一類強(qiáng)奇異Kirchhoff型分?jǐn)?shù)階拉普拉斯問題正解的唯一性結(jié)果

蔡序軍,吳克晴

(江西理工大學(xué) 理學(xué)院,江西 贛州 341000)

0 引言

本文討論以下涉及分?jǐn)?shù)階拉普拉斯的Kirchhoff型問題正解的唯一性:

(1)

問題(1)與Kirchhoff在文獻(xiàn)[1]中引入如下的物理模型有關(guān):

(2)

文獻(xiàn)[8]中,Sun研究強(qiáng)奇異次臨界Laplace問題,給出了在一定條件下解的存在唯一性.在基爾霍夫型分?jǐn)?shù)階的背景下,Fiscella[9]運(yùn)用變分法和截?cái)喾椒ㄗC明了弱奇異退化基爾霍夫型分?jǐn)?shù)階問題有兩個(gè)正解.考慮基爾霍夫函數(shù)M(t)=a+btθ-1時(shí),Fiscella和Mishra在文獻(xiàn)[10]中證明弱奇異臨界問題當(dāng)b充分小時(shí)有兩個(gè)正解.最近,Wang等在文獻(xiàn)[11]中證明了Sun[8]的結(jié)果在基爾霍夫型分?jǐn)?shù)階的背景下依然成立,但臨界問題依然無法解決.

受上述工作的啟發(fā),筆者對(duì)γ>1的臨界問題(1)正解的唯一性進(jìn)行研究.研究這個(gè)問題的主要困難是u-γ的不可積性和f(x)的不確定性,以及分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的非局部性質(zhì)和Kirchhoff函數(shù)的退化特征.為了克服這些困難,將Sun[8]所做的啟發(fā)性工作應(yīng)用變分技術(shù),并基于適當(dāng)?shù)募s束恢復(fù)可積性.

1 預(yù)備知識(shí)

首先,給出一些后面會(huì)用到的定義和符號(hào).令Q=(R3×R3)(CΩ×CΩ),其中CΩ=R3Ω.定義

空間E被賦予以下范數(shù):

(3)

此外,用如下的E0表示E的線性子空間:

E0:={u∈E:在R3Ω中幾乎處處u=0}.

通過文獻(xiàn)[12]可知,空間E0是一個(gè)希爾伯特空間,它可以被賦予以下標(biāo)量積和范數(shù)

(4)

(5)

(6)

與問題(1)相關(guān)的能量泛函I:E0→R定義如下:

函數(shù)u∈E0被稱為問題(1)的弱解,如果u>0滿足

本文的主要結(jié)果如下.

定理1假設(shè)γ∈(1,+∞)和f∈L1(Ω)在Ω中幾乎處處為正,那么,問題(1)存在唯一正解u0∈E0,當(dāng)且僅當(dāng)存在u*∈E0,使得

(7)

2 主要引理

由于γ>1,泛函I在E0上非良定.為了獲得問題(1)的解,定義了以下兩個(gè)約束集:

和

現(xiàn)在,研究上述兩個(gè)約束集的以下性質(zhì).

引理1若γ∈(1,+∞)和式(7)成立,則N和N*是非空的.此外,N是E0中的無界閉集.

由于I(|u|)=I(u),通過Fatou引理可得

這推斷出u∈N.證畢.

引理2假設(shè)γ∈(1,+∞)和f∈L1(Ω)在Ω中幾乎處處為正.對(duì)任意的u∈N*有u≥0,以及φ∈E0有φ>0,存在ε>0和一個(gè)連續(xù)函數(shù)t:Bε(0)→R+使得t(τ)(u+τφ)∈N*,其中選擇τ∈R+使得‖τφ‖<ε.

證明對(duì)任意的u∈N*,定義F:R×R→R,

顯然,F(t,τ)有定義.簡單計(jì)算得出

因?yàn)閡∈N*,得到

然后,將隱函數(shù)定理應(yīng)用于點(diǎn)(1,0)處的F,可得ε>0和連續(xù)函數(shù)t=t(τ)>0,滿足對(duì)任意的τ∈R+,‖τφ‖<ε,有t(0)=1,t(τ)(u+τφ)∈N*.

引理3若γ∈(1,+∞)和(7)成立,則存在u0∈N*使得I(u0)=m.

證明因?yàn)棣?1,可得

(8)

(9)

此外,鑒于γ>1和Fatou引理,得到

因此,有

(10)

這推斷出I(u0)=m,u0∈N*( i.e.t(u0)=1).

3 定理1的證明

定理1的證明顯然,必要性是正確的.現(xiàn)在,只需證明充分性.分以下兩種情況來證明.

情形1假設(shè)引理3中的子序列{un}?N對(duì)于所有足夠大的n滿足{un}?NN*.設(shè)φ∈E0且φ≥0.由于{un}?NN*和γ>1,對(duì)于任何τ>0,有

因此,通過連續(xù)性,可以選擇足夠小的τ>0,使得

這意味著當(dāng)τ>0足夠小時(shí),un+τφ∈N.因此,根據(jù)(8)中的(ii),得

即

將不等式除以τ>0,然后對(duì)上述不等式取下極限τ→0,從Fatou引理可以看出

另一方面,通過引理3知m是由u0∈N*實(shí)現(xiàn)的,即對(duì)于u0∈N*,I(u0)=m.則由(10)可得出當(dāng)n→∞時(shí),‖un‖2θ→‖u0‖2θ.

考慮到這些事實(shí),讓n→∞, 再次通過Fatou引理得

(11)

情形2假設(shè)引理3中的子序列對(duì)于所有足夠大的n滿足{un}?N*.設(shè)φ∈E0且φ≥0.應(yīng)用引理2,當(dāng)u=un和τ>0足夠小時(shí),發(fā)現(xiàn)一個(gè)連續(xù)函數(shù)序列tn=tn(τ),使得tn(0)=1和tn(τ)(un+τφ)∈N*.注意到un∈N*,有

(12)

(13)

從(12)和(13)可以看出

然后除以τ>0,由于γ>1,有

讓?duì)印?,推斷

由un∈N*,對(duì)于一些C>0,有

除以τ>0,然后讓?duì)印?,推導(dǎo)出

即

現(xiàn)在,再次應(yīng)用(8)中的條件(ii)得出

令τ→0,由于γ>1,根據(jù)Fatou引理,由上面的不等式可以得出

(14)

結(jié)果能夠證明u0是問題(1)的解.由引理3,(11)和(14),得到了u0∈N*和

(15)

對(duì)任意的ψ∈E0,定義Ωε={x∈R3:u0+εψ≤0},選擇Ψε=u0+εψ,帶入(15),有

(16)

令

通過分?jǐn)?shù)核的對(duì)稱性得到

(17)

顯然,K∈L1(R3×R3),對(duì)于任意σ>0,存在足夠大的Rσ,使得

根據(jù)Ωε的定義,有Ωε?suppψ和|Ωε×BRσ|→0,當(dāng)ε→0+時(shí).因此,對(duì)K∈L1(R3×R3),存在δσ>0和εσ>0,使得對(duì)于任意ε∈(0,εσ],有

|Ωε×BRσ|<δσ,

因此,對(duì)任意的ε∈(0,εσ],

?Ωε×R3|K(x,y)|dxdy<σ,

從而得到

故由(17)可知

因?yàn)椤瑄0‖θ-1是有界的.由于當(dāng)ε→0時(shí),meas{u0+εψ≤0}→0,通過取極限ε→0,得到

因此,讓(16)式除以ε且令ε→0,有

對(duì)所有的ψ∈E0都成立.這個(gè)不等式對(duì)于-ψ也同樣成立.由此可見

(18)

對(duì)所有的ψ∈E0都成立.因此,u0確實(shí)是問題(1)的正解.

最后,證明問題(1)解的唯一性.假設(shè)v0是問題(1)的另一個(gè)解,則由(18)可知

(19)

.

(20)

由(19)和(20)可得

(21)

由于γ>1,很容易得到下列不等式:

(22)

定義

J(u0,v0):=‖u0‖2θ-‖u0‖2(θ-1)〈u0,v0〉-
‖v0‖2(θ-1)〈u0,v0〉+‖v0‖2θ.

通過H?lder不等式,可得

J(u0,v0)≥
(‖u0‖-‖v0‖)2(‖u0‖2θ-2+
‖u0‖2θ-3‖v0‖+…+‖v0‖2θ-2)≥0.

(23)

因此,由(21)-(23)可知u0=v0.于是,u0是問題(1)的唯一正解.

4 結(jié)語

本文以變分理論為基礎(chǔ),在一定條件下研究問題(1)的可解性.由于方程(1)對(duì)應(yīng)的能量泛函I非良定,導(dǎo)致一些非線性分析的技巧不再適用.為了求解問題,定義了兩個(gè)非空的約束集N和N*,在約束集N中找到了一個(gè)u0,使其泛函值I(u0)為約束集N*內(nèi)泛函值的極小,其中,應(yīng)用Ekeland變分原理獲得了一個(gè)極小化序列{un}.最后,分別對(duì)序列{un}包含在NN*和N*兩種情形證明了問題(1)正解的存在性并確定正解唯一.值得注意的是,問題(1)是一個(gè)強(qiáng)奇異退化問題,推廣了弱奇異情況的已知結(jié)果.然而,在非退化情形下,該問題解的存在性和多重性結(jié)果尚屬開放.