貼著兒童行走：小學(xué)“做數(shù)學(xué)”學(xué)習(xí)素材的特征與開(kāi)發(fā)策略

江蘇省南京市建鄴區(qū)教師發(fā)展中心 范韋莉

“做數(shù)學(xué)”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，在學(xué)生的認(rèn)知心理與抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)之間搭建了橋梁。在實(shí)施“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程中，教師是否能設(shè)計(jì)概括出概念和為發(fā)現(xiàn)性質(zhì)所需的學(xué)習(xí)素材、提供豐富且真實(shí)的應(yīng)用問(wèn)題，顯得尤為重要。這些是學(xué)生能否理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的重要基礎(chǔ)。

一、“做數(shù)學(xué)”的基本內(nèi)涵

美國(guó)匹茲堡大學(xué)在QUASAR研究項(xiàng)目成果中提到，“做數(shù)學(xué)”是高認(rèn)知水平層次的任務(wù)，它要求學(xué)生探索和理解數(shù)學(xué)觀念、過(guò)程和關(guān)系的本質(zhì)，在多種表達(dá)形式之間建立聯(lián)系，教師至少在一開(kāi)始時(shí)不會(huì)介入，需要學(xué)生獨(dú)立分析任務(wù)并找出對(duì)問(wèn)題解決策略可能起限制作用的因素。

董林偉認(rèn)為，“做數(shù)學(xué)”是學(xué)生運(yùn)用材料和工具，在動(dòng)手、動(dòng)腦相協(xié)同的過(guò)程中，通過(guò)操作體驗(yàn)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、綜合實(shí)踐等活動(dòng)，理解數(shù)學(xué)知識(shí)、探究數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的一種范式。

結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，筆者認(rèn)為，“做數(shù)學(xué)”在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是一種在實(shí)際操作過(guò)程中發(fā)現(xiàn)式與探究式的學(xué)習(xí)方式，其本身是學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)事實(shí)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的方法和手段，也是滲透數(shù)學(xué)思想、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要載體?！白鰯?shù)學(xué)”分為兩個(gè)層次：一是學(xué)生在教師創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境下調(diào)動(dòng)各種感官參與數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)，通過(guò)觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、猜想、計(jì)算、推理、歸納、遷移等活動(dòng)獲得抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)原理的直接體驗(yàn)，在大腦里產(chǎn)生直覺(jué)、形成邏輯鏈；二是在掌握了足夠多的知識(shí)后，學(xué)生能主動(dòng)探索未知的數(shù)學(xué)世界，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)工具和掌握的數(shù)學(xué)方法發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)事實(shí)或關(guān)聯(lián)，從而創(chuàng)造性地解決問(wèn)題。

“做數(shù)學(xué)”在小學(xué)階段有很多任務(wù)類(lèi)別，包含數(shù)據(jù)收集、方案設(shè)計(jì)、定期觀察、動(dòng)手制作、實(shí)驗(yàn)操作、數(shù)學(xué)游戲、探索規(guī)律等。需要指出的是，無(wú)論哪種類(lèi)型，“做數(shù)學(xué)”絕不僅僅是對(duì)實(shí)物進(jìn)行操作，而是發(fā)展學(xué)生手腦協(xié)同、做思共生、融創(chuàng)一體的建構(gòu)活動(dòng)，尤其在那些看上去簡(jiǎn)單但處于基礎(chǔ)地位的核心概念、原理的學(xué)習(xí)上，更要強(qiáng)調(diào)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手“做”獲得親身感悟，形成數(shù)學(xué)知識(shí)“是什么”的本體論認(rèn)知，產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識(shí)“為什么是這樣”的方法論感悟，獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)“可以向哪兒去”的精神追求。更為重要的是，學(xué)生能夠在通過(guò)“做數(shù)學(xué)”主動(dòng)參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中獲得理性精神、創(chuàng)新意識(shí)及實(shí)踐能力的持續(xù)發(fā)展。

二、小學(xué)“做數(shù)學(xué)”學(xué)習(xí)素材的特征

澳大利亞墨爾本大學(xué)教授約翰·哈蒂曾對(duì)138項(xiàng)教學(xué)因素按照影響力進(jìn)行綜合分析，得出一個(gè)重要的結(jié)論：影響學(xué)生學(xué)業(yè)成就最重要的一個(gè)因素就是一定要讓學(xué)生產(chǎn)生對(duì)自己的挑戰(zhàn)性期望。的確，學(xué)生所投入的思維水平?jīng)Q定了他們將會(huì)學(xué)到什么，若提供的學(xué)習(xí)素材較為熟悉或簡(jiǎn)單，學(xué)生就能以常規(guī)的方式完成一個(gè)熟記于心的程序任務(wù)，長(zhǎng)此以往，學(xué)習(xí)則缺失了一種思維的高峰體驗(yàn)。這與新課標(biāo)所倡導(dǎo)的學(xué)生應(yīng)具備在真實(shí)情境下解決復(fù)雜問(wèn)題的能力的理念背道而馳。

因此，提供給學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”學(xué)習(xí)素材往往具備一定的挑戰(zhàn)性。起初，學(xué)生可能會(huì)產(chǎn)生擔(dān)心或者焦慮的心態(tài)，因?yàn)檫@樣的學(xué)習(xí)素材并沒(méi)有提供一條明顯的解決問(wèn)題的途徑，也就是沒(méi)有一個(gè)可以直接得到答案的步驟可以用于解決整個(gè)問(wèn)題。學(xué)生無(wú)法直接套用現(xiàn)有的知識(shí)，而是需要用算法化的復(fù)雜思維。這類(lèi)學(xué)習(xí)素材要求學(xué)生能深層次地探索和理解概念，其重點(diǎn)在于學(xué)生能夠獨(dú)立或者在教師適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)下找到內(nèi)隱的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，在歷盡“千辛萬(wàn)苦”后才能到達(dá)成功的彼岸。

三、小學(xué)“做數(shù)學(xué)”學(xué)習(xí)素材的開(kāi)發(fā)原則

反觀目前的小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，教師衡量學(xué)生成功與否的標(biāo)準(zhǔn)主要是測(cè)試的分?jǐn)?shù)，而對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、學(xué)習(xí)信念等關(guān)注不夠，由此造成了教學(xué)形式單一、學(xué)習(xí)過(guò)程乏味等問(wèn)題。要打破這一常態(tài)，教師可以依托“做數(shù)學(xué)”，開(kāi)發(fā)與課程內(nèi)容相契合且符合學(xué)生發(fā)展規(guī)律的學(xué)習(xí)素材，以此豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)歷程。考慮到教材的邏輯結(jié)構(gòu)、學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)狀以及不同年齡段學(xué)生的思維特點(diǎn)，筆者總結(jié)了以下開(kāi)發(fā)策略。

（一）既“有趣”又“燒腦”

形式要“有趣”。保護(hù)好學(xué)生的好奇心是教師的首要責(zé)任。因此，素材的選取首先要考慮的就是素材本身要簡(jiǎn)明易懂，學(xué)生不需要花大量的時(shí)間在閱讀和理解題意上；其次要新穎有趣，能極大地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣、引發(fā)學(xué)習(xí)的好奇、調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的熱情，使學(xué)生以一種積極的態(tài)度浸入“做數(shù)學(xué)”的多重活動(dòng)中。

內(nèi)容要“燒腦”。由“迷惑”到“頓悟”有時(shí)只在一念之間，“做數(shù)學(xué)”學(xué)習(xí)素材在這一念之間提供了更完整的學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生在想象性的嘗試中不斷重構(gòu)認(rèn)知。教師可以設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生用一種放慢了的節(jié)奏去體味數(shù)學(xué)，通過(guò)操作將外部活動(dòng)轉(zhuǎn)化成思維活動(dòng)和心智活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生在“求而不得、迷霧繚繞”中發(fā)展高階思維。需要指出的是，“做數(shù)學(xué)”學(xué)習(xí)素材與一般的綜合實(shí)踐素材要有所區(qū)別，應(yīng)突出對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解。

例如，在學(xué)習(xí)完蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第一單元“長(zhǎng)方體和正方體”之后，教師通過(guò)創(chuàng)設(shè)“包裝多米諾骨牌”的情境，設(shè)計(jì)了“怎樣包裝，表面積最小”的“做數(shù)學(xué)”素材：一塊多米諾骨牌長(zhǎng)3cm、寬1cm、高5cm，小致想送三塊多米諾骨牌給小遠(yuǎn)，可以怎樣包裝呢？這樣的活動(dòng)既有較強(qiáng)的實(shí)踐性，又有一定的趣味性。學(xué)生通過(guò)實(shí)物操作和數(shù)據(jù)分析，初步感知包裝的表面積與重疊面的大小有關(guān)。

接著研究：如果小致送四塊多米諾骨牌給小遠(yuǎn)，可以怎樣包裝呢？這樣的活動(dòng)可以為學(xué)生發(fā)現(xiàn)內(nèi)隱的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)積累經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)促使學(xué)生感受包裝方法的多樣性。（如圖1）

圖1

通過(guò)觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：重疊面越大，表面積越小。要想接著往下研究，必然要深入數(shù)學(xué)的內(nèi)核。然而，由形到數(shù)的分析非?！盁X”，需要教師引導(dǎo)學(xué)生有序地將這些圖形的表面積按從大到小的順序排一排。學(xué)生在數(shù)據(jù)分析中提出猜想：在體積一定的前提下，長(zhǎng)、寬、高越接近，表面積越小。

（二）既“合力”又“合智”

“做數(shù)學(xué)”是一種共同合作、共同協(xié)商的活動(dòng)，它強(qiáng)調(diào)了“做”的主體多元性與形式多樣性的特點(diǎn)。

首先，“做數(shù)學(xué)”學(xué)習(xí)素材要有利于學(xué)生采用分組的方式探究，構(gòu)建“伙伴式”學(xué)習(xí)共同體，推動(dòng)學(xué)生通過(guò)合作、會(huì)話、協(xié)商等多維度交互的方式共同參與“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)。

其次，“做數(shù)學(xué)”學(xué)習(xí)素材要能適合不同學(xué)習(xí)風(fēng)格的學(xué)生，使其能夠最大限度地發(fā)揮長(zhǎng)處和優(yōu)勢(shì)，建立學(xué)習(xí)自信。

最后，“做數(shù)學(xué)”學(xué)習(xí)素材要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)交流與共享的平臺(tái)，允許學(xué)生的觀點(diǎn)在和其他學(xué)生以及教師共同建立的社會(huì)協(xié)商環(huán)境中受到質(zhì)疑與評(píng)論，討論的結(jié)果有可能使原來(lái)確定的、與當(dāng)前認(rèn)知有關(guān)的屬性增加或減少，在汲取眾人智慧后使復(fù)雜局面逐漸明朗一致起來(lái)。

例如，在上述“怎樣包裝，表面積最小”一課中，對(duì)“如果小致想送六塊多米諾骨牌給小遠(yuǎn)，要想用的包裝紙最少，你推薦他用哪種？”展開(kāi)了探究。教師提供了八種方案（如圖2）。有的學(xué)生計(jì)算每種圖形的表面積，通過(guò)比較得出結(jié)論；有的學(xué)生基于已有經(jīng)驗(yàn)，將目光聚焦于其中的幾種；還有的學(xué)生憑借數(shù)學(xué)直覺(jué)，直接探尋方法7和方法8。然而，交流中出現(xiàn)了爭(zhēng)議，有的學(xué)生覺(jué)得方法7所拼的圖形表面積最小，有的學(xué)生則認(rèn)為方法8的圖形表面積最小。由此，學(xué)生自發(fā)組建學(xué)習(xí)共同體，在協(xié)同性探究中進(jìn)一步尋找使用包裝紙最少的情況。經(jīng)過(guò)計(jì)算與比較、拼搭與推理，學(xué)生發(fā)現(xiàn)方法7與方法8都是使用包裝紙最少的情況。學(xué)生還通過(guò)希沃白板的克隆功能進(jìn)一步驗(yàn)證，在分析拼擺的過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩種方法都重疊了相同個(gè)數(shù)的“3×5”的面，再次說(shuō)明兩種方法都是表面積最小的情況。學(xué)生通過(guò)“合力”“合智”，從數(shù)與形兩個(gè)方面對(duì)探究活動(dòng)做出了解釋與說(shuō)明。

圖2

（三）既“成功”又“成長(zhǎng)”

“做數(shù)學(xué)”的最終目的不只是滿(mǎn)足于完成某一項(xiàng)任務(wù)或獲取某些事實(shí)性的科學(xué)原理，還應(yīng)該更注重培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的各種能力、認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的一般方法以及隨之而來(lái)的對(duì)數(shù)學(xué)價(jià)值的體悟和積極的態(tài)度與熱情等。具體表現(xiàn)為以下兩點(diǎn)：

1.在步步推進(jìn)中實(shí)現(xiàn)意義建構(gòu)?！白鰯?shù)學(xué)”可以讓學(xué)生體會(huì)操作材料的價(jià)值。這就要求教師設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)素材，應(yīng)符合不同思維水平的學(xué)生，使其在獲得成就感的同時(shí)，能感受到自我知識(shí)的局限性，產(chǎn)生進(jìn)一步研究的欲望，實(shí)現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“個(gè)性化”發(fā)展，最終完成對(duì)研究問(wèn)題的意義建構(gòu)。

2.在完善認(rèn)知中增強(qiáng)數(shù)學(xué)情感?！白鰯?shù)學(xué)”學(xué)習(xí)素材還應(yīng)幫助學(xué)生從由教師指導(dǎo)下進(jìn)行學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向更自覺(jué)的學(xué)習(xí)，并有可能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得一些積極良好的情感體驗(yàn)，在共享集體思維成果的基礎(chǔ)上對(duì)當(dāng)前所學(xué)形成較為全面、正確的理解，在徐徐展開(kāi)的過(guò)程洗禮下獲得精神的成長(zhǎng)與人格的提升。

上述課例中，學(xué)生經(jīng)歷了一系列的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)，最終得出了結(jié)論：體積一定時(shí)，重疊的面越大，拼成長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高越接近，表面積就越小。然而，教學(xué)不能只停留在操作層面，更要幫助學(xué)生根據(jù)所接受的準(zhǔn)則關(guān)注解決問(wèn)題的一般化策略，促使學(xué)生對(duì)現(xiàn)有知識(shí)的學(xué)習(xí)走向“思維中的具體”。

學(xué)生體會(huì)到若增加小長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)，不能每次都擺一擺，這樣太麻煩了，由此自發(fā)產(chǎn)生“在體積一定的前提下，想找出長(zhǎng)、寬、高最接近的情況，有沒(méi)有什么更好的方法？”的訴求。以“包裝六塊多米諾骨牌最少需要90cm2”為例，構(gòu)建90＝（ ）×（ ）×（ ）這樣簡(jiǎn)潔的表達(dá)方式。學(xué)生將五年級(jí)學(xué)習(xí)的分解質(zhì)因數(shù)遷移至此，通過(guò)先拆數(shù)再組合，最終找到90可以拆成3、5、6這三個(gè)比較接近的數(shù)的乘積。具備了這樣的解決問(wèn)題的策略，無(wú)論包裝多少塊多米諾骨牌，學(xué)生都可以在不動(dòng)手操作的情況下快速找到表面積最小的情況，真正地實(shí)現(xiàn)了“做”是為了“不做”。此環(huán)節(jié)更強(qiáng)調(diào)方法的習(xí)得和科學(xué)精神的養(yǎng)成，使學(xué)生形成鍥而不舍的鉆研精神和探究能力。

總之，“做數(shù)學(xué)”學(xué)習(xí)素材應(yīng)該為學(xué)生提供現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，為學(xué)生形成數(shù)學(xué)的思維方式提供有效載體。在今后的實(shí)踐中，筆者也將根據(jù)“做數(shù)學(xué)”和問(wèn)題解決之間的循環(huán)反復(fù)過(guò)程統(tǒng)整開(kāi)發(fā)學(xué)習(xí)素材。在此，筆者也呼吁廣大一線教師能夠關(guān)注到“做數(shù)學(xué)”，助力“做數(shù)學(xué)”真正成為課堂教學(xué)的常態(tài)。