以結(jié)構(gòu)化視角探究四邊形概念本質(zhì)

支丹婷　鐘立

【摘? ?要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出，要注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化。基于此，教師整合人教版教材三年級(jí)上冊(cè)“四邊形”相關(guān)教學(xué)內(nèi)容和四年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形和梯形”相關(guān)教學(xué)內(nèi)容，構(gòu)建“四邊形的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)，讓學(xué)生在共性的探尋中理解四邊形的概念，在差異的比較中建立不同四邊形之間的關(guān)系，形成結(jié)構(gòu)化的四邊形概念，優(yōu)化數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

【關(guān)鍵詞】四邊形；結(jié)構(gòu)化；知識(shí)結(jié)構(gòu)

【課前思考】

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出，要注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，要求教師“重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系”。通過結(jié)構(gòu)化教學(xué)，將學(xué)習(xí)水平、學(xué)習(xí)策略、學(xué)習(xí)內(nèi)容相近的知識(shí)整合為一個(gè)教學(xué)主題，可以幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

以“四邊形的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)為例。在編排方式上，人教版教材分三次編排“四邊形的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)內(nèi)容：（1）一年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)圖形（二）”單元，直觀認(rèn)識(shí)長方形、正方形，能夠辨認(rèn)區(qū)分；（2）三年級(jí)上冊(cè)“長方形和正方形”單元，從邊和角的角度認(rèn)識(shí)長方形和正方形的特征；（3）四年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形和梯形”單元，從邊的角度認(rèn)識(shí)平行四邊形和梯形。知識(shí)結(jié)構(gòu)呈螺旋式上升。在概念界定上，采用“屬加種差”的方式定義“正方形、長方形、平行四邊形、梯形”等的概念。其中，“屬”指它們都屬于四邊形，“種差”指它們之間的差異。如梯形是只有一組對(duì)邊平行的四邊形，平行四邊形是兩組對(duì)邊分別平行的四邊形。這些圖形在本質(zhì)上既有共同點(diǎn)，又有差異性。

基于此，筆者整合三年級(jí)上冊(cè)“四邊形”相關(guān)教學(xué)內(nèi)容與四年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形和梯形”相關(guān)教學(xué)內(nèi)容，構(gòu)建“四邊形的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)，讓學(xué)生在共性的探尋中理解四邊形的概念，在差異的比較中建立不同四邊形之間的關(guān)系，形成四邊形概念的結(jié)構(gòu)化，優(yōu)化數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。具體教學(xué)目標(biāo)如下：

（1）通過觀察、辨認(rèn)、判斷四邊形，知道四邊形是由四條邊、四個(gè)角組成的平面封閉圖形。

（2）經(jīng)歷操作、探究、交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，掌握長方形、正方形、平行四邊形、梯形的特點(diǎn)，知道圖形間的聯(lián)系并能按一定的標(biāo)準(zhǔn)分類。

（3）結(jié)合概念學(xué)習(xí)過程，發(fā)展抽象能力和空間意識(shí)，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，在整體感知中形成知識(shí)結(jié)構(gòu)。

【教學(xué)實(shí)踐】

一、創(chuàng)設(shè)情境，認(rèn)識(shí)四邊形概念的共性

教師用課件呈現(xiàn)圖1。

師：這些是什么圖形？

生：這些都是立體圖形。

師：這些立體圖形的每個(gè)表面都是什么圖形？

生：平面圖形。

師：是的。面是體的一部分，我們可以從立體圖形中提取出平面圖形。

教師用課件動(dòng)態(tài)展示提取平面圖形的過程，如圖2所示。

師：在下面的平面圖形中，有四邊形嗎？

教師用課件呈現(xiàn)圖3。

師：你們能將這些平面圖形分成四邊形和非四邊形嗎？

生：我認(rèn)為②⑤⑥⑨⑩?號(hào)圖形是四邊形。

師：這些四邊形有什么共同點(diǎn)？

生：都有四條直的邊和四個(gè)角。

生：四條邊連起來構(gòu)成了封閉圖形。

師：其他圖形為什么不是四邊形呢？

生：④號(hào)圖形是一個(gè)圓，⑦號(hào)圖形的角是弧形的。

生：我覺得⑧號(hào)圖形不是四邊形，因?yàn)樗恢顾臈l邊和四個(gè)角；?號(hào)也不是，它有一條邊是曲線。

師：那?號(hào)圖形是四邊形嗎？

生：我覺得?號(hào)圖形不是四邊形，它看起來有點(diǎn)奇怪。

生：我認(rèn)為?號(hào)圖形是四邊形。它雖然形狀奇怪，但是它有四條邊和四個(gè)角，而且還是封閉圖形。

師：是的，有四個(gè)角和四條直的邊，就是四邊形。?號(hào)圖形屬于凹四邊形，其他都是凸四邊形，小學(xué)階段我們只研究凸四邊形?，F(xiàn)在大家認(rèn)識(shí)了四邊形，四邊形有什么特點(diǎn)？

生：四邊形有四條直的邊和四個(gè)角。

師：你知道這些四邊形的名稱嗎？

生：我知道②號(hào)圖形是長方形，?號(hào)圖形是正方形，⑨號(hào)圖形是平行四邊形。

生：⑩號(hào)圖形是梯形。

生：⑤號(hào)圖形是菱形。

師：那⑥號(hào)圖形就是一般四邊形。

設(shè)計(jì)意圖：在一年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)圖形（二）”單元的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了立體圖形與平面圖形，能夠區(qū)分長方形、正方形等平面圖形，初步學(xué)習(xí)了在立體圖形上找平面圖形。根據(jù)課前測(cè)試，到了三年級(jí)，學(xué)生基本上能正確找出正方形和長方形，約95%的學(xué)生能找出平行四邊形和梯形，這說明大部分學(xué)生對(duì)四邊形有較好的直觀認(rèn)識(shí)。但他們不能從邊、角兩個(gè)維度全面描述圖形的特點(diǎn)。據(jù)此，教師從學(xué)生現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)出發(fā)，通過創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生從“體”中提取出“面”，從而認(rèn)識(shí)四邊形概念的共性。

二、操作對(duì)比，體會(huì)四邊形概念的異同

1.教師組織學(xué)生開展“搭四邊形”活動(dòng)。

活動(dòng)要求：

（1）同桌合作從圖4的8根小棒中選出4根搭一個(gè)四邊形。

（2）量一量、比一比，比較所搭四邊形的邊和角的特征。

（3）同桌交流，記錄發(fā)現(xiàn)。

2.學(xué)生動(dòng)手操作，教師巡視指導(dǎo)，收集有代表性的學(xué)生作品。

教師用課件呈現(xiàn)學(xué)生作品，如圖5所示，引導(dǎo)學(xué)生交流討論。

師：老師收集了同學(xué)們的典型作品，這些圖形有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

生：相同點(diǎn)是它們都有四條直的邊和四個(gè)角，都是四邊形。

生：根據(jù)它們的形狀，我知道①⑥是長方形。

師：什么樣的圖形叫作長方形？

生：長方形的上下兩條邊、左右兩條邊長度相等，四個(gè)角都是直角。

師：同學(xué)們真會(huì)觀察！像這樣對(duì)邊相等，四個(gè)角都是直角的四邊形，就叫作長方形。

生：④號(hào)圖形是正方形，它的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角。

師：正方形有什么特點(diǎn)？

生：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角。

師：你們仔細(xì)看看，⑤號(hào)圖形是正方形嗎？

生：我覺得不是，⑤號(hào)圖形的角都不是直角。

生：⑤號(hào)圖形是菱形。

師：那菱形和正方形有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)呢？

生：菱形和正方形的四條邊都相等，不同的是正方形有四個(gè)直角，而菱形沒有直角。

師：你們還知道什么？

生：我知道②③⑦⑧這幾個(gè)圖形是平行四邊形。

師：大家認(rèn)識(shí)平行四邊形嗎？平行四邊形有什么特點(diǎn)？

生：平行四邊形也是對(duì)邊相等。但不一樣的是，平行四邊形沒有直角。

師：請(qǐng)同學(xué)們用小棒搭一搭平行四邊形，想一想，搭平行四邊形時(shí)要注意什么？

生：我們?cè)谔暨x小棒時(shí)需注意，上下兩條邊要用同樣長的小棒，左右兩條邊也要用同樣長的小棒。

師：還剩下⑨號(hào)圖形，有同學(xué)認(rèn)識(shí)嗎？它有什么特點(diǎn)？

生：⑨號(hào)圖形是梯形，上下兩邊不一樣長，左右兩邊一樣長。

師：是的，⑨號(hào)圖形是梯形，還是一個(gè)等腰梯形，左右兩邊是一樣長的。梯形還有其他形狀，也可以所有邊都不相等。

教師用課件呈現(xiàn)圖6。

師：通過動(dòng)手操作、交流討論，我們發(fā)現(xiàn)長方形、正方形、平行四邊形、梯形各有各的特點(diǎn)。你能將這些圖形分類嗎？它們之間有怎樣的關(guān)系？

教師讓學(xué)生先獨(dú)立思考自行完成分類，再與同桌交流可以按什么樣的標(biāo)準(zhǔn)分類，它們之間有怎樣的關(guān)系。

師：哪個(gè)小組愿意來分享？

生：我們小組根據(jù)是否有直角，將這些圖形分為兩類，正方形和長方形為一類，菱形、平行四邊形和梯形為一類。

生：我們小組根據(jù)四條邊是否相等，將這些圖形分為兩類，正方形和菱形為一類，長方形、平行四邊形和梯形為一類。

師：你們能用畫圖的方式表示這些圖形之間的關(guān)系嗎？

其中一個(gè)小組的學(xué)生拖動(dòng)圖形進(jìn)行演示，呈現(xiàn)圖7，并進(jìn)行說明。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生已經(jīng)有了折一折、比一比的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這些操作活動(dòng)是探究四邊形特征的重要方法。教師利用操作活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生給不同的四邊形分類，幫助學(xué)生對(duì)長方形、正方形、菱形、平行四邊形、梯形等概念形成初步認(rèn)識(shí)，挖掘各個(gè)四邊形概念的異同，建立不同四邊形之間的內(nèi)在聯(lián)系。

三、建構(gòu)聯(lián)系，感悟四邊形概念的本質(zhì)

師：大家通過探究，認(rèn)識(shí)了長方形、正方形、菱形、平行四邊形和梯形，知道了它們邊和角的特點(diǎn)。這些特殊的四邊形形狀都不一樣，圖5中，哪些圖形可以通過變化，變?yōu)楹推渌麍D形一樣的四邊形？

生：沿對(duì)角兩個(gè)點(diǎn)拉動(dòng)①號(hào)長方形，可以將其變?yōu)槠叫兴倪呅?；用同樣的方法，也可以把②?hào)、③號(hào)平行四邊形變?yōu)殚L方形。

師：你真善于發(fā)現(xiàn)！長方形和平行四邊形是可以通過拉伸互相變化的。

生：我還發(fā)現(xiàn)，只要拉一拉⑤號(hào)菱形，就能把它變成正方形。因?yàn)榱庑魏驼叫蔚乃臈l邊都相等，所以只要把菱形的角變成直角，菱形就成了正方形。因此也可以說正方形是特殊的菱形。

師：還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

生：把⑥號(hào)長方形的兩根長小棒換成兩根短小棒，就變成了一個(gè)正方形。

師：大家通過再一次動(dòng)手操作，把一個(gè)圖形變成了另一個(gè)圖形。圖形世界很奇妙，它們有相同的特征，也有各自不同的特點(diǎn)。這些圖形在本質(zhì)上有著內(nèi)在的聯(lián)系。

教師用課件動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)圖形之間的聯(lián)系，如圖8所示。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在對(duì)不同四邊形的感知的基礎(chǔ)上，體會(huì)不同四邊形之間的區(qū)別；在“邊”和“角”的變化中，理解不同四邊形之間的內(nèi)在聯(lián)系。通過“辨”與“變”，提升學(xué)生的空間想象力，發(fā)展空間觀念。

四、多元聯(lián)結(jié)，豐富四邊形概念的結(jié)構(gòu)

師：同學(xué)們，大家通過學(xué)習(xí)探究，認(rèn)識(shí)了很多特殊的四邊形，現(xiàn)在請(qǐng)你來猜一猜，老師手里的圖形是什么？

教師呈現(xiàn)圖9。

生：可能是三角形、梯形、正方形、長方形。

師：如果這是一個(gè)四邊形，有可能是什么圖形？

生：是四邊形，又有一個(gè)直角，那么可能是梯形、正方形、長方形。

師：這個(gè)四邊形有兩個(gè)直角，猜猜是什么圖形？

教師呈現(xiàn)圖10。

生：我覺得可能是正方形和長方形，還有可能是梯形。

師：看來還不能確定，那再增加一個(gè)角，有三個(gè)直角，猜猜是什么圖形？

教師呈現(xiàn)圖11。

生：有三個(gè)直角，且相鄰兩條邊一樣長，肯定是一個(gè)正方形。

設(shè)計(jì)意圖：利用“猜圖形”活動(dòng)，讓學(xué)生通過理解四邊形概念的共性和不同，抓住不同四邊形圖形的本質(zhì)屬性進(jìn)行辨析，進(jìn)一步理解不同四邊形之間的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建四邊形概念的知識(shí)結(jié)構(gòu)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。