地下結構地震反應計算的Ritz 向量法

楊志恒 YANG Zhi-heng；陳攀 CHEN Pan；駱湘勤 LUO Xiang-qin；孫傳海 SUN Chuan-hai；吳德漢 WU De-han

（北京城建勘測設計研究院有限責任公司，北京 100029）

0 引言

地鐵車站構造復雜，其所處土層環(huán)境往往也很復雜，因計算機條件的限制，常采用二維模型進行地下結構抗震分析，為更深入研究地下結構地震反應規(guī)律，分析不同地震動場的綜合影響，采用地下結構三維整體模型進行研究是很有必要的[1]。同樣的原因，充分研究地下結構與鄰近地表結構（群）的相互作用問題[2]和“城市效應”問題[3]時都需要建立三維有限元模型。

雖然個人計算機硬件發(fā)展較十年前有較大進步，但三維土層-結構動力分析模型的自由度很大，在運算的時候就會出現(xiàn)運算時間過長和內存不足的情況。因此，三維模型高效快速計算問題，是土層-結構系統(tǒng)動力相互作用分析模型推廣應用所需要解決的關鍵問題之一[4]。

在快速高效計算方法發(fā)展方面，姜忻良研究了混合約束模態(tài)子結構法[5]。馮青松探索了約束模態(tài)綜合法在商用軟件ANSYS 平臺上的實現(xiàn)[6]。

以上研究成果均表明約束模態(tài)子結構法能在保證計算精度的前提下有效提高計算效率。因該類型的子結構需求解n 階廣義特征值問題，對于大型結構，其迭代求解仍然花費較多的計算時間，若采用Ritz 向量代替模態(tài)向量可以進一步提高計算效率，因為獲得Ritz 向量僅需解n 階線性代數(shù)方程組。本文探索基于Ritz 向量法在結構動力分析中應用的可行性。

1 理論分析

Ritz 向量法先假設有這樣一組比結構系統(tǒng)主模態(tài)集[Φm]相對來說更為有效的Ritz 向量基[X]=[x1，x2，…，xm]，則根據(jù)Rayeigh-Ritz 法，系統(tǒng)的位移動力響應可表示為：

通過遞推求解可獲得一組比模態(tài)向量更為有效的Ritz 向量基，遞推求解步驟如下：

首先，根據(jù)外荷載{f（s）}求解得到擬靜力反應{y1}：

將{y1}對質量陣[M]歸一化后求得第一個Ritz 向量{x1}：

按照這種方法產生m 個Ritz 向量后，就可得出廣義質量矩陣[M*]和廣義剛度矩陣[K*]。廣義矩陣[C*]由廣義質量和剛度矩陣線性組合而成。該方程可由逐步積分法求解。

將以上求解結構動力反應的方法稱之為Ritz 向量法，本文簡稱為MRV 法。

2 算例

本文關于MRV 法是通過自編代碼實現(xiàn)的，為驗證自編代碼的正確性，以商用軟件ANSYS 的常規(guī)有限元法的計算結果為標準，對比自編程序的計算結果，同時對比了本文方法與常規(guī)有限元法計算量差別。

2.1 懸臂梁算例

某懸臂梁橫截面尺寸為0.3m*0.5m，長2.8m，如圖1所示。彈性模量為7.3E8N/m2，密度1820kg/m3，泊松比0.25。用六面體八結點等參元離散該梁，其有限元網(wǎng)格如圖2 所示，模型共有840 個單元，1400 個自由結點，4200個自由度。

圖2 有限元網(wǎng)格

表1 列出了懸臂梁前12 階頻率值。商用軟件ANSYS給出的模態(tài)結果是采用Lanczos 法求解的，其中MRV 法取12 個Ritz 向量進行計算，從表1 可以看出，MRV 法求得的前6 階低階頻率值有9 個以上的精確的有效數(shù)字，說明該方法自編代碼正確。關于此懸臂梁的模態(tài)計算，常規(guī)有限元法需要4200 個自由度，而MRV 法僅需12 個自由度就能達到滿意精度。

表1 懸臂梁前12 階頻率 單位：Hz

為進一步驗證本文方法的計算精度，下面以人工地震波為激勵，計算該懸臂梁梁端時程反應，并與ANSYS 計算結果對比。（圖3）

圖3 MRV 法和ANSYS 計算結果對比

運用MRV 法時，分4 種情況：分別取10、12、20 和30個Ritz 向量。將原系統(tǒng)降階后的運動方程如式（2），其中阻尼矩陣中的質量矩陣比例系數(shù)取1.5259，剛度矩陣比例系數(shù)取0.0015。運用NewMark 法求解該運動方程時，積分系數(shù)γ 和β 分別取0.25 和0.5。計算結果列于表2。

表2 MRV 法計算結果

表2 列出了懸臂梁在人工基巖波豎向激勵下，梁端豎向位移與加速度的地震反應。從表中數(shù)據(jù)可以看出，MRV法計算結果與ANSYS 計算結果接近，取10 個Ritz 向量計算時，位移結果有5 個相同的有效數(shù)字；加速度結果有3個相同的有效數(shù)字，加速度誤差僅為0.15%。

2.2 地下結構算例

選用雙層雙柱島式地鐵車站為研究對象。地面至車站頂?shù)木嚯x為2m，車站寬20m，高11.54m，中跨寬6m，側跨寬6.3m，上層高3.5m，下層高6.24m。頂板、側墻0.8m 厚，底板厚0.9m，中柱截面為0.6m×0.8m。車站橫截面如圖4所示。不考慮土體的非線性特性接觸非線性。

圖4 地鐵車站標準段橫截面

模型深度范圍取至基巖面處，即深度取230m，水平方向長度取2320m，場地土層性質見表3。有限元網(wǎng)格示意圖詳見圖5。

表3 場地土物理力學參數(shù)

圖5 二維模型有限元網(wǎng)格示意圖

三維模型土體部分采用八節(jié)點六面體等參元離散，中柱部分為三維梁單元離散。約束模型底部結點的所有自由度，作為地震輸入激振面。選用kobe 波和汶川波作為激勵，計算地下結構地震反應。為評價MRV 法的計算精度，也列出了ANSYS 的計算結果如表4。

表4 地下結構地震反應

表4 列出了在kobe 波和WC 波作用下地下結構的地震反應。從表中數(shù)據(jù)可以看出，MRV 法計算結果精度較高，相對于ANSYS 計算結果，誤差最大不超過7%，但計算自由度僅為ANSYS 計算自由度的1/10 左右。這說明MRV法在地下結構地震反應分析中能極大提高計算效率。

3 結論

本文分別以懸臂梁和一地鐵車站為算例，采用MRV法與ANSYS 有限元軟件兩種計算方法進行計算，對比了MRV 法與ANSYS 的計算結果，得出如下結論：

①采用ANSYS 軟件運用Lanczos 法求解結構模態(tài)特性，常規(guī)有限元法需要4200 個自由度，然而采用MRV 法求結構模態(tài)僅需12 個自由度就能達到滿意精度。

②懸臂梁在人工基巖波豎向激勵下，MRV 法計算結果與ANSYS 計算結果非常接近，取10 個Ritz 向量計算時，位移結果有5 個相同的有效數(shù)字；加速度結果有3 個相同的有效數(shù)字，加速度誤差僅為0.15%。

③MRV 法能有效求解大規(guī)模地下結構地震反應問題，在僅用約1%普通有限元法自由度的情況下，計算誤差不超過7%。