實(shí)數(shù)根細(xì)考量　判別式定范圍

季近仁

我們知道，對(duì)于探究一元二次方程實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)的問題，可以借助[b2-4ac]值的三種情況來探尋. 但在歷年中考中出現(xiàn)了大量考查逆向思維的考題，即給出方程有實(shí)數(shù)根的不同情景，來探究方程中字母系數(shù)的取值范圍. 本文通過5道例題加以剖析.

一、二次項(xiàng)系數(shù)不含字母，方程無實(shí)數(shù)根

例1 （2022·青海·西寧）關(guān)于[x]的一元二次方程[2x2+x-k=0]沒有實(shí)數(shù)根，則[k]的取值范圍是（）.

A. [k<-18] B. [k≤-18] C. [k>-18] D. [k≥-18]

解析：∵關(guān)于[x]的一元二次方程[2x2+x-k=0]沒有實(shí)數(shù)根，[∴]Δ [<0]，

[∴12-4×2×（-k）<0]，[∴1+8k<0]，[∴k<-18]. 故選A.

二、二次項(xiàng)系數(shù)不含字母，方程有實(shí)數(shù)根

例2 （2022·四川·巴中）對(duì)于實(shí)數(shù)[a]，[b]定義新運(yùn)算：[a]※[b=ab2-b]，若關(guān)于[x]的方程1※[x=k]有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則[k]的取值范圍是（）.

A. [k>-14] B. [k<-14] C. [k>-14]且[k≠0] D. [k-14]且[k≠0]

解析：根據(jù)新定義運(yùn)算法則，可得[1×x2-x=k]，化成一般形式可得[x2-x-k=0]，

∵關(guān)于[x]的方程1※[x=k]有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

[∴]Δ = （-1）2 - 4 × （-k） > 0，解得[k>-14]. 故選A.

例3 （2022·四川·攀枝花）關(guān)于[x]的方程[x2-x-m=0]有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)[m]的取值范圍是（）.

A. [m<14] B. [m≤14] C. [m≥-14] D. [m>-14]

解析：關(guān)于[x]的方程[x2-x-m=0]有實(shí)數(shù)根，[∴]Δ = （-1）2 - 4（- m） = 1 + 4m [≥0]，

解得[m≥-14]. 故選C.

三、二次項(xiàng)系數(shù)含字母，方程有實(shí)數(shù)根且指明是一元二次方程

例4 （2022·四川·宜賓）若關(guān)于[x]的一元二次方程[ax2+2x-1=0]有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則[a]的取值范圍是（）.

A. [a≠0] B. [a>-1]且[a≠0] C. [a-1]且[a≠0] D. [a>-1]

解析：本題已指明是關(guān)于[x]的一元二次方程，因而[a≠0]，又因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ [=22-4×a×（-1）>0]，解得[a>-1]且[a≠0]. 故選[B].

四、二次項(xiàng)系數(shù)含字母，方程有實(shí)數(shù)根但未指明是一元二次方程

例5 （2021·山東·菏澤）關(guān)于[x]的方程[（k-1）2x2+（2k+1）x+1=0]有實(shí)數(shù)根，則[k]的取值范圍是（）.

A. [k>14]且[k≠1] B. [k≥14]且[k≠1] C. [k>14] D. [k≥14]

解析：由于本題沒指明是一元一次方程還是一元二次方程，因此方程可能有一個(gè)實(shí)數(shù)根，也可能有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以我們應(yīng)對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)分類討論.

①當(dāng)[k-1≠0]，即[k≠1]時(shí)，此方程為一元二次方程，根據(jù)關(guān)于[x]的方程（k - 1）2x2 + （2k + 1）x + 1 = 0有實(shí)數(shù)根，可得Δ? = （2k + 1）2 - 4× （k -1）2 × 1 = 12k - 3 ≥ 0，解得[k≥14]；

②當(dāng)[k-1=0]，即[k=1]時(shí)，方程為[3x+1=0]，解得[x=-13]，顯然有實(shí)數(shù)根.

綜合①②可知[k]的取值范圍是[k≥14]. 故選D.

總結(jié)：從上面５道例題的探究過程中我們可以清楚發(fā)現(xiàn)如下解題規(guī)律：

（1）二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不含字母，且方程有實(shí)數(shù)根，必然是兩個(gè)相等或不相等的實(shí)數(shù)根，或兩種情形兼而有之，這時(shí)可以大膽地使用判別式列出關(guān)于待定字母的不等式，解此不等式，便可以確定字母的取值范圍；

（2）二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)含有字母，方程有實(shí)數(shù)根且指明是一元二次方程，這時(shí)既要注意二次項(xiàng)系數(shù)不等于0，又要結(jié)合判別式滿足條件列出字母的不等式組；

（3）二次項(xiàng)系數(shù)含有字母，方程有實(shí)數(shù)根且指明是一元二次方程，應(yīng)區(qū)分是一元一次方程還是一元二次方程，也就是應(yīng)對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)等于0還是不等于0兩種情形進(jìn)行分類討論，只有當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0時(shí)，才能結(jié)合判別式求出字母的取值范圍，但最后表述結(jié)果時(shí)應(yīng)綜合加以考慮.

由此看來，雖然根的判別式表述形式很簡(jiǎn)單，但應(yīng)用起來里面有很大的學(xué)問，所以提醒同學(xué)們：判別式有用須會(huì)用，且勿盲目套用.