圖書館自助借還機數(shù)量優(yōu)化研究

董秀，李艷梅，張杰，董書一

（1.阜陽師范大學 圖書館，安徽 阜陽 236037；2.阜陽師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽 阜陽 236037；3.蚌埠三十一中，安徽 蚌埠 233000）

近年來，隨著知識在經(jīng)濟建設中作用的不斷增強，圖書館，特別是高校圖書館在人才培養(yǎng)過程中所起的重要作用越來越凸顯.圖書館一方面需要加強圖書資源的軟硬件建設，另一方面還要提升其服務質(zhì)量和服務效率，從而提高讀者滿意度.為此，在信息化和智能化高速發(fā)展的大背景下，許多圖書館都購置了一些自助借還機.我校圖書館就購置了6臺用于讀者借還圖書.為了減少讀者排隊等待時間，提高服務效率與管理水平，本文擬用排隊論，特別是異步休假排隊對自助借還機進行優(yōu)化配置.

1 基于休假排隊的借還機服務模型

1.1 休假排隊簡介

圖書館流通部的主要任務是保障讀者能借到所需圖書以及圖書的正常流通，并使讀者方便快捷地獲得服務.顯然，機器配置過多會出現(xiàn)機器空閑，從而造成資源和能源的浪費；而配置過少，會導致系統(tǒng)中讀者隊列過長、等待時間過長，降低讀者滿意度.為此，本文擬主要以平均等待時間和平均隊長為性能指標，對借還機進行優(yōu)化配置.

假設需要借還書的讀者到達服務系統(tǒng)的到達率服從參數(shù)為λ的泊松分布；到達服務系統(tǒng)后按先來先服務（first come，first served，F(xiàn)CFS）規(guī)則排隊，然后由一個無形的調(diào)度器按FCFS策略對其進行調(diào)度.假設每臺機器的服務率相同，且服從參數(shù)為μ的負指數(shù)分布，由此可用M／M／c排隊系統(tǒng)對借還機服務進行建模.

但在某些時候，如某些機器出現(xiàn)故障、網(wǎng)絡出現(xiàn)問題需要維護和保養(yǎng)，系統(tǒng)就不能提供服務.顯然，不能應用經(jīng)典排隊模型解決該問題.因此，應采用更加符合此情形的隨機服務理論——具有休假的排隊解決該問題.

休假排隊作為隨機運籌中一個具有獨特特征的研究方向，它允許服務臺在空閑期可休假.LEVY等［1］首先研究了M／G／1型休假模型以有效利用排隊系統(tǒng)閑期.LEVY等［2］使用經(jīng)典生滅過程討論指數(shù)休假時間的M／M／c排隊系統(tǒng)，但在求解過程中遇到很大困難.VINOD［3］首先采用擬生滅（quasi birthdeath，QBD）過程研究M／M／c休假排隊.田乃碩等［4－5］使用QBD 過程和矩陣幾何解方法研究了具有各種休假策略如同步休假、異步休假以及部分服務臺異步休假的M／M／c排隊，建立多服務臺休假排隊理論的架構(gòu).由于休假排隊系統(tǒng)更能客觀地反映服務可能中斷的事實，同時還為系統(tǒng)的優(yōu)化設計和過程控制提供靈活性，受到廣泛關注，并在云計算［6－7］、交通［8］、社會管理［9］、電子信息［10］等領域得到了廣泛應用.本文擬基于部分服務臺異步休假的M／M／c排隊系統(tǒng)建立借還機服務模型，從而對其配置進行優(yōu)化.

1.2 基于部分借還機多重休假的M／M／c服務模型建立

在1.1節(jié)所述參數(shù)為λ和μ的經(jīng)典M／M／c排隊的基礎上引入部分借還機異步多重休假策略.具體部分借還機異步休假服務模型描述如下.

（i）d表示允許異步休假的借還機數(shù)，即1≤d≤c；

（ii）某臺借還機完成某次服務時，若沒有讀者等待服務，可能發(fā)生兩種情況：若正在休假的借還機數(shù)m＜d，則該借還機開始休假；若m＝d，則該借還機不能休假而進入空閑狀態(tài)，即借還機有忙、空閑和休假3種狀態(tài).否則，有讀者等待時，則繼續(xù)為下一個讀者服務；

（iii）某臺借還機結(jié)束休假時，若有讀者在等待服務，則它結(jié)束休假，開始借還服務，即由休假狀態(tài)轉(zhuǎn)為工作狀態(tài)；否則，開始另一次獨立同分布休假；

（iv）借還機的休假時間V 服從參數(shù)為θ的負指數(shù)分布；

（iiv）隨機變量λ、μ和θ彼此之間相互獨立.

由上面的描述可知，在任意時刻t處于休假狀態(tài)的借還機數(shù)不超過d，至少有c－d臺借還機供讀者使用.假設系統(tǒng)達到平穩(wěn)狀態(tài)時有k個讀者（包括正在接受服務的讀者和等待的讀者），當0≤k≤c－d時，處于休假狀態(tài)的借還機達到最大值d，k臺處于工作狀態(tài)，其余的處于空閑狀態(tài)；當c－d＜k≤c時，系統(tǒng)中至少有c－k臺正在休假且沒有空閑的借還機；當k＞c時，某時刻可能有j（0≤j≤d）臺借還機均處于休假狀態(tài)，其余處于工作狀態(tài).

下面利用QBD 過程，求解系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)下的隊長和等待時間.令Lv（t）表示t時刻系統(tǒng)內(nèi)讀者數(shù)，J（t）表示t時刻正在休假的借還機臺數(shù)，則｛（Lv（t），J（t））｝構(gòu)成一個二維Markov過程和一個QBD 過程，其狀態(tài)空間Ω 如下：

當有讀者到達系統(tǒng)、服務完成和借還機休假結(jié)束時，狀態(tài)發(fā)生會改變.當c＝6、d＝2時按層次將該過程的狀態(tài)排序的狀態(tài)轉(zhuǎn)移機制如圖1所示.圖1中最下層表示沒有借還機休假，中間層表示有1臺借還機休假，最上層表示有2臺借還機休假.例如，狀態(tài)（7，2）表示系統(tǒng)中當前有7位讀者，且2臺借還機處于休假狀態(tài)，其余4臺處于服務狀態(tài).當有讀者到達時它以λ速率轉(zhuǎn)移至狀態(tài)（8，2）；系統(tǒng)以4μ的服務速率運行，它以4μ速率轉(zhuǎn)移至狀態(tài)（6，2）；若有1臺借還機休假結(jié)束，它以2θ速率轉(zhuǎn)移至狀態(tài)（6，1）.

圖1 允許2臺借還機異步多重休假M／M／6排隊的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

稱狀態(tài)集｛（k，m），…，（k，n）｝，k≥0為水平k，如水平7為｛（7，0），（7，1），（7，2）｝.將狀態(tài)按字典序排列，且同一水平k內(nèi)的狀態(tài)自j＝d開始按遞減順序排列.圖1中（0，2）至（7，0）行、（0，2）至（8，0）列的無窮小生成元矩陣為

圖1的無窮小生成元矩陣可將其寫成如下分塊三角陣.

A、B和C均為d＋1階方陣，且C＝λI，

1.3 基于率陣的模型求解

定理1［11］當ρ＝＜1時，矩陣方程

的最小非負解

稱為率陣，其中rkk（0≤k≤d）是方程（3）

在（0，1）內(nèi)的根，且非對角線元素滿足

當ρ＜1時，令（Lv，J）表示過程（Lv（t），J（t））的穩(wěn)態(tài)極限，并記為

定理2［11］ρ＜1時（Lv，J）的分布Pk可表示為

其中α0，α1，…，αc－d，αc－d＋1，…，αc是方程組

的正解，其中pk＝（pkd，pkd－1，…，pkc－k），c－d＋1≤k≤c，

K為常數(shù)因子，

其中e為元素全為1的列向量.

2 仿真實驗

2.1 參數(shù)設置與性能指標

假設有6臺借還機，最多允許2臺借還機進入休假狀態(tài)，讀者到達平均時間間隔為5min，處理1次借還書平均需要30s，即c＝6，d＝2，λ＝0.2，μ＝2，θ＝0.1.考慮2個借還機休假的M／M／6排隊的借還系統(tǒng).此時，

由定理1得其率陣R：

和10階方陣B（R）.由定理2，將其代入方程組

解得其根即穩(wěn)態(tài)下（Lv，J）聯(lián)合分布的數(shù)值解為

2.2 λ對系統(tǒng)性能的影響

取λ∈｛0.5n｜1≤n≤10，n∈｝，其他參數(shù)不變，得到相關性能指標變化情況，如圖2.可以看出，隨著讀者到達率的增加系統(tǒng)中平均讀者數(shù)先增后減，而處于休假狀態(tài)的借還機數(shù)和讀者平均等待時間不斷減小.其原因是當讀者到達率較低時，如介于0.5～3.0時，系統(tǒng)中處于休假狀態(tài)的借還機數(shù)達到最大值2（Lv的值采取四舍五入取整），即參與服務的借還機達到最小，所以此時Ls不斷增加；當?shù)竭_率達到一定數(shù)值時，處于休假的借還機因休假結(jié)束而參與工作從而使Ls、Lv和Ts均呈遞減趨勢.

圖2 不同讀者到達率對系統(tǒng)性能的影響

2.3 d對系統(tǒng)性能的影響

在2.2節(jié)基礎上，取d＝0，1，2，3，其他參數(shù)不變，得實驗結(jié)果如圖3.可看出，不管d取何值，Ls都呈先增后減趨勢，Ts基本呈減小趨勢.讀者到達率λ＝2.5為其臨界點，也就是說，當λ＜2.5時，不同的允許休假借還機臺數(shù)對系統(tǒng)性能指標影響較?。划敠耍?.5時，無論是系統(tǒng)中讀者數(shù)還是等待時間等性能指標都有較大影響，隨著d的增加，兩個重要指標都顯著減少，系統(tǒng)性能得到提升.其原因是λ＜2.5時，到達率較低不足以使休假的借還機轉(zhuǎn)為工作狀態(tài)，導致隨d的增加，其性能略顯降低.相較于不允許休假，借還機在空閑期休假時得以維護和保養(yǎng)，當?shù)竭_率較高時借還機不會出現(xiàn)故障從而性能得以提升，但如果休假臺數(shù)過高將導致性能降低.從另一個側(cè)面也說明借還機進行休假的必要性.因此，借還機休假不但可以在一定程度上節(jié)約資源和能源、延長機器使用壽命，而且可以提升性能，進而提升讀者滿意度.

圖3 不同允許休假借還機臺數(shù)對系統(tǒng)性能的影響

3 小結(jié)

降低圖書館流通借還書系統(tǒng)排隊時間已成為提高讀者滿意度的有效途徑之一.為此，本研究提出部分借還機異步休假的M／M／c排隊模型對借還機的配置進行優(yōu)化，充分發(fā)揮其服務能力，以減少等待時間和隊長.仿真結(jié)果表明借還機休假可以提高系統(tǒng)性能，且就6臺借還機而言，允許休假借還機臺數(shù)為2時，其性能達到最佳.因此，本文提出的模型不僅具較強的科學性和理論性，而且能夠為相關高校圖書館借還機配置優(yōu)化提供參考和借鑒.