高中生解三角形問(wèn)題的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀與對(duì)策

■山東省日照第一中學(xué) 張 蕾

解三角形問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)課題，不僅涉及最基礎(chǔ)的正弦、余弦和三角形面積公式等內(nèi)容，還蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想，因此研究解三角形數(shù)學(xué)問(wèn)題對(duì)提升高中生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要意義。解三角形問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著重要的地位，但是目前部分高中生在正弦、余弦定理的理解和運(yùn)用上存在疑惑，且不同年級(jí)的學(xué)生對(duì)解三角形的認(rèn)知與運(yùn)用水平存在差距。教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)正弦、余弦定理，并加強(qiáng)解三角形題目的訓(xùn)練，提高學(xué)生的理解和運(yùn)用能力。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不只面向高考，教師還要重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成為學(xué)生擁有的基本素質(zhì)。

一、解三角形的理論基礎(chǔ)

（一）解三角形問(wèn)題的概念界定

解三角形問(wèn)題是數(shù)學(xué)運(yùn)算中的基礎(chǔ)問(wèn)題和常見(jiàn)問(wèn)題。對(duì)任意一個(gè)三角形而言，假設(shè)它的三個(gè)角分別是A、B、C，與三個(gè)角相對(duì)應(yīng)的三條邊是a、b、c，如果知道其中某些邊和某些角的數(shù)值，就可以運(yùn)用相關(guān)公式計(jì)算得出其他邊或其他角的數(shù)值。解三角形常用到的定理有正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，這也是高中數(shù)學(xué)的核心定理。遇到解三角形的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生通常會(huì)先畫(huà)出三角形，然后在邊和角上標(biāo)出已知量，根據(jù)數(shù)學(xué)定理解出所求量。比如，在解三角形中遇到三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)，先畫(huà)出三角函數(shù)圖像，并且將已知量標(biāo)在上面，運(yùn)用此種方法可以將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，提高學(xué)生的處理速度。解三角形問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的必修內(nèi)容，可以鍛煉學(xué)生的推理能力和運(yùn)算能力，常常會(huì)與三角函數(shù)和平面向量綜合起來(lái)考查。在解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，解三角形問(wèn)題常常包含在測(cè)量、航海等實(shí)際問(wèn)題中。

（二）解三角形問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)中的地位

解三角形問(wèn)題是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確要求學(xué)生掌握的內(nèi)容，目的在于教會(huì)學(xué)生運(yùn)用公式和推理方法解決實(shí)際問(wèn)題。如果學(xué)生未能深入掌握解三角形問(wèn)題的精髓，而且在學(xué)習(xí)習(xí)慣上沒(méi)有主動(dòng)性，那么就難以全面掌握解三角形的真諦。從歷年的高考數(shù)學(xué)試題來(lái)看，解三角形問(wèn)題每年都在考查，分值小到5分，大到17分，是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交叉點(diǎn)，能夠綜合考查學(xué)生的理解和運(yùn)用能力，因此解三角形問(wèn)題越來(lái)越成為高考的熱點(diǎn)。高中數(shù)學(xué)知識(shí)是互通的，尤其在高考綜合類試題中，多個(gè)知識(shí)點(diǎn)相融是非常常見(jiàn)的，如果學(xué)生未能全面掌握解三角形知識(shí)，那么就無(wú)法解決綜合類試題，這對(duì)其自身是非常不利的。

（三）關(guān)于解三角形問(wèn)題的調(diào)查

解三角形問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，但是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中通常會(huì)遇到定理理解問(wèn)題和綜合運(yùn)用問(wèn)題，甚至有的學(xué)生還會(huì)產(chǎn)生態(tài)度問(wèn)題、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣問(wèn)題等，這些問(wèn)題嚴(yán)重阻礙了高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作的順利推進(jìn)。對(duì)定理和公式的理解是每個(gè)學(xué)生必須掌握的能力，但是目前仍然有學(xué)生搞不清定理的推理過(guò)程，究其原因，有的學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度有問(wèn)題，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中粗心、馬虎；有的學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性不強(qiáng)，思維沒(méi)有真正打開(kāi)，訓(xùn)練得太少，想問(wèn)題時(shí)思維不靈活，由此導(dǎo)致解題能力弱；還有的學(xué)生記憶公式和定理很快，但是一遇到綜合類問(wèn)題就不清楚考查的是哪些知識(shí)點(diǎn)，對(duì)題意的理解還需要加強(qiáng)，三角形知識(shí)還需要再鞏固。數(shù)學(xué)解題過(guò)程也是數(shù)學(xué)思維得到鍛煉的過(guò)程，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多教師特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育，但是學(xué)生的反饋有限，解題意識(shí)和解題能力還有很大的上升空間。

二、解三角形問(wèn)題的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀分析

（一）高中生對(duì)正弦、余弦定理的理解與運(yùn)用存在問(wèn)題

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與測(cè)試過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生都知道正弦公式是a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，但是當(dāng)遇到運(yùn)用正弦公式將角轉(zhuǎn)化為邊時(shí)，有的學(xué)生不會(huì)運(yùn)用，這說(shuō)明學(xué)生對(duì)正弦公式的轉(zhuǎn)化和換算掌握得不準(zhǔn)確。在余弦公式cosA=（b2+c2-a2）/2bc的運(yùn)用過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，有的學(xué)生只是簡(jiǎn)單地記憶了余弦定理的內(nèi)容，但是一遇到根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化類題目時(shí)，就不能準(zhǔn)確完成題目要求的內(nèi)容，說(shuō)明這類學(xué)生還未真正理解余弦定理。從歷年的高考數(shù)學(xué)真題中不難發(fā)現(xiàn)，解三角形知識(shí)常常與三角函數(shù)和平面幾何結(jié)合起來(lái)考查，但是由于正弦、余弦公式變換形式多樣，許多學(xué)生未能掌握基本公式的多種變換形式，只掌握了最簡(jiǎn)單的定理公式。究其原因，有的學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣不好，在數(shù)學(xué)課堂上的主動(dòng)性不強(qiáng)，對(duì)教師所講解的知識(shí)不去深入探究，而是固守課堂內(nèi)容或書(shū)本知識(shí)，時(shí)間久了就會(huì)發(fā)現(xiàn)這些學(xué)生的學(xué)習(xí)能力在下降。

（二）高中生對(duì)解三角形的綜合運(yùn)用存在問(wèn)題

在綜合類題目中，解三角形與立體幾何、平面向量、三角函數(shù)會(huì)同時(shí)出現(xiàn)，考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力。在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生一旦遇到綜合運(yùn)用類的題目就犯難，大題的第一小問(wèn)都能回答上來(lái)，但是第二小問(wèn)就不能夠完整地處理。比如，高考試題“三角形ABC中，D是BC上的點(diǎn)，且AD平分角BAC，BD=2DC，求sinB/sinA的值”，在這個(gè)題目的求解過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，有的學(xué)生不能根據(jù)已有條件寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的關(guān)系式，有的學(xué)生不能根據(jù)BD=2DC的關(guān)系寫(xiě)出相應(yīng)角的關(guān)系。在遇到一些綜合類解三角形問(wèn)題時(shí)，一些學(xué)生就暴露出計(jì)算能力不足的問(wèn)題，這是因?yàn)閷W(xué)生缺乏數(shù)學(xué)整體思維，其實(shí)在解三角形的題目中，有時(shí)候不需要知道某個(gè)元素的具體值，只要把它推演為最簡(jiǎn)化的式子即可，有些學(xué)生正是缺乏整體性思維，才在解三角形問(wèn)題探究中陷入迷宮。

（三）不同年級(jí)的學(xué)生對(duì)解三角形的理解與運(yùn)用存在差距

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，不同年級(jí)的學(xué)生對(duì)解三角形問(wèn)題的理解存在差距，高一、高二年級(jí)的學(xué)生對(duì)定理的理解和記憶要比高三年級(jí)的學(xué)生強(qiáng)很多，但是高一、高二年級(jí)學(xué)生對(duì)定理的運(yùn)用卻遠(yuǎn)不如高三年級(jí)的學(xué)生。這一問(wèn)題產(chǎn)生的原因與高中數(shù)學(xué)教學(xué)安排緊密相關(guān)，高一、高二年級(jí)學(xué)生入學(xué)后首次接觸解三角形知識(shí)，還不具備整體代入思想和分類討論思想，而且接觸的解三角形題目較少，所以容易在解三角形問(wèn)題上產(chǎn)生錯(cuò)誤。高三學(xué)生接觸解三角形問(wèn)題的時(shí)間較長(zhǎng)，因此對(duì)某些定理和公式存在記憶混淆，這是在所難免的，但是高三學(xué)生卻能夠解答出解三角形類的題目，這是因?yàn)楦呷龑W(xué)生訓(xùn)練得多，遇到的題目類型多，解題能力自然要比高一和高二學(xué)生略高一籌。

三、高中生解三角形問(wèn)題的對(duì)策研究

（一）引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)正弦、余弦定理

教師是解三角形問(wèn)題的引導(dǎo)者和助推者，為了幫助學(xué)生更好地理解正弦和余弦定理，教師可以引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)正弦定理和余弦定理，讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程、探究體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，為學(xué)生參與知識(shí)的“再創(chuàng)造”打下基礎(chǔ)。教師要善于運(yùn)用最直白、最簡(jiǎn)潔的話語(yǔ)來(lái)演示公式推導(dǎo)過(guò)程，讓更多學(xué)生聽(tīng)得懂、能理解。

眾所周知，三角形的形狀有三種，分別是直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形。首先，直角三角形，在直角三角形中學(xué)生曾經(jīng)學(xué)過(guò)三條邊的關(guān)系是a2+b2=c2，還有sinA=a/c,sinB=b/c，sinC=c/c，將sinA=a/c,sinB=b/c，sinC=c/c中的c提取出來(lái)，就可以得出c=a/sinA,c=b/sinB,c=c/sinC，此時(shí)就可以得到直角三角形的正弦定理。

其次，在銳角三角形中也是如此，沿著銳角三角形的頂點(diǎn)向下作垂線，與底邊垂直，在銳角三角形中學(xué)生曾經(jīng)學(xué)過(guò)CD=asinB，CD=bsinA，由此可以得出a/sinA=b/sinB，所以就有了a/sinA=b/sinB=c/sinC。如圖1所示。

圖1

最后，在鈍角三角形中，沿著一邊角作垂直與底邊的高線，學(xué)生曾經(jīng)學(xué)過(guò)在鈍角三角形中CD=asin∠CBD=asin∠ABC，CD=bsinA。由此可以得出a/sinA=b/sin∠ABC，推導(dǎo)出a/sinA=b/sinB=c/sinC。如此反復(fù)，通過(guò)畫(huà)圖引導(dǎo)學(xué)生推理正弦定理和余弦定理，幫助學(xué)生理解公式的推導(dǎo)過(guò)程，能夠加深學(xué)生對(duì)公式的記憶。

（二）加強(qiáng)對(duì)解三角形問(wèn)題題目的訓(xùn)練

由于解三角形問(wèn)題常常會(huì)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)綜合起來(lái)考查，因此教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)其他數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的訓(xùn)練，如加強(qiáng)對(duì)三角函數(shù)、平面向量、立體幾何的復(fù)習(xí)，不斷提醒學(xué)生，鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。在解三角形問(wèn)題的過(guò)程中，有時(shí)遇到的題目很長(zhǎng)，學(xué)生需要耐心地讀完，必要的情況下要在草稿紙上多演算幾遍，不能因?yàn)轭}目太長(zhǎng)就馬虎大意，要端正學(xué)習(xí)態(tài)度，認(rèn)真審題，多動(dòng)手找一找、畫(huà)一畫(huà)。

加強(qiáng)學(xué)生的解題能力需要學(xué)生做典型性的題目，在這個(gè)過(guò)程中，教師可以將歷年的高考真題打包，由學(xué)生獨(dú)立完成，并給予學(xué)生必要的指導(dǎo)。比如在數(shù)學(xué)題目計(jì)算過(guò)程中，教師可以提示學(xué)生下一步該用什么方法，哪些地方需要再回過(guò)頭檢驗(yàn)一遍，教師在學(xué)生做題過(guò)程中對(duì)一些細(xì)節(jié)多提示，學(xué)生就會(huì)樹(shù)立起解題的信心。分類討論思維是學(xué)生在解三角形中必須具備的能力，在數(shù)學(xué)課堂中，無(wú)論在課堂講解還是課后鞏固環(huán)節(jié)，教師都要有意識(shí)地滲透分類討論思想并加以強(qiáng)調(diào)。比如，教師根據(jù)已有的題目進(jìn)行變式，讓學(xué)生找到不同試題的突破口，再由學(xué)生獨(dú)自完成，學(xué)生遇到難點(diǎn)可以提問(wèn)教師，如此反復(fù)訓(xùn)練，分類討論思想就會(huì)逐漸形成。

整體代入解題技巧在解三角形題目中經(jīng)常會(huì)遇到，許多學(xué)生對(duì)整體代入解題技巧掌握得不夠牢固，運(yùn)用時(shí)不是很靈活，那么教師在教學(xué)過(guò)程中要特別強(qiáng)調(diào)公式之間的聯(lián)系，耐心演示和推導(dǎo)，學(xué)生再進(jìn)行多次練習(xí)，就會(huì)有所收獲。比如，教師在教學(xué)過(guò)程中要提示學(xué)生觀察一下化簡(jiǎn)后的式子與題目中的式子有什么關(guān)系，還要提示學(xué)生有什么其他發(fā)現(xiàn)，如此灌輸整體代入思想，學(xué)生就會(huì)有所進(jìn)步。在解三角形問(wèn)題的過(guò)程中，教師要重視對(duì)學(xué)生進(jìn)行題目訓(xùn)練，同時(shí)選擇有代表性的題目來(lái)講解，并且多鼓勵(lì)學(xué)生，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心。

（三）針對(duì)不同年級(jí)學(xué)生采取不同的教學(xué)方式

不同年級(jí)的學(xué)生對(duì)解三角形問(wèn)題有不同程度的理解，由于這種差異，教師應(yīng)該因材施教，即不同的年級(jí)采取不同的教學(xué)方式。高一學(xué)生剛學(xué)習(xí)解三角形的知識(shí)，在講課之前，教師要考慮學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并根據(jù)其認(rèn)知結(jié)構(gòu)提前準(zhǔn)備一段引導(dǎo)性材料。例如，講解正弦定理前引入直角三角形，讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，找規(guī)律，之后教師歸納正弦定理。再如，講解完正弦定理后就練習(xí)正弦定理的知識(shí)，講解完余弦定理后便練習(xí)余弦定理的知識(shí)，講解完三角形知識(shí)后，將所學(xué)的解三角形知識(shí)同化或順應(yīng)學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而得到新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

高二學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)解三角形知識(shí)，所以教師應(yīng)該更加側(cè)重鞏固解三角形的基礎(chǔ)知識(shí)，幫助學(xué)生回憶已有的解三角形知識(shí)，并特意強(qiáng)調(diào)正弦定理公式，避免有的學(xué)生因?yàn)檎叶ɡ砉接洃涘e(cuò)誤而出錯(cuò)。

高三學(xué)生已經(jīng)熟悉解三角形知識(shí)，并且熟練掌握了解三角形知識(shí)的能力。教師需要進(jìn)一步加大解三角形知識(shí)的訓(xùn)練，讓學(xué)生采取不同的方法解題，找到最優(yōu)的解題方法，使學(xué)生更好地對(duì)解三角形問(wèn)題進(jìn)行分析和轉(zhuǎn)化。

四、結(jié)語(yǔ)

解三角形問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)中起到承上啟下、拓展延伸的作用，是高中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，學(xué)習(xí)和訓(xùn)練解三角形可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。學(xué)生在解三角形的問(wèn)題中容易產(chǎn)生定理性錯(cuò)誤和運(yùn)算性錯(cuò)誤，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)定理、概念的理解，靈活采取不同的訓(xùn)練方式是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的主要策略。除此之外，針對(duì)不同學(xué)生的不同錯(cuò)誤類型，教師應(yīng)當(dāng)采取不同的糾錯(cuò)策略，以幫助學(xué)生規(guī)避錯(cuò)誤，使學(xué)生對(duì)解三角形問(wèn)題的理解更深入、全面。