空空導(dǎo)彈反強(qiáng)機(jī)動目標(biāo)時間約束滑模制導(dǎo)律

張晨欣，王寧宇，王小剛

(1. 國防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院，長沙 410073；2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 150001)

0 引 言

在現(xiàn)代作戰(zhàn)場景下,空空導(dǎo)彈因具有機(jī)動能力強(qiáng)、發(fā)射條件靈活、作戰(zhàn)范圍廣等獨(dú)特優(yōu)勢,已逐步成為奪取空中優(yōu)勢的主要作戰(zhàn)武器[1]?？湛諏?dǎo)彈對抗能力的強(qiáng)弱,主要取決于制導(dǎo)、控制系統(tǒng)性能,美、俄、德等軍事強(qiáng)國均對于先進(jìn)空空導(dǎo)彈技術(shù)開展了大量研究并取得了諸多代表性成果[2-4]。美國在2022年開始對AIM-120導(dǎo)彈進(jìn)行性能升級,不僅采用多源高精度目標(biāo)數(shù)據(jù),還進(jìn)一步增強(qiáng)協(xié)同作戰(zhàn)能力[2]。俄羅斯通過對“產(chǎn)品”300M空空導(dǎo)彈進(jìn)行改進(jìn),顯著提升了其抗干擾能力和飛行射程[3]。德國的“流星”空空導(dǎo)彈則提升了應(yīng)對密集目標(biāo)的性能,實現(xiàn)了全天候超視距作戰(zhàn)能力[4]。

隨著現(xiàn)代戰(zhàn)爭的發(fā)展,僅滿足于末端脫靶量要求的傳統(tǒng)制導(dǎo)律越來越難以對機(jī)動目標(biāo)進(jìn)行有效攔截[5]。因此,考慮攻擊時間約束或攻擊角度約束的多約束制導(dǎo)律備受各國科研人員的青睞。為有效對機(jī)動目標(biāo)進(jìn)行高效攔截,多彈在線協(xié)同編隊制導(dǎo)律[6-7]和考慮攻擊時間約束的齊射制導(dǎo)律[8]應(yīng)運(yùn)而生。然而在實際作戰(zhàn)應(yīng)用過程中,多彈協(xié)同在線編隊制導(dǎo)律存在復(fù)雜戰(zhàn)場環(huán)境中通信難、多變戰(zhàn)場態(tài)勢算法穩(wěn)定性差、彈載計算機(jī)解算效率低等難題。而考慮攻擊時間約束的制導(dǎo)律不僅能夠保證單彈能夠按照期望的時間到達(dá)目標(biāo)點,還可以應(yīng)用于多彈齊射作戰(zhàn)和多彈貫序作戰(zhàn)中,因此通過設(shè)定期望攻擊時間的攻擊時間約束制導(dǎo)律成為各國爭相研究的熱點。

為了有效提升導(dǎo)彈對目標(biāo)的協(xié)同打擊能力,增強(qiáng)對目標(biāo)的毀傷效果,越來越多的研究人員開展攻擊時間約束制導(dǎo)律的研究。Jeon等[9]針對反艦導(dǎo)彈的齊射攻擊時間控制問題,基于比例導(dǎo)引法(Proportional navigation guidance, PNG),通過設(shè)計附加時間約束項設(shè)計了一種攻擊時間約束制導(dǎo)律。Jeon等[10]之后又通過引入剩余時間估計反饋項,提出了一種廣義攻擊時間約束制導(dǎo)律。隨后眾多研究人員基于PNG框架開展了許多攻擊時間約束制導(dǎo)律的研究[11]。隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展,越來越多的非線性控制算法被應(yīng)用于攻擊時間約束制導(dǎo)律的設(shè)計過程中,如Lyapunov穩(wěn)定性理論[12]、滑?？刂评碚?Sliding mode control, SMC)[13]、反步控制理論[14]等。通過估計剩余時間并反饋剩余時間誤差,將攻擊時間約束問題轉(zhuǎn)化為剩余時間誤差控制問題,結(jié)合非線性控制理論推導(dǎo)得出攻擊時間約束制導(dǎo)律。

雖然對于攻擊時間約束制導(dǎo)的研究已經(jīng)非常深入,且諸多先進(jìn)的算法已被廣泛應(yīng)用,但現(xiàn)有大部分攻擊時間制導(dǎo)律是在小角假設(shè)的前提下通過對導(dǎo)彈的剩余飛行時間進(jìn)行估計,并構(gòu)建剩余時間誤差函數(shù),通過不斷反饋剩余時間誤差來驅(qū)使導(dǎo)彈按照期望的攻擊時間來完成對目標(biāo)的打擊的[15]。由于小角假設(shè)被普遍應(yīng)用于剩余時間估計中,在制導(dǎo)律初始條件較差或目標(biāo)為機(jī)動目標(biāo)時,剩余時間估計存在較大誤差,進(jìn)而導(dǎo)致攻擊時間精度降低。因此,有些研究人員采用優(yōu)化算法[16]或覆蓋搜索算法[17],通過優(yōu)化一個或多個制導(dǎo)律參數(shù)來實現(xiàn)攻擊時間控制,然而這類攻擊時間約束制導(dǎo)律通常不能抵抗外部干擾且解算時間長。

為了避免剩余時間估計誤差對制導(dǎo)律精度的影響,Kim等[18]首先提出不依賴剩余時間估算的時間約束制導(dǎo)律設(shè)計。之后,Zhu等[19]基于最優(yōu)制導(dǎo)律,通過建立附加航向角與攻擊時間誤差的關(guān)系,實現(xiàn)巡航導(dǎo)彈攻擊時間約束制導(dǎo)律設(shè)計。Chen等[20]通過設(shè)計一種包含攻擊時間誤差的新型反正切滑模面,在不依賴剩余時間估計條件下實現(xiàn)攻擊時間和攻擊角度滑模制導(dǎo)律的設(shè)計。在考慮打擊對象為機(jī)動目標(biāo)時,該類以靜止目標(biāo)為研究對象的攻擊時間約束制導(dǎo)律往往難以滿足要求,因此亟需研究針對機(jī)動目標(biāo)且不依賴剩余時間估計的攻擊時間約束制導(dǎo)律,進(jìn)而更能適應(yīng)實際戰(zhàn)場環(huán)境。

針對機(jī)動目標(biāo),為解決攻擊時間約束制導(dǎo)律所面臨的剩余時間估計誤差大導(dǎo)致攻擊時間精度差的難題,本文設(shè)計了一種不依賴剩余時間估計的攻擊時間約束滑模制導(dǎo)律。構(gòu)建彈目距離和攻擊時間誤差加權(quán)求和的滑模面,并分析制導(dǎo)律收斂特性推導(dǎo)非零權(quán)重系數(shù),引入有限時間收斂指令,完成不依賴剩余時間估計的非奇異攻擊時間制導(dǎo)律設(shè)計;通過引入包含滑模變量的附加制導(dǎo)項,進(jìn)一步提升攻擊時間收斂精度。在考慮未知加速度機(jī)動目標(biāo)條件下,詳細(xì)分析了制導(dǎo)律的有限時間收斂特性,由于制導(dǎo)律設(shè)計過程中未包含剩余時間估計項,本文設(shè)計的制導(dǎo)律在面對機(jī)動目標(biāo)攔截過程中更具有適用性。最后,針對不同約束條件驗證了本文提出算法的有效性,并與傳統(tǒng)攻擊時間約束制導(dǎo)律進(jìn)行對比,驗證了本文制導(dǎo)律算法的優(yōu)越性。

1 導(dǎo)彈相對運(yùn)動數(shù)學(xué)模型

針對攻擊時間控制制導(dǎo)問題,在慣性系XOY坐標(biāo)系內(nèi)定義二維相對運(yùn)動關(guān)系如圖1所示。其中,M和T分別為導(dǎo)彈和目標(biāo),Vm和Vt分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度,γm和γt分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度傾角,σm和σt分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度前置角,λ為彈目視線角,r為彈目距離,am為導(dǎo)彈的加速度,其方向垂直于導(dǎo)彈的速度方向。

圖1 彈目相對運(yùn)動關(guān)系圖

M和T之間相對運(yùn)動方程為:

(1)

(2)

式中:VR和Vλ分別為目標(biāo)相對于導(dǎo)彈沿著視線方向和垂直于視線方向的相對速度分量。

由圖1可知,σm和σt幾何關(guān)系如下:

σm=γm-λ

(3)

σt=γt-λ

(4)

假設(shè)目標(biāo)不進(jìn)行機(jī)動,可得到導(dǎo)彈加速度和目標(biāo)加速度表示如下:

(5)

為實現(xiàn)導(dǎo)彈以期望攻擊時間完成對目標(biāo)的精確打擊,需要滿足以下條件:

R=0?t=td

(6)

式中:td為期望攻擊時間。

為滿足式(6)的打擊條件,設(shè)計如下滑模面:

s=αR+β(td-t)

(7)

式中:α和β為非零權(quán)值函數(shù),即α≠0且β≠0。

由式(7)可知,當(dāng)s=0時,滑模面s與式(6)的條件等價,即導(dǎo)彈按照期望攻擊時間完成對目標(biāo)的打擊任務(wù),且在執(zhí)行任務(wù)的過程中不需要對剩余時間進(jìn)行估算。因此,α和β是影響狀態(tài)變量收斂和制導(dǎo)指令生成的重要權(quán)重系數(shù)。

2 不依賴剩余時間估計的攻擊時間約束制導(dǎo)律

本節(jié)基于上節(jié)中的二維導(dǎo)彈相對運(yùn)動學(xué)模型及攻擊時間約束滑模面,首先推導(dǎo)了滿足滑模面特性的、不依賴剩余時間估計的非奇異非零權(quán)重函數(shù),之后設(shè)計了有限時間收斂制導(dǎo)指令,通過設(shè)計附加吸引子提高攻擊時間約束的吸引特性,實現(xiàn)不依賴剩余時間估計的高精度攻擊時間約束制導(dǎo)律設(shè)計,最后將該制導(dǎo)律擴(kuò)展到針對強(qiáng)機(jī)動目標(biāo)應(yīng)用場景中。所提出的攻擊時間約束滑模制導(dǎo)律設(shè)計架構(gòu)如圖2所示。

圖2 攻擊時間約束滑模制導(dǎo)律設(shè)計架構(gòu)

2.1 滑模面權(quán)重函數(shù)設(shè)計

當(dāng)滑模變量沿著滑模面滑動時,為保證攻擊時間等效制導(dǎo)律能以期望的攻擊時間對目標(biāo)進(jìn)行精確打擊,本小節(jié)將對非零權(quán)重函數(shù)α和β進(jìn)行設(shè)計。

對權(quán)重函數(shù)α和β求導(dǎo)可得:

(8)

(9)

式中:f1,f2,g1和g2分別為與狀態(tài)相關(guān)的時變函數(shù)。

對滑模面(7)求導(dǎo)并將式(8)和(9)代入可得:

(10)

式中:et=td-t。

(11)

為了方便接下來推導(dǎo),對式(11)的分母進(jìn)行簡化處理,令g2=0。為了避免等效制導(dǎo)律發(fā)散,需保證式(11)的分母非零,因此g1系數(shù)應(yīng)包含1/R,對式(2)進(jìn)行求導(dǎo):

(12)

包含指數(shù)函數(shù)的非零權(quán)重函數(shù)α設(shè)計如下:

(13)

式中:α0和α1均為常數(shù)。為了滿足α≠0的條件,需要保證α0為正。對式(13)求導(dǎo)可得:

(14)

將式(12)代入式(14)可得:

(15)

比較式(8)和式(15)可得:

(16)

(17)

將式(16)和式(17)代入式(11)可得:

(18)

(19)

(20)

(21)

對式(21)求導(dǎo)可得:

(22)

比較式(20)和式(22)可得:

(23)

由式(21)可知,僅當(dāng)Vm=Vt時滿足β=0,而前文假設(shè)導(dǎo)彈速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于目標(biāo)速度,采用式(21)的β函數(shù)設(shè)計形式可滿足β≠0的設(shè)計條件。

將式(13)和(21)代入式(7)可得滑模面:

(24)

當(dāng)滑模變量s到達(dá)滑模面時,攻擊時間誤差et計算如下:

(25)

(26)

2.2 攻擊時間制導(dǎo)律

本小節(jié)基于上一小節(jié)中設(shè)計的不依賴剩余時間滑模面,設(shè)計了一種有限時間收斂的攻擊時間約束滑模制導(dǎo)律,并通過引入附加制導(dǎo)項來提高攻擊時間收斂精度。

基于式(11)且根據(jù)g2=0,可得等效制導(dǎo)律系數(shù)如下:

(27)

g=g1R

(28)

將式(13),(16),(21)和(23)代入式(27)可得:

(29)

將式(17)代入式(28)可得:

(30)

(31)

當(dāng)滑模變量s到達(dá)滑模面時,即s=0時,采用等效制導(dǎo)律(31)可以導(dǎo)彈保證能夠按照期望時間對運(yùn)動目標(biāo)完成精確打擊。為保證滑模變量收斂于零,可設(shè)計制導(dǎo)律指令如下:

(32)

(33)

式中:k和η為正常數(shù)。

為證明制導(dǎo)律(32)的收斂特性,定義Lyapunov候選函數(shù)為V=(1/2)s2,對其求導(dǎo)可得:

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

結(jié)合式(40)和(40)可得:

(42)

(43)

(44)

基于式(32)通過引入附加制導(dǎo)項得到制導(dǎo)律形式如下:

(45)

(46)

式中:kadd為附加制導(dǎo)項常數(shù),參數(shù)選取為

(47)

通過選取Lyapunov候選函數(shù)V=(1/2)s2并對其求導(dǎo)可得:

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

對式(53)在區(qū)間[0,t]上進(jìn)行積分可得:

(54)

由式(54)可知,Lyapunov候選函數(shù)V在有限時間Tu內(nèi)收斂到0,Tu的表達(dá)式如下所示:

(55)

(56)

對式(56)在每個時間區(qū)間內(nèi)進(jìn)行積分可得:

(57)

(58)

由式(58)可知,Lyapunov候選函數(shù)V在有限時間Tu收斂到0,收斂時間Tu如下所示:

(59)

由此可知,采用本文設(shè)計的制導(dǎo)律能夠在有限時間內(nèi)完成滑模變量收斂,并以期望的攻擊時間實現(xiàn)對非機(jī)動運(yùn)動目標(biāo)進(jìn)行有效打擊。

本文所提出的不依賴剩余時間估計的攻擊時間約束滑模制導(dǎo)律,有效解決現(xiàn)有制導(dǎo)律對于剩余時間精確估計的強(qiáng)依賴性的問題,極大的提高了攻擊時間約束制導(dǎo)律在工程中的應(yīng)用。

3 針對機(jī)動目標(biāo)的性能分析

第2節(jié)中設(shè)計的不依賴剩余時間估計的攻擊時間滑模制導(dǎo)律僅僅針對常速運(yùn)動感目標(biāo),本節(jié)針對于機(jī)動目標(biāo)對制導(dǎo)律的適應(yīng)性和收斂性進(jìn)行分析。

當(dāng)目標(biāo)機(jī)動時,同樣認(rèn)為目標(biāo)加速度方向與目標(biāo)速度方向垂直,即僅改變目標(biāo)速度方向而不改變目標(biāo)速度大小,此時目標(biāo)加速度表達(dá)式如下:

(60)

考慮目標(biāo)在未知機(jī)動加速度條件下,對式(2)進(jìn)行求導(dǎo):

(61)

對式(24)進(jìn)行求導(dǎo)并將式(61)代入可得:

(62)

式中:f和g表達(dá)式分別在式(29)和(30)給出,包含目標(biāo)加速度項at的干擾項h表達(dá)式為

(63)

為分析本文設(shè)計的制導(dǎo)律(45)在未知目標(biāo)機(jī)動干擾下的穩(wěn)定性,對Lyapunov候選函數(shù)V=(1/2)s2求導(dǎo)并將式(62)代入可得:

(64)

(65)

在滿足式(65)條件下可以保證制導(dǎo)律對未知機(jī)動目標(biāo)的收斂性。

(66)

(67)

(68)

式中:|h|max為包含目標(biāo)加速度未知項h的最大值,對式(68)在區(qū)間[0,t]上進(jìn)行積分可得:

(69)

由式(69)可知,Lyapunov候選函數(shù)V在有限時間Tu內(nèi)收斂到0,Tu的表達(dá)式如下所示:

(70)

(71)

對式(71)在每個時間區(qū)間內(nèi)進(jìn)行積分可得:

(72)

(73)

由式(73)可知,Lyapunov候選函數(shù)V在有限時間Tu收斂到0,收斂時間Tu如下式所示:

(74)

由此可知,采用本文設(shè)計的制導(dǎo)律能夠在目標(biāo)未知加速度機(jī)動條件下在有限時間內(nèi)完成滑模變量收斂,在目標(biāo)未知加速度機(jī)動條件下,本文設(shè)計的制導(dǎo)律(45)同樣能夠以期望的攻擊時間實現(xiàn)對目標(biāo)進(jìn)行有效打擊。

4 仿真分析

為驗證本文設(shè)計的攻擊時間約束滑模制導(dǎo)律(45)的有效性,針對未知加速度機(jī)動目標(biāo)進(jìn)行仿真驗證。

為了降低符號函數(shù)sgn(·)在滑模面上的不連續(xù)引起的抖振,將sgn(·)函數(shù)近似替換為

(75)

式中:a為正常數(shù),在本文中選取a=1。

制導(dǎo)律(45)中參數(shù)取α0=0.01,α1=0.5,k=3.5,η=20,kadd=1.6,積分步長為0.01 s,終端脫靶量小于0.2 m認(rèn)為打擊成功,導(dǎo)彈的過載限制為15g(其中g(shù)=9.8 m/s2)。

4.1 針對未知加速度機(jī)動目標(biāo)的仿真驗證

本小節(jié)給出了對未知加速度機(jī)動目標(biāo)的仿真結(jié)果。針對期望攻擊時間分別為100 s,110 s,120 s和130 s的仿真條件如表1所示。采用制導(dǎo)律(45)進(jìn)行仿真分析,仿真結(jié)果如圖3～圖4所示。

表1 不同期望攻擊時間約束的仿真條件

圖3 不同期望攻擊時間條件下的飛行軌跡和滑模變量

圖4 不同期望攻擊時間條件下的加速度指令和視線角速率

由圖3(a)可知,在制導(dǎo)律(45)的作用下,終端脫靶量分別為0.077 m,0.052 m,0.050 m和0.061 m,均可以按照期望的攻擊時間對未知加速度機(jī)動目標(biāo)進(jìn)行精確打擊。由圖3(b)可知,滑模變量s可以在有限時間內(nèi)收斂到0,且實際攻擊時間分別為100.03 s,110.01 s,120.03 s,129.97 s,時間誤差均在|tf-td|≤0.03s內(nèi)。由圖4可知,由于目標(biāo)存在機(jī)動加速度,導(dǎo)彈的加速度指令和視線角速率在末端均未收斂到0。

4.2 制導(dǎo)律算法對比分析

將制導(dǎo)律(45)與文獻(xiàn)[15]中基于剩余時間估計的攻擊時間約束制導(dǎo)律進(jìn)行對比分析。文獻(xiàn)[15]中制導(dǎo)律在打擊過程中需要對目標(biāo)預(yù)測命中點持續(xù)更新,在目標(biāo)為勻速運(yùn)動時,能夠?qū)δ繕?biāo)的命中點進(jìn)行精確預(yù)測。本節(jié)設(shè)置目標(biāo)進(jìn)行未知加速度機(jī)動,期望攻擊時間分別為110 s和120 s,仿真條件與4.1節(jié)中的表1相同。

由圖5(a)可知,采用文獻(xiàn)[15]的制導(dǎo)律在期望攻擊時間為110 s和120 s的終端脫靶量分別為13.903 m和8.461 m,相比于制導(dǎo)律(45)在對未知加速度機(jī)動目標(biāo)的打擊精度較差。由圖5(b)可知,文獻(xiàn)[15]的制導(dǎo)律在期望攻擊時間為110 s和120 s的實際打擊時間分別為109.84 s和119.67 s,且對于未知加速度機(jī)動目標(biāo)采用預(yù)測命中點的方式始終存在剩余時間估計誤差,造成了攻擊時間的不準(zhǔn)確和打擊精度差的問題。由圖6可知,文獻(xiàn)[15]的制導(dǎo)律末端加速度指令和視線角速率發(fā)散更顯著。因此,通過對比仿真驗證了本文提出的不需要依賴剩余時間估計的攻擊時間約束滑模制導(dǎo)律的優(yōu)越性和對于打擊未知加速度強(qiáng)機(jī)動目標(biāo)的適用性。

圖5 不同制導(dǎo)律下的飛行軌跡曲線和剩余時間估計誤差

圖6 不同制導(dǎo)律下的加速度指令和視線角速率

5 結(jié) 論

本文針對于空空導(dǎo)彈設(shè)計了一種不依賴剩余時間估計的攻擊時間約束滑模制導(dǎo)律,實現(xiàn)了對于非機(jī)動目標(biāo)和未知加速度強(qiáng)機(jī)動目標(biāo)以期望攻擊時間的精確打擊。首先,為避免剩余時間估計的引入,設(shè)計了一種僅包含彈目距離和攻擊時間誤差的滑模面,并由此得到不依賴剩余時間估計的攻擊時間等效制導(dǎo)律。之后,完成有限時間收斂趨近律設(shè)計,并通過引入附加制導(dǎo)項來提高攻擊時間的收斂精度。針對于未知加速度強(qiáng)機(jī)動目標(biāo),詳細(xì)分析了制導(dǎo)律的有限時間收斂特性和攻擊時間收斂能力。最后,通過數(shù)學(xué)仿真驗證了本文設(shè)計的制導(dǎo)律針對未知加速度強(qiáng)機(jī)動目標(biāo)攻擊時間約束的有效性,并通過對比仿真驗證了本文制導(dǎo)律的優(yōu)越性。