基于輔助函數(shù)法的耦合Shrdinger－KdV方程的函數(shù)解研究

蔡高明

（湄洲灣職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教育學(xué)院，福建 莆田 351100）

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，非線性現(xiàn)象已經(jīng)滲透到自然科學(xué)與工程技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，越來越引起人們的重視.自然科學(xué)中的許多現(xiàn)象可以歸結(jié)為非線性問題，如孤波混沌、吸引子、分形和逆序結(jié)構(gòu)都是非線性問題［1－2］.對(duì)非線性發(fā)展方程的研究有著非常重要的價(jià)值，也一直都是數(shù)學(xué)和物理學(xué)家所關(guān)注的重要對(duì)象.在求解非線性發(fā)展方程的精確解中，新的求解方法和分析手段不斷出現(xiàn)，一些常用的求解方法，如：輔助函數(shù)法［3］、齊次平衡法［4］、Jacobi橢圓函數(shù)展開法［5］、雙曲函數(shù)法［6］等被廣泛應(yīng)用并不斷改進(jìn)，得到一些非線性偏微分方程的孤波解、扭結(jié)波解、尖波解、呼吸子解等.對(duì)于耦合Schrdinger－KdV 方程，其精確解在等離子體物理中有著廣泛的應(yīng)用，如可以用來描述Laugmuir波、電磁波等［7］.郝曉紅等［8］討論了Schrdinger－KdV 方程的可積性.肖婷婷［9］利用橢圓函數(shù)展開法求解Schrdinger－KdV 方程的一些精確解.徐昌智等［10］提出一種基于便映射理論的構(gòu)造非線性方程行波解的方法，并用該方法求得Schrdinger－KdV 方程的 行波解.陳賀靈等［11］借助計(jì) 算機(jī)符 號(hào)計(jì)算技術(shù)，利 用F－展開法 也求得Schrdinger－KdV 方程的精確解，其中包括三角函數(shù)解、雙曲函數(shù)解和橢圓函數(shù)解.在本文中，討論α＝1，β為實(shí)數(shù)的情況，其中，u＝u（x，t）為復(fù)函數(shù)，表示復(fù)短波振幅，v＝v（x，t）為實(shí)函數(shù)，表示非線性色散介質(zhì)中實(shí)長(zhǎng)波振幅，t為時(shí)間，x表示橫向傳播的位移.同時(shí)，借助輔助方程研究該方程的Jacobi橢圓函數(shù)解，并分析各個(gè)解的波形圖顯示空間周期性和爆破性的特點(diǎn).

1 利用輔助方程求解耦合Schrdinger－KdV 方程

1.1 輔助方程的原理

對(duì)于非線性發(fā)展方程的求解過程，從數(shù)學(xué)角度分析，多數(shù)是構(gòu)造解的過程.將不同類型方程的解設(shè)為不同的形式，然后利用特定的思想求解具體的方程.本文利用Jacobi橢圓方程作為輔助方程，進(jìn)而根據(jù)該輔助方程來解耦合Schrdinger－KdV方程的Jacobi橢圓函數(shù)解.對(duì)于給定的非線性偏微分方程

做行波變換，

其中c表示波速.將（2）式代入（1）式，方程簡(jiǎn)化為下列常微分方程

設(shè)（3）式具有如下形式的解U（ξ）＝一般地，（ξ）滿足如下的輔助方程：

為獲得橢圓函數(shù)解，（ξ）滿足如下的輔助方程：

1.2 輔助方程法求解耦合Schrdinger－KdV 方程

引入行波變換，

其中，c、p和s為待定常數(shù)，U（ξ）和V（ξ）皆為實(shí)函數(shù)，則（6）式可化為如下的3個(gè)常微分方程：

由（10）式解得p＝.設(shè)（8）式和（9）式中U（ξ）和V（ξ）具有如下形式

其中，（ξ）滿足（5），a、b和r以及ai和bi都是待定常數(shù)，n和l都是正整數(shù).由平衡方程（8）中的最高階線性項(xiàng)U″（ξ）和最高階非線性項(xiàng)U（ξ）V（ξ）得到

由（12）式和（13）式，解得n＝l＝2，即（11）式化為

把（14）式代入（8）式和（9）式中，并令（ξ）的系數(shù)全為零，得到關(guān)于a0，a1，a2，b0，b1，b2，c，p，s的方程組，利用數(shù)學(xué)軟件Mathematica解方程組，可得

為了便于計(jì)算，取b0＝0，則（15）可約化為

圖1和圖3選取的參數(shù)為m＝0.5，β＝1，c＝2.9；圖2和圖4選取的參數(shù)為m＝1，β＝1，c＝2.

圖1 u1 的三維波形圖

圖2 u3 的三維波形圖

圖3 u1在x ＝1時(shí)的二維波形圖

圖4 u3在x ＝1時(shí)的二維波形圖

2）取r＝1－m2，a＝2m2－1，b＝－2m2，0＜m＜1時(shí)，（ξ）＝cn（ξ）.把它代入（18）式，可得到方程（8）的解

圖5和圖7參數(shù)取m＝0.1，β＝0.1，c＝0.36；圖6和圖8的參數(shù)取m＝1，β＝0.1，c＝－1.6.

圖5 u7 的三維波形圖

圖6 u11 的三維波形圖

圖7 u7在t＝1時(shí)的二維波形圖

圖8 u11在t＝1時(shí)的二維波形圖

當(dāng)m→1時(shí)，由（7）式可知，u17和v17皆退化為常數(shù).

當(dāng)m→1時(shí)，由（7）式可知，u20和v20退化為u16和v16.

當(dāng)m→1時(shí)，由（7）式，u22和v22退化為u24和v24，即

把它代入（18）式，可得到方程（8）的解

當(dāng)m→1時(shí)，由（7）式可知，u25和v25皆退化為常數(shù).

圖9 和 圖10 的參數(shù)取m＝0.1，β＝0.1，c＝1.53；圖11 和 圖12 的參數(shù)取m＝1，β＝0.1，c＝－0.4.

圖9 u22 的三維波形圖

圖10 u22在t＝1時(shí)的二維波形圖

圖11 u24 的三維波形圖

圖12 u24在t＝1時(shí)的二維波形圖

2 結(jié)語

本文借 助數(shù)學(xué)軟件Mathematica，利用輔 助方程（ξ））2＝r＋2（ξ）＋，得到耦合Schrdinger－KdV 方程的27組解，其中有15組橢圓函數(shù)解、7組三角函數(shù)解和5組雙曲函數(shù)解.對(duì)這些解的波形圖的研究表明，它們具有對(duì)稱性和空間周期性及爆破性的特點(diǎn).此外，在本文中，可以在以下兩個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn)：

擴(kuò)展輔助方程為

擴(kuò)展方程所設(shè)的解為

從文中的求解過程可以發(fā)現(xiàn)，輔助方程的形式在求解過程中至關(guān)重要.因此，可以利用其他方法，如指數(shù)函數(shù)法、G′／G方法等擴(kuò)展輔助方程，以期得到該輔助方程的更多解，從而豐富方程解.