基于摩擦補(bǔ)償?shù)膬奢S直驅(qū)伺服進(jìn)給系統(tǒng)自適應(yīng)非線性滑模輪廓控制

金鴻雁 王磊 趙希梅

摘要：為滿足兩軸直驅(qū)伺服進(jìn)給系統(tǒng)的高精度加工要求，提出一種基于摩擦補(bǔ)償?shù)淖赃m應(yīng)非線性滑模輪廓控制（ANSMCC）方法，以兼顧加工精度和響應(yīng)速度要求。建立適用于大曲率輪廓加工的等效輪廓誤差模型，同時(shí)考慮系統(tǒng)中存在的不確定性動(dòng)態(tài)的影響，建立準(zhǔn)確且能實(shí)時(shí)補(bǔ)償?shù)母倪M(jìn)LuGre非線性摩擦力動(dòng)力學(xué)模型。為提升兩軸直驅(qū)伺服進(jìn)給系統(tǒng)輪廓性能，設(shè)計(jì)基于非線性滑模面的ANSMCC方法，其中非線性滑模面包含輪廓誤差分量，通過(guò)改變非線性滑模面中增益矩陣值的大小可實(shí)時(shí)改變系統(tǒng)的阻尼比，從而協(xié)調(diào)輪廓誤差與系統(tǒng)響應(yīng)速度的關(guān)系。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提方法可以克服系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中不確定性動(dòng)態(tài)的影響，準(zhǔn)確跟蹤大曲率輪廓曲線，提高輪廓加工精度。

關(guān)鍵詞：兩軸直驅(qū)伺服進(jìn)給系統(tǒng)；摩擦補(bǔ)償；非線性滑模面；輪廓誤差

中圖分類號(hào)：TM351

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2023.11.009

Adaptive Nonlinear Sliding Mode Contour Control of Two-axis Direct Drive

Servo Feed Systems Based on Friction Compensation

JIN Hongyan WANG Lei ZHAO Ximei

School of Electrical Engineering，Shenyang University of Technology，Shenyang，110870

Abstract： In order to meet the requirements of high precision for two-axis direct drive servo feed systems， based on friction compensation， an adaptive nonlinear sliding mode contour control（ANSMCC） method was proposed to take into account the requirements of machining precision and response speed. An equivalent contour error model suitable for large curvature contour machining was established， and considering the influences of uncertain dynamics in the system， an improved LuGre nonlinear friction dynamic model with accurate and real-time compensation was established. In order to improve the contour performance of the two-axis direct drive servo feed systems， an ANSMCC method was designed based on the nonlinear sliding mode surface， where the nonlinear sliding mode surface contained the contour error components. By changing the values of the gain matrix in the nonlinear sliding mode surface， the damping ratio of the system might be changed in real time， so as to coordinate the relationship between the contour errors and the system response speeds. The experimental results show that the proposed method may overcome the dynamic influences of uncertainty in the operation of system， accurately track the large curvature contour curves， improve the contour machining accuracy.

Key words： two-axis direct drive servo feed system; friction compensation; nonlinear sliding mode surface; contour error

0 引言

兩軸直驅(qū)伺服進(jìn)給系統(tǒng)是高檔數(shù)控裝備中實(shí)現(xiàn)高精密平面運(yùn)動(dòng)的主要功能部件，它由兩臺(tái)直線電機(jī)驅(qū)動(dòng)，具有快響應(yīng)、高可靠性和高精度的優(yōu)點(diǎn)［1］。然而，雙軸之間存在的運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)問(wèn)題以及運(yùn)行過(guò)程中受到的負(fù)載變化、摩擦力等不確定性問(wèn)題使兩軸直驅(qū)進(jìn)給系統(tǒng)的輪廓精度受到極大影響，尤其是當(dāng)期望輪廓為大曲率復(fù)雜軌跡時(shí)，輪廓誤差會(huì)顯著增大［2］，為此，需要建立精確計(jì)算輪廓誤差的模型并設(shè)計(jì)合適的輪廓控制器。

為提高輪廓加工精度，國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者采用設(shè)計(jì)前饋或反饋控制器的方式來(lái)提高單軸跟蹤精度，進(jìn)而提高輪廓運(yùn)動(dòng)控制精度。文獻(xiàn)［3］和文獻(xiàn)［4］分別將交叉耦合互補(bǔ)滑模控制和二階離散分?jǐn)?shù)階滑?？刂品椒☉?yīng)用到直驅(qū)伺服系統(tǒng)中，克服了系統(tǒng)中不確定性因素的影響，提高了單軸位置跟蹤精度，減小了輪廓誤差。然而，這種純運(yùn)動(dòng)的控制方法忽略了各軸間的協(xié)調(diào)配合作用，在一些應(yīng)用場(chǎng)合下無(wú)法保證良好的輪廓跟蹤效果［5］。為此，一些學(xué)者通常采用局部任務(wù)坐標(biāo)系輪廓運(yùn)動(dòng)控制方法和交叉耦合控制方法等能夠增強(qiáng)軸間運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)性能的輪廓控制方案。文獻(xiàn)［6］設(shè)計(jì)了基于全局任務(wù)坐標(biāo)系的互補(bǔ)滑模輪廓控制方法，有效提高了直驅(qū)XY平臺(tái)的輪廓跟蹤精度。文獻(xiàn)［7］將基于速度前瞻的交叉耦合輪廓控制應(yīng)用到雙軸直線電機(jī)中，顯著減小了輪廓誤差。然而，此類控制器在設(shè)計(jì)時(shí)將每個(gè)進(jìn)給驅(qū)動(dòng)軸的跟蹤和輪廓均作為控制器的輸入，致使參數(shù)繁多調(diào)節(jié)困難，且選取不適當(dāng)?shù)膮?shù)會(huì)造成輪廓跟蹤性能的下降。文獻(xiàn)［8］在系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，直接設(shè)計(jì)基于超螺旋滑?？刂频牡刃д`差輪廓控制器用于直線電機(jī)精密運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的軌跡跟蹤，能夠有效地抑制不確定性擾動(dòng)，提高輪廓加工精度。文獻(xiàn)［9-10］將空間迭代學(xué)習(xí)輪廓控制方法應(yīng)用于直線電機(jī)進(jìn)給系統(tǒng)中，能夠精確跟蹤大曲率、復(fù)雜曲線，確保輪廓加工精度。此類非輪廓控制器基于輪廓誤差模型，在設(shè)計(jì)非輪廓控制器時(shí)將單軸電機(jī)的誤差信息作為輸入量，可同時(shí)兼顧單軸軌跡跟蹤和多軸運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)控制［11］。

為提高兩軸直驅(qū)伺服進(jìn)給系統(tǒng)的輪廓加工性能，本文設(shè)計(jì)了基于摩擦補(bǔ)償?shù)膬奢S直驅(qū)進(jìn)給系統(tǒng)自適應(yīng)非線性滑模輪廓控制（adaptive nonlinear sliding mode contour control，ANSMCC）方法。首先，通過(guò)坐標(biāo)變換的方式建立等效輪廓誤差模型與含有非線性摩擦力補(bǔ)償?shù)南到y(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。然后，基于系統(tǒng)模型設(shè)計(jì)ANSMCC方法，利用輪廓誤差分量設(shè)計(jì)非線性滑模面，通過(guò)調(diào)整增益矩陣值，可以改變系統(tǒng)阻尼比，利用高阻尼比減小超調(diào)量，利用低阻尼比提高系統(tǒng)響應(yīng)速度，從而平衡輪廓跟蹤誤差與響應(yīng)速度之間的關(guān)系。通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法可以保證兩軸直驅(qū)伺服進(jìn)給系統(tǒng)在復(fù)雜輪廓下的跟蹤精度，實(shí)現(xiàn)高性能數(shù)控裝備的精密輪廓加工要求。

1 兩軸直驅(qū)伺服進(jìn)給系統(tǒng)模型

1.1 等效輪廓誤差模型

輪廓誤差是指實(shí)際加工位置到參考位置的最短距離，是評(píng)估雙軸直驅(qū)伺服進(jìn)給系統(tǒng)加工精度的關(guān)鍵性指標(biāo)，主要受到單軸跟蹤誤差和多軸聯(lián)動(dòng)協(xié)調(diào)性的影響［12］。對(duì)于每個(gè)進(jìn)給驅(qū)動(dòng)軸，輪廓誤差與單軸位置跟蹤誤差之間的關(guān)系如圖1所示。

Γ為固定坐標(biāo)系，其橫縱軸分別為x和y，代表兩個(gè)進(jìn)給驅(qū)動(dòng)軸上的x電機(jī)和y電機(jī)。在此坐標(biāo)系下，c為期望輪廓；cr為實(shí)際輪廓；ec為輪廓誤差，與加工零件的形狀直接相關(guān)；期望位置為r=（rx，ry）T；實(shí)際位置為q=（qx，qy）T。各軸的跟蹤誤差e定義為

e=q－r=（ex，ey）T（1）

式中，e為跟蹤誤差向量；ex為x軸電機(jī)的位置跟蹤誤差；ey為y軸電機(jī)的位置跟蹤誤差。

在機(jī)械加工中，輪廓誤差直接關(guān)系到被加工零件的形狀。然而，當(dāng)期望輪廓c較為復(fù)雜時(shí)，很難直接獲得實(shí)時(shí)輪廓誤差值。為獲得輪廓誤差ec的近似值，通?？梢圆捎玫刃л喞`差方法。在期望位置r處，建立坐標(biāo)系ΓA，其軸t′在c處與r相切，軸n′與軸t′相互垂直，則在此坐標(biāo)系下的方向向量為

式中，t′x、t′y分別為x軸電機(jī)和y軸電機(jī)在坐標(biāo)系ΓA下t′坐標(biāo)軸方向上的位置分量；n′x、n′y分別為x軸電機(jī)和y軸電機(jī)在坐標(biāo)系ΓA下n′坐標(biāo)軸方向上的位置分量。

根據(jù)式（2）、式（3），并結(jié)合式（1），可得在ΓA坐標(biāo)系下的位置跟蹤誤差eA為

式中，et′、en′分別為與期望輪廓曲線c上位置r處相切和垂直的誤差分量；Λ為由位置分量構(gòu)成的矩陣。

通常，可將式（4）中的誤差分量en′視為實(shí)際輪廓誤差的近似值。然而，當(dāng)期望軌跡的曲率較大時(shí)，這種近似方法不是很準(zhǔn)確。為避免該問(wèn)題，假設(shè)期望位置r和期望軌跡上的點(diǎn)s之間的距離近似等于切向誤差et′，且沿該段的期望速度幾乎恒定，則r到s這段距離之間的速度等于r處的期望速度，因此，從s運(yùn)動(dòng)到r所需時(shí)間表示為

根據(jù)式（6）、式（7），結(jié)合式（1），可得在ΓB坐標(biāo)系下的跟蹤誤差為

1.2 兩軸直驅(qū)伺服進(jìn)給系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)

兩軸直驅(qū)伺服進(jìn)給系統(tǒng)由兩臺(tái)永磁直線同步電機(jī)相互垂直安裝構(gòu)成，下層為x軸電機(jī)，上層為y軸電機(jī)，具體包含工作臺(tái)、直線導(dǎo)軌、光柵檢測(cè)裝置等部件。兩軸直驅(qū)伺服進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型可表示為

式中， mx、my分別為x軸電機(jī)和y軸電機(jī)的動(dòng)子質(zhì)量； Dx、Dy分別為x軸電機(jī)和y軸電機(jī)所受的擾動(dòng)量，包含參數(shù)變化、負(fù)載擾動(dòng)等；Ffx、Ffy分別為x軸電機(jī)和y軸電機(jī)所受的非線性摩擦力； Fex、Fey分別為x軸電機(jī)和y軸電機(jī)的電磁推力； Kex、Key分別為x軸電機(jī)和y軸電機(jī)的電磁推力系數(shù)；iqx、iqy分別為x軸電機(jī)和y軸電機(jī)的q軸電流。

對(duì)于兩軸直驅(qū)伺服進(jìn)給系統(tǒng)，摩擦力是該系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中不容忽視的非線性擾動(dòng)，對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)行精度有較大影響。然而傳統(tǒng)的摩擦模型不能很好地描述平臺(tái)摩擦力在低速區(qū)、高速區(qū)的非線性特性。為此，本文單獨(dú)考慮非線性摩擦力對(duì)系統(tǒng)的影響并進(jìn)行補(bǔ)償，以x軸電機(jī)所受摩擦力為例建立摩擦模型，y軸電機(jī)模型與下述設(shè)計(jì)相同。為簡(jiǎn)化公式，省去x軸電機(jī)變量的下角標(biāo)x，設(shè)計(jì)補(bǔ)償模型如下。

傳統(tǒng)的LuGre摩擦力模型是應(yīng)用最為廣泛的描述摩擦動(dòng)態(tài)行為的模型，可表示為［13］

其中，z為不可測(cè)的摩擦狀態(tài)； σ0為標(biāo)稱靜摩擦參數(shù)，σ0>0；γ0、γ1、γ分別為剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)和黏滯摩擦系數(shù)；g（q·）>0用于描述Stribeck效應(yīng)，可表示為

式中，F(xiàn)c、Fs分別為庫(kù)侖摩擦力和靜摩擦力；vs為Stribeck速度。

將式（14）代入到式（13）中，可得

其中，γ2=γ1+γ。

z為不可測(cè)內(nèi)狀態(tài)，需要采用狀態(tài)觀測(cè)器來(lái)觀測(cè)，設(shè)計(jì)為

在實(shí)際應(yīng)用中，式（16）中的LuGre模型參數(shù)γ0、γ1、γ通常設(shè)置為常數(shù)，然而，由于機(jī)械磨損和運(yùn)行環(huán)境的變化，這三個(gè)參數(shù)可能會(huì)隨著電機(jī)的位置而發(fā)生變化，若將三個(gè)參數(shù)設(shè)置為常數(shù)則不能準(zhǔn)確地描述摩擦力的非線性動(dòng)力學(xué)。

為此，提出改進(jìn)的自適應(yīng)LuGre摩擦模型，采用NURBS樣條函數(shù)表示直線伺服電機(jī)的位置，改進(jìn)的模型參數(shù)γ0、γ1、γ分別表示為

其中，γ0l、γ1l、γ2l分別為第l個(gè)擬合基準(zhǔn)點(diǎn)下的剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)和黏滯摩擦系數(shù)；l（l=1，2，…，m）為擬合基準(zhǔn)點(diǎn)數(shù)，m為基準(zhǔn)點(diǎn)總數(shù)；k為NURBS樣條的階數(shù)，取為k=3； Sl，k（q）為k階樣條函數(shù)，可表示為

其中，（T1，T2，…，Tm+k－1，Tm+k）為一組節(jié)點(diǎn)向量，滿足Tl+1≥Tl。

將式（18）～式（21）代入到式（16）中，即可得到改進(jìn)的LuGre摩擦力模型。取m=3為電機(jī)極對(duì)數(shù)，則Tk為第一對(duì)磁極位置，Tk+m為最后一對(duì)磁極位置。因此，采用NURBS樣條函數(shù)表示的LuGre摩擦模型可以表征摩擦力隨每對(duì)磁極的函數(shù)變化，能更準(zhǔn)確地描述電機(jī)速度位置變化等因素引起的摩擦力改變，從而對(duì)摩擦力進(jìn)行有效補(bǔ)償，并減小輪廓誤差。

2 兩軸直驅(qū)伺服進(jìn)給系統(tǒng)的ANSMCC設(shè)計(jì)

在傳統(tǒng)的滑?？刂圃O(shè)計(jì)中，通常采用線性滑模面，無(wú)論誤差大小，系統(tǒng)的阻尼比都保持不變。在控制系統(tǒng)中，最重要的要求是快速響應(yīng)和小超調(diào)。然而，快速響應(yīng)會(huì)產(chǎn)生較大的超調(diào)，從而增大輪廓誤差，反之，小超調(diào)則影響系統(tǒng)的響應(yīng)速度，因此，采用線性滑模面很難同時(shí)實(shí)現(xiàn)快速響應(yīng)與小超調(diào)量。為此，在ANSMCC中，設(shè)計(jì)非線性滑模面來(lái)權(quán)衡兩者之間的矛盾，非線性滑模面可表示為

其中，S∈R2×1為非線性滑模面，由線性項(xiàng)和非線性項(xiàng)組成；Q∈R2×2為滑模面的線性增益矩陣，該矩陣的選擇應(yīng)確保閉環(huán)系統(tǒng)中主導(dǎo)極點(diǎn)具有較小的阻尼比，這是由于主導(dǎo)極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量在系統(tǒng)響應(yīng)中起主導(dǎo)作用，且Q需滿足李雅普諾夫方程PQT+QP=W；W為正定矩陣；P∈R2×2為對(duì)稱正定矩陣，用于調(diào)整最終阻尼比；I為單位矩陣；ζ∈R2×2為S中的非線性項(xiàng)，用于改變系統(tǒng)的阻尼比，ζ選擇為［14］

通過(guò)分析可得出，在非線性滑模面中，線性項(xiàng)Q包含一個(gè)阻尼比非常小的增益矩陣，用于促進(jìn)系統(tǒng)的快速響應(yīng)。非線性項(xiàng)ζ用于提供可變的系統(tǒng)阻尼比，以平衡閉環(huán)系統(tǒng)的快響應(yīng)和小超調(diào)量。通過(guò)應(yīng)用非線性滑模面，可使閉環(huán)系統(tǒng)的阻尼比從其初始低值變化為最終高值，阻尼比的初始低值用于提高快速響應(yīng)，隨后的高阻尼比用于減小超調(diào)。

在滑模控制中，控制律的設(shè)計(jì)是十分重要的，可以迫使系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到滑模面S上，并滿足理想滑模面S=0，因此，由式（22）可得

為證明控制器設(shè)計(jì)的穩(wěn)定性，選取李雅普諾夫函數(shù)為

V=eTcPec（26）

根據(jù)式（25），并對(duì)式（26）求導(dǎo)可得

根據(jù)式（1）及式（11），在固定坐標(biāo)系Γ下可得

根據(jù)式（9）、式（10）和式（28），可得

根據(jù)式（22）設(shè)計(jì)的非線性滑模面，假設(shè)期望速度和加速度已知，將式（28）代入式（29）中，并結(jié)合式（11）和式（12），可得

其中，u=iq為ANSMCC的控制輸入；Z∈R2×2為對(duì)角增益矩陣；G∈R2×2為對(duì)角矩陣，其對(duì)角線元素Gx和Gy是通過(guò)x軸電機(jī)和y軸電機(jī)所受的擾動(dòng)量Dx、Dy的上界值選擇的，表示為

式中，max（Dx）、max（Dy）為D中元素的最大值。

為解決滑?？刂频亩墩駟?wèn)題，采用飽和函數(shù)sat（S）替換式（30）中的sgn（S）［14］，設(shè)計(jì)為

式中，δj為邊界層厚度值。

此外，在式（30）設(shè)計(jì)的控制律中，控制增益Z用于改善系統(tǒng)的動(dòng)、靜態(tài)性能。然而，由于Z是恒定的，不能隨著系統(tǒng)輪廓誤差值的改變而實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)變化，因此，為提高系統(tǒng)輪廓性能，設(shè)計(jì)自適應(yīng)律使Z可以根據(jù)系統(tǒng)輪廓誤差值的大小而自動(dòng)實(shí)時(shí)調(diào)整，自適應(yīng)律設(shè)計(jì)為

其中，ρ為正常數(shù)；Sm為與滑模面對(duì)角線元素相關(guān)的對(duì)角矩陣。由式（33）可以看出，控制增益Z的值與滑模面有關(guān)，而滑模面（式（22））的設(shè)計(jì)又包含系統(tǒng)的輪廓誤差ec，因此，Z（t）可以隨著輪廓誤差值的變化而實(shí)現(xiàn)在線實(shí)時(shí)調(diào)整，從而提高輪廓精度。

因此，結(jié)合式（32），將式（33）應(yīng)用到式（30）中，可得ANSMCC的控制律為

3 系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)分析

兩軸直驅(qū)伺服進(jìn)給系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)裝置如圖2所示。該實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)主要包括上位機(jī)、運(yùn)動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)箱、兩軸直驅(qū)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)和直線光柵檢測(cè)裝置等部件。圖中，直線光柵編碼器為美國(guó)GSI公司生產(chǎn)的Micro-E型號(hào)，分辨力為0.1 μm。實(shí)驗(yàn)裝置通過(guò)RS232通信口將上位機(jī)與兩臺(tái)直線電機(jī)的驅(qū)動(dòng)器相連。利用MATLAB/Simulink界面將仿真模型編譯為C代碼，下載到實(shí)驗(yàn)箱控制兩軸直驅(qū)伺服進(jìn)給系統(tǒng)按照輸入指令運(yùn)行。最后，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果以txt、xls等格式傳輸?shù)組ATLAB軟件中，從而利用強(qiáng)大的MATLAB數(shù)據(jù)處理功能進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。實(shí)驗(yàn)中采用的兩軸直驅(qū)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的有效行程為分別為：220 mm（x軸）、260 mm（y軸），

其主要參數(shù)為：mx=2 kg、my=2 kg、Kex=24 N/A、Key=35 N/A。

為驗(yàn)證ANSMCC對(duì)實(shí)現(xiàn)高精度輪廓跟蹤的可行性和有效性，實(shí)驗(yàn)分別在空載標(biāo)稱條件和負(fù)載參數(shù)變化兩組條件下進(jìn)行，采用如下四種方法：

（1）C1方法。采用線性滑模面的傳統(tǒng)滑模輪廓控制（sliding mode contour control，SMCC）方法，選取ζ=0為線性滑模面，Q=diag（10，20）為相對(duì)小阻尼比。

（2）C2方法。采用線性滑模面的SMCC方法，選取ζ=0為線性滑模面，Q=diag（25，50）為相對(duì)大阻尼比。將C2與C1對(duì)比，以驗(yàn)證阻尼比大小對(duì)系統(tǒng)輪廓性能的影響。

（3）C3方法。采用非線性滑模輪廓控制（nonlinear sliding mode contour control，NSMCC）方法，選取ζ≠0為非線性滑模面。將C3與C1、C2相比，以驗(yàn)證非線性滑模面對(duì)系統(tǒng)輪廓跟蹤能力的影響。

（4）C4方法。采用ANSMCC方法，選取ζ≠0為非線性滑模面。將C4與C2和C3進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證采用自適應(yīng)律估計(jì)控制增益對(duì)輪廓精度提高的有效性。

為保證對(duì)比實(shí)驗(yàn)的公平性，四種控制器中初始條件相同，參數(shù)如表1所示。

為評(píng)估輪廓控制器的控制性能，定義如下性能指標(biāo)：

式中，VRMS為輪廓誤差的均方根值（RMS值）；T為總運(yùn)行時(shí)間；VMAX為輪廓誤差的最大值（MAX值）；VURMS為控制輸入u的均方根（URMS值），用于衡量控制輸入的大小。

首先，為測(cè)試所提出ANSMCC方法的輪廓運(yùn)動(dòng)性能，命令兩軸直驅(qū)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)跟蹤星形期望輪廓，平臺(tái)在標(biāo)稱狀態(tài)下空載運(yùn)行。C1、C2、C3和C4四種方法控制下的系統(tǒng)星形輪廓跟蹤曲線見(jiàn)圖3，可以看出，四種方法均可以較好地跟蹤期望輪廓軌跡。為清晰對(duì)比，給出了四種方法控制下的兩軸直驅(qū)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的輪廓誤差曲線，見(jiàn)圖4。此外，以x軸電機(jī)為例，在四種方法控制下的控制輸入曲線見(jiàn)圖5。表2為兩軸直驅(qū)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)在跟蹤星形輪廓實(shí)驗(yàn)中的性能情況表。

觀察圖3～圖5以及表2，對(duì)比C1、C2和C3的輪廓誤差曲線和控制輸入曲線能夠發(fā)現(xiàn)，盡管C2中阻尼比的增大能夠提高系統(tǒng)的輪廓跟蹤精度，使其與C3所得的輪廓性能相近，但控制輸入曲線圖5c和圖5d相比于圖5a和圖5b更為平滑，曲線的波動(dòng)幅度明顯變小，這是由于非線性滑模面包含輪廓誤差分量，能夠?qū)崟r(shí)改變系統(tǒng)的阻尼比，從而減小輪廓誤差，使控制輸入更加平穩(wěn)。此外，對(duì)比圖4c和圖4d以及表2可以看出，采用自適應(yīng)律估計(jì)參數(shù)后，C4控制下的系統(tǒng)輪廓誤差顯著減小，輪廓誤差的RMS值達(dá)到1.33 μm，相比于C3，C4控制下的輪廓控制精度提高了37.85%。因此，本文提出的ANSMCC方法在輪廓跟蹤能力方面具有優(yōu)越性。

為測(cè)試所提ANSMCC方法克服擾動(dòng)的能力，對(duì)系統(tǒng)給定花瓣期望輪廓軌跡，拖動(dòng)2 kg負(fù)載在參數(shù)變化條件下運(yùn)行（實(shí)際黏滯摩擦系數(shù)為標(biāo)稱值的1.5倍）。采用四種方法跟蹤花瓣輪廓的跟蹤曲線見(jiàn)圖6。圖7和圖8分別為輪廓跟蹤誤差曲線和控制輸入曲線?；ò贻喞檶?shí)驗(yàn)性能指標(biāo)如表3所示。通過(guò)表3可以看出，在引入非線性滑模面和自適應(yīng)律后，輪廓誤差的RMS值減小到1.46 μm，相比于C1、C2和C3的RMS值，分別減小了64.82%、56.55%和47.48%；輪廓誤差的MAX值減小到1.96 μm，相比于C1、C2和C3的MAX值，分別減小了66.61%、53.44%和51.60%。由此可得，本文提出的ANSMCC方法能有效提高兩軸直驅(qū)伺服進(jìn)給系統(tǒng)的輪廓跟蹤精度。

4 結(jié)論

為實(shí)現(xiàn)兩軸直驅(qū)伺服進(jìn)給系統(tǒng)在實(shí)際加工過(guò)程中的高精度運(yùn)行，提出基于摩擦補(bǔ)償?shù)淖赃m應(yīng)非線性滑模輪廓控制（ANSMCC）策略。在建立等效輪廓誤差模型和非線性動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，提出了基于非線性滑模面的ANSMCC方法。最后通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出：

（1）通過(guò)引入非線性滑模面和自適應(yīng)律，ANSMCC方法能夠有效提高兩軸直驅(qū)伺服進(jìn)給系統(tǒng)的輪廓跟蹤精度。

（2）本文提出的輪廓控制策略簡(jiǎn)單可行，能夠有效克服參數(shù)變化、負(fù)載擾動(dòng)等對(duì)輪廓性能的影響，提高系統(tǒng)對(duì)不確定性的魯棒性。

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