巧作三角形的中位線妙解題

王卓勛

三角形中位線是三角形中至關(guān)重要的線段.它平行于三角形的第三條邊，且等于第三條邊的一半.通過中位線可以得到一些相等的角和成比例的線段，因此，中位線定理在幾何證明，以及線段、角度求值等問題中有著廣泛的應(yīng)用.但某些幾何問題中并不會直接表明對應(yīng)三角形的中位線，此時同學們就要深入挖掘問題中的隱含條件，添加輔助線構(gòu)造中位線，進而借助中位線的性質(zhì)來解題.

一、連中點，構(gòu)造三角形的中位線

在求解某些數(shù)學問題時，若題中出現(xiàn)兩個或多個中點，我們不妨先將中點連接起來構(gòu)造中位線.若已知共端點的兩條邊的中點，連結(jié)這兩邊的另一端點，即可構(gòu)造出含有中位線的三角形;若已知兩條無公共端點線段的中點，那么可取第三邊的中點，構(gòu)造兩條中位線，進而利用中位線定理解題.

例1? 如圖1，平行四邊形ABCD的對角線相交于O，E、F、G、H分別是AB、OB、CD、OD的中點.求證：EH = FG.

分析：觀察圖形，結(jié)合已知條件，連接 EF、HG，則線段EH與FG是四邊形EFGH 的一組對邊，只需證明四邊形EFGH是平行四邊形即可得證.利用三角形的中位線定理很容易證得四邊形EFGH是平行四邊形.

解：連接EF、HG，

∵E、F、G、H 分別是 AB、OB、CD、0D

的中點，

∴EF、GH分別是△A0B和△COD的中位線，

∴EF//OA，GH//OC，

且

∴EF//GH，

∵在平行四邊形ABCD中，OA= OC，∴EF=GH，

∴四邊形EFGH是平行四邊形，

∴EH = FG.

評注：本題已有四條線段的中點，因此首先考慮應(yīng)用三角形中位線定理.通過連接中點可以明確各中位線的關(guān)系，再以各中位線，構(gòu)成的圖形為中間橋梁，求證結(jié)論.

二、證中點，構(gòu)造三角形的中位線

在解答某些幾何問題時，常常會遇到一些中點位置較為隱蔽的問題.當題目給出的圖中不存在中點，但求證的結(jié)論與三角形中位線定理很類似時，同學們要注意巧作輔助線，先證明線段的兩端點為三角形兩邊的中點，明確三角形的中位線，再利用三角形中位線的性質(zhì)解題.

例 2? 如圖2，在△ABC 中，∠BAC、∠ACB 的平分線AD、CE相交于點M，BF⊥AD于點 F，BG ⊥ CE 于點 G，若 AB = 11，5C = 16，AC = 21，求FG的長.

分析：欲求FG的長，需要先證FG與 △BPN的關(guān)系.觀察圖形，若延長BF交AC 于N，由已知條件，易證△ABF≌△ANF，進而得到BF=FN，即F是BN的中點.同理，延長BG交AC于點P，易知G是BP的中點，這樣可知FG是△BPN的中位線.最后再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)即可求出FG的長.

證明：延長BF交AC于N，延長BG交 AC于點P.

∵在△ABC中，AD為∠BAC的平分線

∴∠BAF=∠NAF.又∵BF⊥AD 于點 F，

∴∠AFB= ∠AFN.

在△ABF和△ANF 中，∠BAF=∠NAF，

AF=AF，∠AFB=∠AFN，

∴△ABF≌△ANF

∴AB=AN，BF=NF，即F是BN的中點.

同理可證得△BCG≌△PCG，

∴BC=PC，BG=PG，即G是BP的中點.

∴FG是△BPN的中位線.

∵NP=AN+PC-AC=11+16-21=6

∴FG=1/2NP=3.

評注：本題看似與中點無關(guān)，但若巧作輔助線，再寐系已知條件，易證F、G分別為 BN、BP的中點，即FG是△BPN的中位線，這樣再利用三角形中位線的性質(zhì)便可以輕松解題.

三、添中點，構(gòu)造三角形的中位線

如果題目已知三角形一邊的中點，而另一個中點不明確，不能構(gòu)成三角形的中位線時，同學們要注意觀察圖形特征，通過取三角形一邊的中點或倍長中線等方法添加一個中點，然后將兩個中點連接起來，構(gòu)成三角形的中位線，再利用三角形中位線的性質(zhì)解題.

例3? 如圖3，AD是△ABC的中線，點E 在AD上，延長BE交AC與點F.若AE = 3ED，求的值.

分析：本題一個中點已知，而另一個中點未知.若過點D作DG//CF交BF于點G，可得DG是△BFC的中位線，這樣根據(jù)三角形中位線性質(zhì)，就可以得到DG = CF，CF= 2DG； 再證明△DEG∽△AEF不難求出的值.

解：如圖3所示，∵AD是△ABC的中線，∴BD = CD.

過點D作DG//CF交BF于點G，∴BG=FG，

∴DG是△BFC的中位線，

∴DG = ^CF，即 CF = 2DG.

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評注：利用三角形中位線性質(zhì)構(gòu)造相似三角形，是證明線段“倍分”關(guān)系的常用策略. 本題過現(xiàn)有中點D作平行線，得出DG是 △BFC的中位線，再通過證三角形相似，得出相應(yīng)的比例關(guān)系，進而求出線段的比值.

總之，三角形的中位線與三角形的中點密切相關(guān).當題目已知條件中有明確的中位線時，直接利用中位線的性質(zhì)即可探求出線段之間的數(shù)量關(guān)系和平行關(guān)系；若題目已知條件中只有一個中點或中點位置較為隱蔽時，同學們要注意結(jié)合題目特點，巧添輔助線，構(gòu)造中位線，再靈活利用三角形中位線的性質(zhì)解題.