淺談初中數(shù)學(xué)課堂中的變式教學(xué)

孫小強(qiáng)

（甘肅省莊浪縣水洛中學(xué)，甘肅莊浪 744699）

變式教學(xué)即通過(guò)提問(wèn)方式或思維的改變來(lái)進(jìn)行教學(xué)，“變”是為了“不變”，是為了讓學(xué)生通過(guò)“變幻莫測(cè)”的題目來(lái)把握蘊(yùn)含在這些題目中不變的本質(zhì)，學(xué)會(huì)從不同的角度思考問(wèn)題，從不同的視角來(lái)看待數(shù)學(xué)知識(shí)。教師要通過(guò)充足的變式教學(xué)來(lái)引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同側(cè)面看待數(shù)學(xué)知識(shí)，從而觸類(lèi)旁通，熟練地應(yīng)用所學(xué)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

一、秉持變式教學(xué)的一般原則

（一）目標(biāo)性原則

所有的教學(xué)方法都是為了既定的教學(xué)目標(biāo)服務(wù)的，只有能夠促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)順利實(shí)現(xiàn)的教學(xué)方法與教學(xué)手段才是有效的，變式教學(xué)作為一種教學(xué)方式，理應(yīng)為了教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)服務(wù)，堅(jiān)持目標(biāo)性原則。所謂目標(biāo)性原則，即將教學(xué)目標(biāo)作為變式教學(xué)的指導(dǎo)，為了實(shí)現(xiàn)一定的教學(xué)目標(biāo)而進(jìn)行變化。比如，教師可以為了揭示某一個(gè)數(shù)學(xué)法則來(lái)進(jìn)行變式，可以為了幫助學(xué)生深入理解某一概念來(lái)進(jìn)行變式，只有基于一定教學(xué)目標(biāo)的變式教學(xué)才是真正有效的變式教學(xué)，才能幫助學(xué)生打牢學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（二）漸進(jìn)性原則

數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)要腳踏實(shí)地，這與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律也是相匹配的。漸進(jìn)性原則要求變式教學(xué)把握好“變”的度，以保證教學(xué)的有效性。漸進(jìn)性原則要求變式要關(guān)注前后知識(shí)的銜接。變式的變是將學(xué)生現(xiàn)在接觸的題目轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N樣式，讓學(xué)生結(jié)合學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)來(lái)解題，因此變式要處理好新舊知識(shí)之間的關(guān)系，既要避免變化的幅度過(guò)小限制學(xué)生的思維，也要避免變化的幅度過(guò)大超出學(xué)生的能力。

（三）有效性原則

變式教學(xué)作為一種教學(xué)方法，其在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用是為了提高教學(xué)效果，為課堂教學(xué)服務(wù)。也就是說(shuō)，變式教學(xué)無(wú)論是對(duì)教學(xué)質(zhì)量的提升，還是對(duì)教學(xué)效率的提升，都要是有效的。有效性原則要求變式必須具有典型性。有些教師在應(yīng)用變式教學(xué)時(shí)很容易陷入一種怪圈兒，過(guò)于求新求變，追求變式的偏、難、怪。雖然這種變式的難度更大，但是在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中卻不常用，難以為學(xué)生提供普遍性的解題技巧，變式教學(xué)也就失去了本來(lái)的意義。同時(shí)，有效性原則要求變式必須具有針對(duì)性。一方面，變式要隨學(xué)生的學(xué)情而變。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，是變式教學(xué)的對(duì)象，變式教學(xué)要以學(xué)生為“變”的出發(fā)點(diǎn)與落腳點(diǎn)，以滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。另一方面，變式要隨具體的教學(xué)內(nèi)容而變。變式教學(xué)旨在通過(guò)提問(wèn)方式、思考方式等的不同來(lái)鍛煉學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力。在面對(duì)不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容時(shí)，學(xué)生面臨的問(wèn)題、出現(xiàn)的錯(cuò)誤經(jīng)常具有相似性，從這一角度入手，將這些教學(xué)內(nèi)容作為變式的焦點(diǎn)，能夠幫助學(xué)生減少在學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤的可能性。尤其是針對(duì)一些容易混淆的知識(shí)點(diǎn)、重難點(diǎn)等，采用變式教學(xué)對(duì)同一知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行各式各樣的變化，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到知識(shí)點(diǎn)的不同側(cè)面，往往會(huì)收到更好的應(yīng)用效果。

（四）主體性原則

變式教學(xué)應(yīng)將學(xué)生視為學(xué)習(xí)的主體，尊重學(xué)生的主體地位，讓變式教學(xué)服務(wù)于學(xué)生，這就是主體性原則。一方面，主體性原則要求凸顯變式教學(xué)的探索創(chuàng)新性。變式教學(xué)就是在變化中來(lái)發(fā)展學(xué)生的能力，如果在給出變式題目之后不給學(xué)生充分的思考時(shí)間，那么變式的意義也就蕩然無(wú)存了。故而，變式教學(xué)應(yīng)該為學(xué)生提供更為充分的思考時(shí)間與空間，挖掘?qū)W生的創(chuàng)造潛能，讓學(xué)生逐步突破思維障礙，多學(xué)多思，構(gòu)建起自己的知識(shí)體系。另一方面，主體性原則要求強(qiáng)調(diào)學(xué)生在變式教學(xué)中的過(guò)程參與。出于此要求，教師要讓學(xué)生參與到變式教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生自己完成變式，自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并解決問(wèn)題，在動(dòng)腦、動(dòng)口、動(dòng)手的過(guò)程中去主動(dòng)獲取知識(shí)。

二、掌握變式教學(xué)的一般分類(lèi)

（一）數(shù)學(xué)形式變式

形式與內(nèi)容是一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的構(gòu)成要素，顧名思義，數(shù)學(xué)形式變式就是知識(shí)點(diǎn)外在形式變化，而知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容不發(fā)生改變的變式。

其一，是數(shù)學(xué)語(yǔ)言變式，即用其他的方式來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式等進(jìn)行重新表述。教材中所給出的數(shù)學(xué)概念一般都是十分規(guī)范且凝練的，學(xué)生要想理解這些數(shù)學(xué)概念，就要將其轉(zhuǎn)化成自己的語(yǔ)言。學(xué)生用自己的語(yǔ)言來(lái)重新表述數(shù)學(xué)概念的過(guò)程就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的變式。

其二，是數(shù)學(xué)圖形變式，即將一些基本的圖形經(jīng)過(guò)一定的變化組成非基本的圖形。比如，在學(xué)習(xí)相似三角形時(shí)，教材中給出了幾個(gè)典型的相似三角形的基本圖形，但是在實(shí)際做題過(guò)程中，題目絕大多數(shù)時(shí)候不會(huì)直接用這些基本的圖形來(lái)出題，而是要將其轉(zhuǎn)化為非一般圖形的形式，如果學(xué)生不能搞清楚其中的變化方式，就不能正確解題。因而，在面對(duì)這一類(lèi)型的變式時(shí)，教師首先要向?qū)W生講解題目中所給出的這些圖形是如何由基本的圖形轉(zhuǎn)變而來(lái)的，讓學(xué)生了解其中的變化規(guī)則。然后，再要求學(xué)生按照該變化規(guī)則不斷通過(guò)變式來(lái)得到新的變式圖形，達(dá)到學(xué)一個(gè)會(huì)一類(lèi)的效果。

（二）數(shù)學(xué)內(nèi)容變式

數(shù)學(xué)內(nèi)容變式與數(shù)學(xué)形式變式相對(duì)，主要包括以下幾種形式。

其一，是數(shù)學(xué)概念的變式，即通過(guò)數(shù)學(xué)圖形的變化來(lái)幫助學(xué)生更為深刻地理解數(shù)學(xué)概念的變式。比如，三角形的高是初中數(shù)學(xué)重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容，當(dāng)圖形發(fā)生變化時(shí)，三角形某一邊的高就會(huì)不同。在向?qū)W生講授了三角形高的確定方式之后，再向?qū)W生展示不同的三角形，并要求學(xué)生畫(huà)出三角形的高，能夠幫助學(xué)生更好地理解三角形高的概念，掌握三角形高的畫(huà)法。

其二，是數(shù)學(xué)定理的變式。數(shù)學(xué)定理的變式就是找到定理的等價(jià)命題，或者探討定理的逆命題是否成立，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的應(yīng)用十分廣泛。比如，初中階段涉及的一些判定定理與性質(zhì)都是緊密相關(guān)的，具體如等腰三角形的判定定理與性質(zhì)之間就是互逆命題的關(guān)系，這顯然是成立的。但是也有一些是不成立的，最為典型的就是“對(duì)頂角相等”的逆命題就不成立，因?yàn)椴皇撬邢嗟鹊慕嵌际菍?duì)頂角。很多時(shí)候，學(xué)生在解題時(shí)會(huì)存在想當(dāng)然的心理，認(rèn)為已知定理的逆命題也是同樣成立的，因此在應(yīng)用所謂的“逆命題”來(lái)求解數(shù)學(xué)題目時(shí)，就會(huì)造成錯(cuò)誤。因而在變式教學(xué)中指出數(shù)學(xué)定理與其逆命題之間的關(guān)系，能夠有效避免學(xué)生出錯(cuò)。

其三，是數(shù)學(xué)公式的變式。談到數(shù)學(xué)公式，不少學(xué)生認(rèn)為公式是不可變化的，因而在解題時(shí)一旦遇到與自己認(rèn)知有些出入的公式就不知所措，進(jìn)而影響自己的判斷。針對(duì)這一問(wèn)題，在變式教學(xué)中，教師要對(duì)學(xué)習(xí)的某一公式進(jìn)行變式。以平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2為例，教師在組織變式教學(xué)時(shí)，可以進(jìn)行系數(shù)變化，將其變?yōu)椋?m+3n）（2m-3n）；還可以進(jìn)行項(xiàng)數(shù)變化，將其變?yōu)椋╝+b+c）（a-b-c），這樣的變化即使是已經(jīng)熟練掌握了平方差公式的學(xué)生在剛開(kāi)始看到時(shí)也不能準(zhǔn)確地將其視為平方差公式的變式。但是事實(shí)上，很多時(shí)候在解題時(shí)都要用到這些變式。因而在組織變式教學(xué)時(shí)，教師可以就這些變式的形成過(guò)程進(jìn)行推導(dǎo)與展示，一方面深化學(xué)生對(duì)平方差公式的認(rèn)識(shí)，另一方面鍛煉學(xué)生的思維能力，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。

（三）數(shù)學(xué)過(guò)程變式

其一，是類(lèi)比變式，能夠幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的隱性?xún)?nèi)容。比如，在學(xué)習(xí)“分式的意義”時(shí)，如果說(shuō)一個(gè)分式的值為零，那么除了需要考慮該分式的分子為零的同時(shí)，還要考慮分式的分母不能為零的情況。但是在通常情況下，多數(shù)學(xué)生都能想到分子為零，卻容易忽略分母不能為零，影響了做題的正確性。教師可以進(jìn)行變式訓(xùn)練，如在完成一個(gè)不需要考慮分母不為零的情況也能做對(duì)的題目之后，更改分母的形式，分子不變，這個(gè)時(shí)候如果不考慮分母不為零的情況，學(xué)生計(jì)算出來(lái)的結(jié)果就是錯(cuò)誤的，這樣才能警醒學(xué)生，達(dá)到變式教學(xué)的目的。

其二，是模仿變式，主要是用來(lái)幫助學(xué)生更為快速地掌握數(shù)學(xué)的基本方法。在針對(duì)數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)變式訓(xùn)練時(shí)，教師首先要按照常規(guī)的數(shù)學(xué)方法來(lái)設(shè)計(jì)題目，之后再更改常規(guī)題目中的具體條件或是提問(wèn)方式，以提高該數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用難度。教師還可以逐漸增加數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用難度，以幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)題目的求解過(guò)程中熟練地掌握數(shù)學(xué)方法。

（四）數(shù)學(xué)應(yīng)用變式

數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的最終目的，尤其是在課程改革背景下，學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力成為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分，因而變式教學(xué)也要關(guān)注應(yīng)用層面，通過(guò)數(shù)學(xué)應(yīng)用變式來(lái)提升變式教學(xué)的效果，引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)學(xué)知識(shí)靈活地解決現(xiàn)實(shí)生活中遇到的問(wèn)題。

其一，是解法變式。數(shù)學(xué)方法能夠?yàn)閷W(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)提供一般規(guī)律，但是在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中卻并不是一成不變的，因此針對(duì)數(shù)學(xué)方法的變式教學(xué)也是數(shù)學(xué)過(guò)程變式的重要組成部分。一方面，在初中數(shù)學(xué)課堂上，教師通常會(huì)詢(xún)問(wèn)學(xué)生還有沒(méi)有其他解法，這就表明數(shù)學(xué)題目很多時(shí)候有兩種及兩種以上的解決方法，這就是一題多解變式。比如，三角形全等的判定有很多方法，在證明某一三角形全等時(shí)，學(xué)生可以根據(jù)題目中給出的條件來(lái)選擇三角形全等的判斷方法，這就是一題多解變式。另一方面，數(shù)學(xué)方法具有一般性與普遍性，因而也就有一法多用變式。該數(shù)學(xué)方法是在具體的解題中經(jīng)過(guò)反復(fù)實(shí)踐被提煉與總結(jié)出來(lái)的，能夠應(yīng)用在其他題目中，因此也就成為一種典型的解題方法。比如我們常常說(shuō)的換元法，就是典型的一法多用變式。

其二，是內(nèi)容變式。解法變式的題目本身并沒(méi)有發(fā)生變化，但是內(nèi)容變式的題目本身卻發(fā)生了變化，這變化可能是提問(wèn)方式上的，可能是問(wèn)題的條件上的，也可能是問(wèn)題的結(jié)論上的，這些都是內(nèi)容變式經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)的情況。對(duì)內(nèi)容變式進(jìn)行細(xì)分，又可以分為以下幾個(gè)變式類(lèi)型。一是條件變式。在數(shù)學(xué)題目中所給出的已知條件都是在一定的范圍中的，當(dāng)所給定的范圍發(fā)生變化時(shí)，已知條件也就發(fā)生了變化，而與條件所對(duì)應(yīng)的結(jié)果也就自然而然地發(fā)生變化。但是從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，題目類(lèi)型仍然是相同的，只是條件發(fā)生了變化。選擇這樣的變式類(lèi)型來(lái)進(jìn)行變式教學(xué)，能夠幫助學(xué)生在反復(fù)的變式練習(xí)中總結(jié)出該類(lèi)型題目的解題方法。二是結(jié)論變式。結(jié)論是數(shù)學(xué)題目的靈魂，學(xué)生需要根據(jù)結(jié)論追本溯源，通過(guò)轉(zhuǎn)變問(wèn)題結(jié)論，學(xué)生的切入點(diǎn)就會(huì)發(fā)生改變。在執(zhí)果索因的過(guò)程中，學(xué)生往往會(huì)嘗試以一種新的思維方式來(lái)看待這一問(wèn)題，這種變式也是變式教學(xué)中常見(jiàn)的變式類(lèi)型，教師要根據(jù)具體題目類(lèi)型來(lái)確定變式教學(xué)方法。比如，如果是綜合性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)題目，教師就不能直接從大處著眼來(lái)組織變式教學(xué)，而是要將其分解為幾個(gè)基本問(wèn)題，強(qiáng)化題目本身的遞進(jìn)性，降低綜合性題目的難度。三是條件結(jié)論互換變式。該類(lèi)型的變式與條件變式以及結(jié)論變式存在某種相似性，旨在鍛煉學(xué)生的逆向思維，通過(guò)條件與結(jié)論的緊密關(guān)聯(lián)來(lái)內(nèi)化知識(shí)，激活學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

其三，是題型變式。題型變式是比較基礎(chǔ)的一種變式，也是初中數(shù)學(xué)階段經(jīng)常會(huì)遇到的一種變式，就是將數(shù)學(xué)問(wèn)題用不同的方式呈現(xiàn)出來(lái)。這種變式與形式變式存在相似性，只是問(wèn)題外在形式的變化，而不涉及題目本質(zhì)的變化。比如，我們可以將一個(gè)經(jīng)常以證明題形式出現(xiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算題的形式，可以將一個(gè)經(jīng)常以應(yīng)用題形式出現(xiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為填空題的形式，這些都是很基礎(chǔ)卻又很典型的題型變式，也是新課改背景下受到諸多關(guān)注的一種變式類(lèi)型。

三、結(jié)語(yǔ)

變式教學(xué)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的應(yīng)用應(yīng)秉持萬(wàn)變不離其宗的教學(xué)理念，透過(guò)千變?nèi)f化的外在形式，抽絲剝繭，找到數(shù)學(xué)問(wèn)題最根本的解決方式。但是教師也應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，世界上沒(méi)有萬(wàn)能的教學(xué)方式，變式教學(xué)也是如此。教師要重視變式教學(xué)的應(yīng)用，但是卻不能迷信變式教學(xué)的應(yīng)用，不能為了變而變，而要顧及全體學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，以滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求與教師的教學(xué)需要為目的組織變式教學(xué)，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解更為深刻。