橡膠隔振器高頻動態(tài)特性的計算方法

唐安特，上官文斌，潘孝勇，劉文帥，何 青，AHMED Waizuddin

(1.華南理工大學汽車工程學院，廣州 510641；2.寧波拓普集團股份有限公司，寧波 315800)

橡膠材料作為一種工程減振材料，廣泛應用于汽車減振系統(tǒng)(如汽車懸置、襯套等)。相比于傳統(tǒng)的燃油汽車，電動汽車具有高頻激勵的特點，因此，橡膠隔振器的高頻動態(tài)特性逐漸成為人們研究的重點。目前，對于橡膠隔振器，其靜態(tài)性能計算方法已較為成熟[1-3]，而對橡膠隔振器動態(tài)特性計算方法的研究則相對較少。

橡膠隔振器的動態(tài)特性與預載、激振振幅和激振頻率等相關[4-5]。為了描述橡膠的動態(tài)特性，前人提出了很多不同的模型，如Maxwell模型、Kelvin-Voigt模型、BERG模型、DZIERZEK模型、修正的邊界曲面模型[6-9]等，或者以它們的不同組合而得到的模型來表征橡膠隔振器的動態(tài)特性[6-9]，但是少有研究提出可行的辦法將材料的力學行為特性模型轉化為有限元軟件中的材料本構模型。另外，新發(fā)展的分數導數模型能以較少的參數數量有效反映橡膠襯套動態(tài)特性的頻率影響[10-15]，吳杰、上官文斌[16]將粘彈性分數導數模型用于橡膠隔振器動態(tài)特性的建模及應用上，取得了一定的成果。但分數導數模型當前時刻計算結果依賴于前面所有結果，不利于模型的實時仿真。因此，有必要研究橡膠的材料特性，求出其本構參數，并將其轉換為有限元軟件中的材料參數。

本文將基于橡膠材料實驗，揭示橡膠材料的本構關系。采用由Mooney-Rivlin和多個Maxwell模型疊加組成的非線性粘彈性模型，使用多種實驗方法對模型的本構參數進行擬合，并將其轉換為有限元軟件中的材料參數，使用跨點動剛度有限元模型，對某款橡膠懸置的動態(tài)特性進行有限元分析。此外，文中還建立了橡膠隔振器等效力學模型，分析了原點動剛度和跨點動剛度的區(qū)別；同時，文中搭建了橡膠隔振器有限元模型，分別分析其跨點動剛度和原點動剛度，并與實驗結果進行對比。最后，文中還簡單對比了三種擬合粘彈性參數方法的優(yōu)缺點。

1 橡膠隔振器靜動態(tài)特性

1.1 原點動特性與跨點動特性

對于橡膠隔振器，常使用動剛度和滯后角來描述其動特性；根據測試時力傳感器布置位置不同，將其測得的動特性分為原點動特性和跨點動特性。若力傳感器布置在輸入端，即力取值點與位移輸入點為同一點，則計算所得結果為原點動特性，通常所說的動剛度和滯后角為原點動剛度和原點滯后角；若力傳感器安裝在輸出端，則此時測得的動剛度和滯后角為跨點動剛度與跨點滯后角。原點動特性與跨點動特性是從不同的角度描述橡膠隔振器的動態(tài)特性，它們之間的關系取決于橡膠隔振器的慣性質量和試驗激振頻率，即橡膠隔振器所產生的慣性力。

橡膠隔振器的等效力學模型如圖1所示，當試驗激振頻率較低時，由于橡膠隔振器的質量較小，此時慣性力較小，因此，此時原點動特性與跨點動特性的區(qū)別可忽略不計。但是，在高頻振動激勵下，慣性力的影響不能忽略不計，此時原點動特性與跨點動特性差別較大，不能再將二者等同。

圖1 橡膠隔振器等效力學模型Fig.1 Equivalent mechanical model of rubber isolator

1.1.1 動特性測試中慣性力影響分析

在原點動特性測試中，其力傳感器布置在輸入端，力傳感器隨激勵端的運動而運動，同時輸入端連接件、測試件工裝等也隨激勵端的運動而運動，因此，輸入力中既包含激勵端的作動力F，又包含傳感器、連接件、測試件工裝等附加質量產生的附加慣性力Fm。因附加慣性力Fm并不引起彈性隔振元件的彈性變形，所以必須在輸入力Fi中扣除附加慣性力Fm才能獲得作動力F。

圖2是原點動特性試驗中輸入力Fi、作動力F和附加慣性力Fm的矢量關系圖，其中X=Asin(ωt)為位移輸入。其中，作動力幅值可表示為：

式中：α為輸入力與輸入位移間的夾角；θ為作動力與輸入位移的夾角，即原點滯后角。

圖2 輸入力、作動力與附加慣性力的矢量關系圖Fig.2 Vector diagram of input force, motive force and additional inertia force

附加慣性力Fm可由附加慣性質量和振動加速度求得。附加慣性質量包括傳感器、連接件、測試件工裝等的質量。由于原點動特性可通過作動力計算得到，因此，需要根據式(1)對輸入力進行修正，扣除附加慣性力Fm成分，得到作動力，但由于附加慣性力與附加慣性質量和測試頻率有關，且對于不同的測試件，其工裝不同，即附加慣性質量也會不同，此時，附加慣性力的扣除將非常復雜繁瑣。因此，對于橡膠隔振器的高頻動特性試驗，建議使用跨點動剛度測試法，將力傳感器布置在輸出端，可消除慣性力對測試結果的影響。

1.2 橡膠隔振器有限元模型

如圖3所示的橡膠懸置有限元模型，其橡膠外管剛性連接至結點1，約束此結點作為邊界條件；橡膠內管關聯至中間結點2，以該結點作為加載點；在加載點施加沿z方向的簡諧位移激勵，若采集加載點(結點2)處反力來計算動剛度，則可得到原點動剛度；若取橡膠外管連接點(結點1)處反力來計算動剛度，則可得到跨點動剛度。圖4為動剛度模型等效力學示意圖。

圖3 橡膠懸置有限元模型Fig.3 Finite element model of rubber mount

圖4 橡膠懸置動剛度模型等效示意圖Fig.4 Equivalent schematic diagram of dynamic stiffness model of rubber mount

對于簡單簡諧動態(tài)實驗，施加一小振幅簡諧位移激勵，則加載位移、加速度可表示如下：

式中：A為激勵振幅；ω為激勵頻率；對圖4中的等效質量m進行受力分析有：

在低頻階段，隨頻率ω逐漸增大，慣性力快速增大；但在低頻階段，隨頻率ω逐漸增大，橡膠懸置的剛度變化不大；因此，由式(5)、式(6)可知，隨頻率ω逐漸增大，減小，增大，即如圖5所示，原點動剛度隨頻率(0 Hz~200 Hz)的增大而減小，相反，跨點動剛度隨頻率(0 Hz~200 Hz)的增大而增大。

圖5 原點動剛度與跨點動剛度仿真結果對比Fig.5 Comparison of analysis results between origin and cross-point dynamic stiffnesses

1.3 橡膠隔振器靜動態(tài)實驗結果分析

對圖3所示的橡膠懸置進行靜動態(tài)特性測試，其靜動態(tài)實驗在MTS 831液壓伺服振動試驗臺上進行，實驗采用固定襯套外圈、激勵內圈的方式。圖6為±8000 N靜態(tài)加載-卸載過程得到的力-位移曲線，圖7為不同振幅激勵下，橡膠懸置動剛度隨頻率的變化關系。由圖6可知，靜態(tài)加載時，橡膠材料的應力和應變不再是線性對應關系；由圖7可知，當激勵振幅較小時，橡膠懸置的動剛度幾乎不隨振幅的變化而變化；振幅一定時，橡膠懸置的動剛度隨頻率的變化而變化。

圖6 ±8000 N靜態(tài)加載-卸載過程力-位移曲線Fig.6 Force-displacement curve during ±8000 N static loading and unloading

圖7 不同激勵振幅下動剛度隨頻率的變化關系Fig.7 Dynamic stiffness under different excitation amplitudes

綜上所述，在激勵振幅較小時，激勵頻率是影響橡膠懸置動態(tài)特性的決定性因素，即橡膠懸置的動態(tài)特性表現出頻率相關性；而激勵振幅對橡膠懸置動態(tài)特性的影響可以忽略。同時，橡膠的靜態(tài)加載具有強的非線性。

2 橡膠材料的疊加非線性本構模型及本構參數識別

為了更準確地描述橡膠懸置的靜動態(tài)特性，根據橡膠懸置在試驗中表現出的非線性和頻率相關性，本文采用多個Maxwell模型來描述其頻率相關性，即粘彈性；每個Maxwell模型由彈性單元()與粘性單元(tr_i)串聯組成。由于橡膠表現出了很強的非線性，因此，Mooney-Rivlin模型被用于模擬橡膠的彈性變形部分，其中C10、C01均為材料模型參數；Mooney-Rivlin模型和多個Maxwell模型疊加組成了如圖8所示的非線性粘彈性本構模型。

圖8 MooneyRivlin-Maxwell疊加非線性粘彈性模型Fig.8 MooneyRivlin-Maxwell nonlinear viscoelastic model

2.1 Mooney-Rivlin單元

對于Mooney-Rivlin模型，其應變勢能可表示為：

式中：D1為材料模型參數；Jel為彈性體積比，假設橡膠為體積不可壓縮材料；分別為第1階、第2階應變不變量，其表達式為：

材料參數C10、C01可由單軸拉伸、等雙軸拉伸和平面拉伸試驗擬合得到，具體試驗擬合方法見文獻[17-18]；本文擬合得到的Mooney-Rivlin本構參數如表1所示。

表1 擬合得到的Mooney-Rivlin本構參數Table 1 Mooney-Rivlin constitutive parameters obtained by fitting

2.2 Maxwell粘彈性單元

在t時刻，粘彈性單元的總應力為：

式中：γ(s)為剪切應變；GR(t)為剪切模量；τve(t)為粘彈性應力，歸一化剪切松弛函數gR(t)可表示為：

2.2.1 在時域范圍進行粘彈性參數識別：通過橡膠松弛實驗識別

橡膠試片松弛試驗的試驗工裝和試驗裝置如圖9所示。其中，橡膠試片長a=20 mm、寬b=20 mm、厚度δ=5 mm，試驗裝置為英斯特朗材料試驗機，試驗時，對試樣施加γ= 0.2的剪切變形，保持形變γ不變，記錄下工裝處反力F(t)隨時間的變化關系，實驗結果如圖10所示。

圖9 松弛/蠕變試驗裝置及工裝Fig.9 Relaxation/creep experimental device and test tooling

圖10 松弛試驗結果Fig.10 Relaxation test results

在t時刻，粘彈性單元的總應力τve(t)為：

式中：γ(s)為松弛應變；GR(t)為松弛剪切模量。

其中，歸一化剪切松弛函數gR(t)可表示為：

式中，GR(0)為瞬時剪切模量，其中：

式中：F(t)為松弛實驗測得的力隨時間的變化關系；2A為橡膠試片總剪切面積。則歸一化剪切松弛函數gR(t)可表示為：

因此，可得到歸一化剪切松弛函數gR(t)隨時間的變化關系如圖11所示；另外，歸一化剪切松弛函數gR(t)可表示為：

對式(19)進行擬合可得到粘彈性本構參數(參數1)，擬合得到的本構參數具體數值如表2所示。

圖11 歸一化剪切松弛函數隨時間變化的關系Fig.11 Relation of normalized shear relaxation function with time

表2 松弛實驗擬合得到的粘彈性本構參數(參數1)Table 2 Viscoelastic constitutive parameters obtained by relaxation experiment fitting (parameter 1)

tr_i、分別為各個Maxwell粘彈性單元對應的松弛時間和彈性模量比例系數，則各個Maxwell單元對應的彈性模量可表示為：

2.2.2 在時域范圍進行粘彈性參數識別：通過橡膠蠕變實驗識別

橡膠試片蠕變試驗的試驗工裝和試驗裝置如圖9所示，試驗方法為對試樣施加F=65 N的剪切力，保持剪切力不變，測試樣的剪切形變γ(t)隨時間t的變化關系，實驗結果如圖12所示。

圖12 蠕變試驗結果Fig.12 Creep test results

其中，在t時刻，剪切柔度Js(t)為：

式中：τ0為蠕變實驗所加的剪切應力常量；γ(t)為剪切形變隨時間的關系。則歸一化剪切柔度js(t)可表示為：

因此，可得到歸一化剪切柔度js(t)隨時間變化的關系，如圖13所示。

圖13 歸一化剪切柔度隨時間變化的關系Fig.13 Relation of normalized shear compliance with time

通過卷積積分，將蠕變數據轉換為松弛數據：

根據式(19)、式(22)、式(23)，可擬合得到粘彈性本構參數(參數2)，具體數值如表3所示。

表3 蠕變實驗擬合得到的Maxwell單元本構參數(參數2)Table 3 Constitutive parameters of Maxwell elements obtained by creep experiment fitting (parameter 2)

2.2.3 在頻域范圍進行粘彈性參數識別：通過橡膠試片動剛度和滯后角識別

在進行簡單剪切動態(tài)實驗時，對試件施加一小振幅簡諧位移激勵：

式中：x為激振振幅；ω為激勵頻率，則剪切應力為：

式中：Gs(ω)、Gl(ω)分別為儲存剪切模量和損失剪切模量。通過動態(tài)剪切試驗(試驗裝置和試驗工裝如圖14所示)可得到不同頻率下的動剛度Kd和滯后角φ，則存儲剛度Ks和損失剛度Kl為：

存儲力(Fs(ω))和損失力(Fl(ω))可由式(27)計算得到：

式中，x為激振振幅。則存儲剪切應力τs(ω)和損失剪切應力τl(ω)為：

式中，4A為橡膠試片總剪切面積，剪切應變可由式(29)計算得到：

式中，δ為橡膠試片厚度，存儲剪切模量Gs(ω)和損失剪切模量Gl(ω)為：

圖14 動態(tài)實驗裝置及工裝Fig.14 Dynamic experimental device and tooling

可以使用參數ωRe(g*)和ωIm(g*)來表示材料的粘彈性，其中，參數ωRe(g*)和ωIm(g*)分別為歸一化剪切松弛函數在頻域的實部和虛部，可分別表示為：

式中，G∞為準靜態(tài)剪切模量，可以直接用粘彈性參數ωRe(g*)和ωIm(g*)來表示材料的粘彈性(參數3)，參數ωRe(g*)和ωIm(g*)隨頻率的變化關系如圖15和圖16所示。

圖16 ωIm(g*)隨頻率的變化關系(參數3)Fig.16 Relation between ωIm(g*) and frequency(parameter 3)

2.2.4 時域、頻域粘彈性參數相互轉換關系

頻域的剪切存儲模量(Gs(ω))和剪切損失模量(Gl(ω))可以寫成如下形式：

式中：GR(0)為瞬時模量；Gs(ω)為存儲模量；Gl(ω)為損失模量；ω為角頻率；tr_i、分別為各個Maxwell粘彈性單元對應的松弛時間和彈性模量比例系數。由式(34)~式(37)可實現頻域和時域參數的相互轉換。

3 計算結果與分析

3.1 計算結果

分別使用由松弛實驗(參數1)、蠕變實驗(參數 2)和簡諧動態(tài)實驗(參數3)獲得的粘彈性參數，使用跨點動剛度有限元模型，對某款橡膠懸置進行動剛度分析，具體的橡膠懸置動剛度CAE分析結果與實驗結果如圖17所示。

圖17 不同粘彈性參數進行CAE分析結果與測試結果對比Fig.17 Comparison of CAE analysis results and test results with different viscoelastic parameters

由圖17可知，使用由松弛實驗(參數1)、蠕變實驗(參數2)和簡諧動態(tài)實驗(參數3)獲得的粘彈性參數對橡膠懸置進行有限元動剛度仿真得到的結果與試驗值均較吻合，經計算可知相對誤差均小于10%，滿足工程應用要求。

綜上所述，采用文中提出的由Mooney-Rivlin模型和多個Maxwell模型疊加組成的非線性粘彈性模型可以較好地表征橡膠材料的高頻動態(tài)特性，同時驗證了文中三種擬合Maxwell粘彈性參數方法的有效性。

3.2 三種粘彈性參數識別方法比較

通過蠕變實驗擬合粘彈性參數時，需將蠕變數據轉換為松弛數據(式(23))，二者的轉化精度取決于橡膠材料中Boltzmann疊加原理的有效性；因此，對于粘彈性參數擬合方法，松弛實驗擬合的粘彈性參數較蠕變實驗的更精確。使用簡諧動態(tài)實驗進行粘彈性參數擬合時，由于需要在高頻條件下測試，因此，對實驗工裝和橡膠試驗試片的要求較高，其要求在參數擬合的頻率范圍內不能發(fā)生共振，否則會引入結構形狀因素，導致識別結果不準確；對于頻變特性比較明顯的粘彈性材料，使用頻域(簡諧動態(tài)實驗)方法進行粘彈性參數擬合較松弛實驗和蠕變實驗的更精確，因為，對于頻變特性比較明顯的橡膠，需要使用不同的prony級數組來描述不同頻率段的粘彈性特性，即時域(松弛、蠕變)識別方法需要分段進行，因此，該情況下使用簡諧動態(tài)實驗進行粘彈性參數擬合更方便精確。

4 結論

(1) 文中首先搭建了橡膠隔振器的等效力學模型和有限元模型，分析了原點動剛度和跨點動剛度的區(qū)別，分析結果表明，對于橡膠隔振器，分析高頻動態(tài)特性時，應使用跨點動特性模型。對于橡膠隔振器，由于其質量較小，所以當試驗激振頻率較低時，其產生的慣性力較小，此時原點動特性與跨點動特性的區(qū)別可忽略不計。但是，在分析其高頻動態(tài)特性時，由于振動加速度較大，其慣性力的影響不能忽略，此時原點動特性與跨點動特性存在著較大的差別，不能再將二者等同；該結論為實際工程應用提供了參考。

(2) 測橡膠隔振器的高頻動態(tài)特性時，為了消除附加慣性力對測試結果的影響，應使用跨點動態(tài)特性測試法。在原點動特性測試中，其力傳感器布置在輸入端；測試時，力傳感器隨作動頭的運動而運動，同時輸入端連接件、測試件工裝等也隨作動頭的運動而運動，此時，輸入力中既包含作動頭的作動力，又包含傳感器、連接件、測試件工裝等附加質量產生的附加慣性力；因此，計算原點動特性時，需要對輸入力進行修正，扣除附加慣性力成分，得到作動力，但由于附加慣性力與附加質量和測試頻率有關，且對于不同的測試件，其工裝不同，即附加慣性質量也會不同，此時附加慣性力的計算將非常復雜繁瑣。因此對于橡膠隔振器的高頻動特性試驗，建議使用跨點動剛度測試法，將力傳感器布置在輸出端，消除附加慣性力對測試結果的影響。

(3) 文中采用一種由Mooney-Rivlin模型和多個Maxwell模型疊加組成的非線性粘彈性本構模型來描述橡膠的動態(tài)特性，分析結果驗證了該模型的有效性。同時，文中給出了在時域范圍(松弛實驗、蠕變實驗)和頻域范圍(簡諧動態(tài)實驗)擬合Maxwell粘彈性參數的方法，并分別使用由這三種方法擬合得到的粘彈性參數對某款橡膠懸置進行動剛度有限元分析，驗證了三種粘彈性參數擬合方法的有效性。這些參數擬合方法為實際工程應用提供了參考，在實際工程中，可根據實際實驗條件，選擇一種參數擬合方法進行粘彈性參數識別。

(4) 文中簡單對比了三種擬合粘彈性參數方法的優(yōu)缺點，對于粘彈性的頻變特性比較明顯的材料，使用簡諧動態(tài)實驗進行粘彈性參數擬合較松弛實驗和蠕變實驗的更精確；由于橡膠材料中Boltzmann疊加原理的有效性的限制，松弛實驗擬合的粘彈性較蠕變實驗的更精確。使用簡諧動態(tài)實驗進行粘彈性參數擬合時，由于需要在高頻條件下測試，因此，對實驗工裝和橡膠試驗試片的要求較高，其要求在參數擬合的頻率范圍內不能發(fā)生共振，否則會引入結構形狀因素，導致識別結果不準確。

(5) 文中設計的本構模型參數擬合實驗均是基于簡單的橡膠試片，即以簡單的橡膠試片為材料級別研究對象，設計時域(松弛、蠕變)和頻域(動剛度)三種參數識別實驗，分別擬合得到橡膠材料的本構模型參數，并將擬合得到的本構模型參數用于具體橡膠隔振件的動剛度仿真中；仿真結果驗證了以橡膠試片為材料級別研究對象的三種擬合粘彈性參數方法的有效性；即從橡膠試片擬合得到的本構模型參數可用于復雜零件級別的性能預測。因此，在工程實踐中，可用試驗成本較低、更容易獲取的橡膠試片來進行材料級別試驗，得到橡膠材料的本構模型參數，然后將其用于復雜零件的性能預測。