考慮訂單拆分的賽汝生產(chǎn)中多能工與任務(wù)分配協(xié)同優(yōu)化

吳影輝，曾少羽，陳思思

(江蘇科技大學 經(jīng)濟管理學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212100)

賽汝生產(chǎn) (Seru production) 是源于日本電子工業(yè)生產(chǎn)現(xiàn)場的一種新生產(chǎn)模式，它能很好地適應多品種小批量的產(chǎn)品生產(chǎn)要求以及需求變動的市場環(huán)境[1]。這種生產(chǎn)方式在中國、韓國和其他國家也有應用。根據(jù)賽汝內(nèi)的工人數(shù)量和工序任務(wù)劃分，賽汝生產(chǎn)系統(tǒng)可分為分割式賽汝、巡回式賽汝和單人式賽汝類型[2-3]。與西方制造產(chǎn)業(yè)中裝配單元不同的是，賽汝生產(chǎn)系統(tǒng)僅包含幾個簡單的設(shè)備和一個或多個能操作多個設(shè)備的工人 (即多能工)，工人能獨立完成一個產(chǎn)品的全部或大部分裝配任務(wù)[4]。通過不同數(shù)量的賽汝單元以及多能工和工序任務(wù)分配組合，可構(gòu)建不同類型的賽汝生產(chǎn)系統(tǒng)來提高生產(chǎn)效率和系統(tǒng)靈活性。

近年來，賽汝生產(chǎn)系統(tǒng)構(gòu)建的相關(guān)問題得到國內(nèi)外學者關(guān)注和研究。Yu 等[3]對賽汝生產(chǎn)系統(tǒng)設(shè)計優(yōu)化問題進行了詳細的綜述。賽汝生產(chǎn)系統(tǒng)設(shè)計優(yōu)化問題包含賽汝單元構(gòu)建和批調(diào)度兩個子問題。合理分配工人和工序任務(wù)以響應生產(chǎn)需求對提高賽汝系統(tǒng)的效率與柔性至關(guān)重要，因此多能工和任務(wù)分配是解決這兩個子問題關(guān)鍵所在。Liu 等[4]研究流水線轉(zhuǎn)換賽汝生產(chǎn)中賽汝單元構(gòu)建個數(shù)和工人分配決策。隨后，Yu 等[5]以總完工時間為目標，構(gòu)建決策工人與任務(wù)分配的流水線轉(zhuǎn)換賽汝生產(chǎn)優(yōu)化模型。Ying 等[6]以最小化工人培訓和產(chǎn)品加工時間成本為目標，研究工人-賽汝分配計劃。然而這些研究忽略了工人本身固有的異質(zhì)性，且在實際生產(chǎn)中將工人全部培訓成全能工是不現(xiàn)實的。此外，這些研究的優(yōu)化目標主要針對提高賽汝系統(tǒng)的生產(chǎn)效率，如總生產(chǎn)時間、總勞動時數(shù)、最大完工時間等，忽略了效率導向的工人和任務(wù)分配方案可能會導致工人間工作量不公平。作為一個“以人為本”的生產(chǎn)模式，公平地分配工作量不僅能增加工人對任務(wù)分配方案的接受度，而且能增強工人的公平感和滿意度[7]。

隨著對賽汝生產(chǎn)“以人為本”理念的重視，有學者開始關(guān)注賽汝單元間與工人間的工作量不平衡問題。Yu 等[8]以最大化全能工間、賽汝生產(chǎn)單元間的工作量平衡為決策目標，研究賽汝間與賽汝內(nèi)工人工作量均衡問題。廉潔等[9]和Lian 等[10]研究賽汝系統(tǒng)多能工分配問題，構(gòu)建一個雙目標模型旨在實現(xiàn)賽汝單元間工人工作量均衡。Yilmaz[11]考慮賽汝系統(tǒng)中全能工可跨單元移動對總工期和工人間工作量的影響，研究全能工調(diào)度問題。Liu 等[12]研究混合賽汝系統(tǒng)中交叉培訓工人分配問題以權(quán)衡生產(chǎn)效率和工人工作量均衡問題。王曄等[13]研究基于不同多能工技能水平組合下對工人間工作時間差異和總完工時間的影響。然而，以上研究均假設(shè)訂單批次是不可拆分的。

訂單拆分是指將同一批次的訂單任務(wù)分配到不同賽汝中并行加工，是實現(xiàn)生產(chǎn)系統(tǒng)工作量平衡的重要方法[14]。其他生產(chǎn)系統(tǒng)的相關(guān)研究結(jié)果已證實，實行批量拆分可以降低庫存成本和機器閑置成本、減少人員需求和工作時間，減少能源消耗等生產(chǎn)指標[15]。針對賽汝生產(chǎn)系統(tǒng)，現(xiàn)有研究大多不考慮訂單拆分，假設(shè)一個批次訂單只能在一個賽汝單元生產(chǎn)，僅有兩篇文章在賽汝生產(chǎn)系統(tǒng)構(gòu)建中考慮了訂單拆分。白朝陽等[16]構(gòu)建以最小化總完工時間和最小化工人總工時為目標的雙目標模型，以實現(xiàn)賽汝生產(chǎn)單元構(gòu)建和批量分割聯(lián)合決策問題。

基于此，本文以平衡多能工間工作量為目標，研究考慮訂單拆分的賽汝生產(chǎn)系統(tǒng)多能工與任務(wù)分配聯(lián)合決策優(yōu)化問題。以最小化工人最大工作量為優(yōu)化目標函數(shù)，構(gòu)建考慮訂單拆分和公平性導向的混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型。為驗證模型的有效性，還構(gòu)建了考慮訂單不拆分、訂單拆分但優(yōu)化系統(tǒng)效率指標的模型。這些模型被線性化后，采用優(yōu)化軟件CPLEX 求得精確解。算例實驗表明，與不考慮訂單拆分或系統(tǒng)效率導向模型相比，考慮訂單拆分的公平性導向模型對工人工作量公平分配改善效果更優(yōu)，同時能維持較高的生產(chǎn)效率。本文的研究豐富了賽汝生產(chǎn)理論，并為生產(chǎn)企業(yè)實施賽汝生產(chǎn)提供有價值的指導建議。

1 問題描述

1.1 符號定義與問題描述

為方便描述問題和建模，相關(guān)變量定義見表1?？紤]一個由賽汝單元構(gòu)成的生產(chǎn)系統(tǒng)，具有多名多能工。每個多能工可承擔加工產(chǎn)品所需的單個或多個裝配任務(wù)?，F(xiàn)有若干批次產(chǎn)品需要完成生產(chǎn)，每個批次包含一種產(chǎn)品類型和相應的批量，每種產(chǎn)品的加工任務(wù)可由多個工人執(zhí)行。考慮多能工所掌握的加工技能集和對每個工序加工任務(wù)的熟練程度具有異質(zhì)性。如圖1 所示，批次b1產(chǎn)品需要完成 工 序 任 務(wù) 集 為 {s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7} 。 工 人w1能 夠 承擔的工序任務(wù)集為 {s1,s4,s5,s6,s7} 。不同多能工組合以及分配到相同賽汝的加工產(chǎn)品批次和批量將影響生產(chǎn)效率和每個多能工承擔的工作量。每個賽汝單元的多能工加工技能集要能滿足該賽汝單元內(nèi)被分配加工產(chǎn)品所需的加工任務(wù)。本文考慮同批次產(chǎn)品被分配到不同的賽汝單元生產(chǎn) (訂單拆分)，以最小化工人最大工作量為目標，如何將工人分配到不同的賽汝單元，以及確定分配到賽汝單元的各批次產(chǎn)品批量和工人承擔被分配到同一賽汝單元內(nèi)的各批次產(chǎn)品工序任務(wù)，從而完成生產(chǎn)任務(wù)。

圖1 一個簡單的賽汝生產(chǎn)系統(tǒng)Figure 1 A simple Seru production system

表1 符號及其含義說明Table 1 Symbols and their meanings

1.2 基本假設(shè)

本文研究的問題基于以下假設(shè)。

1) 產(chǎn)品的類型和批次大小、每種產(chǎn)品類型的所有任務(wù)的標準加工時間都是預先知道的，并且每批包含一種產(chǎn)品類型。

2) 對于每個賽汝中的某個工序加工任務(wù)，只能由一個工人加工。工人只能被分配到他們能勝任的工序任務(wù)，不考慮工人培訓。

3) 由于賽汝生產(chǎn)系統(tǒng)布局緊湊，工人在不同工作站之間的移動時間被忽略。

2 模型構(gòu)建

基于上述符號定義和模型假設(shè)，考慮訂單拆分的賽汝生產(chǎn)系統(tǒng)多能工與任務(wù)分配聯(lián)合決策優(yōu)化模型 (模型1) 如式 (1) ～ (16) 所示。

其中，目標函數(shù) (1) 表示最小化工人最大工作量；約束 (2) 表示每個工人只能被分配到一個賽汝單元內(nèi)；約束 (3) 限制每個賽汝單元內(nèi)的總工人數(shù)量不超過最大值N；約束 (4) 表示每個批次被拆分并分配到賽汝單元的產(chǎn)品數(shù)量之和等于批次批量；約束 (5) 表示工人只能被分配給能勝任的工序任務(wù)；約束 (6) 表示每個工人承擔每個批次產(chǎn)品工序任務(wù)總數(shù)不能超過該工人所能承受的最大任務(wù)數(shù)M；約束 (7) 表示每個批次b產(chǎn)品每個工序任務(wù)均有相對應的工人來完成；約束 (8) 表示批次加工工序只能被分配給同一賽汝單元的工人承擔；約束 (9) 計算賽汝系統(tǒng)中每個工人的工作量；約束 (10) ～ (11) 表示決策變量Qbc的取值范圍；約束 (12) 表示若批次b被分配到賽汝c中加工，即ybc= 1，Qbc的值至少為1，若Qbc=0 ，則ybc= 0；約束 (13) ～ (16) 表示決策變量xwc、ybc和的取值范圍。

為驗證模型1 的有效性，基于訂單拆分與否和工作量公平性和系統(tǒng)效率優(yōu)化目標組合，還構(gòu)建了其他3 種模型。這些模型與模型1 的比較如表2 所示。

表2 基于不同訂單拆分策略和優(yōu)化目標的模型對比Table 2 Comparisons of models based on different lot-splitting strategies and optimization objectives

模型2 和模型4 不考慮訂單拆分，需刪除模型1 中的決策變量Qbc及約束 (4)、(10) ～ (12)；每個批次的產(chǎn)品將全部在一個賽汝單元內(nèi)生產(chǎn)，決策變量修改為，約束 (5) ～ (9)、約束 (13) 和約束 (16)將依次被修改為

此外，模型3 和模型4 的優(yōu)化目標為最大化系統(tǒng)生產(chǎn)效率。在以往研究中，通常采用總加工時間(total labour hours, TLH) 來 衡 量 賽 汝 系 統(tǒng) 生 產(chǎn) 效率。因此，模型3 和模型4 的目標函數(shù)為

綜上，模型2、模型3 和模型4 可分別表示如下。

3 模型線性化處理

考慮到上述4 個模型中存在非線性部分，為了能采用優(yōu)化求解器如CPLEX，獲得這些問題的精確解，需要對這些模型中的非線性目標函數(shù) (1) 和非線性約束 (8) ～ (9) 和 (20) 進行線性化處理[7,17]。

引入輔助變量 λ ，目標函數(shù) (1) 可由式 (25) 和(26) 代替。

對于約束 (8)，通過引入輔助連續(xù)變量uwbc∈[0,1] 代 替xwcybc并添加約束 (27) ～ (31) 將其線性化處理。對于約束 (20) 可做類似線性化處理。

4 算例與計算實驗

采用Java 語言編寫實驗程序，調(diào)用優(yōu)化求解器CPLEX 12.8 完成算例求解。所有數(shù)值實驗在配備Intel Core i5-5200U 處理器、4GB DDR3 容量內(nèi)存和Windows 10 操作系統(tǒng)的個人計算機上完成。如無特殊說明，下文模型1 ～ 4 均指線性化處理后的對應模型。

4.1 算例參數(shù)與示例

為驗證模型1 的有效性，基于文獻[11]中算例參數(shù)的取值范圍 (如表3 所示)，生成10 組算例進行求解。這些參數(shù)包括賽汝單元數(shù)量 |C| 、批次數(shù)量|B|、 工人數(shù)量 |W| 、 產(chǎn)品總工序數(shù) |S| ，各批次批量Vb、工序標準加工時間tbs、工人對各工序的熟練程度fws。此外，針對所有算例，賽汝單元內(nèi)工人數(shù)上限N設(shè)為4，工人承擔同批產(chǎn)品最多工序數(shù)M為5。該算例包含4 個賽汝單元、10 名多能工、8 個訂單批次，各批次產(chǎn)品工序及標準加工時間見表4，工人掌握的工序及其熟練程度見表5，各批次批量Vb見表6。

表3 算例參數(shù)取值范圍Table 3 Ranges of instance parameters

表4 各批產(chǎn)品工序的標準加工時間Table 4 Standard processing time of each task

表5 工人掌握工序加工技能熟練程度Table 5 Workers' proficiency in operating skills

表6 訂單產(chǎn)品數(shù)量信息Table 6 Product batch quantity

4.2 算例求解結(jié)果

由于篇幅所限，本部分僅給出示例算例在模型1 下的求解結(jié)果，如表7 ～ 9 所示。表7 為每個賽汝被分配的工人和加工批量情況。表7 中的數(shù)字表示各批產(chǎn)品分配到每個賽汝的批量Qbc，賽汝c1～c4被 依 次 分 配 的 工 人 為 {w4,w7,w10} 、 {w1,w8} 、 {w2,w5} 、{w3,w6,w9}。表8 表示每個工人承擔的加工任務(wù)。表9 給出每個工人承擔的工作量，可以看出工人間被分配的工作量較均衡，且最大差值只有0.7。

表7 工人與產(chǎn)品批量分配結(jié)果Table 7 Worker assignment and batch allocation results

表8 每個工人在賽汝單元內(nèi)承擔的加工任務(wù)Table 8 Operating tasks allocated to each worker in Serus

表9 每個工人被分配的工作量Table 9 The workload assigned to each worker

4.3 不同模型下求解結(jié)果對比分析

為了驗證考慮訂單拆分和模型1 的有效性，產(chǎn)生10 組算例進行數(shù)值實驗分析。算例由主要參數(shù) |B| 、 |C| 、 |W| 和 |S| 表示規(guī)模大小，如表10 所示。表11和表12 給出模型1 ～ 模型4 求解這10 組算例的 結(jié) 果。采 用 T LH 和 M WW 值來衡量模 型 的 有 效性， T LH 表示賽汝生產(chǎn)系統(tǒng)產(chǎn)品生產(chǎn)總時間，為系統(tǒng)生產(chǎn)效率指標； M WW 表示工人最大工作量，為緩解工人工作量 不均衡的優(yōu)化目 標。 ΔTLH和 ΔMWW按式 (36) 和 (37) 計算。

表10 實驗算例及其參數(shù)值Table 10 Experimental instances and the values of parameters

表11 以減少最大化工作量為目標的模型1 和模型2 求解結(jié)果對比分析Table 11 Comparisons of results obtained by models 1 and 2 with the objective of minimizing the maximum workload

表12 以最大化系統(tǒng)效率為目標的模型3 和模型4求解結(jié)果對比分析Table 12 Comparisons of results obtained by models 3 and 4 with the objective of maximizing system efficiency

計算結(jié)果表明，相對于不考慮訂單拆分的模型2，模型1 可最多減少工人最大工作量9.71%，平均減少5.40%；最大減少產(chǎn)品總加工時間9.34%，平均減少2.19%。這說明在公平性導向的模型中考慮訂單拆分不僅能減少工人間工作量分配不均衡，還能提高系統(tǒng)生產(chǎn)效率。表12 表明，考慮訂單拆分模型3 在提升賽汝系統(tǒng)生產(chǎn)效率指標上比模型4 更好，但造成工人間的工作量分配更加不公平。模型1 (或模型2) 與模型3 (或模型4) 比較的結(jié)果顯示，公平性導向的模型能極大地改進工人間的工作量不均衡，僅稍微減少系統(tǒng)生產(chǎn)效率。綜上，驗證了本文構(gòu)建的模型1 是有效的。

4.4 不同模型下工人工作量分布對比分析

圖2 和圖3 給出以算例5 和算例9 為例，求解模型1 ～ 模型4 的工人工作量分布情況。由圖2 和圖3 可知，相對于公平性導向的模型1 和模型2，系統(tǒng)生產(chǎn)效率導向模型3 和模型4 得到的工人的工作量分配極為不均衡。在以系統(tǒng)生產(chǎn)效率導向模型中考慮訂單拆分并不能實現(xiàn)工人工作量均衡。盡管以公平性導向為目標的模型2 沒有考慮訂單拆分，但比模型3 和模型4 更能實現(xiàn)工人間工作量均衡。而考慮訂單拆分且以公平性導向為目標的模型1 取得了最好的工人間工作量均衡。

圖2 針對算例5 不同模型下求得的工人工作量分布Figure 2 Workload distribution of workers obtained by different models for instance 5

圖3 針對算例9 不同模型下求得的工人工作量分布Figure 3 Workload distribution of workers obtained by different models for instance 9

5 結(jié)論

本文研究了考慮訂單拆分賽汝生產(chǎn)系統(tǒng)中多能工與任務(wù)分配聯(lián)合決策優(yōu)化問題。為緩解賽汝生產(chǎn)系統(tǒng)中工人間工作量分配不公平，構(gòu)建求解該問題的混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型，通過引入多個連續(xù)變量和約束，對該模型進行線性化處理。為驗證模型的有效性，還基于訂單拆分與否分別與工作量公平性和系統(tǒng)效率優(yōu)化目標組合，構(gòu)建3 個對照模型并采用優(yōu)化軟件CPLEX 求解問題。研究結(jié)論如下。

1) 算例實驗表明，相對于不考慮訂單拆分的模型2，本文提出的模型1 可最多減少工人最大工作量9.71%，平均減少5.40%；最大減少產(chǎn)品總加工時間9.34%，平均減少2.19%。這說明在公平性導向的模型中考慮訂單拆分不僅能減少工人間工作量分配不均衡，還能提高系統(tǒng)生產(chǎn)效率。

2) 考慮訂單拆分的模型3 在提升賽汝系統(tǒng)生產(chǎn)效率指標上比模型4 更好，但造成工人間的工作量分配更加不公平。生產(chǎn)總時間平均減少4.23%，但工人的最大工作量增加了43.84%。因此，在系統(tǒng)效率導向模型中考慮訂單拆分可以一定程度上提高生產(chǎn)效率，但造成工人間極大的工作量不均衡。

本文研究的對象是純賽汝生產(chǎn)系統(tǒng)，接下來可研究混合賽汝生產(chǎn)系統(tǒng)的異質(zhì)工人分配和批調(diào)度問題。