“平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)”的知識(shí)點(diǎn)辨析

朱紹文

平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，但它們的定義、求法以及描述的角度和適用的范圍又不盡相同，同學(xué)們常常將它們弄混淆.那么在具體問題中，應(yīng)采用哪個(gè)量來描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢呢？下面對它們的特征及正確的適用范圍進(jìn)行分析說明.

一、定義不同

平均數(shù)：平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里每個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)系，其中任何數(shù)據(jù)的變動(dòng)都會(huì)引起平均數(shù)的變動(dòng).因此，平均數(shù)能較充分地反映一組數(shù)據(jù)的“平均水平”，但它容易受極端值的影響.

中位數(shù)：中位數(shù)的大小僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，將一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列后，最中間的數(shù)據(jù)或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為中位數(shù).因此，部分?jǐn)?shù)據(jù)變動(dòng)對中位數(shù)沒有影響，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，一般用中位數(shù)來描述“平均水平”.

眾數(shù)：眾數(shù)著眼于各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)，其大小與該組的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)，求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)既不需要計(jì)算，也不需要排列，只要找出該數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)即為眾數(shù).因此，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，一般用眾數(shù)來描述“平均水平”.

例1? 現(xiàn)有7名同學(xué)測得某大廈的高度如下：（單位：m ）

29.8 ?30.0 ?30.0 ?30.0 ?30.2 ?44.0 ?30.0

（1）在這組數(shù)據(jù)中，中位數(shù)是____眾數(shù)是____，平均數(shù)是____;

（2）憑經(jīng)驗(yàn)，你覺得此大廈大概有多高？ 請簡要說明理由.

解析：（1）將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，即 29.8，30.0，30.0，30.0，30.0，30.2，44.0，由于排在中間的數(shù)據(jù)有一個(gè)，即30.0，所以中位數(shù)是30.0；出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)有一個(gè)，即 30.0出現(xiàn)了 4次，所以眾數(shù)是30.0.

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)（29.8 + 30.0 +

30.0 + 30.0 + 30.0 + 30.2 + 44.0）=32.0 ；

（2）憑經(jīng)驗(yàn)，大廈高約32.0 m.

原因是數(shù)據(jù)44.0誤差太大或測量錯(cuò)誤，從而導(dǎo)致平均數(shù)的數(shù)值偏大，因此按照中位數(shù)和眾數(shù)來確定.

二、求法不同

1.求平均數(shù)

計(jì)算平均數(shù)，由于數(shù)據(jù)的情況各不相同，可以分三種方法：

（1）當(dāng)數(shù)據(jù)較少或較小，且沒有重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，用公式計(jì)算較為簡便.

例2? 數(shù)據(jù)10，9，8，7，4，2，3，1的平均數(shù)是（??? ）.

A.4.5??? B.5??? C.5.5??? D.6

解：（10 + 9 + 8 + 7 + 4 + 2 + 3 + 1） = 5.5.

故應(yīng)選C項(xiàng).

（2）當(dāng)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)重復(fù)數(shù)時(shí)，用加權(quán)平均數(shù)公式計(jì)算簡便，即 n

其中分別叫做的權(quán)，且

例3? 在一次體檢中，測得八年級(jí)（1）班第一小組10名同學(xué)的身高情況是：有2人是 145cm，3 人是 148cm，4 人是 156cm，1 人是 160cm，則這10位同學(xué)的平均身高是（??? ）.

A.150.8cm??? B.151cm

C.151.8cm??? D.152cm

解：（145×2 +148×3 +156×4+160） =151.8 cm，

故應(yīng)選C項(xiàng).

（3）當(dāng)數(shù)據(jù)較大、較多且在某一個(gè)常數(shù)a，附近擺動(dòng)時(shí)，用公式 a求解比較容易.其中是原數(shù)據(jù)與a的差組成的新數(shù)據(jù)的平均數(shù).

例4? 求下列數(shù)據(jù)的平均數(shù);71，69，72，74，66，65，70，73.

解：取常數(shù)a=70，原數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)減

去 70，得到一組新數(shù)據(jù)：1，-1，2，4，-4，-5，0，3.

2.求中位數(shù)

求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，應(yīng)先將這組數(shù)據(jù)按由小到大（或由大到?。┑捻樞蚺帕?，然后再分?jǐn)?shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)求出中位數(shù)：當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，則處于正中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，則正中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

例5? 10名工人某天生產(chǎn)同一零件的件數(shù)是 15，17，14，10，15，19，17，16，14，12，求這一天10名工人生產(chǎn)零件的中位數(shù).

解：將所給的10個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列得：10，12，14，14，15，15，16，17，17，19，最中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)都為15，它們的平均數(shù)也是15，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是15 （件）.

3.求眾數(shù)

確定一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，首先找出這組數(shù)據(jù)中的各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)，其中山現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是眾數(shù).

例6? 在一次數(shù)學(xué)考試中，10名學(xué)生的得分如下;70，90，100，90，80，100，90，50，80，80，求這次數(shù)學(xué)考試得分中的眾數(shù).

解：在這一組數(shù)據(jù)中，100分出現(xiàn)2次，90分出現(xiàn)3次，80分出現(xiàn)3次，70分出現(xiàn)1次，50分出現(xiàn)1次，故80分和90分是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

三、適用范圍不同

平均數(shù)是最常用的一個(gè)代表值.它充分利用了全部數(shù)據(jù)的信息，計(jì)算方便，但易受極端值的影響.當(dāng)數(shù)據(jù)中有極端值時(shí)，平均數(shù)的代表性較差.這時(shí)，選擇中位數(shù)作為“平均水平”的代表要更好，在一組數(shù)據(jù)中不大于或不小于中位數(shù)的數(shù)據(jù)各占50% .中位數(shù)常用來描述“中間位置”或“中等水平”等.它受極端值影響較小，但沒有充分利用所有數(shù)據(jù)的信息，而且當(dāng)數(shù)據(jù)較多時(shí)不便于計(jì)算.當(dāng)描述同類產(chǎn)品中哪個(gè)品牌錯(cuò)量最大、同學(xué)中哪個(gè)年齡的人最多、進(jìn)行民意調(diào)查或選舉時(shí)，人們最

關(guān)心的是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，即眾數(shù).但眾數(shù)可能不惟一，而且當(dāng)各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)大致相同時(shí)，眾數(shù)的意義不太明顯.

1.當(dāng)用樣本估計(jì)總體時(shí)，一般采用平均數(shù)

例7? 小新家今年6月份頭6天用米量如下表：

請你運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)，估計(jì)小新家6月份 （按30天算）用米量為______千克.

解：這6天的平均每天用米量為

≈0.833.

則6月份用米量為

25.0 （千克）.

2.當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有“異常數(shù)”（一組數(shù)據(jù)中值過大或過小的數(shù)據(jù)通常被稱為“異常數(shù)或異常值”）時(shí)，一般采用中位數(shù)或眾數(shù)描述這組數(shù)據(jù)的一般水平.因?yàn)橛挟惓?shù)據(jù)，其平均數(shù)可能相差較大.

例8? 據(jù)報(bào)道，某公司的33名職工的月工資（以元為單位）如下：

（1）求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù);（精確到個(gè)位數(shù)）

（2）假設(shè)副董事長的工資從5000元提升到20000元，董事長的工資從5500元提升到 30000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是什么？（精確到個(gè)位數(shù)）

（3）你認(rèn)為哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能反映這個(gè)公司員工的工資水平？結(jié)合此問題談一談你的看法.

解：（1）平均數(shù)為

≈1500+591=2091（元）.

中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元.

（2）平均數(shù)為

≈1500+1788=3288（元）.

中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元.

（3）在這個(gè)問題中中，位數(shù)或眾數(shù)均能反映公司員工的工資水平.因?yàn)楣局猩贁?shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以中位數(shù)或眾數(shù)能更準(zhǔn)確地反映這個(gè)公司員工的工資水平.

例9? 一次科技知識(shí)競賽，甲、乙兩組學(xué)生成績?nèi)缦拢?/p>

已經(jīng)算得兩組都有50人，平均分都是80

分，請根據(jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，進(jìn)一步判定這兩個(gè)組的學(xué)生在這次競賽中的成績誰優(yōu)誰次，請說明理由.

解：我們從多角度來綜合考慮這個(gè)問題：

（1）甲組成績的眾數(shù)是90分，乙組成績的眾藪是70分，從成績的眾數(shù)比較看，甲組成績好些.

（2）甲、乙兩組成績的中位數(shù)都是80分，甲組成績在中位數(shù)以上（包括中位數(shù)）的有33 人，乙組成績在中位數(shù)以上的有26人，從這一角度看甲組成績總體較好.

另外，我們還可以從高分段人數(shù)進(jìn)行考慮，從成績統(tǒng)計(jì)看：甲組成績高于80分的人數(shù)為14+6=20（人），乙組成績高于80分的人數(shù)為12+12=24（人），所以，乙組成績集中在高分段的人數(shù)多，同時(shí)乙組得滿分的人也要多些，從這一角度看，乙組成績較好.