一個(gè)求解二維非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階波動(dòng)方程的向后歐拉差分格式*

張光輝

(宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽 宿州 234000)

0 引言

由于能有效地描述物理、化學(xué)和控制工程等領(lǐng)域的許多現(xiàn)象,近幾十年來(lái)分?jǐn)?shù)階常微分和偏微分方程在以上領(lǐng)域引起了廣泛的關(guān)注[1]。分?jǐn)?shù)階偏微分方程是古典偏微分方程的推廣,研究者發(fā)現(xiàn)含有分?jǐn)?shù)階的微分方程可以更加準(zhǔn)確地來(lái)描述諸多領(lǐng)域中的自然現(xiàn)象[2-4],如時(shí)間和空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程能夠解釋反常擴(kuò)散和復(fù)雜系統(tǒng)的傳送動(dòng)力學(xué)。對(duì)于分?jǐn)?shù)階模型中的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散-波動(dòng)方程解析解的求解非常困難,主要研究集中于數(shù)值解法的討論[5-8],但由于數(shù)值算法的研究起步相對(duì)較晚,求解多維非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階微分方程的算法設(shè)計(jì)和理論都是一個(gè)難點(diǎn).本文主要研究求解時(shí)間分?jǐn)?shù)階非線性二維波動(dòng)方程的數(shù)值方法.

u(x,y,t) = 0,(x,y,t)∈?Ω×(0,T),

(1)

Δ為二維Laplace算子,Ω=(0,L1)×(0,L2),?Ω為其邊界.g(u)為滿足Lipschtiz條件的非線性光滑函數(shù),且g(0)=0.在式(1)中,如果u(x,y,0)=φ(x,y)≠0,ut(x,y,0)=ψ(x,y)≠0,則可由變換u(x,y,t)-φ(x,y)-tψ(x,y)將非齊次條件齊次化．

1 預(yù)備知識(shí)

引理1[9]式(1)和下面的式(2)等價(jià)．

u(x,y,t) = 0,(x,y,t)∈?Ω×(0,T),

(2)

在時(shí)間方向上,設(shè):

Tτ={tn|tn=nτ,n=0,1,2,…,M}.

定義網(wǎng)格函數(shù)空間:

引入以下差分算子:

(3)

(4)

引理2[10]如果φ(t)是關(guān)于t的實(shí)值連續(xù)可微函數(shù),φt(t)∈C1([0,T]),則式(3)的積分誤差有如下估計(jì)式:

(5)

其中tn∈[0,T],常數(shù)C不依賴于τ.

(6)

(7)

為敘述方便,記:

(8)

(9)

(10)

對(duì)任意的1≤i≤K1,1≤j≤K2,1≤n≤M成立,其中常數(shù)C不依賴于h1,h2,τ.

2 向后歐拉差分格式的建立

在(xi,yj,tn)(1≤i≤K1-1,1≤j≤K2-1,0≤n≤M-1)處考慮式(2),有:

(11)

由引理4可知

(12)

(13)

另外,記

(14)

(15)

將式(12)～(15)代入式(11),得對(duì)任意的1≤i≤K1-1,1≤j≤K2-1,0≤n≤M-1,

(16)

其中:

由引理2和引理4得,對(duì)任意的1≤i≤K1-1,1≤j≤K2-1,0≤n≤M-1,

(17)

(18)

(19)

3 數(shù)值算例

例1 考慮如下的時(shí)間分?jǐn)?shù)階非線性波動(dòng)方程

(20)

設(shè)式(20)具有式(1)所要求的齊次初邊值條件,其中右端源像

其中g(shù)(u)=u3.易知式(20)具有解析解u(x,y,t)=t2+αsin(πx)sin(πy).

先將式(20)轉(zhuǎn)化為等價(jià)的分?jǐn)?shù)階積分-微分方程式

(21)

對(duì)于式(21),取T=1,h=h1=h2=0.001,分別取不同α,τ,用式(18)～(19)計(jì)算當(dāng)t=tM=1時(shí)所得數(shù)值解的誤差和時(shí)間方向的收斂階．計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1．

表1 固定h=0.001時(shí),式(18)～(19)在時(shí)間方向的誤差和收斂階

取T=1,τ=0.001,分別取不同α,h,用式(18)～(19)計(jì)算當(dāng)t=TM=1時(shí)所得數(shù)值解的誤差和空間方向的收斂階．計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2．

表2 固定τ=0.001時(shí),式(18)～(19)在空間方向的誤差和收斂階

4 結(jié)束語(yǔ)