，以峰值拉應力σ0（即混凝土單軸抗拉強度平均值fctm）作為拉伸彈性極限點；以0.4 倍峰值壓應力σcu（即混凝土單軸抗壓強度平均值fcm）作為壓縮彈性極限點（即屈服應力σc0=0.4σcu）；混凝土斷裂能根據(jù)式（8）、（9）計算：

式中：GF為混凝土斷裂能，N/mm； fcm為混凝土單軸抗壓強度平均值，MPa。

2.1.3 單軸受壓、受拉本構(gòu)關(guān)系

（1）單軸受壓應力應變關(guān)系。在FIB MC 2010 中，混凝土單軸受壓應力應變關(guān)系如圖3 所示，按式（10）～（12）計算：

圖3 混凝土單軸受壓應力應變關(guān)系（FIB MC 2010）

式中：εc1為峰值壓應變；εc,lim為極限壓應變；Ec1為割線模量，其值為峰值壓應力與峰值壓應變之比，MPa；k 為塑性參數(shù)。 εc1、εc,lim、Ec1、k 均可根據(jù)規(guī)范查表。

（2）單軸受拉本構(gòu)關(guān)系。 在FIB MC 2010 中，混凝土單軸拉伸本構(gòu)如圖4 所示，開裂前的本構(gòu)關(guān)系采用雙折線應力—應變關(guān)系描述，如式（13）～（15）所示，開裂后本構(gòu)關(guān)系采用雙折線應力—開裂位移關(guān)系描述，見式（16）、（17）。

圖4 混凝土單軸受拉本構(gòu)關(guān)系（FIB MC 2010）

式中：w 為混凝土開裂位移，mm；w1=Gf/fctm，當σct=0.20fctm，wc=5Gf/fctm；當σct=0，拉應變?yōu)?.00015。

2.2 CDP 模型參數(shù)確定

2.2.1 彈性參數(shù)

由CDP 模型中混凝土單軸拉伸行為和壓縮行為（圖1）可知，混凝土在彈性工作階段，僅存在1 個彈性模量值。 根據(jù)FIB MC 2010 可按式（6）計算彈性模量，聶建國[7]建議取壓縮彈性極限點位置割線模量，需要指出，本文在分析時發(fā)現(xiàn)2 種方法計算所得彈性模量數(shù)值接近， 而后者概念更為明確，故彈性模量按壓縮彈性極限點位置割線模量取值。 泊松比取0.2。

2.2.2 塑性參數(shù)

偏心率e 取0.1； 雙軸受壓極限強度與單軸受壓極限強度之比sc0/sb0取1.16； 不變應力比Kc取0.667；膨脹角j 控制混凝土在較大非彈性壓應變情況下的體積變化，取值范圍為13°～56°；粘性參數(shù)取1×10-4。

2.2.3 壓縮參數(shù)與拉伸參數(shù)

（1）壓縮參數(shù)。 結(jié)合CDP 模型中混凝土單軸壓縮行為、FIB MC 2010 單軸受壓應力應變關(guān)系以及“2.2.1 彈性參數(shù)”中試算的彈性模量，即可得到混凝土壓縮硬化關(guān)系（sc-ein）。 在計算混凝土壓縮、拉伸損傷時，需要先計算混凝土損傷因子，而ABAQUS未提供混凝土損傷因子計算方式，本文依據(jù)Sidoroff能量等效原理計算混凝土壓縮、拉伸損傷因子，具體如下：

FIB MC 2010 中混凝土拉伸軟化階段以應力—開裂位移關(guān)系給出，要通過式（19）計算拉伸損傷因子，需要將應力—開裂位移關(guān)系轉(zhuǎn)化為應力—應變關(guān)系。 本文根據(jù)Ba?ant 提出的裂縫帶理論，通過聯(lián)立式（16）、式（17）、式（20）進行轉(zhuǎn)變，進而求得混凝土拉伸損傷因子。 混凝土壓縮損傷在求得壓縮損傷因子后，聯(lián)合非彈性應變即可求得。

（2）拉伸參數(shù)。 為避免模型分析時的網(wǎng)格敏感性，采用后繼破壞應力與開裂位移關(guān)系或直接輸入斷裂能的方式描述混凝土拉伸硬化。 需要注意，對于CDP 模型在確定彈性模量和峰值拉應力后，即確定混凝土彈性階段的應力應變關(guān)系。 混凝土拉伸損傷在求得拉伸損傷因子后，聯(lián)合開裂位移即可求得。

2.2.4 壓縮參數(shù)與拉伸參數(shù)

對于單調(diào)荷載作用下的混凝土損傷開裂數(shù)值模擬， 通常認為不發(fā)生裂縫張開后再閉合的現(xiàn)象。因此，CDP 模型中拉伸剛度恢復因子wt和壓縮剛度恢復因子wc取默認值，即wt=0，wc=1。

3 實證分析：無腹筋混凝土梁試驗

3.1 實例概況

本文以丁雅博[18]的“B-2.2-1.6”試件為例，基于CDP 模型建立有限元模型分析其損傷力學特性，并與試驗所得荷載撓度曲線進行對比驗證本文CDP模型參數(shù)確定的合理性。

“B-2.2-1.6”試件指剪跨比為2.2，配筋率為1.58%的混凝土無腹筋矩形梁，梁寬為200 mm，試件幾何尺寸及配筋如圖5 所示（圖中a 為800 mm）。 試件所用混凝土的立方塊抗壓強度為42.15 MPa、 劈裂抗拉強度為3.16 MPa。 縱筋采用HRB400，直徑為22 mm，其屈服強度為475.3 MPa， 極限強度為612.4 MPa，伸長率為26.83%，彈性模量按2.0×105MPa。

圖5 “B-2.2-1.6”試件幾何尺寸及配筋

3.2 有限元模型

利用大型通用有限元分析程序ABAQUS 建立“B-2.2-1.6”試件有限元模型，如圖6 所示。 其中混凝土梁采用三維實體單元（C3D8R），墊塊及加載塊采用彈性剛體（C3D8R 單元）模擬，共計20 428 個。受拉鋼筋以及構(gòu)造鋼筋均采用一維桁架單元（T2D2），共計719 個。 左側(cè)墊塊釋放沿X 方向的扭轉(zhuǎn)約束，其余5 個方向全部約束；右側(cè)墊塊除釋放沿X 方向的扭轉(zhuǎn)約束，還釋放沿Z 方向的移動約束，其余4 個方向全部約束。 墊塊與梁體、加載塊與梁體之間采用綁定連接（Tie），鋼筋與混凝土之間采用內(nèi)置區(qū)域連接（Embed），暫不考慮的鋼筋與混凝土之間的粘結(jié)—滑移作用。 模型按照位移方式進行模型加載，加載塊處向下施加8 mm?！癇-2.2-1.6”試件有限元模型中的需輸入彈性及塑性參數(shù)如下：彈性模量E0為31 363.76 MPa、泊松比v 為0.2、膨脹角j 為35°、偏心率e 為0.1、sc0/sb0為1.16、不變應力比Kc為0.667、粘性參數(shù)為1×10-4，壓縮行為及拉伸行為輸入?yún)?shù)如表1 所示。

表1 “B-2.2-1.6”試件有限元模型壓縮行為、拉伸行為

圖6 “B-2.2-1.6”試件有限元模型

3.3 數(shù)值結(jié)果與試驗對比

利用ABAQUS 對“B-2.2-1.6”試件進行損傷破壞分析，其損傷云圖如圖7（a）所示，圖中損傷值較大的深灰色區(qū)域反映混凝土可能的開裂位置，黑色區(qū)域的混凝土不存在損傷。 由圖可知，無腹筋鋼筋混凝土梁破壞以斜裂縫和跨中位置的豎向裂縫為主。試驗破壞照片見圖7（b）。對比圖7（a）和圖7（b）可知，“B-2.2-1.6”試件的有限元分析結(jié)果（損傷位置）與破壞試驗結(jié)果（裂縫分布）基本一致。

圖7 “B-2.2-1.6”試件損傷云圖與試驗破壞圖對比

同時，將有限元模型中支座反力（2 個支座合力）與加載塊處豎向位移進行整合，得到“B-2.2-1.6”試件加載的力—位移關(guān)系，并將數(shù)值結(jié)果與試驗荷載—撓度曲線進行對比，如圖8 所示。 由圖8 可知，“B-2.2-1.6” 試件有限元分析的極限承載力與試驗所得的極限荷載基本一致，而加載過程中同位移（撓度）情況下，有限元分析結(jié)果比試驗結(jié)果稍大，這是由于有限元模型中沒有考慮混凝土初始缺陷，導致模型中的混凝土彈性模量高于試驗所導致；而隨著位移不斷加載，模型損傷逐漸積累，直到與試驗中“B-2.2-1.6”試件內(nèi)部損傷相當時，有限元分析結(jié)果與試驗結(jié)果基本接近。 從圖中還可以看出，試驗中未監(jiān)測到試件破壞后荷載—撓度曲線下降段，而數(shù)值模擬過程可以得到下降段結(jié)果，這說明數(shù)值方法能合理預測鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)破壞后承載能力。綜上，根據(jù)FIB MC 2010 確定的CDP 模型參數(shù)可應用于無腹筋鋼筋混凝土梁損傷破壞的預測分析。

圖8 “B-2.2-1.6”試件力（荷載）—位移（撓度）曲線對比

4 結(jié)論

通過對ABAQUS 中CDP 模型特點以及FIB MC 2010 中混凝土單軸力學特性進行分析討論以確定CDP 模型參數(shù)，并利用既有文獻試驗作為算例驗證CDP 模型參數(shù)確定的合理性，得到以下結(jié)論：（1）根據(jù)FIB MC 2010 中混凝土單軸力學特性確定ABAQUS中CDP 模型參數(shù)可用于無腹筋鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)損傷破壞的數(shù)值分析；（2）應用FIB MC 2010 確定的CDP模型參數(shù)，數(shù)值模型分析得到的極限承載能力與試驗結(jié)果基本一致， 在不考慮模型初始損傷情況下，相同加載位移（撓度）數(shù)值結(jié)果比試驗結(jié)果稍大。