基于變可信度模型的飛行器翼結(jié)構(gòu)模態(tài)分析

張海瑞，李先航，方偉光，吳志培，洪東跑

(中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076)

0 引 言

飛行器翼結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析是用來研究飛行器翼結(jié)構(gòu)在力作用下的動(dòng)態(tài)行為,通過模態(tài)分析能夠了解翼的振動(dòng)特性、穩(wěn)定性和可靠性,是飛行器設(shè)計(jì)中不可或缺的重要步驟,對(duì)于確保飛行器安全、高效運(yùn)行具有重要意義。在進(jìn)行飛行器翼結(jié)構(gòu)模態(tài)分析時(shí),需要考慮許多因素,包括結(jié)構(gòu)的幾何形狀、材料性能、支撐點(diǎn)和受力情況等自身特性。同時(shí),還需要考慮外界因素對(duì)翼舵結(jié)構(gòu)的影響,例如風(fēng)速、溫度和濕度等環(huán)境載荷。近年來,針對(duì)如何開展更精確、高效的翼舵結(jié)構(gòu)模態(tài)分析,國內(nèi)外學(xué)者開展了大量研究。

Ma等[1]提出了一種附加質(zhì)量剛度方法引入流場附加剛度的影響,計(jì)算了充氣機(jī)翼的濕模態(tài)。Doan等[2]改進(jìn)了三維數(shù)字圖像相關(guān)模態(tài)分析方法,減少了振動(dòng)測(cè)量過程中涂漆斑點(diǎn)對(duì)結(jié)構(gòu)的影響。Pulok等[3]采用仿真和振動(dòng)試驗(yàn)方法研究了介電彈性薄膜的模態(tài)特性。何貴勤等[4]提出鉸鏈連接多板結(jié)構(gòu)解析全局模態(tài)的提取方法,獲取太陽翼的固有頻率和解析函數(shù)表征的全局模態(tài)。文獻(xiàn)[5-6]利用有限元仿真對(duì)圓形太陽翼進(jìn)行了模態(tài)分析,并總結(jié)了結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)與模態(tài)頻率的關(guān)系。

盡管模態(tài)計(jì)算方法比較成熟,但在飛行器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中以模態(tài)為約束的迭代優(yōu)化設(shè)計(jì)工作較少。采用解析方法可以得到結(jié)構(gòu)在任意參數(shù)狀態(tài)下的模態(tài)結(jié)果,在設(shè)計(jì)階段,能夠通過改變參數(shù)達(dá)到目標(biāo)頻率,但對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)難以通過解析法計(jì)算模態(tài)。采用仿真計(jì)算和實(shí)驗(yàn)方法只能得到一個(gè)狀態(tài)點(diǎn)的模態(tài)結(jié)果,需要多次仿真或?qū)嶒?yàn)才能得出模態(tài)變化規(guī)律[6],如果是多維設(shè)計(jì)參數(shù),采用仿真和樣機(jī)試驗(yàn)方法成本較大,不能滿足參數(shù)化設(shè)計(jì)與快速分析的要求。

在飛行器設(shè)計(jì)過程中,需要經(jīng)過多次方案迭代得到最優(yōu)參數(shù),而采用數(shù)值仿真或?qū)嶒?yàn)獲取每個(gè)方案的計(jì)算結(jié)果效率低,代理模型方法應(yīng)運(yùn)而生,并成功應(yīng)用于飛行器設(shè)計(jì)[7]。張強(qiáng)等[8]采用EI加點(diǎn)準(zhǔn)則對(duì)風(fēng)力機(jī)葉片翼型進(jìn)行了優(yōu)化。在代理模型建模過程,高精度樣本點(diǎn)難以獲取,模型擬合的代價(jià)高,而僅使用低精度樣本點(diǎn)則難以描述復(fù)雜的變化規(guī)律,因此,設(shè)計(jì)者廣泛使用變可信度模型解決這一難點(diǎn)[9]。通過使用大量的低精度樣本點(diǎn)和少量的高精度樣本點(diǎn)擬合的代理模型能夠兼顧計(jì)算效率和精度,又降低了建模代價(jià)。

近年來,國內(nèi)外學(xué)者提出了多種變可信度模型。Song等[10]提出了一種基于徑向基函數(shù)的建模方法,并根據(jù)交叉驗(yàn)證結(jié)果對(duì)形狀參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化[11];Shi等[12]提出了基于支持向量回歸的變可信度模型,并通過算例驗(yàn)證了模型的收斂性;張立等[13]提出了一種基于元學(xué)習(xí)的變可信度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,提高了解決高維問題的效率;Han等[14]提出了一種分層kriging模型,將低精度樣本的趨勢(shì)映射到高精度樣本上,并通過飛機(jī)的空氣動(dòng)力學(xué)算例驗(yàn)證了模型的可行性。由于變可信度模型擬合效果受樣本點(diǎn)影響,研究者提出了序貫試驗(yàn)方法,以提高變可信度模型的建模效果。Cai等[15]提出了一種針對(duì)高精度樣本的自適應(yīng)加點(diǎn)方法;Zhou等[16]根據(jù)高/低精度模型的差異變化更新高精度樣本點(diǎn),并引入距離懲罰避免樣本積聚。代理模型分析方法在飛行器氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方面有著廣泛應(yīng)用,但在結(jié)構(gòu)模態(tài)變化研究中應(yīng)用較少。

針對(duì)當(dāng)前飛行器設(shè)計(jì)中翼模態(tài)解析法計(jì)算精度低、仿真和實(shí)驗(yàn)成本較大的不足,為滿足翼模態(tài)參數(shù)化設(shè)計(jì)與快速分析需求,以飛行器典型梯形翼為研究對(duì)象,采用代理模型來描述結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對(duì)模態(tài)的影響,給出基于變可信度模型的翼模態(tài)分析方法。

1 基于變可信度模型的翼模態(tài)分析方法

以梯形翼結(jié)構(gòu)為例,翼面幾何參數(shù)包括展長、弦長、夾角等,如圖1所示。當(dāng)給定一組翼結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)時(shí),能夠通過有限元仿真得到相應(yīng)的模態(tài)結(jié)果,但要掌握翼模態(tài)頻率隨幾何參數(shù)的變化規(guī)律,需開展大批量仿真。本文通過構(gòu)建變可信度模型并利用有限個(gè)仿真結(jié)果快速分析不同參數(shù)下的翼結(jié)構(gòu)模態(tài)特性。

圖1 翼面幾何參數(shù)示意圖

假設(shè)存在一組網(wǎng)格劃分較粗或模型簡化程度高的有限元計(jì)算結(jié)果,將其作為低精度樣本,幾何參數(shù)x∈Rm作為自變量,模態(tài)頻率y∈R作為響應(yīng),集合分別記為Xc=[xc1,xc2, …,xcnc]T和Yc=[yc1,yc2, …,ycnc]T,利用徑向基函數(shù)建立低精度模型:

(1)

由于簡化模型結(jié)果不能保證計(jì)算精度,需要將少量精細(xì)化模型的仿真結(jié)果作為高精度樣本,樣本維度與低精度樣本相同,幾何參數(shù)和模態(tài)頻率的集合分別為Xe=[xe1,xe2, …,xene]T和Ye=[ye1,ye2, …,yene]T。

根據(jù)混合標(biāo)度方法[17]建立低精度模型與高精度樣本的關(guān)聯(lián),得到翼結(jié)構(gòu)精確模型模態(tài)頻率的預(yù)測(cè)表達(dá)式為

(2)

(3)

(4)

(5)

并記η左邊矩陣為P,則矩陣表示為

Ye=Pη

(6)

(7)

根據(jù)式(7),可以確定參數(shù)α和β的估計(jì)值,將其代入式(2)后能夠計(jì)算任意幾何參數(shù)的模態(tài)頻率值。

2 變可信度模型序貫建模方法

2.1 序貫加點(diǎn)策略

序貫建模方法是在代理模型建模過程中不斷添加新的樣本點(diǎn),充分利用建模過程中的信息并優(yōu)化代理模型建模過程,相比于一次性建模方法,序貫建模方法能夠更高效地建立準(zhǔn)確的代理模型。對(duì)于飛行器翼結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析,需要采用有限元仿真或?qū)嶒?yàn)方法計(jì)算模態(tài)頻率,可獲取的高精度樣本數(shù)量有限。因此本文提出了一種有限樣本情況下的變可信度模型序貫建模方法。

假設(shè)可獲取的全部低精度樣本為xc=[xc1,xc2, …,xcnc]T,根據(jù)徑向基函數(shù)模型,可建立低精度代理模型yc(x)。假設(shè)初始采樣的高精度樣本為xe=[xe1,xe2, …,xene]T,根據(jù)上述建模方法,可建立變可信度模型ye(x)?？紤]到低精度代理模型與真實(shí)模型存在偏差e(x)=|ye(x)-yc(x)|,ye和yc分別表示變可信度模型和低精度模型的響應(yīng)值,需要在差值較大之處添加高精度樣本加以修正。另一方面,樣本點(diǎn)過于接近易造成徑向基函數(shù)建模失敗,本文將樣本點(diǎn)距離最小值作為懲罰項(xiàng)。因此,提出了式(8)所示的新增樣本點(diǎn)選擇方法:

(8)

式中:D表示試驗(yàn)設(shè)計(jì)空間;dmin表示待添加樣本點(diǎn)與其他樣本點(diǎn)的距離最小值。

在有限高精度樣本點(diǎn)情況下,基于序貫加點(diǎn)策略的變可信度模型建模步驟如下:

1)生成低精度樣本集合,建立低精度樣本模型;

2)生成初始高精度樣本點(diǎn)集合,建立初始變可信度模型;

3)根據(jù)序貫加點(diǎn)策略,更新高精度樣本點(diǎn)集合,并更新變可信度模型;

4)對(duì)模型進(jìn)行判斷,若達(dá)到高精度樣本點(diǎn)可用上限,則停止建模;反之,則重復(fù)第3步。

根據(jù)以上步驟能夠完成變可信度模型序貫建模。

2.2 數(shù)值算例

選取兩個(gè)數(shù)值函數(shù)驗(yàn)證序貫建模方法的有效性,由于相關(guān)系數(shù)R2能反應(yīng)模型全局的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性,將其作為建模效果評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),計(jì)算式為(9)。相關(guān)系數(shù)R2計(jì)算結(jié)果范圍一般為0～1,并且R2值越接近1,模型準(zhǔn)確性越高,若R2結(jié)果為負(fù)值,表示建模失效,不能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)未知點(diǎn)響應(yīng)值。

(9)

1)Forretal函數(shù)

高精度函數(shù)表示式為

ye=(6x-2)2sin(12x-4)

(10)

低精度函數(shù)表達(dá)式為

yc=0.5ye+10(x-0.5)-5

(11)

式中:自變量范圍x∈[0,1]。

根據(jù)建模經(jīng)驗(yàn)[11],一維函數(shù)的高精度樣本點(diǎn)達(dá)到4個(gè)及以上時(shí),模型具備比較好的擬合效果。因此試驗(yàn)中初始樣本為2個(gè)高精度樣本點(diǎn)和10個(gè)低精度樣本點(diǎn),然后分別根據(jù)方法添加1個(gè)高精度樣本點(diǎn)。測(cè)試樣本為50個(gè)高精度樣本點(diǎn)。

圖2為使用初始樣本點(diǎn)建立的變可信度模型,并給出了加點(diǎn)方法確定的新增樣本點(diǎn)位置,由圖可知,僅使用2個(gè)高精度樣本點(diǎn)建立的變可信度模型與真實(shí)模型差距較大。

圖3給出了根據(jù)序貫加點(diǎn)策略更新樣本點(diǎn)后建立的模型曲線,由圖可知,加點(diǎn)后的變可信度模型擬合效果較好。通過采樣50個(gè)點(diǎn)作為測(cè)試點(diǎn),比較加點(diǎn)前與加點(diǎn)后模型的相關(guān)系數(shù),相關(guān)系數(shù)從-0.324 3提升至0.808 6。

圖3 序貫加點(diǎn)后建模結(jié)果

為了避免偶然性因素,對(duì)序貫建模方法進(jìn)行10次重復(fù)性試驗(yàn);為了證明序貫加點(diǎn)策略的有效性,直接采樣3個(gè)高精度樣本點(diǎn),比較序貫采樣和直接采樣的相關(guān)系數(shù)結(jié)果。如圖4所示,由于高精度樣本數(shù)量較少,直接采樣法的相關(guān)系數(shù)出現(xiàn)大量負(fù)值,說明建模錯(cuò)誤;采用序貫建模方法能在小樣本時(shí)更有效地建模,并且大部分相關(guān)系數(shù)比較接近1,證明了序貫建模方法的有效性。

圖4 序貫建模方法與直接采樣方法對(duì)比

2)SC函數(shù)

高精度函數(shù)表達(dá)式為

(12)

低精度函數(shù)表達(dá)式為

yc=f(0.8x1, 0.8x2)(1+sin(x1+x2)2)+x1x2-10

(13)

式中:函數(shù)自變量的范圍為x1,x2∈[-2, 2]。

對(duì)SC函數(shù)采用序貫建模方法建立變可信度模型,初始高精度樣本點(diǎn)為3個(gè),按照加點(diǎn)方法增添至10個(gè)高精度樣本點(diǎn)。為了避免偶然性,重復(fù)10次試驗(yàn),將結(jié)果與一次性建模方法進(jìn)行對(duì)比。由圖5可知,序貫試驗(yàn)方法和一次性試驗(yàn)方法平均相關(guān)系數(shù)分別為0.872 4和0.736 0,在高精度樣本數(shù)量相同時(shí),序貫建模方法擬合效果更好,說明了加點(diǎn)策略的有效性。

圖5 相關(guān)系數(shù)對(duì)比結(jié)果

3 應(yīng)用案例

3.1 變厚度翼有限元模態(tài)分析

利用變可信度模型分析直角梯形翼結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率,樣本點(diǎn)通過拉丁超立方采樣獲取,響應(yīng)值為有限元仿真的模態(tài)結(jié)果,因此需要建立翼結(jié)構(gòu)的有限元模型。

翼結(jié)構(gòu)模型包括面內(nèi)和面外兩部分,面內(nèi)為如圖1所示的直角梯形,并以翼面左下角為原點(diǎn),弦長為x軸,展長為y軸建立坐標(biāo)系。對(duì)于面外部分,翼前緣和后緣的厚度通常低于中間,翼尖處厚度通常小于翼根。因此,在x方向上,選擇了二次曲線形式的厚度分布;y方向則遵循等厚度比原則(最大厚度與所在位置的弦長比值固定)。按照以上描述,翼面厚度分布為

(14)

式中:c表示翼結(jié)構(gòu)弦長;θ表示后掠角。對(duì)翼結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元建模,采用殼單位進(jìn)行網(wǎng)格劃分,材料為TC4,表1給出了材料的相關(guān)力學(xué)參數(shù)?？紤]到翼面結(jié)構(gòu)與飛行器固定連接,對(duì)翼根進(jìn)行固定約束。

表1 TC4材料參數(shù)

對(duì)建立的翼結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析,第1階模態(tài)振型為翼面整體繞翼根弦長方向(x方向)轉(zhuǎn)動(dòng);第2階模態(tài)振型為翼面繞直展長方向(y方向)轉(zhuǎn)動(dòng);由于翼根受固定約束,第3階模態(tài)振型為繞弦長方向(x方向)轉(zhuǎn)動(dòng)。

3.2 翼模態(tài)變可信度模型建模

由于變厚度翼結(jié)構(gòu)復(fù)雜,通過仿真獲取大量樣本點(diǎn)建模時(shí)間成本較高,而簡化的等厚度翼結(jié)構(gòu)建模方便,可開展大批量仿真。以變厚度翼和等厚度翼模態(tài)結(jié)果分別作為高精度和低精度樣本,建立變可信度模型。選擇弦長(x方向)、展長(y方向)和夾角3個(gè)幾何參數(shù)作為自變量,根據(jù)表2中的參數(shù)取值范圍形成自變量采樣空間。

表2 幾何參數(shù)取值范圍

利用拉丁超立方抽取了30個(gè)低精度樣本點(diǎn)和3個(gè)高精度樣本點(diǎn),通過本文提出的序貫建模方法,新增7個(gè)高精度樣本點(diǎn),建立模態(tài)計(jì)算的變可信度模型。為了驗(yàn)證變可信度模型建模準(zhǔn)確性,隨機(jī)抽取5個(gè)點(diǎn)作為測(cè)試集,比較仿真結(jié)果和變可信度模型估計(jì)結(jié)果;為了驗(yàn)證序貫建模方法的有效性,比較一次性建模與序貫建模的估計(jì)結(jié)果。

圖6～圖8給出了5個(gè)測(cè)試點(diǎn)處的翼結(jié)構(gòu)前3階模態(tài)結(jié)果,由圖可知,變可信度模型能夠較好地估計(jì)翼結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率,其中第1階模態(tài)頻率估計(jì)值與真實(shí)值最接近;采用序貫建模方法構(gòu)建的變可信度模型能夠更準(zhǔn)確地估計(jì)模態(tài)頻率。

圖6 第1階模態(tài)頻率估計(jì)結(jié)果

圖7 第2階模態(tài)頻率估計(jì)結(jié)果

圖8 第3階模態(tài)頻率結(jié)果

通過計(jì)算代理模型預(yù)測(cè)結(jié)果和仿真結(jié)果的偏差可知,在大部分情況下,序貫建模方法能降低模態(tài)估計(jì)偏差值,特別是第2階模態(tài)頻率,一次性建模方法估計(jì)偏差達(dá)到了15%以上,采用序貫建模方法建模能將偏差值降低至6%以下。

3.3 基于變可信度模型的模態(tài)分析

采用變可信度模型能夠估計(jì)不同幾何參數(shù)下的翼結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率,本文以1階模態(tài)為例,分別分析展長、弦長和夾角對(duì)模態(tài)頻率的影響。發(fā)現(xiàn)展長對(duì)1階頻率影響最大,展長越小,模態(tài)頻率越高;弦長對(duì)1階頻率影響較弱,隨著弦長增加,模態(tài)頻率緩慢降低;由圖9可知,隨著夾角增大,模態(tài)頻率先減小后增大,當(dāng)夾角為70°時(shí),不同弦長的模態(tài)頻率接近。實(shí)例表明,采用基于變可信度模型的模態(tài)分析方法能夠快速分析模態(tài)頻率隨幾何參數(shù)的變化規(guī)律,能夠提升飛行器翼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)效率。

圖9 1階模態(tài)隨夾角變化規(guī)律

4 結(jié) 論

本文以飛行器梯形等厚度比翼結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率為研究對(duì)象,針對(duì)變厚度翼建模時(shí)間成本高,難以獲取大量樣本點(diǎn)的問題,提出了基于變可信度模型的模態(tài)計(jì)算方法,并通過應(yīng)用案例驗(yàn)證了方法的有效性。

1) 通過融合變厚度翼和等厚度翼兩種可信度模態(tài)頻率計(jì)算結(jié)果建立了模態(tài)頻率變可信度代理模型,實(shí)現(xiàn)了對(duì)不同幾何參數(shù)下翼結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的預(yù)測(cè);

2) 針對(duì)仿真樣本量不足導(dǎo)致的建模不準(zhǔn)確問題,提出了一種基于序貫加點(diǎn)的變可信度模型建模方法,數(shù)值算例和應(yīng)用案例表明,序貫建模方法能更加準(zhǔn)確地建立變可信度模型;

3) 采用已建立的模態(tài)計(jì)算變可信度模型能快速分析不同幾何參數(shù)對(duì)頻率的影響,為飛行器翼結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供支撐。