高斯白噪聲激勵下含分數(shù)階PD控制器廣義DVP系統(tǒng)的隨機P-分岔

王慧男,盛正大,王 媛,王 芳

(蘭州交通大學 數(shù)理學院, 甘肅 蘭州 730070)

0 引言

分數(shù)階控制器是整數(shù)階控制器的推廣.整數(shù)階控制器由于擁有控制結(jié)構(gòu)簡單、易于操作調(diào)整和具有較高的魯棒性等優(yōu)點而被廣泛應(yīng)用在系統(tǒng)的控制過程中.1981年Oustaloup[1]提出了分數(shù)階魯棒控制器,證明了分數(shù)階控制器比傳統(tǒng)整數(shù)階控制器能達到更好的控制效果.Li等[2]提出了分數(shù)階PD控制器和分數(shù)階PI控制器,并通過仿真實驗驗證了其具有良好的動態(tài)性能和魯棒性.近些年來,分數(shù)階控制器逐漸被運用到非線性系統(tǒng)中,成為一個新的研究方向,如Hamamci和Koksal[3]在動力系統(tǒng)中加入分數(shù)階PD控制器并研究了控制器中分數(shù)階階數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,證明了分數(shù)階PD控制器比整數(shù)階PD控制器更容易控制系統(tǒng)穩(wěn)定域的范圍;李偉等[4]研究了含分數(shù)階控制器的隨機動力系統(tǒng)在高斯白噪聲激勵下的可靠性,結(jié)果表明通過改變分數(shù)階控制器的階數(shù)可以得到理想的可靠性結(jié)果;Hua等[5]研究了分數(shù)階PD控制器對時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,發(fā)現(xiàn)適當調(diào)節(jié)控制器參數(shù)可滿足系統(tǒng)魯棒性要求的穩(wěn)定區(qū)域;陳林聰?shù)萚6]提出了一種研究具有延遲反饋分數(shù)階PD控制器系統(tǒng)的隨機平均技術(shù),結(jié)果表明此方法可以提高系統(tǒng)的控制精度;?elik[7]提出的新型分數(shù)階級聯(lián)控制器在減輕電子電力系統(tǒng)中由于電源密集導致負載過重的問題上起到良好的控制作用.需要注意的是,目前對分數(shù)階控制器的研究主要集中在系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性以及對控制器的參數(shù)設(shè)計方面,對加入分數(shù)階控制器后系統(tǒng)產(chǎn)生隨機分岔問題的研究較少.鑒于此,本文運用隨機平均法研究了含分數(shù)階PD控制器廣義DVP系統(tǒng),分析了分數(shù)階PD控制器的分數(shù)階階數(shù)及系數(shù)對系統(tǒng)發(fā)生隨機P-分岔的影響.

1 等價系統(tǒng)的推導

考慮高斯白噪聲激勵下含分數(shù)階PD控制器的廣義DVP系統(tǒng),其模型如下:

(1)

其中:β1是線性阻尼系數(shù);β2,β3是非線性阻尼系數(shù);ω0是系統(tǒng)固有頻率;ξ(t)表示具有相關(guān)函數(shù)2Dδ(τ)的高斯白噪聲;D和τ分別代表噪聲強度和關(guān)聯(lián)時間.

(2)

ε為分數(shù)階PD控制器的系數(shù)且滿足0<ε<1,其他參數(shù)均為常數(shù).

Dαx(t)采用Caputo型分數(shù)階導數(shù)的定義形式[8]:

(3)

其中Γ(·)是伽瑪函數(shù).

分數(shù)階導數(shù)項Dαx(t)可以等效為阻尼力和回復力的線性組合[9-10],

(4)

C(α),K(α)分別為等效阻尼力和回復力的系數(shù).

系統(tǒng)(1)可化為

(5)

則等效系統(tǒng)為

(6)

式(6)和式(5)的誤差:

(7)

由均方誤差最小的必要條件[11]:

(8)

可得

(9)

設(shè)系統(tǒng)的解為

(10)

將式(10)代入式(9)中,得

(11)

為進一步簡化,引入以下積分公式:

(12)

將式(12)代入式(11)中,并關(guān)于φ進行積分平均,得

即得C(α),K(α)表達式如下:

(13)

系統(tǒng)(6)可化為

進一步化為

(14)

其中

(15)

2 系統(tǒng)幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度

為求解系統(tǒng)(14)響應(yīng)幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù),引入如下變換[12]

(16)

其中:a(t)為系統(tǒng)的幅值,θ(t)為初始相位,均為隨機過程.

將式(16)代入方程(14),通過確定性平均法計算可得等效系統(tǒng)(6)的Stratonovich隨機微分方程為

(17)

其中

(18)

(19)

其中B(t)是標準的維納過程,且

(20)

由隨機平均法[13],對Φ進行積分平均,即得平均It隨機微分方程:

(21)

其中

(22)

方程(20)及(22)表明式(21)與θ(t)相互獨立,a(t)是一維擴散過程,則描述概率密度函數(shù)變化的FPK方程為

(23)

邊界條件為

(24)

基于式(24),得系統(tǒng)(14)幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的近似表達式為

(25)

其中C為歸一化常數(shù),且

(26)

將式(22)代入式(25)并進行積分運算,則可得幅值a的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)為

(27)

其中

(28)

3 系統(tǒng)的隨機P-分岔

隨機P-分岔是指系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)曲線峰值數(shù)目的變化.

為方便起見,p(a)可表示為如下形式

p(a)=CR(a,D,ε,k0,k1,β1,β2,β3)·
exp[Q(a,D,ε,k0,k1,β1,β2,β3)],

(29)

其中

(30)

以下固定參數(shù)值β1=0.1,β2=1.51,β3=2.85,k0=k1=-0.5,ω0=1[14],主要討論分數(shù)階階數(shù)和分數(shù)階控制器的系數(shù)對系統(tǒng)產(chǎn)生隨機P-分岔的影響.

3.1 分數(shù)階PD控制器中參數(shù)α對隨機P-分岔的影響

取定參數(shù)值ε=0.3,D=0.0025,給出了分數(shù)階PD控制器中α=0.1和α=0.2時系統(tǒng)幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度曲線圖以及聯(lián)合概率密度曲線圖如圖1、圖2所示.

由圖1和圖2可知,作為分數(shù)階控制器中的階數(shù)α,可以引起系統(tǒng)隨機P-分岔的發(fā)生.在圖1中,當分數(shù)階階數(shù)增大時,對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)概率密度曲線的峰值數(shù)目由兩個峰減少為一個峰,即由雙峰分布形式躍遷為單峰分布形式.再結(jié)合圖2的聯(lián)合概率密度曲線同樣可以發(fā)現(xiàn),分數(shù)階階數(shù)α的增大,聯(lián)合PDF曲線的雙峰形狀變成單峰形狀,說明此時系統(tǒng)發(fā)生了隨機P-分岔.

圖1和圖2相互呼應(yīng),共同說明了在系統(tǒng)中,分數(shù)階PD控制器的分數(shù)階階數(shù)α的變化可以引起系統(tǒng)發(fā)生隨機P-分岔.

圖1 α=0.1和α=0.2時系統(tǒng)幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度曲線

圖2 α=0.1和α=0.2時系統(tǒng)幅值的聯(lián)合概率密度曲線

3.2 分數(shù)階PD控制器中參數(shù)ε對隨機P-分岔的影響

取定參數(shù)值α=0.1,D=0.0025,分別給出了分數(shù)階PD控制器系數(shù)ε=0.2和ε=0.6時系統(tǒng)幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度曲線以及聯(lián)合概率密度曲線如圖3和圖4所示.

由圖3和圖4可知,分數(shù)階PD控制器系數(shù)可以誘導系統(tǒng)隨機P-分岔的發(fā)生.在圖3中,隨著分數(shù)階PD控制器系數(shù)ε從0.2增大到0.6,穩(wěn)態(tài)概率密度曲線的峰值逐漸減少,且由雙峰變?yōu)閱畏?說明系統(tǒng)發(fā)生了隨機P-分岔行為.結(jié)合圖4的聯(lián)合概率密度曲線可以發(fā)現(xiàn),分數(shù)階PD控制器系數(shù)ε的增大,聯(lián)合概率密度曲線峰值數(shù)減少,說明此時系統(tǒng)在控制器系數(shù)變化的影響下出現(xiàn)了隨機P-分岔現(xiàn)象.圖3和圖4相互呼應(yīng),共同說明了分數(shù)階PD控制器系數(shù)ε可以誘導系統(tǒng)發(fā)生隨機P-分岔現(xiàn)象.

圖3 ε=0.2和ε=0.6時系統(tǒng)幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度曲線

圖4 ε=0.2和ε=0.6時系統(tǒng)幅值的聯(lián)合概率密度曲線

4 結(jié)語

本文對高斯白噪聲激勵下含分數(shù)階PD控制器的廣義DVP系統(tǒng)的隨機P-分岔現(xiàn)象進行了研究.根據(jù)均方誤差最小原則將含分數(shù)階PD控制器的系統(tǒng)線性等效為等價的整數(shù)階系統(tǒng),運用隨機平均法求解得到漂移和擴散系數(shù),并將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為伊藤隨機微分方程,進而求得系統(tǒng)幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù).利用奇異性分析分數(shù)階PD控制器的階數(shù)和系數(shù)對系統(tǒng)發(fā)生隨機P-分岔的影響,結(jié)合Matlab繪圖證明分數(shù)階PD控制器階數(shù)和系數(shù)均會引起系統(tǒng)發(fā)生隨機P-分岔行為,即當階數(shù)和系數(shù)增大時,穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)曲線由雙峰分布躍遷為單峰分布,系統(tǒng)發(fā)生隨機P-分岔.