含柔性墊層的剛性擋土墻土壓力計算方法

梁利生,郭俊源,王慧芳

（1.山西工程技術(shù)學院 土木工程系；礦區(qū)生態(tài)修復與固廢資源化省市共建山西省重點實驗室培育基地，山西 陽泉 045000；2.太原理工大學 土木工程學院，太原 030024）

擋土墻廣泛應用于土木工程領(lǐng)域中，作用于擋土墻的側(cè)向土壓力計算是其設計的關(guān)鍵指標。聚苯乙烯土工泡沫（EPS）是一種具有密度小、壓縮變形大、強度高和減振性能好等優(yōu)點的柔性材料。將EPS 墊層設置于剛性擋土墻和填土之間后，EPS 墊層受到的土壓力將會使其產(chǎn)生一定的壓縮量，該部分壓縮量即轉(zhuǎn)化為填土的位移。在剛性擋土墻自身位移量很小的情況下，設置EPS 墊層后，擋土墻受到的土壓力將會明顯減小[1]。

已有諸多學者對設置EPS 的剛性擋土墻開展了研究。Bathurst 等[2-3]開展了室內(nèi)振動臺試驗研究不同密度的EPS 緩沖層減小剛性擋土墻在動荷載作用下的墻背土壓力的效果。Ikizler 等[4]開展針對墻后填土為膨脹土的EPS 墊層減載試驗，得出EPS墊層可減小水平壓力和豎向壓力。Ertugrul 等[5-6]開展了縮尺模型試驗，得出EPS 墊層的厚度和剛度對于土壓力的減小有主要影響。Ni 等[7]開展縮尺模型試驗，分析EPS 墊層的厚度與剛度對于減壓效果的影響。Kim 等[8]基于模型試驗建立FLAC 數(shù)值模型，分析EPS 墊層的材料類型和厚度對土壓力的影響，并提出剛性擋土墻后EPS 墊層的分段設計方案。鄭俊杰等[9-11]開展一系列模型試驗，對EPS 減載擋土墻土壓力的效果及擋土墻后EPS 墊層的設計方案進行了研究。謝明星等[12]建立設置EPS 墊層的剛性擋土墻數(shù)值模型，分別對擋土墻后填土的靜止、主動及被動3 種位移狀態(tài)進行了研究。許曉亮等[13]通過開展不同級別荷載下的模型試驗，分析墻后鋪設EPS 柔性墊層、回填泡沫輕量土及其同時施加時的墻后土壓力大小及分布特征。

目前，仍缺乏設置EPS 墊層后剛性擋土墻土壓力的計算方法。筆者將EPS 墊層的壓縮量視為墻后填土的位移量，基于Mei 等[14]提出的擋土墻土壓力-位移的關(guān)系曲線，推導設置EPS 墊層的剛性擋土墻土壓力的理論解。首先，考慮擋土墻后土拱效應，推導出考慮土拱效應的主動和被動土壓力系數(shù)；其次，將所推導的主動和被動土壓力系數(shù)代入土壓力-位移關(guān)系曲線，并將靜止土壓力作為初始狀態(tài)，引入迭代法進行收斂計算，求解EPS 的壓縮量和對應的土壓力；最后，建立FLAC3D 有限差分數(shù)值模型，驗證所得出理論解的合理性，并對EPS 墊層減載效果進行分析。

1 擋土墻土壓力-位移的關(guān)系曲線

Mei 等[14]將擋墻背離土體方向的位移記為負值、朝向土體方向的位移記為正值，假定存在一個函數(shù)p(s)可表示土壓力p和位移s之間的關(guān)系（圖1），則該函數(shù)p(s)滿足以下條件：

圖1 土壓力隨位移的變化曲線Fig.1 Variation of earth pressure with displacement

1）p(s)為單調(diào)遞增的函數(shù)。

2）p(s)函數(shù)存在上下限，下限為主動土壓力pa及其對應的位移sa，上限為被動土壓力pp及其對應的位移sp。

3）當s=0 時，p為靜止土壓力p0。

4）s=0 處為p(s)的拐點；s＜0 時

進而基于上述條件提出土壓力-位移的關(guān)系曲線

其中

式中：k0、ka、kp分別為靜止、主動、被動土壓力系數(shù)。

2 考慮土拱效應的土壓力系數(shù)

擋土墻無位移的情況下，目前最常用的土壓力系數(shù)計算方法為Jaky[15]針對粗粒土得出的半經(jīng)驗半理論的靜止土壓力系數(shù)公式。

式中：φ為墻后填土的內(nèi)摩擦角。

在墻后填土達到主動或被動狀態(tài)過程中，由于擋土墻墻背并非絕對光滑，擋土墻與填土之間存在的摩擦作用必將引起土體應力偏轉(zhuǎn)，形成土拱效應，從而對土壓力的分布產(chǎn)生影響。為便于計算，研究基于以下假定：

1）擋土墻為剛性擋土墻，且擋土墻墻背垂直；

2）擋土墻與基巖之間的填土為無黏性土，符合Mohr-Coulomb 破壞準則，且不考慮孔隙水作用；

3）土壓力求解視為平面應變條件下的二維問題；

4）對于剛性擋土墻，其自身的位移量通常非常小。因此，忽略擋土墻的位移量，將EPS 墊層的壓縮量視為墻后填土的位移；

5）考慮土拱效應時，主動狀態(tài)下填土的小主應力軌跡線和被動狀態(tài)下的大主應力軌跡線均假定為圓弧形。

朗肯土壓力理論中假定主動和被動狀態(tài)下填土內(nèi)滑動面的傾角θa、θp分別為π/4+φ/2、π/4-φ/2。圖2 為主動和被動狀態(tài)下填土的小主應力軌跡線。為便于計算，Paik 等[16]將小主應力軌跡假定為圓弧形。筆者將小主應力軌跡和大主應力軌跡均假定為圓弧形。圖3 為主動和被動狀態(tài)下墻背上和填土內(nèi)滑動面上任意一點土體的應力莫爾圓。

圖2 主動和被動狀態(tài)下填土的主應力軌跡線Fig.2 Principal stress trajectory of backfill at active and passive state

圖3 主動和被動狀態(tài)下應力莫爾圓Fig.3 Mohr’s stress circle at active and passive state

可求出主動狀態(tài)下兩處土體對應的主應力偏轉(zhuǎn)角αaw和αas為

被動狀態(tài)下的主應力偏轉(zhuǎn)角αpw和αps為

主動狀態(tài)下微單元體在墻背處的側(cè)向應力paw和微單元中任意點的垂直向應力paz表示為

式中：αa為主動狀態(tài)下該點的主應力偏轉(zhuǎn)角。

被動狀態(tài)下微單元體在墻背處側(cè)向應力ppw和微單元任意點的垂直向應力ppz可表示為

式中：αp為該點在被動狀態(tài)下的主應力偏轉(zhuǎn)角。

根據(jù)圖2 的幾何關(guān)系可求得小主應力軌跡線半徑ra和大主應力軌跡線半徑rp。

式中：Ba和Bp分別為主動和被動狀態(tài)下?lián)跬翂εc填土內(nèi)滑動面之間土體微分單元的寬度。將作用于微單元體的垂直方向的合力除以微單元體的寬度，即可得到主動狀態(tài)下微單元體的垂直應力平均值。

微單元體在擋土墻上的側(cè)向應力除以微單元體的垂直應力平均值即為側(cè)向應力比[17]，則側(cè)向主動應力比Ka和側(cè)向被動應力比Kp為

根據(jù)作用在水平微單元片上的應力平衡條件可得出

其中

不考慮填土表面荷載的情況下，邊界條件為paz│z=0=ppz│z=0=0。則可求出

擋土墻上任意一點主動土壓力系數(shù)ka和被動土壓力系數(shù)kp為

3 迭代法的引入

在擋土墻與填土之間設置EPS 墊層后，EPS 的壓縮是一個逐漸變化的過程。在這一過程中擋土墻的土壓力p隨著EPS 壓縮量s的增大而減小，直至p和s的值穩(wěn)定。假定EPS 為理想線彈性，將這一過程分為n步、每一步分為兩個獨立求解的部分：1）EPS 受到一個已知的土壓力發(fā)生彈性變形產(chǎn)生一個壓縮量，在這一部分的求解過程中該已知的土壓力保持不變；2）通過式（1）可求得在該壓縮量下的土壓力，在這一部分的求解過程中該壓縮量保持不變，得出的土壓力將作為下一步中已知的土壓力。然后，引入迭代法，計算每一步中EPS 的壓縮量和作用于擋土墻的土壓力，具體計算步驟如下。

初始狀態(tài)：EPS 未發(fā)生變形，即s0=0，擋土墻受到的土壓力為靜止土壓力p0。

第1 步：EPS 在p0的作用下產(chǎn)生壓縮量s1，進而求得在s1的位移下?lián)跬翂λ艿降耐翂毫(s1)。

第n步：EPS 在p(sn-1)的作用下產(chǎn)生壓縮量sn，進而求得在sn的位移下?lián)跬翂λ艿降耐翂毫(sn)。

當p(sn)約等于p(sn-1)時，停止迭代，sn和p(sn)分別為EPS 的最終壓縮量和設置EPS 后擋土墻的最終土壓力。需要注意的是，上述計算過程中，需用土與EPS 之間的界面摩擦角δE代替土與擋土墻之間的界面摩擦角δw。

4 計算結(jié)果驗證及分析

目前，EPS 減載擋土墻土壓力在實際工程中的應用較少，缺乏現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)。既有研究大多為室內(nèi)縮尺試驗研究，受限于擋土墻的高度，所得到的土壓力遠小于實際工程中擋土墻所受到的土壓力。而EPS 的減載效果隨著作用于擋土墻的土壓力的減小而減小，這將導致室內(nèi)縮尺試驗不能如實反映EPS 的減載效果。因此，筆者采用有限差分數(shù)值軟件FLAC3D 建立與實際工程中相符合的擋土墻模型（圖3），對所提出計算方法的合理性進行驗證。以EPS 厚度和彈性模量為變量建立多個數(shù)值模型。各模型中EPS 的彈性模量參考文獻[18]取值，且EPS 墊層橫斷面尺寸均與擋土墻一致。此外，為驗證數(shù)值模擬的準確性，建立墻后未設置EPS 板的工況，以便于模擬結(jié)果與Jaky 靜止土壓力進行對比。數(shù)值模擬方案見表1。

表1 數(shù)值模擬方案Table1 Numerical simulation scheme

填土為砂土，采用Mohr-Coulomb 模型，黏聚力c=0 kPa，內(nèi)摩擦角φ=32°。擋土墻為剛性擋土墻，墻高H為5 m，完全限制其側(cè)向位移。地基采用線彈性模型，并取較大的彈性模量值，以減弱地基土沉降對填土應力狀態(tài)的影響。填土與擋土墻之間（墻后未設置EPS 板的工況）以及填土與EPS 板之間（墻后設置EPS 板的工況）均設置接觸面，接觸面摩擦角分別為φ/2 和φ/3[12]。數(shù)值模型中各材料的參數(shù)取值見表2。

表2 物理力學參數(shù)Table 2 Physical and mechanical parameters

圖4 為未設置EPS 時（基本工況）的靜止和主動模擬值與Jaky 靜止土壓力和庫侖主動土壓力理論解的對比。靜止土壓力的理論解與數(shù)值解能夠吻合；主動土壓力的理論解與數(shù)值解在0～4.5 m 范圍內(nèi)也能吻合，但在擋土墻底部位置的數(shù)值解明顯小于理論解。這是由于，為減小地基土沉降對土壓力的影響，數(shù)值模型中地基土彈性模量的取值遠大于墻后填土。當墻后填土產(chǎn)生位移的過程中，填土與地基土之間存在一定的邊界摩擦效應，從而會導致土壓力模擬值的減小[8]。綜上，不考慮邊界效應的情況下，數(shù)值模型具有較好的準確性。

圖4 未設置EPS 時擋土墻土壓力模擬值與經(jīng)典理論解對比Fig.4 Comparison of earth pressure on retaining wall without EPS inclusion between numerical results and classical theories

圖5 對比了設置EPS 后各工況的土壓力數(shù)值解與理論解（式（29）迭代計算的結(jié)果）?？梢钥闯?，在距墻頂高度0～4 m 范圍內(nèi)模擬值略大于理論解。土壓力迭代計算中任意點的EPS 壓縮量均按照離散點受壓的彈性變形計算，盡管EPS 材料的泊松比較小，但EPS 墊層受壓方向面積較大，各點的彈性變形并非都發(fā)生在一維應力狀態(tài)下，可能導致EPS墊層壓縮量的模擬值略小于理論值，從而使土壓力的模擬值略大于理論解。同樣受數(shù)值模型邊界條件的影響，在擋土墻底部位置各工況的模擬值均明顯小于理論解。因此，忽略邊界條件的影響，提出的理論解總體上與數(shù)值解能較好地吻合，驗證了提出方法的合理性。

圖5 擋土墻后設置EPS 時理論解和模擬值的對比Fig.5 Comparison between theoretical solution and numerical result when installing EPS inclusion

圖6、圖7 對比了設置EPS 后各工況的土壓力減小效果。隨著距墻頂高度的增加，各工況的土壓力減小效果均越來越明顯。對比工況1～工況3，即在EPS 彈性模量不變的情況下（E=2.34 MPa），EPS減小土壓力的效果隨著EPS 的厚度的增加而增強；對比工況3～工況6，在EPS 厚度一定的情況下（t=0.5 m），EPS 減小土壓力的效果隨著EPS 的彈性模量的增加而減弱。EPS 的彈性模量隨著其密度的減小而減小，但當采用低密度的EPS 時，其屈服強度也較低，若擋土墻土壓力值較大，會導致EPS 處于屈服或非線性硬化階段。同時，EPS 厚度若過大，將會導致緊鄰擋土墻區(qū)域路面出現(xiàn)不均勻沉降。因此，在實際工程中，需綜合考慮EPS 的設計參數(shù)和減載效果，避免為追求減載效果而導致工程隱患。

圖6 相同EPS 彈性模量下EPS 墊層減小土壓力的效果Fig.6 Effect of EPS inclusion on reducing earth pressure with a same EPS elastic modulus

圖7 相同EPS 厚度下EPS 墊層減小土壓力的效果Fig.7 Effect of EPS inclusion on reducing earth pressure with a same EPS thickness

5 結(jié)論

1）將EPS 墊層的壓縮量視為墻后填土的位移量，推導了考慮土拱效應的擋土墻主動和被動土壓力系數(shù)解析解，將其代入擋土墻土壓力-位移的關(guān)系方程，并引入迭代法進行收斂計算，解決了設計階段EPS 實際壓縮量未知這一關(guān)鍵問題，最終得出設置EPS 墊層的擋土墻土壓力解析解。

2）建立一系列有限差分數(shù)值模型，得到的模擬值與理論解總體上能較好地吻合，驗證了提出方法的合理性。

3）在EPS 彈性模量不變的情況下，EPS 減小土壓力的效果隨著EPS 的厚度的增加而增強；而在EPS 厚度一定的情況下，隨著EPS 的彈性模量的增加，EPS 減小土壓力的效果逐漸減弱。