一類捕食者－食餌模型的全局拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析

張婷婷

（山西應(yīng)用科技學(xué)院 信息工程學(xué)院，山西 太原 030062）

二十世紀(jì)以來，捕食者－食餌體系憑借其豐富多樣的相互作用脫穎而出，迅速取得應(yīng)用數(shù)學(xué)家的青睞，各種各樣的捕食者－食餌模型得以發(fā)展并頻繁出現(xiàn)在人們的視野之中.比率依賴的捕食者－食餌模型最早被提出并研究于20世紀(jì)80年代末，此后Gutierez［1］發(fā)展了比率依賴?yán)碚摰纳砘A(chǔ)，并用模型做出解釋.在此基礎(chǔ)上，RUAN等［2］對(duì)具有比率依賴功能反應(yīng)函數(shù)的捕食者－食餌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了分析，并對(duì)其所有可能的分支進(jìn)行了討論.然而考慮到現(xiàn)實(shí)因素，由于自然資源的限制，捕食者彼此之間也會(huì)產(chǎn)生競(jìng)爭(zhēng)，因此考慮捕食者密度依賴和獵物密度依賴的捕食者－食餌系統(tǒng)［3］更符合實(shí)際.

許多學(xué)者已經(jīng)在這方面做出了貢獻(xiàn)，JIANG等［4］考慮具有密度依賴性死亡率和比率依賴性功能反應(yīng)函數(shù)的捕食者－食餌模型：

其中，x（t）和y（t）分別表示t時(shí)刻獵物和捕食者的種群密度.系統(tǒng)（1）各參數(shù)均為正，c表示獵物的內(nèi)稟增長(zhǎng)率，b表示獵物種群之間的相互干擾，d表示捕食者的死亡率，r表示捕食者密度依賴性死亡率.捕食者根據(jù)比率依賴的功能反應(yīng)進(jìn)行捕食，其中s表示捕獲率，f表示能量轉(zhuǎn)化率，m表示半飽和常數(shù).文獻(xiàn)［4］明確描述了系統(tǒng)（1）在原點(diǎn)周圍的局部定性行為，基于原點(diǎn)周圍的動(dòng)力學(xué)和其他平衡點(diǎn)，對(duì)模型進(jìn)行了有限平面全局定性分析.系統(tǒng)存在余維二的BT分支且經(jīng)歷了各種分岔現(xiàn)象，并用數(shù)值模擬說明理論結(jié)果.

然而研究平面系統(tǒng)軌線在全平面上的分布，除了解有限平面上的奇點(diǎn)性態(tài)和極限環(huán)的情況外，軌線在無限遠(yuǎn)處的性態(tài)也至關(guān)重要，而這關(guān)鍵取決于無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)的性態(tài).目前在這些方面已經(jīng)有了一些研究工作［5－7］.在文獻(xiàn)［4］基礎(chǔ)上，考慮無窮遠(yuǎn)處軌線性態(tài)，引入Poincaré變換探討無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)的相關(guān)性態(tài).將有限奇點(diǎn)與無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)結(jié)合研究系統(tǒng)的軌線在全平面上的分布情況，以Poincaré圓盤上做全局結(jié)構(gòu)圖的方法進(jìn)行系統(tǒng)軌線的全局結(jié)構(gòu)分析.

本文首先闡述了系統(tǒng)平衡點(diǎn)的存在性及其局部性態(tài)；其次分析了系統(tǒng)無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)，對(duì)系統(tǒng)軌線分布做全局分析；最后進(jìn)行了總結(jié)討論.

1 平衡點(diǎn)的存在性及局部性態(tài)

由文獻(xiàn)［4］可知，系統(tǒng)（1）可變?yōu)?/p>

系統(tǒng)（2）始終存在1個(gè)滅絕平衡點(diǎn)（0，0）和1個(gè)邊界平衡點(diǎn)（1，0），且在不同條件下，系統(tǒng)（2）可能存在0個(gè)，1個(gè)或2個(gè)正平衡點(diǎn).當(dāng)系統(tǒng)（2）存在唯一1個(gè)正平衡點(diǎn)E＊（x＊，y＊）時(shí)，E＊可能是局部漸近穩(wěn)定的或是1個(gè)鞍結(jié)點(diǎn)，當(dāng)系統(tǒng)（2）存在2個(gè)正平衡點(diǎn)E1（x1，y1）和E2（x2，y2）時(shí)，E1是1個(gè)鞍點(diǎn)，E2可能是局部漸近穩(wěn)定的.

2 考慮無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)的全局性態(tài)

令z＝0，求解方程組

顯然C（0，0）是奇點(diǎn)，且容易判定它是一不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn).根據(jù)所確定的無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)個(gè)數(shù)及其類型，得到Poincaré圓盤如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)（2）無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)鄰域內(nèi)軌線分布圖

2.1 無正平衡點(diǎn)時(shí)全局結(jié)構(gòu)分析

首先考慮系統(tǒng)（2）不存在正平衡點(diǎn)時(shí)的全局性態(tài)，在這種情況下滅絕平衡點(diǎn)（0，0）和邊界平衡點(diǎn)（1，0）分別是吸引子（甚至是全局吸引子）的情形.

情況1（1，0）為鞍點(diǎn)，原點(diǎn)（0，0）處拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)由橢圓扇形和拋物扇形組成，系統(tǒng)（2）有無數(shù)條軌線沿θ＝θ1離開原點(diǎn)，無數(shù)條軌線沿θ＝θ2進(jìn)入原點(diǎn)，不存在極限環(huán)，（0，0）是全局吸引子，此時(shí)系統(tǒng)（2）全局結(jié)構(gòu)圖如圖2（a）所示.

圖2 系統(tǒng)（2）無正平衡點(diǎn)時(shí)全局結(jié)構(gòu)圖

情況2（1，0）為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，原點(diǎn)（0，0）處拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)由拋物扇形和雙曲扇形組成，系統(tǒng)（2）有一條線沿θ＝θ1離開原點(diǎn)，一條軌線沿θ＝θ3進(jìn)入原點(diǎn)，無數(shù)條軌線沿θ＝θ2進(jìn)入原點(diǎn)，不存在極限環(huán)，（0，0）和（1，0）是吸引子，此時(shí)系統(tǒng)（2）全局結(jié)構(gòu)圖如圖2（b）所示.

情況3（1，0）為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，原點(diǎn)（0，0）處拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)由雙曲扇形組成，系統(tǒng)（2）有一條軌線沿θ＝θ1離開原點(diǎn)，一條軌線沿θ＝θ2進(jìn)入原點(diǎn)，不存在極限環(huán)，（1，0）是全局吸引子，此時(shí)系統(tǒng)（2）全局結(jié)構(gòu)圖如圖2（c）所示.

2.2 唯一正平衡點(diǎn)時(shí)全局結(jié)構(gòu)分析

系統(tǒng)（2）存在唯一正平衡點(diǎn)時(shí)，邊界平衡點(diǎn)（1，0）為鞍點(diǎn)，原點(diǎn)（0，0）或正平衡點(diǎn)E＊（x＊，y＊）分別是吸引子（甚至是全局吸引子）的情形.

情況4 原點(diǎn)（0，0）處拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)由拋物扇形和雙曲扇形組成，系統(tǒng)（2）有一條軌線沿θ＝θ1離開原點(diǎn)，一條軌線沿θ＝θ3進(jìn)入原點(diǎn)，無數(shù)條軌線沿θ＝θ2進(jìn)入原點(diǎn)，系統(tǒng)（2）的（0，0）和（x＊，y＊）是吸引子，當(dāng)不存在極限環(huán)時(shí)，系統(tǒng)（2）全局結(jié)構(gòu)圖如圖3（a）所示.

圖3 系統(tǒng)（2）存在唯一正平衡點(diǎn)時(shí)全局結(jié)構(gòu)圖

情況5 原點(diǎn)（0，0）處拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)由拋物扇形和雙曲扇形組成，系統(tǒng)（2）有無數(shù)條軌線沿θ＝θ1離開原點(diǎn)，一條軌線沿θ＝θ2進(jìn)入原點(diǎn)，有一條軌線沿θ＝θ3離開原點(diǎn)，不存在極限環(huán)，E＊是局部漸近穩(wěn)定的，且是全局吸引子，此時(shí)系統(tǒng)（2）全局結(jié)構(gòu)圖如圖3（b）所示.

情況6 原點(diǎn)（0，0）處拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)由雙曲扇形組成，系統(tǒng)（2）有一條軌線沿θ＝θ1離開原點(diǎn)，一條軌線沿θ＝θ2進(jìn)入原點(diǎn)，不存在極限環(huán)，E＊是局部漸近穩(wěn)定的，且是全局吸引子，此時(shí)系統(tǒng)（2）全局結(jié)構(gòu)圖如圖3（c）所示.

情況7 原點(diǎn)（0，0）處拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)由雙曲扇形和拋物扇形組成，系統(tǒng)（2）有一條軌線沿θ＝θ1離開原點(diǎn)，無數(shù)條軌線沿θ＝θ2進(jìn)入原點(diǎn)，E＊是局部漸近穩(wěn)定的，且（0，0）和E＊是吸引子.當(dāng)極限環(huán)不存在時(shí)，系統(tǒng)（2）全局結(jié)構(gòu)圖如圖4（a）所示.

圖4 系統(tǒng)（2）存在唯一正平衡點(diǎn)時(shí)全局結(jié)構(gòu)圖

情況8 原點(diǎn)（0，0）處拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)由橢圓扇形和拋物扇形組成，系統(tǒng)（2）有一條軌線沿θ＝θ1離開原點(diǎn)，無數(shù)條軌線沿θ＝θ2進(jìn)入原點(diǎn)，E＊是一個(gè)鞍結(jié)點(diǎn)，不存在極限環(huán)，（0，0）是全局吸引子，此時(shí)系統(tǒng)（2）全局結(jié)構(gòu)圖如圖4（b）所示.

2.3 兩個(gè)正平衡點(diǎn)時(shí)全局結(jié)構(gòu)分析

系統(tǒng)（2）存在兩個(gè)正平衡點(diǎn)時(shí)，邊界平衡點(diǎn)（1，0）和E1是鞍點(diǎn)，（0，0）和另一個(gè)正平衡點(diǎn)E2是吸引子.

情況9 原點(diǎn)（0，0）處拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)由橢圓扇形和拋物扇形組成，系統(tǒng)（2）有無數(shù)條軌線沿θ＝θ1離開原點(diǎn)，無數(shù)條軌線沿θ＝θ2進(jìn)入原點(diǎn)，E2局部漸近穩(wěn)定，（0，0）和E2是吸引子，當(dāng)極限環(huán)不存在時(shí)，系統(tǒng)（2）全局結(jié)構(gòu)圖如圖5所示.

圖5 系統(tǒng)（2）存在兩個(gè)正平衡點(diǎn)時(shí)全局結(jié)構(gòu)圖

3 討論

利用微分方程定性理論，對(duì)一類具有密度依賴死亡率和比率依賴功能反應(yīng)函數(shù)的捕食者－食餌模型進(jìn)行了系統(tǒng)軌線的全局結(jié)構(gòu)分析.當(dāng)系統(tǒng)（2）不存在正平衡點(diǎn)時(shí)，由于邊界平衡點(diǎn)（1，0）是吸引子，故疾病滅絕；當(dāng)系統(tǒng)（2）存在唯一正平衡點(diǎn)時(shí)，正平衡點(diǎn)E＊（x＊，y＊）是吸引子，故疾病流行；系統(tǒng)（2）存在兩個(gè)正平衡點(diǎn)時(shí)，其中E1是鞍點(diǎn)，另一個(gè)正平衡點(diǎn)E2是吸引子，故疾病流行.