拋物線中的平行四邊形存在性問題探究

周紅雨

拋物線中的平行四邊形存在性問題是中考數(shù)學(xué)的常客，其綜合性強(qiáng)，對(duì)解題能力要求高.現(xiàn)舉例剖析，以幫助同學(xué)們掌握這類問題的破解之法.

類型一：已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，求第四個(gè)頂點(diǎn)

例1 （2022·四川·攀枝花）如圖1，二次函數(shù)y = ax2 + bx + c的圖象與x軸交于O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），A兩點(diǎn)，且二次函數(shù)的最小值為 - 1，點(diǎn)M（1，m）是其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，y軸上一點(diǎn)B（0，1）．

（1）求二次函數(shù)的解析式.

（2）二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點(diǎn)P，連接PA，PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△PAB的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

（3）在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)N，使得以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

解析：（1）根據(jù)題意知，二次函數(shù)頂點(diǎn)為（1， - 1），

設(shè)二次函數(shù)解析式為y = a（x - 1）2 - 1，

將點(diǎn)O（0，0）代入，得a - 1 = 0，解得a = 1.

所以，二次函數(shù)的解析式為y = （x - 1）2 - 1 = x2 - 2x.

（2）連接OP，根據(jù)題意得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），

則S = S△AOB + S△OAP - S△OBP = [12] × 2 × 1 + [12] × 2（ - t2 + 2t） - [12]t =? -t2 +

[32]t + 1.

（3）設(shè)N（n，n2 - 2n），分別以AB，BM，AM為對(duì)角線分類討論，利用平行四邊形的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，分別求出n的值，進(jìn)而得出答案．

當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得2 + 0 = 1 + n，

∴n = 1，∴N（1， - 1）；

當(dāng)AM為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得2 + 1 = n + 0，

∴n = 3，∴N（3，3）；

當(dāng)BM為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得2 + n = 0 + 1，

∴n =? - 1，∴N（ - 1，3），

綜上，N（1， - 1）或（3，3）或（ - 1，3）．

點(diǎn)評(píng)：已知三點(diǎn)求第四個(gè)點(diǎn)，使其組成的四邊形為平行四邊形，因?yàn)榻M成平行四邊形頂點(diǎn)的字母順序沒有固定，所以需要分三種情況，即以已知的三點(diǎn)組成的三條線段分別為對(duì)角線，然后利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式或者全等知識(shí)和數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解.

類型二：已知平行四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)，求另兩個(gè)頂點(diǎn)

例2 （2022·貴州·畢節(jié)）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y = - x2 + bx + c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D（2，1），拋物線的對(duì)稱軸交直線BC于點(diǎn)E．

（1）求拋物線y =? - x2 + bx + c的表達(dá)式.

（2）把上述拋物線沿它的對(duì)稱軸向下平移，平移的距離為h（h > 0），在平移過程中，該拋物線與直線BC始終有交點(diǎn)，求h的最大值.

（3）M是（1）中拋物線上一點(diǎn)，N是直線BC上一點(diǎn). 是否存在以點(diǎn)D，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

解析：（1）∵拋物線y =? - x2 + bx + c的頂點(diǎn)為D（2，1），

∴拋物線的表達(dá)式為y =? - （x - 2）2 + 1 =? - x2 + 4x - 3．

（2）根據(jù)（1）中拋物線的表達(dá)式可得點(diǎn)A（1，0），B（3，0），C（0， - 3），

進(jìn)而可得直線BC的表達(dá)式為y = x - 3；

設(shè)平移后的拋物線為y =? - （x - 2）2 + 1 - h，

聯(lián)立直線BC和拋物線的表達(dá)式得-（x - 2）2 + 1 - h = x - 3，

整理得x2 - 3x + h = 0，由于該拋物線與直線BC始終有交點(diǎn)，

所以Δ = 9 - 4h ≥ 0，解得h ≤ [94]，

因此h的最大值為[94]．

（3）存在，理由如下.

由題意可知，拋物線的對(duì)稱軸為直線x = 2，

∴E（2， - 1），∴DE = 2.

設(shè)點(diǎn)M（m， - m2 + 4m - 3），

若以點(diǎn)D，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則分以下兩種情況.

①當(dāng)DE為邊時(shí)，DE[?]MN，則N（m，m - 3），

∴MN = [- m2 + 4m - 3 - （m - 3）] = [- m2 + 3m]，

∴[- m2 + 3m] = 2，

解得m1 = 1，m2 = 2（舍），m3 = [3-172]，m4 = [3+172]．

∴N（1， - 2）或[3-172，-3-172]或[3+172，-3+172]．

②當(dāng)DE為對(duì)角線時(shí)，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為t，則N（t，t - 3），

∴[m+t=2+2，-m2+4m-3+t-3=1+（-1） ，]

解得[m=1，t=3，]或[m=2，t=2]（舍），

∴N（3，0）．

綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（1， - 2）或[3-172，-3-172]或[3+172，-3+172]或（3，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題已知兩點(diǎn)，解題關(guān)鍵是抓住這兩點(diǎn)所連線段分別為邊和對(duì)角線進(jìn)行分類，作為邊時(shí)通過平移得到另兩個(gè)頂點(diǎn)，作為對(duì)角線時(shí)通過中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到另兩個(gè)頂點(diǎn).

綜上，求解拋物線中的平行四邊形存在性問題的解題方法是：先假設(shè)存在這樣的平行四邊形，然后恰當(dāng)?shù)胤诸悾ㄒ阎€段為邊或?qū)蔷€），再結(jié)合畫圖構(gòu)造輔助線來“化斜為正”，最后利用平行四邊形和全等三角形的性質(zhì)，通過計(jì)算加以解決.