七法破解橢圓離心率的取值范圍問題

■貴州省仁懷市周林高中 孔祥慶

橢圓的離心率反映了橢圓的扁圓程度,是橢圓的一個重要的幾何特征。求離心率的范圍是比較棘手的問題,本文就此類問題提出七種求解策略,供同學(xué)們參考。

一、由題設(shè)直接得a,b,c 的齊次不等關(guān)系

例1過橢圓0)的左頂點A作斜率為k的直線l,直線l與橢圓C的另一個交點B在x軸上的射影為橢圓C的左焦點F。若,則橢圓C的離心率e的取值范圍是____。

評注:此類題型中不等關(guān)系很明顯,一般先將不等關(guān)系中的參變量用a,b,c表示,得到齊次不等式再解之,應(yīng)注意b2=a2-c2的轉(zhuǎn)換及0

二、利用平面幾何知識

例2已知F1,F2是橢圓=1(a>b>0)的兩個焦點,若滿足MF1⊥MF2的點M總在橢圓內(nèi)部,則橢圓離心率e的取值范圍是____。

解析:因為MF1⊥MF2,所以點M在以F1F2為直徑的圓上。要使點M總在橢圓內(nèi)部,則圓的半徑c

評注:求解本題時將抽象的語言描述轉(zhuǎn)化為橢圓與圓的位置關(guān)系問題,得到的不等關(guān)系使得求解過程簡單明了,可見平面幾何知識可以簡化復(fù)雜的計算過程。

三、利用橢圓的取值范圍

例3已知橢圓b>0)與圓N:x2+y2=b2,若在橢圓M上存在點P,使得由點P所作的圓N的兩條切線互相垂直,則橢圓M的離心率e的取值范圍是( )。

故選C。

四、利用不等式的性質(zhì)

例4已知F1,F2是橢圓=1(a>b>0)的兩個焦點,P為橢圓上一點,若∠F1PF2=120°,則此橢圓離心率e的取值范圍是____。

五、轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域

例5若橢圓C1與橢圓C2:有相同的焦點,求橢圓C1的離心率e的取值范圍。

解析:由橢圓C2的方程知,m>1 3。又由橢圓C1的方程知,橢圓C1的焦點在x軸上,設(shè)橢圓C1的焦距為2c,長軸長為2a,離心率為e,則c2=(m+1)2-m2=2m+1。因為橢圓C1與橢圓C2的焦點相同,所以(3m-1)-n=2m+1,且3m-1>n=m-2>0,即m>2。

評注:解決本題的關(guān)鍵是將離心率e的范圍問題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的值域問題,求解時應(yīng)注意自變量t的限制條件。

六、利用三角形的三邊關(guān)系

例6已知F1、F2是橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點,若橢圓上存在一點M,使得|MF1|=3|MF2|,則橢圓離心率e的取值范圍是____。

解析:由橢圓的定義,得|MF1|+|MF2|=2a。聯(lián)立|MF1|=3|MF2|,得|MF1|=

評注:本題利用三角形三邊關(guān)系及三點共線關(guān)系,得到|MF1|-|MF2|≤|F1F2|,從而獲取關(guān)于a,c的齊次不等關(guān)系式,可得離心率e的取值范圍。

七、利用判別式

例7已知F1、F2是橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點。若橢圓上存在一點M,使得|MF1|·|MF2|=3b2,則橢圓離心率e的取值范圍是_____。

評注:利用判別式的符號得到不等關(guān)系式,應(yīng)考慮方程中實根的分布情況,即結(jié)合對應(yīng)的一元二次函數(shù)圖像,才能得到橢圓離心率的取值范圍。