基于“三位一體”模式實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)探索

[摘 要]基于教學(xué)－科研－思政三位一體的教育理念，高等院校針對(duì)實(shí)變函數(shù)教學(xué)課程進(jìn)行了一系列的改革措施。文章以學(xué)生的思維發(fā)展為中心，采用比較式教學(xué)法、案例式教學(xué)法，利用思維導(dǎo)圖、專題教案、思政案例集、慕課網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)等工具幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)認(rèn)知能力、掌握科學(xué)思維能力，增強(qiáng)勇攀科學(xué)高峰的理想信念。

[關(guān)鍵詞]高效輸入；高效輸出；案例式教學(xué)；思政元素

黨的十八大以來，以習(xí)近平同志為核心的黨中央堅(jiān)持實(shí)施創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展戰(zhàn)略，要求以改革創(chuàng)新精神推動(dòng)高等教育發(fā)展，培養(yǎng)更多服務(wù)國家奉獻(xiàn)社會(huì)的優(yōu)秀人才?；A(chǔ)研究特別是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)重大科學(xué)技術(shù)必不可少的工具。因而如何將教學(xué)、科研與思政有機(jī)融合在課堂上，是新時(shí)代下每一位基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)老師必須思考的問題。

實(shí)變函數(shù)課程內(nèi)容抽象、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、理論性強(qiáng)、證明方法具有巧妙的構(gòu)造性，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和科研能力的理想課程。學(xué)生有了良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和科研能力，一方面可以為研究生階段課程的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，為人工智能、量子物理等交叉學(xué)科的應(yīng)用提供保障[1]；另一方面，也是貫徹習(xí)近平總書記提出的高校應(yīng)培養(yǎng)應(yīng)用型和創(chuàng)新復(fù)合型人才的指示所必不可少的條件。

高校不僅要培養(yǎng)創(chuàng)新拔尖人才，也要引領(lǐng)學(xué)生思考有意義的人生、有價(jià)值的事業(yè)，這也是一項(xiàng)重中之重的工作。而課堂教學(xué)是鑄魂育人的主渠道，是落實(shí)立德樹人的主戰(zhàn)場(chǎng)。因而在實(shí)變函數(shù)教學(xué)中，教師要深入挖掘思政元素，讓思政切實(shí)落地生根，著力培養(yǎng)能擔(dān)當(dāng)民族復(fù)興大任的時(shí)代新人。綜上所述，本論文主要探索如何在實(shí)變函數(shù)課程中做到教學(xué)－科研－思政三位一體，立足知行合一，建立知識(shí)育人、思政育人、科研育人體系。

一、實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)現(xiàn)狀

在高等院校理科、工科、管科等專業(yè)教學(xué)中，實(shí)變函數(shù)是一門非常重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，作為一種在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中使用的工具，其對(duì)提高高校學(xué)生的邏輯能力、思維能力和空間運(yùn)算能力有很大幫助。在經(jīng)濟(jì)發(fā)展步入新常態(tài)的背景下，實(shí)變函數(shù)在金融、經(jīng)濟(jì)和信息等領(lǐng)域得到了越來越多的應(yīng)用[2]。當(dāng)前，由于受到傳統(tǒng)教育模式的制約，該領(lǐng)域的學(xué)習(xí)側(cè)重于知識(shí)信息的傳授，而忽視了對(duì)該理論背后思想和意義的學(xué)習(xí)。在課時(shí)少、抽象難懂的實(shí)變函數(shù)教學(xué)中，如何能改進(jìn)教學(xué)方法，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生更容易地對(duì)自己所學(xué)到的知識(shí)進(jìn)行吸收，同時(shí)還可以利用它來解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題就顯得十分重要了。

結(jié)合高校實(shí)際教學(xué)情況，每個(gè)數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生都受過實(shí)變函數(shù)的“傷害”，大家經(jīng)常戲稱“實(shí)變函數(shù)學(xué)十遍”才能掌握精髓。以南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)大學(xué)為例結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐，實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)中存在的主要問題為：1.實(shí)變函數(shù)課程抽象性高，理論性強(qiáng)，幾乎都是概念和定理的證明，證明推導(dǎo)中的每一步又需要反復(fù)思考琢磨才能理解，耗時(shí)耗力，不受學(xué)生“待見”；2.實(shí)變函數(shù)的一些理論往往顛覆了學(xué)生認(rèn)為顯然的事情，讓學(xué)生感覺不實(shí)用，如偶數(shù)集全體與正整數(shù)集全體元素個(gè)數(shù)一樣多；3.學(xué)生前期所學(xué)數(shù)學(xué)分析知識(shí)不是特別牢固，辯證思維能力不是很強(qiáng)，前幾課時(shí)所講的內(nèi)點(diǎn)聚點(diǎn)開集閉集知識(shí)點(diǎn)，包含了大量的邏輯證明，很容易讓學(xué)生喪失學(xué)習(xí)的興趣和信心，更別提在課堂上融入思政元素了；4.由于高校課程改革的不斷深入以及通識(shí)教育的逐步開展，實(shí)變函數(shù)課程學(xué)時(shí)縮減，在保證課時(shí)完整性的同時(shí)幾乎難以在課堂中開展思政教育，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，激發(fā)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究的興趣。

二、實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)改革措施

基于教學(xué)－科研－思政三位一體的教育理念，南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)大學(xué)從課程實(shí)際教學(xué)改革設(shè)計(jì)出發(fā)，依據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、教學(xué)反思及學(xué)生的教學(xué)反饋，在教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、例題設(shè)計(jì)、考核方式和教師引導(dǎo)等方面進(jìn)行了改革，形成了一套完整的實(shí)變函數(shù)教學(xué)體系，學(xué)生反饋效果不錯(cuò)。

（一）依據(jù)學(xué)生認(rèn)知能力和教學(xué)目標(biāo)，重構(gòu)知識(shí)體系，編寫專題教案

南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)大學(xué)在大三上學(xué)期開設(shè)實(shí)變函數(shù)課程，此時(shí)大部分學(xué)生的重心放在考研復(fù)習(xí)上，而實(shí)變函數(shù)課程跟考研專業(yè)課數(shù)學(xué)分析的很多知識(shí)框架是相似的。例如，逐點(diǎn)收斂和一致收斂是數(shù)學(xué)分析課程的主要內(nèi)容，但該課程并沒有深刻闡釋兩者之間的關(guān)系，而實(shí)變函數(shù)課程中的葉果羅夫定理就詳細(xì)介紹了如何通過微創(chuàng)手術(shù)把逐點(diǎn)收斂轉(zhuǎn)化為一致收斂；在講勒貝格積分的性質(zhì)時(shí)，也可以與定積分重積分的性質(zhì)進(jìn)行比較。通過這種學(xué)科之間的比較，一方面可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，另一方面可以讓學(xué)生對(duì)理論知識(shí)有一個(gè)直觀而深刻的認(rèn)識(shí)，加強(qiáng)理解。教師將這類知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行專題匯總，并繪制了思維導(dǎo)圖使這類知識(shí)可視化，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知加工，同時(shí)配備了填空題、選擇題和判斷題，通過這種簡(jiǎn)單的題型，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解[3]。該專題開展的目的是通過“比較”教學(xué)法使學(xué)生逐步培養(yǎng)自主進(jìn)行知識(shí)遷移的能力，同時(shí)產(chǎn)生創(chuàng)造性想法。

除了對(duì)可以進(jìn)行學(xué)科比較的知識(shí)制作了專題，依據(jù)知識(shí)的難易程度和重點(diǎn)程度，對(duì)于較簡(jiǎn)單但繁雜的概念性知識(shí)、證明方法邏輯性較強(qiáng)的知識(shí)、可以恰當(dāng)融入思政元素的知識(shí)等編寫專題教案。對(duì)于不同的專題教案配備了思維導(dǎo)圖、課堂練習(xí)和課下習(xí)題、考研復(fù)試真題、名師課堂視頻等資料，同時(shí)將這些內(nèi)容上傳至學(xué)校的Mooc課網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)，供學(xué)生的不同學(xué)習(xí)需求。

（二）高效輸入，高效輸出

一門課程想要取得好的教學(xué)效果，關(guān)鍵在于授課教師的“高效輸入”。只有教師“會(huì)講課”，能夠攫取學(xué)生的注意力、通過類比的方式幫助學(xué)生思考、利用可視化原則和方法幫助學(xué)生提高認(rèn)知，學(xué)生才能“高效輸出”。因而任課教師應(yīng)不斷學(xué)習(xí)新的教學(xué)方法和手段，探索以學(xué)生思維發(fā)展為中心的教學(xué)方式，盡力提高學(xué)生的認(rèn)知能力和思維能力。

在授課過程中，改進(jìn)知識(shí)講解方法。利用類比/生活化的比喻，幫助學(xué)生理解概念及相關(guān)性質(zhì)。例如，在講解勒貝格積分的定義時(shí)，將積分值比喻為“一塊布的面積”，抽掉這塊布的幾根線，并不影響布的面積，因而有有限個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)是黎曼可積的。如果抽掉無限但可數(shù)條線，這塊布就不是一塊布了，因而有無限多間斷點(diǎn)的函數(shù)是非黎曼可積的。這就局限了可積函數(shù)類。為此，授課中可引入勒貝格積分，使得抽掉無限但可數(shù)條線的布“仍有價(jià)值”，這個(gè)價(jià)值怎么去度量呢，這就是課程中第三章需要引入測(cè)度的原因。這樣講解，不僅讓學(xué)生從幾何直觀感受上理解勒貝格積分的定義，更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)測(cè)度、可測(cè)函數(shù)等知識(shí)的好奇心和強(qiáng)烈興趣。盡可能將部分知識(shí)點(diǎn)以案例的形式講解，讓學(xué)生先建立感知，然后再抽象出理論[4]。再如，講解可數(shù)集的定義及性質(zhì)時(shí)，引入“Hilbert”旅館問題，讓學(xué)生安排顧客的住宿問題，分析出現(xiàn)的問題及困難，討論解決方案，總結(jié)此方案合適的原因。

不同于高中時(shí)代的教學(xué)方式，大學(xué)數(shù)學(xué)教育一定要注重學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，要以學(xué)生為中心，教師做到高效輸入的同時(shí)，務(wù)必保證學(xué)生的高效輸出才是關(guān)鍵。為此，每次課后都要求學(xué)生畫知識(shí)總結(jié)或?qū)Ρ葓D表（要求明確本節(jié)課的目標(biāo)，達(dá)成目標(biāo)所需解決的問題，每個(gè)問題的解決方案）。學(xué)生在畫思維導(dǎo)圖的過程中，會(huì)自己總結(jié)對(duì)知識(shí)點(diǎn)概念的理解程度，思考知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系。通過訓(xùn)練學(xué)生用圖示的方法來輸出知識(shí)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)將隱形思維提取并顯性化，在大腦里形成穩(wěn)固的圖式。有了穩(wěn)定的圖式，學(xué)生就可以將知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來，并實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫通和靈活使用。

教學(xué)改革中，任課教師可以搜集不同高校的考研復(fù)試題目，并將題目進(jìn)行歸類，課堂講解一兩道題，剩下同一類型的題目交給學(xué)生以小組形式匯報(bào)。將認(rèn)知模型與知識(shí)點(diǎn)有機(jī)結(jié)合起來，讓學(xué)生清楚這些知識(shí)點(diǎn)在具體場(chǎng)景是解決什么問題的，這樣才能讓學(xué)生把知識(shí)點(diǎn)學(xué)活，學(xué)以致用。例如，在實(shí)變函數(shù)課程中，設(shè)計(jì)幾個(gè)簡(jiǎn)單的項(xiàng)目（如勒貝格積分在概率問題中的應(yīng)用），讓學(xué)生做項(xiàng)目匯報(bào)[5]。題目講解和項(xiàng)目匯報(bào)是更高級(jí)別的輸出，是實(shí)變函數(shù)知識(shí)應(yīng)用能力、思維領(lǐng)悟能力、PPT制作能力、語言表達(dá)能力、團(tuán)隊(duì)溝通協(xié)助能力、吃苦耐勞精益求精等各種能力的綜合體現(xiàn)。

在教學(xué)過程中，依據(jù)學(xué)生的反饋，任課教師不斷評(píng)價(jià)反思改進(jìn)自己的教學(xué)方法、教學(xué)手段，考核方式等，進(jìn)行“高效輸入、高效輸出”，逐步加強(qiáng)對(duì)學(xué)生科學(xué)思維方法的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生探索未知、追求真理、勇攀高峰的責(zé)任感和使命感。

（三）挖掘數(shù)學(xué)思想，融科研于教學(xué)中

在數(shù)學(xué)專業(yè)課的教學(xué)中，重點(diǎn)不是教學(xué)生更多的方法，而是提煉出為數(shù)不多的思想和技巧，這些思想和技巧又具有很強(qiáng)的通用性覆蓋了數(shù)學(xué)的廣泛領(lǐng)域。在實(shí)變函數(shù)理論中，“里斯定理”“勒貝格控制收斂定理”“對(duì)角線方法”等作為核心技術(shù)貫穿了數(shù)學(xué)物理方程、廣義函數(shù)、高等概率論等課程。學(xué)生掌握了這些關(guān)鍵的想法和技巧，就可以順利進(jìn)入研究生階段。為此，在教學(xué)實(shí)踐中采用“案例式”教學(xué)，挖掘知識(shí)背后的主要思想和方法，然后給出一個(gè)利用該思想與方法解決實(shí)際問題的案例。事實(shí)上，實(shí)變函數(shù)理論中的可測(cè)函數(shù)、勒貝格積分在工程中應(yīng)用廣泛。工程中的很多函數(shù)性質(zhì)較差，如狄拉克函數(shù)、狄利克雷函數(shù)等，因而所求的解只需廣義解即可，而實(shí)變函數(shù)就為其提供了解的框架。在教學(xué)中，將自己所研究的輸運(yùn)方程適當(dāng)引入到勒貝格積分教學(xué)中，讓學(xué)生體驗(yàn)從具體到抽象、再到應(yīng)用科研的過程，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，樹立正確的科學(xué)研究態(tài)度。

（四）有機(jī)融入科學(xué)史，讓思政生根發(fā)芽

如何在實(shí)變函數(shù)課堂上恰當(dāng)?shù)娜谌胨颊?，也是課程組老師一直思考的問題。為此在授課過程中可以從科學(xué)家的故事、科學(xué)的發(fā)展史、科學(xué)家的吃苦耐勞、愛國奉獻(xiàn)精神以及一些定理所揭示的生活啟示出發(fā)，編寫思政案例集。由于講授這門課程的學(xué)期，學(xué)生正處于是否考研，能否考上，選取什么學(xué)校的迷茫糾結(jié)狀態(tài)。因而更容易把數(shù)學(xué)家的故事講得出彩動(dòng)人，例如，歐拉在后天失明的艱難處境下，依然取得了非凡的成就，讓學(xué)生們逐步建立情感共鳴和理念認(rèn)同，堅(jiān)定考研目標(biāo)，深入學(xué)習(xí)基礎(chǔ)學(xué)科的信念[6]。筆者也是通過考研道路不斷提升自己各方面能力，因此在授課過程中結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和自身成長(zhǎng)經(jīng)歷，激勵(lì)學(xué)生在焦慮中慢慢樹立信心，堅(jiān)定前進(jìn)的步伐。同時(shí)，通過實(shí)變函數(shù)中某些知識(shí)點(diǎn)在實(shí)際生活或者物理工程領(lǐng)域的應(yīng)用，比如，“Hilbert旅館問題”，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的探索，鼓勵(lì)學(xué)生追求真理，勇攀科學(xué)高峰。

（五）運(yùn)用慕課，微課等教學(xué)平臺(tái)開展線上線下交互式教學(xué)

伴隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)上也出現(xiàn)了慕課、微課等在線教育方式，老師能夠獲得的教學(xué)資源日益豐富。由教育部主辦的“數(shù)學(xué)微課教學(xué)設(shè)計(jì)大賽”就是一個(gè)寶貴的資源平臺(tái)，匯集了國內(nèi)優(yōu)秀數(shù)學(xué)老師創(chuàng)作的寶貴微課視頻，這些微課視頻是教學(xué)內(nèi)容與信息技術(shù)相融合，進(jìn)行創(chuàng)新性發(fā)展的杰出結(jié)果。在教授實(shí)變函數(shù)時(shí)，老師可以讓學(xué)生按照教材上的知識(shí)點(diǎn)觀看微課，來獲得新的知識(shí)，并做好隨堂筆記，在線提交作業(yè)，然后進(jìn)行課后的測(cè)試，再由老師詳細(xì)地對(duì)所學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)進(jìn)行說明，進(jìn)一步地加深和擴(kuò)展所學(xué)的內(nèi)容。慕課對(duì)傳統(tǒng)的教育方式進(jìn)行了變革，給工科、理科、管科等高校的教育工作提出了新的機(jī)會(huì)和挑戰(zhàn)，不管是實(shí)變函數(shù)，還是高等數(shù)學(xué)，都具有很強(qiáng)的邏輯性和很強(qiáng)的前后關(guān)聯(lián)性，唯有將線上和線下教育有機(jī)地結(jié)合起來，開展交互的教育方式，方可獲得良好的教育效果。利用慕課、微課開展教育，讓學(xué)生不再只是在課堂上被動(dòng)地聆聽老師的講解，獲得新知識(shí)，讓他們可以主動(dòng)地接受新知識(shí)，而且還可以積極地參加到數(shù)學(xué)教學(xué)的研究中，這對(duì)提升他們的自主學(xué)習(xí)能力起了很大的作用，同時(shí)，教師還可以以他們的學(xué)習(xí)狀況為依據(jù)，在線上和線下對(duì)他們進(jìn)行解答，幫助他們解答問題。

結(jié)束語

三位一體教學(xué)模式的建立是一個(gè)龐大而艱巨的任務(wù)，在新工科理念下，本文對(duì)突變函數(shù)教學(xué)改革進(jìn)行了一些初步的探討，但是該課程仍然存在著許多亟待解決的問題，這些問題都會(huì)對(duì)教學(xué)質(zhì)量產(chǎn)生很大的影響。在三位一體教學(xué)模式大環(huán)境下，開展實(shí)變函數(shù)課程改革，還有待于廣大教育工作者結(jié)合實(shí)際進(jìn)行可持續(xù)的推進(jìn)與實(shí)施。

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作者簡(jiǎn)介：高崚嶒（1973— ），男，漢族，安徽望江人，南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)大學(xué)公共基礎(chǔ)課部，副教授，碩士。

研究方向：數(shù)學(xué)的教學(xué)與研究、項(xiàng)目管理。