有約束重復(fù)使用運(yùn)載器障礙變換預(yù)設(shè)時(shí)間控制

徐世昊，王 偉，張峪浩，浦甲倫，關(guān)英姿

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 150001；2. 北京航天自動(dòng)控制研究所，北京 100854)

0 引 言

重復(fù)使用運(yùn)載器(Reusable launch vehicle, RLV)具有可復(fù)用的天地往返運(yùn)輸能力,應(yīng)用前景廣闊。水平再入返回段是RLV飛行剖面中的關(guān)鍵環(huán)節(jié),對(duì)實(shí)現(xiàn)可控回收至關(guān)重要,而此飛行段中運(yùn)載器動(dòng)力學(xué)耦合特性嚴(yán)重,模型參數(shù)不確定性高,對(duì)控制系統(tǒng)的抗擾能力及魯棒性提出了較高要求[1]。為實(shí)現(xiàn)水平再入回收,RLV通常采用大翼展面對(duì)稱體構(gòu)型。再入返回過(guò)程中過(guò)大的攻角與側(cè)滑角將引起氣動(dòng)彎矩超過(guò)限制,不利于結(jié)構(gòu)安全。因此,設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)需考慮姿態(tài)角的約束條件,從而增加了飛行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的難度。

對(duì)于考慮狀態(tài)約束的非線性系統(tǒng)控制問(wèn)題,基于障礙Lyapunov函數(shù)(Barrier Lyapunov function, BLF)的控制方法是一類行之有效的解決方案[2-6]。該類方法通常采用對(duì)數(shù)函數(shù)、正切函數(shù)等,構(gòu)造與誤差變量及約束條件相關(guān)的BLF,并設(shè)計(jì)控制律使得BLF有界,從而保證約束不被違反。文獻(xiàn)[3]基于BLF與動(dòng)態(tài)面方法,設(shè)計(jì)了吸氣式高超聲速飛行器的保性能安全控制方案,保證了發(fā)動(dòng)機(jī)狀態(tài)滿足安全邊界。文獻(xiàn)[4]綜合BLF法及反步法,設(shè)計(jì)了彈性高超聲速飛行器的抗飽和自適應(yīng)容錯(cuò)控制律,保證了跟蹤誤差變量指數(shù)收斂至原點(diǎn)附近鄰域,且滿足期望的跟蹤性能。文獻(xiàn)[5]基于非對(duì)稱BLF及參數(shù)自適應(yīng)律,設(shè)計(jì)了高超聲速飛行器縱向通道控制律,保證了攻角滿足預(yù)定的非對(duì)稱約束條件。文獻(xiàn)[6]結(jié)合有限時(shí)間自適應(yīng)反步法與BLF發(fā)設(shè)計(jì)控制律,保證了飛行器高度、俯仰角和航跡方向角滿足約束,且控制誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂至原點(diǎn)附近鄰域。上述方法雖可有效保證約束條件的滿足,但大多僅考慮固定非時(shí)變的姿態(tài)角約束;且控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中需將狀態(tài)約束轉(zhuǎn)變?yōu)楦櫿`差約束,對(duì)狀態(tài)初值范圍要求較為保守[7],一定程度上限制了方法的應(yīng)用。

此外,文獻(xiàn)[3-6]中的方法僅能實(shí)現(xiàn)控制誤差的指數(shù)或有限時(shí)間收斂,這意味著收斂時(shí)間上界無(wú)法僅由控制參數(shù)決定,難以進(jìn)行主動(dòng)定量調(diào)節(jié)。為解決這一問(wèn)題,固定時(shí)間控制方法被提出,該方法可使系統(tǒng)收斂時(shí)間不依賴于狀態(tài)初值,并顯著提高收斂速度,在飛行器姿態(tài)控制領(lǐng)域得到了較為廣泛的應(yīng)用[8-12]。文獻(xiàn)[9-10]綜合利用擾動(dòng)觀測(cè)器及終端滑模方法,設(shè)計(jì)了考慮模型參數(shù)攝動(dòng)和不確定擾動(dòng)的RLV再入姿態(tài)控制律,使姿態(tài)跟蹤誤差在固定時(shí)間內(nèi)收斂至0。文獻(xiàn)[11]基于切換型冪次反饋控制律及固定時(shí)間指令濾波器,實(shí)現(xiàn)了不確定擾動(dòng)與執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障影響下,跟蹤誤差以固定時(shí)間收斂至原點(diǎn)附近鄰域。文獻(xiàn)[12]基于時(shí)標(biāo)分離思想及多變量超螺旋方法設(shè)計(jì)控制律,在實(shí)現(xiàn)姿態(tài)跟蹤誤差固定時(shí)間收斂的同時(shí)減弱了控制量的抖振。然而上述固定時(shí)間控制律作用下,RLV姿態(tài)跟蹤誤差的收斂時(shí)間由多個(gè)控制參數(shù)的復(fù)雜表達(dá)式?jīng)Q定,難以由單一、具明顯含義的參數(shù)直接調(diào)節(jié),為控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的定量調(diào)控與優(yōu)化設(shè)計(jì)帶來(lái)困難。

綜上可見(jiàn),上述飛行器控制方法較少考慮時(shí)變的約束條件,且存在狀態(tài)初值約束保守,收斂時(shí)間不便定量調(diào)控的問(wèn)題。但在實(shí)際情形中,RLV的姿態(tài)角約束邊界往往隨著飛行狀態(tài)及任務(wù)變化,且受制導(dǎo)控制累積誤差影響,再入初始狀態(tài)散布較大,從而限制了約束邊界的靈活選取。此外,不合理的收斂時(shí)間設(shè)定易引發(fā)執(zhí)行機(jī)構(gòu)長(zhǎng)時(shí)間飽和、附加動(dòng)力學(xué)行為被激發(fā)、姿態(tài)控制誤差累積等潛在問(wèn)題。因此,如何在滿足RLV姿態(tài)角時(shí)變約束的同時(shí),放寬對(duì)姿態(tài)初始條件的限制,且使收斂時(shí)間可由單一控制參數(shù)調(diào)節(jié),即實(shí)現(xiàn)姿態(tài)跟蹤誤差的預(yù)設(shè)時(shí)間收斂,是值得研究的問(wèn)題。

基于上述分析討論,本文重點(diǎn)研究RLV水平再入返回過(guò)程中,存在姿態(tài)角約束的預(yù)設(shè)時(shí)間姿態(tài)控制問(wèn)題。對(duì)RLV動(dòng)力學(xué)模型中受約束姿態(tài)角進(jìn)行障礙變換,獲得等價(jià)無(wú)約束模型;結(jié)合指令濾波器及RBF網(wǎng)絡(luò),對(duì)無(wú)約束模型設(shè)計(jì)預(yù)設(shè)時(shí)間反步控制律;基于Lyapunov理論證明姿態(tài)控制誤差可在預(yù)設(shè)時(shí)間內(nèi)收斂至原點(diǎn)附近鄰域,且時(shí)變姿態(tài)角約束始終可以得到滿足;最后進(jìn)行對(duì)比仿真,驗(yàn)證所提方法是否有效。

1 模型及問(wèn)題描述

面向控制的RLV再入姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型為[13]

(1)

(2)

(3)

定義制導(dǎo)指令為xd=[αd,βd,σd]T,姿態(tài)跟蹤誤差為ex=x1-xd。本文的主要目的為,基于式(1)所示的動(dòng)力學(xué)模型設(shè)計(jì)控制律,使姿態(tài)跟蹤誤差在預(yù)設(shè)時(shí)間內(nèi)收斂至原點(diǎn)附近鄰域,且姿態(tài)角滿足約束

(4)

假設(shè)1.動(dòng)力學(xué)模型中Δf與ΔD是有界的[14],且制導(dǎo)指令xd滿足

(5)

2 預(yù)設(shè)時(shí)間控制律設(shè)計(jì)

2.1 基于障礙變換的控制模型轉(zhuǎn)化

不同于BLF方法將狀態(tài)約束轉(zhuǎn)變?yōu)楦櫿`差約束的設(shè)計(jì)思路,本文采用內(nèi)含約束的障礙函數(shù)對(duì)受約束狀態(tài)量x1直接進(jìn)行等價(jià)無(wú)約束變換。設(shè)計(jì)BF為

(6)

(7)

利用式(6)對(duì)動(dòng)力學(xué)模型(1)中的x1進(jìn)行障礙變換,得等價(jià)無(wú)約束變量為

ξ1=Λ1x1+b1

(8)

式中:ξ1=[ξ11,ξ12,ξ13]T;Λ1=diag(Λ11,Λ12,Λ13);b1=[b11,b12,b13]T;ξ1i,Λ1i,b1i(i=1,2,3)的表達(dá)式為

(9)

由式(7)中第1式和第2式可見(jiàn),若姿態(tài)角初值滿足

(10)

對(duì)式(8)求導(dǎo),得等價(jià)無(wú)約束控制模型為

(11)

(12)

定義外環(huán)跟蹤誤差為

eξ=ξ1-ξd=ρex

(13)

式中:ξd=[ξd1,ξd2,ξd3]T,ρ=diag(ρ1,ρ2,ρ3);ξdi,ρi(i=1,2,3)的表達(dá)式為

(14)

2.2 控制律設(shè)計(jì)

針對(duì)等價(jià)無(wú)約束控制模型(11),本文基于反步法設(shè)計(jì)控制律,首先對(duì)eξ求導(dǎo)有

(15)

設(shè)計(jì)虛擬控制律α1為

(16)

式中:sig1-γ(·)=|·|1-γsgn(·), sig1+γ(·)=|·|1+γsgn(·);Tc>0為預(yù)設(shè)收斂時(shí)間參數(shù);0<γ<1為冪次系數(shù);k1,k2>0為增益系數(shù)。

利用指令濾波器避免微分膨脹問(wèn)題

(17)

式中:τ>0為濾波器的時(shí)間常數(shù)。定義指令濾波誤差為zf=α2-α1。

定義內(nèi)環(huán)控制誤差信號(hào)為

eω=x2-α2

(18)

對(duì)eω求導(dǎo)有

(19)

鑒于RBF網(wǎng)絡(luò)可在緊集上以任意精度逼近非線性函數(shù)[15],本文采用RBF網(wǎng)絡(luò)對(duì)不確定擾動(dòng)項(xiàng)ΔD進(jìn)行估計(jì)補(bǔ)償,則有

ΔD=WTφ(x)+ε

(20)

(21)

設(shè)計(jì)控制律為

(22)

網(wǎng)絡(luò)權(quán)重更新律設(shè)計(jì)為

(23)

式中:ηω>0。

本文的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

注1.與文獻(xiàn)[16-19]中基于對(duì)數(shù)函數(shù)、正切函數(shù)的預(yù)設(shè)性能姿態(tài)控制方法不同,本文障礙變換方法可直接處理狀態(tài)約束,而不需轉(zhuǎn)化為跟蹤誤差約束,控制律的設(shè)計(jì)更為簡(jiǎn)潔;同時(shí)由式(10)后的分析可見(jiàn),本文方法同樣適用于無(wú)約束姿態(tài)控制問(wèn)題,這是上述預(yù)設(shè)性能姿態(tài)控制方法無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。

注2.控制參數(shù)Tc影響姿態(tài)控制誤差ex的收斂時(shí)間,選取較小的Tc雖然有利于ex的快速收斂,但會(huì)增大初始控制量的需求;控制參數(shù)γ影響姿態(tài)控制誤差收斂的動(dòng)態(tài)過(guò)程,增大γ可改變控制律中的冪次系數(shù)1-γ與1+γ,提高ex的趨近速度,但同樣會(huì)增大控制量需求,故Tc與γ的大小需綜合控制快速性與控制能力來(lái)設(shè)計(jì)。

2.3 穩(wěn)定性分析

為了后續(xù)的穩(wěn)定性分析證明,給出如下引理。

考慮自治系統(tǒng)

(24)

式中:x為系統(tǒng)狀態(tài);d為未知有界擾動(dòng);f為非線性函數(shù);設(shè)無(wú)擾動(dòng)情況下該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為原點(diǎn)。

引理1[20].針對(duì)式(24)所示系統(tǒng),存在徑向無(wú)界且正定的Lyapunov函數(shù)V(x)滿足

(25)

式中:k>0,c>0,則系統(tǒng)狀態(tài)一致有界。

引理2[21].針對(duì)式(24)所示系統(tǒng),若存在徑向無(wú)界且正定的Lyapunov函數(shù)V(x)滿足

(26)

式中:α>0,β>0, 0<ε<+∞, 0<γ<1,T>0。則系統(tǒng)狀態(tài)將收斂至原點(diǎn)附近鄰域

(27)

定理1.針對(duì)式(1)所示的RLV動(dòng)力學(xué)模型,若假設(shè)1成立,且姿態(tài)角初值滿足式(10),采用控制律式(16)、式(22),指令濾波器式(17)及網(wǎng)絡(luò)權(quán)重更新律式(23),則閉環(huán)系統(tǒng)滿足下述性質(zhì):

1)式(28)包含的所有誤差信號(hào)一致有界,且姿態(tài)角滿足式(4)約束;

證.首先證明閉環(huán)系統(tǒng)性質(zhì)1,構(gòu)造Lyapunov候選函數(shù)為

(28)

對(duì)V1求導(dǎo)有

(29)

考慮不等式=x=2≤=x=2+γ+=x=2-γ成立,式(29)放縮為

(30)

(31)

(32)

進(jìn)一步證明閉環(huán)系統(tǒng)性質(zhì)2,構(gòu)造Lyapunov候選函數(shù)為

(33)

對(duì)V2求導(dǎo),并由式(29)及式(30)得:

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

證畢。

3 仿真校驗(yàn)

3.1 仿真條件

選取文獻(xiàn)[22]中RLV參數(shù),基于初始再入段制導(dǎo)指令進(jìn)行六自由度仿真分析。RLV再入過(guò)程中改變攻角以調(diào)節(jié)升力,保持側(cè)滑角為0°,并翻轉(zhuǎn)傾側(cè)角調(diào)節(jié)航向。0～10 s內(nèi)攻角指令為αd=30°,10 s后攻角指令為αd=(58.5-0.285t)°;側(cè)滑角指令為βd=0°,傾側(cè)角指令為σd=20°,采用傳遞函數(shù)為0.01/(s2+0.15s+0.01)的濾波器平滑處理σd。

仿真中姿態(tài)角和姿態(tài)角速度的初始值設(shè)置為α0=28°,β0=-2°,σ0=-2°,ωx=ωy=ωz=0(°)/s。為說(shuō)明本文提出方法應(yīng)對(duì)參數(shù)偏差與擾動(dòng)的能力,設(shè)置RLV轉(zhuǎn)動(dòng)慣量偏差+10%,氣動(dòng)參數(shù)及大氣密度偏差+20%,并在三通道引入(1+sin(t))×104N·m的干擾力矩。再入過(guò)程中姿態(tài)角約束設(shè)置為

(40)

3.2 控制律預(yù)設(shè)時(shí)間收斂性仿真校驗(yàn)

圖2 不同Tc設(shè)定下側(cè)滑角變化曲線

圖3 不同Tc設(shè)定下內(nèi)外環(huán)跟蹤誤差變化曲線

由以上仿真結(jié)果,側(cè)滑角始終可滿足時(shí)變約束,且參數(shù)Tc可直接調(diào)節(jié)偏航通道姿態(tài)跟蹤誤差及內(nèi)外環(huán)跟蹤誤差的收斂時(shí)間,從而驗(yàn)證了本文控制方法既可滿足姿態(tài)角約束(40),又可實(shí)現(xiàn)預(yù)設(shè)時(shí)間收斂。

3.3 控制性能對(duì)比仿真校驗(yàn)

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出方法的性能,選取文獻(xiàn)[5]中考慮非時(shí)變約束的BLF控制方法(下稱BLF方法)及文獻(xiàn)[23]中不考慮姿態(tài)約束的自適應(yīng)反步控制方法(下稱ABS方法)進(jìn)行對(duì)比。綜合考慮控制力矩幅值及姿態(tài)跟蹤誤差收斂速度要求設(shè)置Tc=3,其他參數(shù)同3.2節(jié)。調(diào)節(jié)對(duì)比控制方法的參數(shù)使得3類方法收斂時(shí)間相近,BLF方法參數(shù)為c1=3,λ1=0.1,c2=3,λ2=0.1,σ=0.001,η=10,δ=0.01,p0=0.5,p1=0.1;ABS方法參數(shù)為K1=30,c0=1,c1=100,c2=1,ε=10-5。仿真結(jié)果如圖4～7所示。

圖4 攻角變化曲線

圖5 側(cè)滑角變化曲線

圖6 傾側(cè)角變化曲線

圖4～6給出了再入過(guò)程中的姿態(tài)角響應(yīng)曲線,可見(jiàn)本文方法可生成合理的控制力矩指令,使得姿態(tài)角始終滿足時(shí)變約束,且使姿態(tài)跟蹤誤差在預(yù)設(shè)時(shí)間3 s內(nèi)收斂,從而進(jìn)一步說(shuō)明了本文障礙變換與預(yù)設(shè)時(shí)間控制方法的有效性。而如圖4～6中的0～5 s仿真曲線所示,ABS方法與BLF方法由于無(wú)法考慮姿態(tài)角的時(shí)變約束,導(dǎo)致姿態(tài)角超過(guò)了預(yù)設(shè)約束邊界。由圖7可知,本文所設(shè)計(jì)的RBF網(wǎng)絡(luò)可在5 s內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)擾動(dòng)的高精度觀測(cè),且網(wǎng)絡(luò)權(quán)重保持有界。在仿真開(kāi)始10 s,由于RLV攻角指令切換至斜坡形式,且傾側(cè)方向開(kāi)始機(jī)動(dòng),擾動(dòng)觀測(cè)誤差有所增大,但仍能較快收斂。

圖7 擾動(dòng)觀測(cè)誤差及RBF網(wǎng)絡(luò)權(quán)重變化曲線

為進(jìn)一步定量評(píng)價(jià)控制系統(tǒng)性能,引入時(shí)間絕對(duì)誤差積分(Integral time absolute error, ITAE)指標(biāo)及均方根誤差(Root mean square error, RMSE)指標(biāo),以分別衡量再入過(guò)程中的累積控制誤差與平均控制誤差,兩類指標(biāo)的表達(dá)式為

(41)

(42)

這3種控制方法的性能指標(biāo)對(duì)比見(jiàn)表1。

表1 性能指標(biāo)對(duì)比

由表1可見(jiàn),相較于BLF方法與ABS方法,本文方法的ITAE與RMSE指標(biāo)均更小,說(shuō)明在模型參數(shù)攝動(dòng)、不確定擾動(dòng)影響下,本文方法能夠?qū)崿F(xiàn)更小的累積控制誤差和平均控制誤差,從而反映出本文方法具有更強(qiáng)的抗擾能力與魯棒性,可在滿足姿態(tài)角約束的同時(shí),實(shí)現(xiàn)更佳的跟蹤控制性能。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)姿態(tài)角受約束的RLV再入段姿態(tài)跟蹤控制問(wèn)題,提出了一種基于障礙變換的預(yù)設(shè)時(shí)間控制方法,主要結(jié)論如下:

1) 設(shè)計(jì)了內(nèi)含時(shí)變約束的障礙函數(shù),可對(duì)受約束姿態(tài)角進(jìn)行障礙變換,獲得等價(jià)無(wú)約束變量及控制模型,使有約束控制問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為無(wú)約束變量的鎮(zhèn)定問(wèn)題;

2) 基于反步法、指令濾波器與RBF網(wǎng)絡(luò),對(duì)等價(jià)無(wú)約束模型設(shè)計(jì)了預(yù)設(shè)時(shí)間控制律,Lyapunov理論證明了無(wú)約束變量及姿態(tài)控制誤差可在預(yù)設(shè)時(shí)間內(nèi)收斂至原點(diǎn)附近鄰域,且姿態(tài)角滿足時(shí)變約束;

3) 仿真結(jié)果表明,在模型參數(shù)不確定性及外部干擾影響下,本文方法可使姿態(tài)角時(shí)變約束得到滿足,姿態(tài)控制誤差收斂時(shí)間可由控制參數(shù)Tc直接調(diào)節(jié);且相較于BLF方法與ABS方法,本文方法具有更小的累積控制誤差與平均控制誤差。

后續(xù)將進(jìn)一步研究考慮控制飽和影響的約束邊界自適應(yīng)整定方法,進(jìn)一步完善本文研究。