鋼桁架結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性與兩層面強(qiáng)度優(yōu)化設(shè)計研究

楊綠峰，宋沙沙，劉嘉達(dá)仁

(1.廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，廣西，南寧 530004；2.廣西大學(xué)工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點實驗室，廣西，南寧 530004；3.阿爾伯塔大學(xué)土木與環(huán)境工程學(xué)院，埃德頓，T6G 1H9，加拿大)

桁架具有拆裝運(yùn)輸方便、能充分利用材料強(qiáng)度等優(yōu)點，且該類結(jié)構(gòu)僅考慮軸力作用，因而相對框架等結(jié)構(gòu)而言，優(yōu)化的設(shè)計變量和狀態(tài)變量相對較少，相關(guān)的結(jié)構(gòu)分析較容易實施，因而新提出的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法通常選擇理想桁架結(jié)構(gòu)模型作為驗證方法適用性的結(jié)構(gòu)載體，使得桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化成為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的基本問題。

桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法主要有優(yōu)化準(zhǔn)則法[1]和數(shù)學(xué)規(guī)劃法[2]。優(yōu)化準(zhǔn)則法基于工程經(jīng)驗、力學(xué)概念和數(shù)學(xué)原理設(shè)定一組準(zhǔn)則，據(jù)此建立結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的迭代公式，簡單實用。而且，由于準(zhǔn)則法中設(shè)計變量的數(shù)量與優(yōu)化迭代次數(shù)的關(guān)系不大，較數(shù)學(xué)規(guī)劃法具有更高的計算效率[1]，因而得到廣泛的應(yīng)用。當(dāng)前常用的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法[3-5]大多采用結(jié)構(gòu)在設(shè)計荷載下根據(jù)彈性理論求得的內(nèi)力分布狀態(tài)確定各構(gòu)件的強(qiáng)度需求，并據(jù)此開展優(yōu)化設(shè)計。此類方法能夠有效滿足構(gòu)件層面的強(qiáng)度需求，是當(dāng)前結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的主流方法。但由于未考慮結(jié)構(gòu)在罕遇荷載下進(jìn)入彈塑性狀態(tài)乃至塑性極限狀態(tài)(形成體系失效模式)時內(nèi)力重分布的影響，因而不能滿足結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度需求。為研究結(jié)構(gòu)在罕遇荷載下的體系強(qiáng)度，文獻(xiàn)[6-8]開展了抗震結(jié)構(gòu)失效模式的識別和優(yōu)化研究。進(jìn)一步地，結(jié)構(gòu)塑性設(shè)計理論[9-10]以及在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來的直接設(shè)計法(也稱為高等分析法)[11-12]按照結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性極限狀態(tài)(形成體系失效模式)時的內(nèi)力分布狀態(tài)確定結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度需求，由此建立的設(shè)計方案能夠阻止體系失效模式的形成，滿足結(jié)構(gòu)體系層面的強(qiáng)度需求。在塑性設(shè)計基礎(chǔ)上文獻(xiàn)[9]嘗試開展桁架結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度的優(yōu)化設(shè)計。目前，直接設(shè)計法(或稱為高等分析法)也陸續(xù)引入歐美國家以及我國最新的鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范[13-14]中。然而，基于塑性設(shè)計和直接設(shè)計法理論發(fā)展而來的結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度優(yōu)化設(shè)計方法不能阻止部分高承載構(gòu)件中出現(xiàn)塑性鉸[15-16]，因而難以保證滿足構(gòu)件層面的強(qiáng)度需求。

合理的結(jié)構(gòu)設(shè)計方案既要滿足設(shè)計荷載下構(gòu)件層面的強(qiáng)度需求，也要滿足罕遇荷載下體系層面的強(qiáng)度需求[17]。Wang等[18]基于常規(guī)塑性鉸法確定桁架結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度需求，并利用遺傳算法搜索確定能夠同時滿足構(gòu)件和體系強(qiáng)度需求的優(yōu)化設(shè)計方案，計算格式復(fù)雜且耗時，究其原因在于該方法不能給出結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度與構(gòu)件強(qiáng)度之間的顯式關(guān)系，因而難以通過正常的構(gòu)件設(shè)計滿足結(jié)構(gòu)在構(gòu)件和體系兩個層面的強(qiáng)度要求。為此，文獻(xiàn)[19-20]采用彈性模量縮減法(elastic modulus reduction method，簡記為EMRM)分析工程結(jié)構(gòu)體系層面的承載力，據(jù)此確定結(jié)構(gòu)在構(gòu)件和體系兩層面強(qiáng)度需求之間的顯性關(guān)系式。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[21-22]研究建立了結(jié)構(gòu)兩層面強(qiáng)度優(yōu)化設(shè)計的均勻承載準(zhǔn)則法，由此建立的結(jié)構(gòu)設(shè)計和優(yōu)化方案能夠同時滿足結(jié)構(gòu)在構(gòu)件和體系兩個層面的強(qiáng)度需求，從而解決了傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計理論的難題。但是該方法依據(jù)基準(zhǔn)承載比[19-20]確定構(gòu)件強(qiáng)度的調(diào)整量，導(dǎo)致低承載構(gòu)件和部分高承載構(gòu)件的強(qiáng)度富余量較大，優(yōu)化效果得不到保障，而且文獻(xiàn)[21-22]沒有考慮穩(wěn)定性對桿件強(qiáng)度的影響，導(dǎo)致優(yōu)化設(shè)計方案不滿足安全性要求。

鑒于此，本文考慮細(xì)長桿穩(wěn)定性對桁架結(jié)構(gòu)兩層面強(qiáng)度的影響，研究建立鋼桁架結(jié)構(gòu)兩層面強(qiáng)度優(yōu)化設(shè)計的改進(jìn)均勻承載準(zhǔn)則法。首先在單元承載比中引入軸壓桿穩(wěn)定性影響，然后利用EMRM的迭代首步和末步的單元承載比建立了桁架在構(gòu)件強(qiáng)度與體系強(qiáng)度之間的顯性關(guān)系式，并按照兩層面強(qiáng)度系數(shù)的目標(biāo)值調(diào)整各構(gòu)件強(qiáng)度，據(jù)此建立桁架結(jié)構(gòu)兩層面強(qiáng)度優(yōu)化設(shè)計的改進(jìn)均勻承載準(zhǔn)則法。

1 桁架結(jié)構(gòu)兩層面強(qiáng)度需求

單元承載比(EBR)是EMRM的控制參數(shù)，用于綜合評估單元在荷載作用下接近于全截面塑性屈服狀態(tài)的程度，取值區(qū)間為[0,1]，用表示，其中k表示迭代步，e表示單元編號。對于桁架結(jié)構(gòu)，由于各桿件僅受軸力Ne作用，可據(jù)此定義：

式中，表示單元e全截面塑性抗拉/壓強(qiáng)度，當(dāng)忽略材料受拉、受壓屈服強(qiáng)度σs的區(qū)別時，有：

式中，A為桿件橫截面面積。中長桿受壓時，需要考慮穩(wěn)定性對抗壓強(qiáng)度的影響：

式中，φ為軸心受壓構(gòu)件的穩(wěn)定系數(shù)，由《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》(GB 50017―2017)[14]附錄G確定，且與構(gòu)件長細(xì)比(或換算長細(xì)比)等因素密切相關(guān)，其中的長細(xì)比取決于軸壓桿的計算長度，且需要考慮平面內(nèi)和平面外兩種不同的受力狀態(tài)，具體按《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》(GB 50017―2017)表5.3.1確定。

單元承載比隨著迭代的進(jìn)展而在結(jié)構(gòu)空間的分布越來越均勻。為便于描述在結(jié)構(gòu)空間分布的狀態(tài)，定義承載比均勻度dk：

式中：下標(biāo)k表示EMRM迭代步；分別表示結(jié)構(gòu)中單元承載比的平均值、最大值和最小值。據(jù)此，可進(jìn)一步定義基準(zhǔn)承載比：

根據(jù)可以建立判別高承載單元的動態(tài)準(zhǔn)則：滿足的單元，屬于高承載單元，否則稱為低承載單元。

通過縮減高承載單元的彈性模量可以模擬加載過程中結(jié)構(gòu)的剛度損傷和衰減：

由式(1)可見，結(jié)構(gòu)加載中單元承載比隨著外荷載呈比例增大，當(dāng)增大到1時，所在單元達(dá)到全截面塑性屈服，此時對應(yīng)的外荷載為第k迭代步的極限荷載

式中，P0為外荷載初始值，在兩層面強(qiáng)度設(shè)計中取荷載設(shè)計值。

重復(fù)以上迭代計算，直至第M迭代步的計算結(jié)果滿足收斂條件：

式中，ε表示容許誤差，取值范圍為10-5～10-2。

第M步是迭代末步，根據(jù)該步的計算結(jié)果可以得到結(jié)構(gòu)極限強(qiáng)度PLim：

式中，PLim是塑性極限荷載的下限，對應(yīng)于結(jié)構(gòu)體系能夠承受的罕遇荷載。大型工程結(jié)構(gòu)的極限承載力難以精確計算，通?？衫盟苄詷O限荷載的下限近似表達(dá)。結(jié)構(gòu)極限承載力也稱為結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度。

上述計算結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度的方法稱為彈性模量縮減法[19-20]，簡記為EMRM。文獻(xiàn)[19-20]研究表明，EMRM通過線彈性迭代分析確定結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度，與常見的彈塑性方法相比能夠取得更高的計算效率。

EMRM首步迭代(k=1)分析得到的單元承載比對應(yīng)于桁架結(jié)構(gòu)在設(shè)計荷載下的彈性內(nèi)力Ne，據(jù)此可確定桁架在構(gòu)件層面的強(qiáng)度需求同時EMRM迭代末步(k=M)得到的單元承載比對應(yīng)于桁架結(jié)構(gòu)在罕遇荷載下進(jìn)入塑性極限狀態(tài)時的內(nèi)力，利用此時的最大單元承載比可以確定桁架在體系層面的強(qiáng)度需求PLim。

2 桁架結(jié)構(gòu)兩層面強(qiáng)度設(shè)計

結(jié)構(gòu)設(shè)計方案既要保證結(jié)構(gòu)在設(shè)計荷載下處于彈性狀態(tài)，避免結(jié)構(gòu)在重復(fù)荷載下發(fā)生塑性積累；而且為了節(jié)省材料、控制造價，應(yīng)允許結(jié)構(gòu)在預(yù)定的罕遇荷載作用下進(jìn)入彈塑性狀態(tài)，甚至逼近塑性極限狀態(tài)，但不能發(fā)生倒塌破壞，從而保證結(jié)構(gòu)的安全性。這兩個“保證”可以通過兩層面強(qiáng)度設(shè)計來實現(xiàn)：首先通過結(jié)構(gòu)在設(shè)計荷載下的彈性分析確定構(gòu)件層面的強(qiáng)度需求，然后通過罕遇荷載下的塑性極限分析確定結(jié)構(gòu)在體系層面的強(qiáng)度需求，據(jù)此開展結(jié)構(gòu)兩層面強(qiáng)度設(shè)計。由于EMRM迭代分析的首步和末步分別對應(yīng)結(jié)構(gòu)彈性分析和塑性極限分析狀態(tài)[19-20]，因而，這里選擇EMRM作為兩層面設(shè)計的工具。

2.1 構(gòu)件層面的強(qiáng)度設(shè)計

由于桁架結(jié)構(gòu)模型中同一構(gòu)件c的軸力通常不發(fā)生變化，因此桁架結(jié)構(gòu)分析的有限元模型中每個等截面構(gòu)件通常為一個單元e，此時的單元承載比等同于構(gòu)件承載比。特殊地，當(dāng)同一構(gòu)件上需要劃分為多個單元時，取其中最大的作為該構(gòu)件的，即有：其中，Nc表示構(gòu)件c上離散單元的數(shù)量。

桁架結(jié)構(gòu)開展EMRM迭代首步時，各單元的彈性模量都取其初始值，由此可確定結(jié)構(gòu)在設(shè)計荷載下的線彈性內(nèi)力，進(jìn)而利用式(1)確定EMRM首步迭代中各構(gòu)件的，并據(jù)此確定設(shè)計荷載下各構(gòu)件的強(qiáng)度系數(shù)：

構(gòu)件強(qiáng)度系數(shù)不同于傳統(tǒng)的安全系數(shù)，在計算中已經(jīng)考慮了荷載系數(shù)、材料系數(shù)以及結(jié)構(gòu)重要性系數(shù)等三個分項系數(shù)的取值，因而的目標(biāo)值通常取[K0]=1.0。當(dāng)≥[K0]時，表明構(gòu)件c的原有強(qiáng)度能夠滿足需求，處于安全狀態(tài)。反之，當(dāng)＜[K0]時，表明該構(gòu)件的強(qiáng)度儲備不足，存在失效風(fēng)險，需按照下式調(diào)整該構(gòu)件的截面強(qiáng)度：

2.2 體系層面的強(qiáng)度設(shè)計

罕遇荷載是指能夠使結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性極限狀態(tài)，甚至發(fā)生坍塌破壞的罕遇工況下的極限荷載，在美國荷載設(shè)計規(guī)范ASCE/SEI 7-10[23]中稱為罕遇工況下的荷載組合(load combinations for extraordinary events)。EMRM迭代末步結(jié)構(gòu)在罕遇荷載下進(jìn)入塑性極限狀態(tài)。根據(jù)該迭代步的構(gòu)件承載比可以確定各構(gòu)件在迭代末步的強(qiáng)度系數(shù)：

進(jìn)一步地，根據(jù)式(1)和式(8)，利用EMRM迭代末步的最大構(gòu)件承載比確定桁架的體系強(qiáng)度需求：

式(13)給出了體系強(qiáng)度PLim與構(gòu)件強(qiáng)度之間的定量關(guān)系，在此基礎(chǔ)上可建立結(jié)構(gòu)優(yōu)化調(diào)整方法，為此需根據(jù)定義結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度系數(shù)Ks：

結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度系數(shù)Ks反映了結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度的富余狀況。通常在結(jié)構(gòu)設(shè)計之初可根據(jù)預(yù)定的荷載設(shè)計水平P0和罕遇水平PL確定體系強(qiáng)度系數(shù)的目標(biāo)值[Ks]：

當(dāng)前的結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范通常沒有給出荷載罕遇水平PL，因而在設(shè)計之初難以預(yù)先確定[Ks]。為此，可根據(jù)目前國內(nèi)外對既有工程結(jié)構(gòu)極限承載力PLim的研究結(jié)果[12,24-25]并結(jié)合式(15)確定結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度系數(shù)目標(biāo)值的取值。Zhang等[24]通過對9個鋼框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行承載力試驗，得到不同可靠度水平下的結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度系數(shù)取值。Albermani等[25]在對大型鋼輸電塔架進(jìn)行承載力試驗的基礎(chǔ)上指出，新建輸電塔結(jié)構(gòu)的體系強(qiáng)度系數(shù)處于1.10～1.78之間。本文取[Ks]=1.4。

當(dāng)?shù)┎礁鳂?gòu)件的強(qiáng)度系數(shù)大于體系強(qiáng)度系數(shù)目標(biāo)值[Ks]時，有Ks≥[Ks]，表明結(jié)構(gòu)滿足體系強(qiáng)度需求，在遭遇罕遇荷載時能夠避免坍塌破壞。反之若任一構(gòu)件在迭代末步的強(qiáng)度系數(shù)則有Ks＜[Ks]，表明桁架結(jié)構(gòu)不能滿足體系強(qiáng)度需求，難以抵御罕遇荷載的襲擊。另一方面，為了減少耗材，節(jié)省工程造價，各構(gòu)件的強(qiáng)度系數(shù)也不能太大，應(yīng)盡可能接近[Ks]。因此，可按下式調(diào)整構(gòu)件截面強(qiáng)度：

式中：αs為體系強(qiáng)度系數(shù)比；η為加速因子，大于1時可加快優(yōu)化迭代的收斂速度，本文取η=1.001。

在桁架結(jié)構(gòu)兩層面強(qiáng)度設(shè)計中，每次調(diào)整構(gòu)件c截面強(qiáng)度之后，要根據(jù)調(diào)整后的強(qiáng)度確定其截面面積Ac：

式中：σs表示構(gòu)件c的材料設(shè)計強(qiáng)度；Ac表示構(gòu)件c的截面面積。

進(jìn)一步地，根據(jù)Ac更新構(gòu)件的截面幾何尺寸。本文算例均采用圓管構(gòu)件，圓管截面外徑R1的調(diào)整公式為：

其中，ζ為圓管截面內(nèi)外徑之比，可根據(jù)構(gòu)造要求確定[26]。

2.3 結(jié)構(gòu)兩層面強(qiáng)度優(yōu)化設(shè)計

罕遇荷載作用下桁架結(jié)構(gòu)一旦形成失效模式，將不能繼續(xù)承載。如果此時仍有較多桿件的單元承載比較低，將造成過多的材料浪費(fèi)。為此，需要開展結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計，力圖使每根構(gòu)件都能充分發(fā)揮其承載能力，理想狀態(tài)是桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性極限狀態(tài)時，全部構(gòu)件都同時進(jìn)入失效臨界狀態(tài)，即全部構(gòu)件的相等，此時承載比均勻度dM達(dá)到最大值。因此，兩層面優(yōu)化設(shè)計的迭代過程應(yīng)滿足收斂條件：

式中：和分別為當(dāng)前(即第i次)和上一次(即第i-1次)兩層面優(yōu)化設(shè)計循環(huán)計算中EMRM迭代末步的構(gòu)件承載比均勻度；εd為收斂容差，取值范圍為0.001～0.05。

需要注意的是，最終的優(yōu)化方案需根據(jù)模數(shù)要求確定各構(gòu)件的截面幾何尺寸。

經(jīng)過上述優(yōu)化循環(huán)分析，不僅能夠充分發(fā)揮各構(gòu)件的承載能力，節(jié)省材料，而且能夠滿足桁架在構(gòu)件和體系兩個層面的強(qiáng)度需求，從而得到承載性能和經(jīng)濟(jì)性能均優(yōu)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方案，稱之為桁架結(jié)構(gòu)兩層面優(yōu)化設(shè)計的改進(jìn)均勻承載準(zhǔn)則法，其流程如圖1所示。

3 算例分析

本節(jié)結(jié)合3個桁架算例，對本文建立的改進(jìn)均勻承載準(zhǔn)則法、原均勻承載準(zhǔn)則法、滿應(yīng)力準(zhǔn)則法等優(yōu)化設(shè)計方法進(jìn)行對比分析，其中：算例1是承受集中荷載作用的10桿平面桁架，文獻(xiàn)[27]利用數(shù)學(xué)規(guī)劃法建立了該桁架的優(yōu)化方案；算例2為承受分布荷載作用的平面桁架橋；算例3為空間桁架結(jié)構(gòu)。這里采用ANSYS有限元軟件進(jìn)行建模和計算分析，其中平面桁架結(jié)構(gòu)采用平面2節(jié)點桿單元Link1單元建模，空間桁架結(jié)構(gòu)采用空間2節(jié)點桿單元Link8單元建模。使用的PC機(jī)基本配置為：Intel (R) Pentium (R) G630 2.70GHz, 4G內(nèi)存。

圖1 改進(jìn)均勻承載準(zhǔn)則法流程圖Fig.1 Flow chart for improved uniform bearing criterion

3.1 算例1∶10桿平面桁架

由10根桿件組成的平面桁架結(jié)構(gòu)承受2個大小相等的集中荷載F=444.8 kN，如圖2所示。材料容許應(yīng)力[σ]=170MPa ，彈性模量為200 GPa。構(gòu)件均采用圓管型截面形式，桁架的計算模型及桿件編號如圖2所示。初始設(shè)計方案中，弦桿和直腹桿(編號為1～6)的截面外徑為20 cm，斜腹桿(編號為7～10)的截面外徑為10 cm，各桿內(nèi)外徑之比均為0.9。文獻(xiàn)[27]利用數(shù)學(xué)規(guī)劃法確定了該桁架的優(yōu)化設(shè)計方案。這兩個設(shè)計方案中各構(gòu)件的截面積Ac分別見表1。這里分別取構(gòu)件強(qiáng)度系數(shù)和體系強(qiáng)度系數(shù)的目標(biāo)值[K0]=1.0、[Ks]=1.4。同時構(gòu)件橫截面積最小限值為1 cm2。

圖2 十桿桁架Fig.2 Ten-bar truss

3.1.1 不考慮穩(wěn)定性影響

考慮到文獻(xiàn)[27]中的數(shù)學(xué)規(guī)劃法沒有考慮壓桿穩(wěn)定性影響，本節(jié)采用式(2a)定義單元承載比，然后分別利用原均勻承載法[21-22]和本文改進(jìn)均勻承載法建立十桿桁架兩層面優(yōu)化設(shè)計方案，求得各桿的截面面積Ac、構(gòu)件強(qiáng)度系數(shù)、及桁架體系強(qiáng)度系數(shù)Ks，結(jié)果分別見表1中“原均勻承載法”和“本文改進(jìn)方法”下面的數(shù)據(jù)。為了便于對比分析各設(shè)計方案，這里利用EMRM計算初始設(shè)計方案和數(shù)學(xué)規(guī)劃法優(yōu)化設(shè)計方案迭代首步和末步的單元承載比，并代入式(9)和式(14)求得這兩個方案的構(gòu)件強(qiáng)度系數(shù)、和體系強(qiáng)度系數(shù)Ks，結(jié)果如表1所示。從表1可以看出，在不考慮壓桿穩(wěn)定影響時，桁架初始設(shè)計方案、原均勻承載法和本文改進(jìn)方法的優(yōu)化設(shè)計方案中，構(gòu)件強(qiáng)度系數(shù)和體系強(qiáng)度系數(shù)分別滿足表明這三個設(shè)計方案均能夠滿足桁架在構(gòu)件層面和體系層面的強(qiáng)度需求，符合安全性要求。但是數(shù)學(xué)規(guī)劃法的優(yōu)化設(shè)計方案盡管迭代首步的構(gòu)件強(qiáng)度系數(shù)滿足但體系強(qiáng)度系數(shù)Ks＜[Ks](其原因在于構(gòu)件1、3、4、7～10在迭代末步的強(qiáng)度系數(shù)由此可見，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃法優(yōu)化設(shè)計方案能夠滿足構(gòu)件層面強(qiáng)度需求，但不能保證體系層面強(qiáng)度也滿足要求。

同時，從表1的初始設(shè)計方案中可以看出大多數(shù)構(gòu)件的強(qiáng)度系數(shù)遠(yuǎn)大于其目標(biāo)值[Ks]，導(dǎo)致材料浪費(fèi)。原均勻承載法方案降低了大部分桿件的截面積Ac，從而節(jié)省了材料，耗材量從原方案的1.62 m3減少到0.5 m3。而本文改進(jìn)方法進(jìn)一步將十桿桁架結(jié)構(gòu)用材量減少到0.40m3，與原均勻承載法相比不僅減少了20%的耗材，而且計算用時降低了86%。表明本文提出的改進(jìn)均勻承載準(zhǔn)則法在優(yōu)化效果和計算效率方面都優(yōu)越于原均勻承載準(zhǔn)則法。并且，本文改進(jìn)方法的優(yōu)化方案中各構(gòu)件在迭代末步具有相同的強(qiáng)度系數(shù)，且都等于[Ks]，滿足均勻承載的目標(biāo)，從而能夠最大限度節(jié)省耗材。

3.1.2 壓桿穩(wěn)定性影響

為了反映穩(wěn)定性對結(jié)構(gòu)設(shè)計方案的影響，這里利用式(2b)代替式(2a)計算單元承載比，在此基礎(chǔ)上利用本文改進(jìn)均勻承載法研究建立該十桿桁架的系數(shù)、及桁架體系強(qiáng)度系數(shù)Ks，結(jié)果見表2。為了便于對比分析，這里利用基于式(2b)的兩個層面的強(qiáng)度需求，其原因在于這三個設(shè)計方案都沒有考慮穩(wěn)定性影響。由此可知，穩(wěn)定性對桁架結(jié)構(gòu)在構(gòu)件和體系兩個層面的強(qiáng)度都有顯著影響，不考慮穩(wěn)定性將高估桁架的承載力，導(dǎo)致設(shè)計方案存在安全性不足的問題。

表1 優(yōu)化設(shè)計方案對比Table 1 Results from four design and optimization methods

表2 考慮穩(wěn)定性的優(yōu)化設(shè)計方案對比Table 2 Comparison of different optimal design based on stability

同時從表2可見，本文改進(jìn)方法的優(yōu)化設(shè)計方案中所有構(gòu)件強(qiáng)度系數(shù)、和體系強(qiáng)度系數(shù)Ks都不小于各自的目標(biāo)值[K0]和[Ks]，使桁架兩層面滿足強(qiáng)度的需求，從而克服了初始設(shè)計方案、數(shù)學(xué)規(guī)劃法和原均勻承載法優(yōu)化設(shè)計方案的缺陷。

3.1.3 優(yōu)化設(shè)計方案的校核

進(jìn)一步地，利用彈塑性增量分析法(EPIA) 檢驗數(shù)學(xué)規(guī)劃法、原均勻承載準(zhǔn)則法以及本文改進(jìn)方法的優(yōu)化設(shè)計方案能否滿足桁架結(jié)構(gòu)的體系強(qiáng)度需求。此時，計算模型中壓桿的容許應(yīng)力仍需利用式(2b)中的穩(wěn)定系數(shù)φ進(jìn)行折減[28]。首先利用EPIA求得上述三種優(yōu)化設(shè)計方法分別確定的桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方案的極限承載力，然后將代替式(14)中的PLim可以求得上述三種優(yōu)化設(shè)計方案的體系強(qiáng)度系數(shù)Ks，結(jié)果見表3。從表3可以看出，數(shù)學(xué)規(guī)劃法和原均勻承載準(zhǔn)則法由于沒有考慮穩(wěn)定性的影響，因此，所得優(yōu)化設(shè)計方案的結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度系數(shù)均小于目標(biāo)值[Ks]=1.40，無法滿足桁架結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度需求，相比之下本文改進(jìn)方法在考慮穩(wěn)定性影響時所得優(yōu)化設(shè)計方案的體系強(qiáng)度系數(shù)等于目標(biāo)值1.40，且其迭代末步的構(gòu)件強(qiáng)度系數(shù)均接近于1.40，表明本文提出的設(shè)計方法不僅滿足了體系強(qiáng)度需求，而且不浪費(fèi)材料，與3.1.2節(jié)得出結(jié)論基本一致。綜上所述，通過與EPIA進(jìn)行對比，再次驗證了本文改進(jìn)方法的合理性。

表3 塑性極限荷載及體系安全系數(shù)Table 3 Plastic ultimate load and system safety factor

3.2 算例2：平面桁架結(jié)構(gòu)

圖4所示為一平面桁架，荷載施加于桁架上弦的6個節(jié)點上，兩端的節(jié)點荷載為450 kN，其余節(jié)點荷載為900 kN。構(gòu)件材料為Q235，其容許應(yīng)力[σ]=215MPa ，彈性模量為200 GPa，構(gòu)件均采用圓管型截面。初始設(shè)計方案已考慮了穩(wěn)定性影響，所有桿件的截面外徑均為30 cm，各桿內(nèi)外徑之比均為0.8，各桿截面Ac見表4。這里分別取構(gòu)件和體系強(qiáng)度系數(shù)目標(biāo)值[K0]=1.0、[Ks]=1.4。同時構(gòu)件橫截面積最小限值為56 cm2。

圖4 平面桁架Fig.4 Plane truss

3.2.1 優(yōu)化設(shè)計方案及其比較

根據(jù)算例1可知，穩(wěn)定性對桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計有顯著影響，為此采用式(2b)定義單元承載比，在此基礎(chǔ)上利用原均勻承載準(zhǔn)則法和本文改進(jìn)方法分別建立該桁架的優(yōu)化設(shè)計方案，確定各構(gòu)件的截面積Ac、構(gòu)件強(qiáng)度系數(shù)和及體系強(qiáng)度系數(shù)Ks，結(jié)果見表4。為便于對比分析，表中還列出了滿應(yīng)力準(zhǔn)則法建立的設(shè)計方案，確定各構(gòu)件的截面積Ac。對于滿應(yīng)力準(zhǔn)則法而言，當(dāng)考慮壓桿穩(wěn)定性影響時，需要根據(jù)式(2b)中的穩(wěn)定系數(shù)φ折減容許應(yīng)力[σ]，即用φ[σ]代替[σ]作為容許應(yīng)力[28]。進(jìn)一步地，利用EMRM迭代首步和末步的單元承載比求得初始設(shè)計方案和滿應(yīng)力法優(yōu)化設(shè)計方案的構(gòu)件強(qiáng)度系數(shù)、及體系強(qiáng)度系數(shù)Ks，結(jié)果見表4。從表4可以看出，結(jié)構(gòu)初始設(shè)計方案滿足≥[K0]和Ks≥[Ks]，表明該方案滿足結(jié)構(gòu)兩層面強(qiáng)度需求。但是，該方案中大多數(shù)構(gòu)件的均遠(yuǎn)大于目標(biāo)值[Ks]，說明初始設(shè)計方案的體系強(qiáng)度富裕量較大，有必要優(yōu)化。同時可見，表4中滿應(yīng)力法優(yōu)化設(shè)計方案各構(gòu)件的截面積Ac明顯減少，大幅降低了桁架的耗材量。但是，該優(yōu)化設(shè)計方案中Ks＜[Ks]，表明其不滿足桁架體系層面強(qiáng)度需求。

進(jìn)一步地從表4可見，原均勻承載法和本文改進(jìn)方法的優(yōu)化設(shè)計方案均滿足和表明這兩個優(yōu)化設(shè)計方案均能滿足桁架兩層面的強(qiáng)度需求，從而克服了初始方案和滿應(yīng)力法優(yōu)化方案不能滿足體系層面強(qiáng)度需求的缺陷。同時由表4可知，原均勻承載法設(shè)計方案耗材量為15.12 m3，相對初始設(shè)計方案耗材量減少38.36%；而本文改進(jìn)方法設(shè)計方案的耗材量僅為7.54 m3，相比原均勻承載法設(shè)計方案進(jìn)一步降低耗材50.13%，而且計算耗時間也明顯減少，證明本文改進(jìn)方法相比原均勻承載法在優(yōu)化效果和效率方面的優(yōu)越性。

由上述分析結(jié)果可以看出，滿應(yīng)力法優(yōu)化方案不能保證桁架在體系層面的強(qiáng)度需求，因此不滿足結(jié)構(gòu)安全性要求，其原因在于該優(yōu)化方法沒有考慮結(jié)構(gòu)加載過程中應(yīng)力再分布的影響；原均勻承載法盡管能夠保證桁架兩層面強(qiáng)度需求，克服滿應(yīng)力法的缺陷，但是由于該方法采用EMRM迭代末步的基準(zhǔn)承載比作為低承載構(gòu)件截面強(qiáng)度的調(diào)整目標(biāo)，導(dǎo)致低承載構(gòu)件強(qiáng)度富余量大，部分高承載構(gòu)件強(qiáng)度有富余，但得不到調(diào)整，從而造成其優(yōu)化設(shè)計方案仍具有較大的強(qiáng)度富裕量；本文建立的改進(jìn)均勻承載法采用[Ks]作為構(gòu)件截面強(qiáng)度的調(diào)整目標(biāo)，不僅能夠滿足桁架結(jié)構(gòu)在構(gòu)件和體系兩個層面的強(qiáng)度需求，而且各構(gòu)件的基本接近體系強(qiáng)度系數(shù)的目標(biāo)值1.40，能夠充分發(fā)揮各構(gòu)件的材料強(qiáng)度，從而得到更經(jīng)濟(jì)的優(yōu)化設(shè)計方案。

表4 考慮穩(wěn)定性的不同優(yōu)化方案對比Table 4 Comparison different optimal design based on stability

3.2.2 優(yōu)化設(shè)計方案的校核

進(jìn)一步地，利用EPIA檢驗滿應(yīng)力法、原均勻承載準(zhǔn)則法以及本文改進(jìn)方法的優(yōu)化設(shè)計方案能否滿足桁架結(jié)構(gòu)的體系強(qiáng)度需求。首先利用EPIA求得上述三種優(yōu)化設(shè)計方案的極限承載力，然后利用代替式(14)中的PLim求得上述三種方案的體系強(qiáng)度系數(shù)Ks，結(jié)果見表5。從表5可以看出：滿應(yīng)力法優(yōu)化設(shè)計方案的體系強(qiáng)度系數(shù)小于目標(biāo)值1.40，無法滿足桁架結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度要求；原均勻承載準(zhǔn)則法優(yōu)化設(shè)計方案的體系強(qiáng)度系數(shù)遠(yuǎn)大于目標(biāo)值1.40，表明此時設(shè)計方案富裕量過大；相比之下本文改進(jìn)方法優(yōu)化設(shè)計方案的體系強(qiáng)度系數(shù)與其目標(biāo)值大體相等，不僅滿足了桁架結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度的需求，而且基本沒有浪費(fèi)材料，具有較好的經(jīng)濟(jì)性，再次驗證了本文改進(jìn)方法的合理性。

表5 塑性極限荷載及體系安全系數(shù)Table 5 Plastic ultimate load and system safety factor

3.3 算例3：空間桁架結(jié)構(gòu)

圖5所示承受分布荷載P的空間桁架，荷載均勻作用于桁架上弦的6個節(jié)點上，且P=1500 kN。構(gòu)件材料為Q235，容許應(yīng)力為215 MPa，彈性模量為200 GPa。為便于清楚表示各構(gòu)件及節(jié)點編號，將該結(jié)構(gòu)展開為如圖6所示。

圖5 空間桁架Fig.5 Space truss

圖6 構(gòu)件編號Fig.6 The serial number of components

構(gòu)件均采用圓管型截面，初始設(shè)計方案已經(jīng)考慮穩(wěn)定性影響，上弦桿和交叉系桿(編號為1～8、13～32和51～54)的截面外徑為10 cm，下弦桿和豎桿(編號為9～12和33～50)的截面外徑為20 cm，各桿內(nèi)外徑之比均為0.9。該方案中各桿的截面積Ac見表6。這里分別取構(gòu)件和體系強(qiáng)度系數(shù)目標(biāo)值[K0]=1.0、[Ks]=1.4。同時構(gòu)件橫截面積最小限值為12 cm2。

3.3.1 優(yōu)化設(shè)計方案及其對比

首先利用式(2b)計算單元承載比，在此基礎(chǔ)上通過原均勻承載法和本文改進(jìn)方法建立該空間桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計方案，確定各構(gòu)件的Ac、、及桁架的Ks，結(jié)果見表6。表6還列出了滿應(yīng)力準(zhǔn)則法建立的該桁架優(yōu)化設(shè)計方案的Ac，并利用EMRM迭代首步和末步的單元承載比求得初始設(shè)計方案和滿應(yīng)力法優(yōu)化設(shè)計方案中各構(gòu)件的、及桁架的Ks。從表6可以看出，該空間桁架結(jié)構(gòu)初始設(shè)計方案滿足表明該方案滿足桁架兩層面強(qiáng)度需求。但是，初始設(shè)計方案中大多數(shù)構(gòu)件的遠(yuǎn)大于其目標(biāo)值[Ks]，說明該方案的強(qiáng)度富裕量較大，需要進(jìn)行優(yōu)化。進(jìn)一步地，由表6滿應(yīng)力法優(yōu)化設(shè)計方案中各構(gòu)件的截面積Ac可以看出，該優(yōu)化方案能夠大大減少桁架的耗材量，滿應(yīng)力法不能滿足體系層面強(qiáng)度需求的缺陷。同時由表6可知，原均勻承載法設(shè)計方案耗材量為1.96 m3，相對初始設(shè)計方案耗材量減少25.76%；而本文改進(jìn)方法設(shè)計方案的耗材量僅為1.31 m3，相比原均勻承載法設(shè)計方案進(jìn)一步降低耗材33.16%，計算時間也有所減少，再次證明了本文改進(jìn)方法在空間桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計效果和計算效率方面具有顯著優(yōu)越性。

表6 考慮穩(wěn)定性的不同優(yōu)化設(shè)計方案法對比Table 6 Comparison different optimal design based on stability

3.3.2 優(yōu)化設(shè)計方案的校核

這里利用EPIA檢驗滿應(yīng)力法、原均勻承載準(zhǔn)則法以及本文改進(jìn)方法的優(yōu)化設(shè)計方案的合理性。首先利用EPIA計算各優(yōu)化設(shè)計方案的極限承載力，然后利用代替式(14)中的PLim可得上述三種優(yōu)化方案的體系強(qiáng)度系數(shù)Ks，結(jié)果見表7。從表7結(jié)果可以看出：滿應(yīng)力法優(yōu)化設(shè)計方案的體系強(qiáng)度系數(shù)小于目標(biāo)值1.40，無法滿足桁架結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度要求；原均勻承載準(zhǔn)則法優(yōu)化設(shè)計方案的體系強(qiáng)度系數(shù)明顯大于目標(biāo)值1.40，表明該設(shè)計方案富裕量過大；相比之下本文改進(jìn)方法優(yōu)化設(shè)計方案的體系強(qiáng)度系數(shù)恰好等于目標(biāo)值，從而不僅滿足了桁架結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度的需求，還充分發(fā)揮了材料強(qiáng)度，具有較好的經(jīng)濟(jì)性，再次驗證了本文改進(jìn)方法在空間桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中的合理性。

需要說明的是，本文限于篇幅尚未討論工程應(yīng)用的細(xì)節(jié)問題。但從圖1的計算流程圖可以看出，對于不同的工程對象，正確建立單元承載比和構(gòu)件承載比的表達(dá)式是利用EMRM開展結(jié)構(gòu)兩層面強(qiáng)度分析和優(yōu)化設(shè)計的關(guān)鍵。

表7 塑性極限荷載及體系安全系數(shù)Table 7 Plastic ultimate load and system safety factor

4 結(jié)論

為克服現(xiàn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法的缺陷，提出了考慮壓桿穩(wěn)定性影響的改進(jìn)均勻承載準(zhǔn)則法。通過與現(xiàn)行多種優(yōu)化設(shè)計方法對比分析得到如下結(jié)論：

(1) 本文建立的均勻承載準(zhǔn)則以體系強(qiáng)度系數(shù)為目標(biāo)調(diào)整各構(gòu)件強(qiáng)度，克服了原均勻承載準(zhǔn)則法利用基準(zhǔn)承載比建立構(gòu)件強(qiáng)度調(diào)整公式導(dǎo)致的缺陷，優(yōu)化效果更佳，且提高了計算效率。

(2) 不考慮穩(wěn)定性將高估桁架的承載力，導(dǎo)致設(shè)計方案安全性不足。本文改進(jìn)方法通過在單元承載比表達(dá)式中引入穩(wěn)定系數(shù)合理考慮壓桿穩(wěn)定性對桁架結(jié)構(gòu)兩層面強(qiáng)度的影響，并利用彈塑性方法驗證了本文優(yōu)化設(shè)計方案的合理性。

(3) 傳統(tǒng)的滿應(yīng)力準(zhǔn)則法和數(shù)學(xué)規(guī)劃法難以保證桁架結(jié)構(gòu)在體系層面的強(qiáng)度需求。原均勻承載準(zhǔn)則法的優(yōu)化設(shè)計方案具有較大的強(qiáng)度富裕量。本文建立的改進(jìn)方法不僅滿足桁架結(jié)構(gòu)在構(gòu)件和體系兩個層面的強(qiáng)度需求，而且大大降低耗材，達(dá)到優(yōu)化經(jīng)濟(jì)性能的效果。