考慮級(jí)配影響的珊瑚砂最大動(dòng)剪切模量試驗(yàn)研究

梁珂 岳沖 周正龍 杭天柱

摘要：對(duì)不同級(jí)配的南沙島礁珊瑚砂進(jìn)行共振柱試驗(yàn)，測(cè)試不同孔隙比e 的珊瑚砂在20～300kPa 圍壓下的最大動(dòng)剪切模量G0，分析不均勻系數(shù)Cu、平均粒徑d50和細(xì)粒含量Fc對(duì)珊瑚砂G0的影響，并建立珊瑚砂的G0 經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。結(jié)果表明：珊瑚砂的孔隙比e 普遍大于陸源砂礫土；同一有效圍壓σ'0 下，珊瑚砂的G0-e 曲線隨Cu的增大而降低，隨d50的增大而升高，以Fc≈20% 為界，隨Fc的增大先降低后緩慢升高；陸源砂礫土的G0經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯⒌凸郎汉魃暗腉0值；Fc對(duì)G0影響的本質(zhì)是不同細(xì)粒含量的珊瑚砂具有不同的Cu和d50，Cu和d50對(duì)G0的影響隱含了Fc對(duì)G0的影響?；贖ardin 模型給出考慮Cu、d50 影響的珊瑚砂G0 預(yù)測(cè)模型，并引入修正系數(shù)A'，以考慮顆粒類(lèi)型等復(fù)雜因素的綜合影響，采用不同海洋珊瑚砂的試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)G0預(yù)測(cè)模型進(jìn)行驗(yàn)證。

關(guān)鍵詞：珊瑚砂；最大動(dòng)剪切模量；共振柱試驗(yàn)；級(jí)配

中圖分類(lèi)號(hào)：TU441；TU411.8???? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A???? 文章編號(hào)：2096-6717（2023）06-0095-09

Small-strain shear modulus prediction model related to grain gradation of coral sand

LIANG Ke1， YUE Chong1， ZHOU Zhenglong2， HANG Tianzhu2

（1. Key Laboratory of Urban Security and Disaster Engineering of China Ministry of Education， Beijing University of Technology， Beijing 100124， P. R. China； 2.Institute of Geotechnical Engineering， Nanjing Tech University， Nanjing 210009， P. R. China）

Abstract： A series of resonant column tests were conducted on coral sand taken from the Nansha Islands， South China Sea with different grain gradations. The small-strain shear modulus G0 of the coral sands with various void ratio e with the confining stress of 20～300 kPa was obtained. The influence of coefficients of uniformity Cu， mean particle size d50， and fines content Fc on G0 of coral sand was investigated， and the G0 formulation for coral sand was established. For the constant effective confining pressure σ， the curve of G0-e moves downward as the increasing Cu， and moves upward as the increasing d50. The G0 firstly decreases and then increases as the increasing Fc， and the G0 reaches the minimum value for Fc of about 20%. The G0 prediction equations of terrigenous sandy and gravelly soils will obviously underestimate the G0 value of coral sand. The influence of Fc on G0 essentially results from the change of Cu and d50 for coral sand with various Fc. The G0 prediction equation of coral sand related to Cu and d50， which implies the influence of Fc on G0， was proposed， and the correction factor A' related to the morphology and mineralogy of the particle form of coral sands was incorporated in the proposed G0 prediction equation. The validity of the G0 prediction equation was verified by comparing the measured and predicted G0 values of coral sands from different seas.

Keywords： coral sand； small-strain shear modulus； resonant column test； grain gradation

土的動(dòng)剪切模量G 是場(chǎng)地地震反應(yīng)分析必需的參數(shù)之一，G 隨剪應(yīng)變幅值γa 的增大而衰減。當(dāng)γa小于10-6時(shí)，土體可視為線彈性體，該狀態(tài)的G 稱(chēng)為小應(yīng)變（最大）動(dòng)剪切模量G0。測(cè)試G0 的室內(nèi)試驗(yàn)主要有共振柱試驗(yàn)和彎曲元試驗(yàn)。Yang 等[1]對(duì)比了彎曲元和共振柱試驗(yàn)測(cè)試的G0，彎曲元測(cè)得的G0略大于共振柱試驗(yàn)測(cè)得的G0，但兩者誤差不超過(guò)10%；顧曉強(qiáng)等[2]對(duì)比了彎曲元、共振柱和循環(huán)扭剪試驗(yàn)測(cè)得的干砂的G0，發(fā)現(xiàn)3 種試驗(yàn)測(cè)試的G0 結(jié)果具有很好的一致性?，F(xiàn)有研究表明，砂土G0受孔隙比e 和有效圍壓σ'0 的影響較顯著。G0隨σ'0 的增加呈冪函數(shù)增長(zhǎng)關(guān)系；同一σ'0 下，G0 隨e 的增大而減小。Hardin 模型[3-4]是經(jīng)典的砂土G0預(yù)測(cè)模型。

另一類(lèi)常用的砂土G0預(yù)測(cè)模型修正了Hardin模型中的孔隙比項(xiàng)函數(shù)表達(dá)式。

式中：A、b、c、n為與材料有關(guān)的試驗(yàn)參數(shù)；Pa為大氣壓，100 kPa。

研究表明，級(jí)配曲線、顆粒形狀、礦物成分等也是砂土G0 的重要影響因素。級(jí)配特征可以通過(guò)不均勻系數(shù)Cu、平均粒徑d50 和細(xì)粒含量Fc （粒徑小于0. 075 mm 顆粒的質(zhì)量百分比）等參數(shù)來(lái)表征。Menq[5]通過(guò)共振柱試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，相同e 和σ'0 條件下，砂土的G0 隨d50 的增加稍有增大，隨Cu 的增加而減小。Wichtmann 等[6]試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，相同e 和σ'0 條件下，石英砂的G0 隨Cu 的增大顯著減小，而d50 對(duì)G0 的影響不明顯。Yang 等[1]試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，G0 隨d50 的增加略有減小。Liu 等[7]定義復(fù)合粒徑差Γcom 為砂-細(xì)?；旌衔镏屑兩埃╟lean sand）平均粒徑與混合物平均粒徑之差，建立了砂-細(xì)?；旌衔颎0 與相應(yīng)的純砂G0 的比值與Γcom 的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀．厱N等[8]采用共振柱試驗(yàn)研究了Fc 對(duì)南通某海域?yàn)┩可巴羷?dòng)剪切模量特性的影響，發(fā)現(xiàn)σ'0 和e 相同時(shí)，以Fc≈10% 為界，南通灘涂砂的G0 隨Fc 的增大呈先減小后增大的趨勢(shì)。Payan 等[9]評(píng)估了4 個(gè)陸源砂的G0 模型，發(fā)現(xiàn)已有模型的普適性較差，其原因是未考慮顆粒形狀的影響，并給出了考慮顆粒形狀影響的G0 預(yù)測(cè)模型。Senetakis 等[10]通過(guò)對(duì)比相同級(jí)配下石英砂和火山巖砂的G0試驗(yàn)結(jié)果，推斷土體的礦物成分對(duì)G0也有一定影響。

珊瑚砂是珊瑚死亡后經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期地質(zhì)作用形成的特殊巖土介質(zhì)，顆粒棱角度高、形狀不規(guī)則、多孔隙、易破碎、易膠結(jié)。梁珂等[11]對(duì)南沙島礁珊瑚砂進(jìn)行了應(yīng)變控制分級(jí)循環(huán)三軸試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)γa<1×10-4時(shí)珊瑚砂動(dòng)剪切模量衰退特性與陸源砂礫土的差異顯著。Ha Giang 等[12] 采用彎曲元測(cè)試了Abu Dhabi 珊瑚砂的G0，發(fā)現(xiàn)珊瑚砂的G0比石英砂的大；σ'0 和e 相同時(shí)， 珊瑚砂的G0 隨Cu 的增大而減小。Morsy 等[13]對(duì)埃及的珊瑚砂進(jìn)行了共振柱試驗(yàn)研究，發(fā)現(xiàn)珊瑚砂G0- σ'0 關(guān)系的冪指數(shù)n 比石英砂的大。

現(xiàn)有研究大多忽略了d50對(duì)G0的影響，F(xiàn)c的影響研究通常獨(dú)立于其他級(jí)配參數(shù)，且鮮有關(guān)于珊瑚砂G0特性的系統(tǒng)性研究。筆者針對(duì)中國(guó)南沙島礁珊瑚砂進(jìn)行了一系列共振柱試驗(yàn)，系統(tǒng)研究Cu、d50和Fc對(duì)珊瑚砂G0的影響， 并建立珊瑚砂G0經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?/p>

1 試驗(yàn)材料與試驗(yàn)過(guò)程

1.1 試驗(yàn)珊瑚砂

珊瑚砂取自南沙群島某島礁，顏色為白色，顆粒比重Gs=2.77。物相分析結(jié)果表明，南沙島礁珊瑚砂的主要礦物成分為文石、高鎂方解石和方解石，它們的質(zhì)量百分比分別為55.5%、41.5%和3.0%。如圖1所示，珊瑚砂顆粒形狀不規(guī)則，棱角度高。為研究級(jí)配對(duì)珊瑚砂G0的影響，設(shè)計(jì)了15組級(jí)配（圖2），按研究目的分成3組。CU組：珊瑚砂級(jí)配僅Cu不同（Cu=2.10～11.20），其他參數(shù)一致或接近（d50≈0.53 mm，F(xiàn)c=0%），主要研究Cu對(duì)珊瑚砂G0的影響；D組：僅d50不同（d50=0.21～2.00 mm），Cu接近（Cu≈2.95），F(xiàn)c一致（Fc=0%），主要研究d50對(duì)珊瑚砂G0的影響；FC組：主要為不同細(xì)粒含量的珊瑚砂-粉混合土，在級(jí)配編號(hào)為S0的純砂中分別摻入Fc=0%～40%的細(xì)粒，以研究Fc對(duì)珊瑚砂G0的影響，并用于驗(yàn)證珊瑚砂G0模型。南沙珊瑚砂的具體物理性質(zhì)見(jiàn)表1。由表1可知，隨著Fc的增大，Cu先增大后緩慢減小，當(dāng)Fc≈30%時(shí)，Cu最大；d50隨Fc的增大而減小。

如圖3所示，南沙珊瑚砂的最大孔隙比emax和最小孔隙比emin均隨Cu的增大而減?。籩max隨d50變化不明顯，emin隨d50的增大而緩慢增大；以Fc=30%為界，emax和emin隨Fc的增大先減小后增大。Menq[5]總結(jié)了陸源砂礫土的emax、emin平均曲線（圖3（a）），珊瑚砂的孔隙比遠(yuǎn)大于陸源砂礫土，主要原因是：1）珊瑚砂顆粒形狀不規(guī)則且棱角度高，導(dǎo)致珊瑚砂的孔隙比更大[14]；2）珊瑚砂含有大量?jī)?nèi)孔隙，部分內(nèi)孔隙與外界連通，成為顆粒的表面孔隙，導(dǎo)致珊瑚砂的孔隙比比陸源砂礫土的大。

1.2 試驗(yàn)過(guò)程

試驗(yàn)采用美國(guó)GCTS公司研制的TSH-100“固定-自由”型共振柱儀，如圖4所示，儀器性能指標(biāo)詳見(jiàn)文獻(xiàn)[15]。固結(jié)壓力通過(guò)氣壓伺服系統(tǒng)控制，試樣底部固定，頂部采用全自動(dòng)懸浮扭轉(zhuǎn)馬達(dá)進(jìn)行激振，土樣剪應(yīng)變由頂部馬達(dá)延長(zhǎng)臂上加速度傳感器測(cè)得。保持激振荷載不變，通過(guò)掃頻激振方式確定試樣剪應(yīng)變幅值最大時(shí)的共振頻率f1，動(dòng)剪切模量G通過(guò)式（3）確定。

式中φ1根據(jù)式（4）計(jì)算。

φ1 tan （ φ1 ）= Iθ /It （4）

式中：ρ為試樣密度；Vs為剪切波速；h為試樣高度；Iθ為圓柱試樣繞軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；It為頂部所有參振部件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

圖5為典型的共振柱掃頻激振試驗(yàn)結(jié)果，不同激振頻率下試樣的應(yīng)變幅值如圖5（a）所示，由此獲得相應(yīng)激振剪應(yīng)變?chǔ)胊最大時(shí)的共振頻率。共振頻率下試樣的應(yīng)變時(shí)程如圖5（b）所示。

試樣直徑50 mm、高度100 mm，制樣方法參考文獻(xiàn)[11]。每組級(jí)配按不同初始孔隙比e0配制3～4個(gè)試樣（表1），聯(lián)合采用通CO2、通循環(huán)無(wú)氣水與施加反壓（200 kPa）3種方法進(jìn)行飽和，使B值大于0.95。

由于試驗(yàn)為無(wú)損測(cè)試，可對(duì)同一試樣按σ'0=20、50、100、150、200、300 kPa 的次序進(jìn)行等壓固結(jié)和共振柱試驗(yàn)，每級(jí)固結(jié)時(shí)間不少于30 min，并記錄試樣的體應(yīng)變?chǔ)舦，由此計(jì)算每級(jí)固結(jié)后試樣的實(shí)際孔隙比e。每級(jí)固結(jié)完成后，均對(duì)試樣進(jìn)行激振，測(cè)試小應(yīng)變幅值γa （10-6量級(jí)）下的G 即為最大動(dòng)剪切模量G0。

2 試驗(yàn)結(jié)果及G0預(yù)測(cè)模型

2.1 試驗(yàn)結(jié)果

所有53個(gè)南沙島礁珊瑚砂試樣的G0測(cè)試結(jié)果如圖6所示，圖例中試樣編號(hào)的末位數(shù)字為同一級(jí)配下e0從大到小次序的序號(hào)。表2總結(jié)了部分典型的G0經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蚚5-6，10，12]。采用現(xiàn)有G0模型對(duì)南沙珊瑚砂G0值進(jìn)行預(yù)測(cè)，如圖7所示。可以發(fā)現(xiàn)：式（2）形式的G0模型，尤其是Menq[5]模型和Senetakis等[10]模型預(yù)測(cè)結(jié)果的離散性較?。魂懺瓷暗[土的G0模型低估了約40%的南沙珊瑚砂G0值。

基于式（2）的形式建立珊瑚砂的G0 預(yù)測(cè)模型。圖8 為相同σ'0（150 kPa）下珊瑚砂G0 與e 的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：1）雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中，同一σ'0 下的G0-e 呈直線關(guān)系，其斜率即為式（2）中的參數(shù)c；2）不同級(jí)配的lg G0-lg e 曲線互相平行，說(shuō)明參數(shù)c 的取值（-0. 924）與級(jí)配無(wú)關(guān)，與Payan 等[9]的結(jié)論一致；3）同一σ'0 下，珊瑚砂的G0-e 曲線隨Cu 的增大而降低（圖8（a）），隨d50 的增大而上移（圖8（b）），以Fc≈20% 為界，隨Fc 的增大先降低后稍微上移（圖8（c））。將G0按G0/e-0. 924進(jìn)行規(guī)準(zhǔn)化，如圖9 所示，在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中，G0/e-0. 924-σ'0/Pa 同樣呈直線關(guān)系，其斜率即為式（2）中的參數(shù)n，σ'0/Pa=1. 0 時(shí)對(duì)應(yīng)的G0/e-0. 924 值即為式（2）中的參數(shù)A。不同工況下，采用式（2）擬合的參數(shù)A 和n 的最佳擬合結(jié)果見(jiàn)表1。

2.2 G0預(yù)測(cè)模型

通常假設(shè)Cu、d50和Fc對(duì)砂礫土G0的影響相互獨(dú)立[9]，則式（2）可改寫(xiě)為

G0 = A1 （Cu ） A2 （d50 ） A3 （ Fc ） e-0.924 ?

（σ0'/Pa ） n1 （Cu ） n2 （d50 ） n3 （ Fc ） （5）

式中：A1、n1是與Cu有關(guān)的函數(shù)；A2、n2是與d50有關(guān)的函數(shù)；A3、n3是與Fc有關(guān)的函數(shù)。

CU組試樣的d50幾近相同，F(xiàn)c=0%，參數(shù)A和n的變化主要由Cu的變化引起，參數(shù)A隨Cu的增大而減小，且減小的速率逐漸減慢（圖10（a））；參數(shù)n隨Cu的增大而增大，且增大速率逐漸減慢（圖10（b））。參數(shù)A1和n1的最佳擬合表達(dá)式為

D組試樣的Cu幾近相同，F(xiàn)c=0%，將D組試驗(yàn)結(jié)果擬合的A和n分別對(duì)A1和n1規(guī)準(zhǔn)化，得到消除Cu影響的A2（A/A1）和n2（n/n1）。A2隨d50的增大而線性增大（圖10（c）），n2隨d50的增大而線性減?。▓D10（d）），由此，參數(shù)A2、n2可表示為

A2 = 0.92 + 0.137d50 （8）

n2 = 1.02 - 0.065d50 （9）

FC組土樣的Cu和d50均隨Fc變化（表1）。同樣，F(xiàn)C組試驗(yàn)結(jié)果擬合的A和n分別對(duì)A1×A2和n1×n2規(guī)準(zhǔn)化，消除Cu和d50的影響，得到A3（A/A1/A2）和n3（n/n1/n2）隨Fc的變化關(guān)系。A3隨Fc的增大而略有減?。▓D10（e）），n3隨Fc無(wú)明顯變化規(guī)律（圖10（f））。Fc從0%增加至40%，A3和n3的變化均不超過(guò)5%。因此，相比于Cu和d50對(duì)珊瑚砂G0的影響，F(xiàn)c的影響可以忽略。Fc對(duì)珊瑚砂G0影響的根本原因是：Fc變化引起Cu和d50的改變，從而導(dǎo)致珊瑚砂的G0發(fā)生變化，也即，Cu和d50對(duì)G0的影響隱含了Fc對(duì)G0的影響。

現(xiàn)有研究表明：砂類(lèi)土的G0和σ'0 的關(guān)系與顆粒類(lèi)型（顆粒形狀、礦物特性）有很強(qiáng)的相關(guān)性[10，12，16]。引入修正系數(shù)A'，以考慮顆粒類(lèi)型等未涉及因素對(duì)珊瑚砂G0的綜合影響，則珊瑚砂G0經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ涂刹捎檬剑?0）表示。

G0= A'A1 （Cu ） A2 （d50 ） e-0.924 （σ0'/Pa ） n1 （Cu ） n2 （d50 ） （ 10）

3 G0預(yù)測(cè)模型驗(yàn)證

圖11（a）、（b）對(duì)比了基于CU組和D組試驗(yàn)結(jié)果建立的G0預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)值和試驗(yàn)值。由圖可見(jiàn)，預(yù)測(cè)值的相對(duì)誤差基本都不超過(guò)10%，且散點(diǎn)均勻地分布在45°線兩側(cè)。

在G0預(yù)測(cè)模型式（10）中，F(xiàn)c的影響是隱式的，F(xiàn)C組的G0預(yù)測(cè)值和試驗(yàn)值的對(duì)比結(jié)果如圖11（c）所示，相對(duì)誤差不超過(guò)10%，說(shuō)明Fc對(duì)珊瑚砂G0的影響確實(shí)已隱含在Cu和d50對(duì)G0的影響中。

為驗(yàn)證G0預(yù)測(cè)模型式（10）對(duì)不同海洋珊瑚砂的適用性，對(duì)西沙島礁珊瑚砂試樣也進(jìn)行了共振柱試驗(yàn)，并獲取了文獻(xiàn)中其他3個(gè)海洋珊瑚砂的G0試驗(yàn)值[12-13，17-18]，相應(yīng)的物理性質(zhì)指標(biāo)見(jiàn)表3。不同海洋珊瑚砂的emax和emin具有顯著差異，主要原因是不同海洋珊瑚砂的顆粒形狀差異較大，且其礦物成分不完全相同，如南沙珊瑚砂主要為珊瑚碎屑，顆粒多為粒狀和桿狀；而西沙珊瑚砂含有較多的貝殼碎屑，多片狀顆粒，顆粒的不規(guī)則性強(qiáng)于南沙珊瑚砂。如圖12（a）所示，當(dāng)不考慮珊瑚砂顆粒類(lèi)型影響時(shí)（A'統(tǒng)一取1.0），對(duì)不同海洋的珊瑚砂，G0預(yù)測(cè)模型式式（10）預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值的散點(diǎn)不再均勻地分布在45°線兩側(cè)，在比例上存在一定差異，需向兩側(cè)旋轉(zhuǎn)偏移一定角度，但同類(lèi)珊瑚砂的G0預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值散點(diǎn)的離散程度比較小，說(shuō)明式（10）可靠地揭示了級(jí)配特征對(duì)珊瑚砂G0的影響，只需對(duì)G0預(yù)測(cè)模型式（10）進(jìn)行簡(jiǎn)單修正，即可適用于不同海洋珊瑚砂的G0預(yù)測(cè)。

根據(jù)圖12（a），顆粒類(lèi)型修正系數(shù)A'的取值列于表3。由圖3可知，極限孔隙比emax和emin與顆粒級(jí)配、顆粒形狀等特征具有顯著相關(guān)性。Yilmaz等[19]、Chen等[20]采用極限孔隙比作為綜合表征土體物理特征內(nèi)在物理量，并用于評(píng)估飽和砂礫土的液化敏感性。筆者參考上述研究，同樣采用極限孔隙比綜合反映土體級(jí)配、形狀、礦物類(lèi)別等因素，評(píng)估G0模型的系數(shù)A'，并進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)A'隨珊瑚砂emax和emin的增大而增大，可采用式（11）估算。

根據(jù)式（11）估算A'，式（10）計(jì)算的不同海洋珊瑚砂G0預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值的對(duì)比如圖12（b）所示，除個(gè)別數(shù)據(jù)點(diǎn)外，G0預(yù)測(cè)模型式（10）對(duì)不同類(lèi)型珊瑚砂G0的預(yù)測(cè)誤差小于20%，且散點(diǎn)也均勻地分布在45°線兩側(cè)。對(duì)于G0的預(yù)測(cè)，這樣的誤差在工程實(shí)踐中是可以接受的。這表明G0預(yù)測(cè)模型式（10）具有較好的普適性。

4 結(jié)論

通過(guò)15 組不同級(jí)配的南沙珊瑚砂的共振柱試驗(yàn)，研究了孔隙比e、平均有效圍壓σ'0、不均勻系數(shù)Cu、平均粒徑d50 和細(xì)粒含量Fc 對(duì)最大動(dòng)剪切模量G0的影響，主要結(jié)論如下：

1）陸源砂礫土的G0 經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷凸懒思s40% 的珊瑚砂G0值。

2）同一σ'0 下，珊瑚砂的G0-e 曲線隨Cu 的增大而降低，隨d50 的增大而升高，以Fc≈20% 為界，隨Fc的增大先減小后稍微增大。

3）Fc對(duì)G0影響的本質(zhì)是不同F(xiàn)c的珊瑚砂具有不同的Cu和d50，Cu和d50對(duì)G0的影響隱含F(xiàn)c對(duì)珊瑚砂G0的影響?；贖ardin模型，提出了與Cu、d50相關(guān)的珊瑚砂G0預(yù)測(cè)模型。

4）引入與emax和emin有關(guān)的修正系數(shù)A'，以考慮G0預(yù)測(cè)模型建模過(guò)程中未涉及的顆粒類(lèi)型等復(fù)雜因素的綜合影響。采用南沙、西沙及文獻(xiàn)中其他3類(lèi)的珊瑚砂對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明，G0預(yù)測(cè)模型適用于不同海洋的各類(lèi)珊瑚砂。

參考文獻(xiàn)

[1]? YANG J， GU X Q. Shear stiffness of granular material at small strains： Does it depend on grain size [J]. Géotechnique， 2013， 63（2）： 165-179.

[2]? 顧曉強(qiáng)， 楊峻， 黃茂松， 等. 砂土剪切模量測(cè)定的彎曲元、共振柱和循環(huán)扭剪試驗(yàn)[J]. 巖土工程學(xué)報(bào)， 2016， 38（4）： 740-746.

GU X Q， YANG J， HUANG M S， et al. Combining bender element， resonant column and cyclic torsional shear tests to determine small strain shear modulus of sand [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2016， 38（4）： 740-746. （in Chinese）

[3]? HARDIN B O， DRNEVICH V P. Shear modulus and damping in soils： Design equations and curves [J]. Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division， 1972， 98（7）： 667-692.

[4]? HARDIN B O， RICHART F E Jr. Elastic wave velocities in granular soils [J]. Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division， 1963， 89（1）： 33-65.

[5]? MENQ F. Dynamic properties of sandy and gravelly soils [D]. Austin： The University of Texas， 2003.

[6]? WICHTMANN T， TRIANTAFYLLIDIS T. Influence of the grain-size distribution curve of quartz sand on the small strain shear modulus Gmax [J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering， 2009， 135（10）： 1404-1418.

[7]? LIU X， YANG J. Influence of size disparity on small-strain shear modulus of sand-fines mixtures [J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering， 2018， 115： 217-224.

[8]? 畢昇， 陳國(guó)興， 周正龍， 等. 細(xì)粒含量及固結(jié)應(yīng)力對(duì)飽和砂土動(dòng)剪切模量和阻尼比影響試驗(yàn)研究[J]. 巖土工程學(xué)報(bào)， 2017， 39（Sup1）： 48-52.

BI S， CHEN G X， ZHOU Z L， et al. Experimental study on influences of fines content and consolidation stress on shear modulus and damping ratio of saturated sand [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2017， 39（Sup1）： 48-52. （in Chinese）

[9]? PAYAN M， et al. Effect of particle shape and validity of Gmax models for sand： A critical review and a new expression [J]. Computers and Geotechnics， 2016， 72： 28-41.

[10]? SENETAKIS K， ANASTASIADIS A， PITILAKIS K. The small-strain shear modulus and damping ratio of quartz and volcanic sands [J]. Geotechnical Testing Journal， 2012， 35（6）： 20120073.

[11]? 梁珂， 何楊， 陳國(guó)興. 南沙珊瑚砂的動(dòng)剪切模量和阻尼比特性試驗(yàn)研究[J]. 巖土力學(xué)， 2020， 41（1）： 23-31， 38.

LIANG K， HE Y， CHEN G X. Experimental study of dynamic shear modulus and damping ratio characteristics of coral sand from Nansha Islands [J]. Rock and Soil Mechanics， 2020， 41（1）： 23-31， 38. （in Chinese）

[12]? HA GIANG P H， VAN IMPE P O， VAN IMPE W F， et al. Small-strain shear modulus of calcareous sand and its dependence on particle characteristics and gradation [J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering， 2017， 100： 371-379.

[13]? MORSY A M， SALEM M A， ELMAMLOUK H H. Evaluation of dynamic properties of calcareous sands in Egypt at small and medium shear strain ranges [J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering， 2019， 116： 692-708.

[14]? CHO G C， DODDS J， SANTAMARINA J C. Particle shape effects on packing density， stiffness， and strength： natural and crushed sands [J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering， 2006， 132（5）： 591-602.

[15]? CHEN G X， ZHAO D F， CHEN W Y， et al. Excess pore-water pressure generation in cyclic undrained testing [J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering， 2019， 145（7）： 04019022.

[16]? SENETAKIS K， ANASTASIADIS A， PITILAKIS K. Normalized shear modulus reduction and damping ratio curves of quartz sand and rhyolitic crushed rock [J]. Soils and Foundations， 2013， 53（6）： 879-893.

[17]? CATANO J， PANDO M A. Static and dynamic properties of a calcareous sand from southwest Puerto Rico [C]//GeoFlorida 2010. February 20-24， 2010， Orlando， Florida， USA. Reston， VA， USA： American Society of Civil Engineers， 2010： 842-851.

[18]? WANG Y. Dynamic properties of fine liquefiable sand and calcareous sand from resonant column testing [D]. Austin： The University of Texas， 2003.

[19]? YILMAZ Y， MOLLAMAHMUTOGLU M. Characterization of liquefaction susceptibility of sands by means of extreme void ratios and/or void ratio range [J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering， 2009， 135（12）： 1986-1990.

[20]? CHEN G X， WU Q， SUN T， et al. Cyclic behaviors of saturated sand-gravel mixtures under undrained cyclic triaxial loading [J]. Journal of Earthquake Engineering， 2021， 25（4）： 756-789.