透析平面運(yùn)動剛體動能的計(jì)算

劉延彬

（安徽理工大學(xué) 力學(xué)與光電物理學(xué)院，安徽 淮南 232001）

概念是課程的基礎(chǔ)，科學(xué)問題的分析及解決思想是課程的核心，為了提高平面運(yùn)動剛體動能計(jì)算的教學(xué)效果，加深學(xué)生對平面運(yùn)動剛體動能的理解，本文采用矢量分析的方法，給出剛體平面運(yùn)動的動能計(jì)算公式.

1 平面運(yùn)動剛體動能的統(tǒng)一形式

如圖1 所示，做平面運(yùn)動的剛體的質(zhì)心為C，瞬時(shí)角速度為ω，取任意一點(diǎn)D為基點(diǎn)，其速度為.

圖1 剛體上任意點(diǎn)P 的速度

由于質(zhì)點(diǎn)系的動能T為：

將(2) 式帶入(1) 式可得：

將(4) 式帶入(3) 式，可得：

由于C點(diǎn)是質(zhì)心，在(5) 式中，，且，所以，

（6）式即為以任意點(diǎn)D為基點(diǎn)的剛體平面運(yùn)動的動能計(jì)算公式. 設(shè)D點(diǎn)的速度方向與質(zhì)心速度方向的夾角為，將（7）式寫為標(biāo)量形式為：

從(7) 式可以看出，以任意點(diǎn)D為基點(diǎn)的剛體平動動能計(jì)算公式與柯尼希公式不同，不但包含隨基點(diǎn)的平動動能及圍繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動動能，還包含了D點(diǎn)速度、質(zhì)心速度及兩種速度夾角余弦的乘積項(xiàng)，應(yīng)用很不方便. 但是從(7) 式可以導(dǎo)出平面運(yùn)動剛體各種形式的動能公式：

（2）當(dāng)D點(diǎn)為速度瞬心時(shí)，將帶入(7) 式，得到速度瞬心形式的動能公式：

（3）當(dāng)D點(diǎn)為質(zhì)心時(shí)，即D點(diǎn)與質(zhì)心C點(diǎn)重合時(shí)，，得到柯尼希公式：

2 平面運(yùn)動剛體動能計(jì)算教學(xué)

在運(yùn)動學(xué)中[1-2]，速度是一次函數(shù)，故可以簡單的合成和分解，而動能是速度的二次函數(shù)，對于任意點(diǎn)為基點(diǎn)計(jì)算動能，不可以簡單的疊加，只有質(zhì)心具有特殊性.剛體平面運(yùn)動可以分解為隨基點(diǎn)的平動及圍繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動，故其動能亦可以分解為兩種動能，即隨基點(diǎn)平動動能與圍繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動動能之和，這種理解是錯誤的.

對于剛體平面運(yùn)動，以速度瞬心和質(zhì)心以外的點(diǎn)為基點(diǎn)計(jì)算動能時(shí)，必須計(jì)算質(zhì)心的速度.知道了質(zhì)心的速度，完全可以采用柯尼希定理計(jì)算動能，且柯尼希定理相對簡潔.對于平面運(yùn)動剛體的動能，相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為確定值，只與剛體的幾何形狀及質(zhì)量分布有關(guān)，而與時(shí)間無關(guān)；速度瞬心的時(shí)變性導(dǎo)致相對速度瞬心的轉(zhuǎn)動慣量亦是時(shí)變的.在運(yùn)動剛體上的不同瞬時(shí)瞬心點(diǎn)的軌跡稱為瞬心動軌跡.[3]相對速度瞬心的轉(zhuǎn)動慣量不是指某一個相對具體時(shí)刻的速度瞬心的轉(zhuǎn)動慣量，而是指對瞬心動軌跡上所有速度瞬心點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量的集合，即相對速度瞬心的轉(zhuǎn)動慣量是與瞬心動軌跡有關(guān)的函數(shù)，是時(shí)間的函數(shù).由于瞬心動軌跡是關(guān)于時(shí)間連續(xù)的，所以相對于速度瞬心的轉(zhuǎn)動慣量亦是時(shí)間的連續(xù)函數(shù).

綜上所述，學(xué)習(xí)過程中要注意幾個問題：一是需要清楚質(zhì)心及速度瞬心在動力學(xué)問題中的特殊性；二是剛體平面運(yùn)動動能采用柯尼希公式計(jì)算；三是采用速度瞬心形式動能公式時(shí)，要知道相對速度瞬心轉(zhuǎn)動慣量的時(shí)變性.

3 結(jié)論

分析了剛體平面運(yùn)動的動能計(jì)算，給出與目前的理論力學(xué)教學(xué)體系兼容的推導(dǎo)過程，目的是提高平面運(yùn)動剛體動能計(jì)算的教學(xué)效果，加深學(xué)生對平面運(yùn)動剛體動能的理解.