怎樣求一元一次不等式組的解集

陶高雅

一元一次不等式組是初中階段的基礎內(nèi)容.同學們在求解一元一次不等式組問題時普遍存在一個問題就是：雖然能分別求出不等式的解，但最后往往不能正確給出不等式組的公共解集.那么怎樣準確求出一元一次不等式組的解集呢？下面介紹三種常用方法.

一、數(shù)軸法

數(shù)軸法，即利用數(shù)軸直觀確定一元一次不等式組的解集.其基本解答思路是：首先，求出不等式組中每個不等式的解集;然后，在數(shù)軸上畫出每個不等式的范圍;接著，找出所有不等式的公共部分;最后根據(jù)公共部分，確定出該不等式組的解集.

例1不等式組，的解集為______.

解：由 8x-10>3x ，可得x>2;

由 7x + 6<2（3x + 2），可得x<-2 .

把x> 2和x < -2在數(shù)軸上表示出來，

如圖1所示，它們沒有公共部分，

所以該不等式組無解，即解集為空集.

例2? 不等式組的解集為______.

A.x≤1??? B.x <3

C.l≤x<3??? D.空集

解：解：由x-3（x-2）≥4，可得x≤1;

由1+2x>2（2x-1），可得x<3.

把x≤1和x<3在數(shù)軸上表示出來，如圖2所示，

它們的公共部分為x≤l ，

所以該不等式組的解集為x≤l ，

故本題正確答案為A項.

評注：數(shù)軸法是確定不等式組解集的一種有效方法.在數(shù)軸上表示不等式的解集時，同學們要注意起點是實心點還是空心點.一般地，若不等式符號是“ > ”或“ < ”，則用空心點表示；若不等式符號是“≥”或“≤”，則用實心點表示.

二、觀解法

觀解法立足于數(shù)軸法卻優(yōu)于數(shù)軸法，它結合數(shù)軸箭頭向右的特性，以及不等式組公共解集在數(shù)軸上呈現(xiàn)出兩端向中間靠攏的特

征，將不等號開口方向統(tǒng)一向右.解題時，首先求出不等式組中每一個不等式的解集;然后，將所得解集中的不等式符號開口方向統(tǒng)一向右;接著，按照“左大右小”的原則，綜合確定該不等式組的解集;最后，檢查所求出的不等式組的解集，若不等式右邊的數(shù)小于左邊，則該不等式組無解.

例3? 一元一次不等式組的解集是______.

解：由原不等式組可得

將不等式符號的開口統(tǒng)一向右，可得.

根據(jù)“左大右小”原則，可知不等式組的解集為1≤x<-2.

然而1≤x<-2并不成立，

所以該不等式組無解.

例4? 一元一次不等式組，的解集是______.

解：由原不等式組可得

不等式開口統(tǒng)一向右，可得

根據(jù)“左大右小”原則，可知不等式組的解集為.

評注：運用觀解法解答不等式組問題，省去了“作圖—看圖—表達”這一過程，可以快速準確地確定出解集.解題時要注意把每個不等式符號開口方向統(tǒng)一向右，并嚴格依照 “左大右小”的原則來確定解集，否則會影響解答結果.

三、口訣法

口訣法就是借助口訣來確定不等式組的

解集.它可以歸納為“同大取大，同小取小，小大大小中間尋，大大小小無解找”.其中，“同大取大”是指“不等式號同是大于號，不等式組的解集取較大的數(shù)”；“同小取小”是指“不等式號同是小于號，不等式組的解集取較小的數(shù)”；“小大大小中間尋”是指“小于大的數(shù)，大于小的數(shù)，不等式組的解集取這兩個數(shù)之間”；“大大小小無解找”是指“大于大的數(shù)，小于小的數(shù)，不等式組無解，其解集為空集”.

例5? 解不等式組

解：由5x-2>8，可得x>2.

由3x+1>10，可得x >3.

聯(lián)想“同大取大”口訣，該不等式組的解集為x > 3.

例6? 一元一次不等式組，的解集是______.

A.x < 5??? B.x ≥ 1

C.1≤x<5??? D.空集

解：由x-4≤3（x-2），可得x≥1;

由1+3x>4（x-1），可得x<5.

聯(lián)想“大大小小中間找”這一口訣，

此一元一次不等式組的解集為1≤x<5，故本題應選C項.

評注：用口訣法確定一元一次不等式組的解集時，應當注意：如果不等式組中有一個不等式的解集是空集，那么這個不等式組的解集也是空集.

綜上所述，在求一元一次不等式組的解集時，數(shù)軸法一目了然，運用過程中要注意找準不等式組的公共部分;觀解法快捷準確，運用時要注意統(tǒng)一不等式符號的方向；口訣法簡單易行，運用時應在充分理解的基礎上記住口訣，以避免錯用.