基于目標(biāo)規(guī)劃的語言值OWA算子及其在大學(xué)生綜合測(cè)評(píng)的應(yīng)用

林君雅,陳豪,楊昔陽(yáng)*

(1.泉州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,福建 泉州 362000;2.福建省大數(shù)據(jù)管理新技術(shù)與知識(shí)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,福建 泉州 362000;3.智能計(jì)算與信息處理福建省高等學(xué)校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,福建 泉州 362000;4.數(shù)字福建智能制造大數(shù)據(jù)研究所,福建 泉州 362000)

大學(xué)生綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)不僅關(guān)系著高校的辦學(xué)導(dǎo)向,也為學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展起到引導(dǎo)性的作用.綜觀目前較為常見的綜合測(cè)評(píng)方法,大多采用構(gòu)建綜合測(cè)評(píng)量化指標(biāo)體系,對(duì)評(píng)價(jià)對(duì)象在各指標(biāo)的得分進(jìn)行加權(quán)綜合.其難點(diǎn)在于指標(biāo)權(quán)重的分配.例如,基于層次分析法的第二課堂綜合測(cè)評(píng)[1],基于熵值法的大學(xué)生創(chuàng)新能力評(píng)價(jià)[2]和基于模糊綜合評(píng)判的模糊綜合評(píng)判[3].這類評(píng)價(jià)方法的缺點(diǎn)在于無法鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)揮自己的特長(zhǎng),評(píng)價(jià)者無法根據(jù)學(xué)生的特長(zhǎng)使用不同的指標(biāo)權(quán)重.例如將學(xué)科競(jìng)賽和學(xué)業(yè)成績(jī)兩個(gè)指標(biāo)的權(quán)重都設(shè)置為0.5,甲在兩個(gè)指標(biāo)的得分均為80分,乙在兩個(gè)指標(biāo)的得分分別為100分和60分.在鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)揮特長(zhǎng)的場(chǎng)合,乙優(yōu)于甲;但是按照加權(quán)綜合計(jì)算,兩者的得分相等.此外,在一些場(chǎng)合,學(xué)生的許多指標(biāo)適合采用語言值進(jìn)行評(píng)價(jià),數(shù)值型的綜合評(píng)測(cè)算法無法直接處理語言指標(biāo)值.

有序加權(quán)平均(OWA)算子;目標(biāo)規(guī)劃;高斯模糊集;綜合測(cè)評(píng);語言值;大學(xué)生(ordered weighted averaging,OWA)算子[4]是解決此類學(xué)生綜合測(cè)評(píng)問題的方法之一.OWA算子已廣泛應(yīng)用于醫(yī)療設(shè)備評(píng)價(jià)[5]、生態(tài)評(píng)價(jià)[6]、交通系統(tǒng)評(píng)價(jià)[7]等.從文[8-9]關(guān)于OWA綜合評(píng)價(jià)方法的研究進(jìn)展分析可以發(fā)現(xiàn),語言值OWA算子和OWA權(quán)重的優(yōu)化是兩個(gè)重要的研究方向;將OWA算子應(yīng)用于大學(xué)生綜合測(cè)評(píng)的研究尚不多見.一些學(xué)者基于模糊集合提出語言值OWA算子.例如Xu提出不確定語言值OWA算子解決了群決策問題[10],Herrera等提出一種不平衡模糊語言值并將其應(yīng)用于OWA算子中[11],Yu等在猶豫模糊集的假設(shè)下提出一種基于最小調(diào)整量的模糊語言值OWA方法[12],Serrano等提出基于一型模糊集的語言值OWA方法[13],杜文勝等提出一種模糊誘導(dǎo)OWA(FIOWA)算子[14].在許多場(chǎng)合,諸如“較好”“一般”的語言值比數(shù)值更適合描述屬性值,因此語言值也廣泛應(yīng)用于各類綜合評(píng)價(jià)[15].然而,語言值缺乏明顯的序關(guān)系,因此有必要通過定義語言值的距離確定序關(guān)系,再將它應(yīng)用于OWA算子.

OWA算子的另一個(gè)研究熱點(diǎn)是權(quán)重的優(yōu)化,文[16]綜述了近些年權(quán)重優(yōu)化研究的進(jìn)展.一種常見的方法是利用先驗(yàn)的概率分布生成OWA的初始權(quán)重[17],例如正態(tài)分布[18],二項(xiàng)式分布[19]等.另一種方法是基于“orness”[1]的概念,利用規(guī)劃模型確定OWA的權(quán)重.文[20]綜述了基于熵最小原則構(gòu)建的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型.此外,權(quán)重的方差[21]、χ2值[21]、最大不一致度[22]也常常作為數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的目標(biāo)函數(shù),極小化數(shù)學(xué)規(guī)劃模型便可以獲得合理的算法.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 OWA算子

定義1[9]OWAW算子根據(jù)評(píng)價(jià)對(duì)象的n維屬性值(a1,a2,…,an)和n維權(quán)重向量W=(w1,w2,…,wn)給出評(píng)價(jià)對(duì)象的綜合評(píng)價(jià)值,即

(1)

OWAWmax(a1,a2,…,an)=b1;

(2)

反之,如果評(píng)價(jià)者只關(guān)心表現(xiàn)最差的屬性值,則可以取權(quán)重向量Wmin=(0,…,0,1),此時(shí)有

OWAWmin(a1,a2,…,an)=bn.

(3)

因此,設(shè)置合理的權(quán)重是OWA算子的一個(gè)重要研究課題.合理的權(quán)重應(yīng)該反映評(píng)價(jià)者的樂觀程度,將評(píng)價(jià)結(jié)果設(shè)置在最好和最差的屬性值之間.

1.2 Orness值

定義2權(quán)重W=(w1,w2,…,wn)的Orness值[24]可以寫成

Yager在文[4]中提出的Orness值α(W)可以看作是評(píng)估者樂觀水平的度量.一方面,有

當(dāng)且僅當(dāng)w1=1,w2=w3=…=wn=0時(shí),α(W)=1,此時(shí)OWAW是式(2)的最樂觀評(píng)價(jià).另一方面,有

當(dāng)且僅當(dāng)w1=w2=…=wn-1=0,wn=1時(shí),α(W)=0,此時(shí)OWAW是式(3)的最悲觀評(píng)價(jià).

1.3 高斯模糊集

正如正態(tài)分布是最常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布,高斯模糊集也是常用的模糊集合之一,高斯模糊集G(μ,σ)的隸屬度函數(shù)可以寫成

(5)

它表示“大約為μ,不確定程度為σ”的語言值.當(dāng)x=μ時(shí),隸屬度為1,表示x百分之百屬于語言值G.

當(dāng)μ=60,σ=10時(shí),G(μ,σ)的隸屬度圖像如圖1所示,其中x軸表示取值,y軸表示該值的隸屬度.Rλ(G(μ,σ))={x|f(x;μ,σ)≥λ}稱為G(μ,σ)的λ截集.

圖1 高斯模糊集的隸屬度函數(shù)

2 基于熵最優(yōu)權(quán)重目標(biāo)規(guī)劃模型

基于熵和Orness值的概念,提出一種融合主客觀因素的目標(biāo)規(guī)劃模型(goal programming model,GPM),用以生成OWA算子的權(quán)重,并且給出這類目標(biāo)規(guī)劃模型的性質(zhì).該目標(biāo)規(guī)劃模型即考慮到了評(píng)價(jià)者的主觀樂觀水平,也考慮到了權(quán)重的客觀最大熵原則,因此可以合理地給出OWA算子的權(quán)重向量.

所設(shè)計(jì)的目標(biāo)規(guī)劃模型(GPMα)為

(6)

可以證明,由GPMα確定的最優(yōu)權(quán)重具有以下的對(duì)稱性質(zhì).

(7)

從GPM1-α的約束條件還可以發(fā)現(xiàn)

(8)

由式(7)可得

(9)

該定理表明,樂觀系數(shù)為α對(duì)應(yīng)的最優(yōu)權(quán)重,正好是樂觀系數(shù)為1-α對(duì)應(yīng)的最優(yōu)權(quán)重的倒序排列,說明所提出的模型具有優(yōu)良的對(duì)稱性。

3 高斯模糊集的運(yùn)算性質(zhì)

在學(xué)習(xí)成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)的場(chǎng)合,學(xué)生的學(xué)科成績(jī)有時(shí)是以等級(jí)語言值給出的,例如“優(yōu)秀”“良”中“及格”“不及格”等,而這些語言值可以通過高斯模糊集刻畫.高斯模糊集通過隸屬度函數(shù)描述各個(gè)(分?jǐn)?shù))數(shù)值屬于某個(gè)語言值等級(jí)的程度.基于高斯模糊集的評(píng)價(jià)可以由評(píng)價(jià)者(科任教師)給出,也可以收集該課程多次考核成績(jī),擬合出一個(gè)語言屬性值G(μ,σ).由于OWA和IOWA算子都需要對(duì)屬性值進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算和求和運(yùn)算,因此有必要定義模糊集的數(shù)乘和加法運(yùn)算.

3.1 高斯模糊集的運(yùn)算

使用高斯模糊集來描述學(xué)生的分?jǐn)?shù)有兩個(gè)方面的優(yōu)點(diǎn):一是模糊集的高斯隸屬函數(shù)與廣泛使用的正態(tài)分布函數(shù)非常類似,和有明確的現(xiàn)實(shí)意義;二是高斯模糊集的線性運(yùn)算具有和實(shí)數(shù)線性運(yùn)算非常類似的形式.

定理2多個(gè)高斯模糊集G(μ,σ)的線性組合仍然是一個(gè)高斯模糊集,即有

(10)

其中:系數(shù)W=(w1,w2,…,wn)∈Rn可以視為G(μi,σi),i=1,2,…,n的權(quán)重.

(11)

該結(jié)果表明,高斯模糊集的線性運(yùn)算具有優(yōu)良的運(yùn)算性質(zhì):多個(gè)高斯模糊集G(μi,σi)的數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果是對(duì)應(yīng)參數(shù)μ和σ的對(duì)應(yīng)數(shù)乘運(yùn)算。

3.2 高斯模糊集的排序

高斯模糊集是一種常見的描述模糊語言值的工具,其原因在于高斯模糊集參數(shù)個(gè)數(shù)少,含義明確,而且它們還具有如定理1和定理2所示的優(yōu)良性質(zhì).OWA算子需要對(duì)模糊語言屬性值進(jìn)行排序,再配合優(yōu)化權(quán)重進(jìn)行加權(quán)綜合.為了區(qū)分各個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象的優(yōu)劣,需要對(duì)基于高斯模糊集的模糊語言值進(jìn)行排序.因此,有必要設(shè)計(jì)一種針對(duì)高斯模糊集的排序算法.

高斯模糊集包含兩類參數(shù),均值μ表示評(píng)價(jià)的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差σ表示評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)差.通常,評(píng)價(jià)者希望評(píng)價(jià)均值μ越大越好,也希望評(píng)價(jià)的波動(dòng)σ越小越好.基于此,一個(gè)高斯模糊集的評(píng)價(jià)可以寫成

f(G(μ,σ))=ω1μ+ω2(-σ).

(12)

其中:ω1,ω2≥0,ω1+ω2=1反映了評(píng)價(jià)者對(duì)評(píng)價(jià)均值和標(biāo)準(zhǔn)差的重視程度.當(dāng)ω1=1,ω2=0時(shí),評(píng)價(jià)者只關(guān)心評(píng)價(jià)結(jié)果的均值;當(dāng)ω1=0,ω2=1時(shí),評(píng)價(jià)者只關(guān)心評(píng)價(jià)結(jié)果是否穩(wěn)定.通常,合理的評(píng)價(jià)方法是這兩者的折中.基于式(12)便可以對(duì)OWA算子得到的模糊語言值進(jìn)行排序.

4 基于高斯模糊集和優(yōu)化權(quán)重的GOWA評(píng)價(jià)方法

基于優(yōu)化權(quán)重和高斯模糊集給出一種新的GOWA(Gaussian fuzzy OWA)算子,它可以用來處理評(píng)價(jià)對(duì)象的屬性值為高斯模糊語言值的決策問題.

(13)

基于GOWA的多屬性綜合評(píng)價(jià)模型,可以概括為如下幾個(gè)步驟.

步驟1優(yōu)化OWA權(quán)重.給定Orness值α和權(quán)重系數(shù)β1,β2.基于采用基于式(6)的目標(biāo)規(guī)劃模型GMPα確定優(yōu)化權(quán)重W.

步驟2確定模糊語言屬性值.對(duì)于第i個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象,根據(jù)評(píng)價(jià)者的語言值評(píng)價(jià)或者多個(gè)歷史數(shù)值成績(jī),構(gòu)建基于高斯模糊集的語言屬性值{Gij(μij,σij)|j=1,2,…,n},n是屬性值的個(gè)數(shù).在后一種情況中,μij為多個(gè)數(shù)值數(shù)據(jù)的平均值,σij為數(shù)值數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.

步驟3計(jì)算評(píng)價(jià)結(jié)果.采用式(13)計(jì)算最終評(píng)價(jià)結(jié)果Gi.

步驟4基于式(12)計(jì)算評(píng)價(jià)對(duì)象的排序.

在式(13)中,各個(gè)屬性的權(quán)重完全由目標(biāo)規(guī)劃模型(6)確定.在多數(shù)場(chǎng)合下,評(píng)價(jià)者在所構(gòu)建的評(píng)價(jià)體系往往對(duì)各個(gè)屬性的權(quán)重賦予了初值.為了兼顧主客觀因素,可以將式(13)改寫為

(14)

5 基于目標(biāo)規(guī)劃的語言值GOWA算子的大學(xué)生綜合測(cè)評(píng)

以某專業(yè)49名學(xué)生的綜合測(cè)評(píng)為例,介紹基于目標(biāo)規(guī)劃的語言值OWA算子的應(yīng)用.高校重視學(xué)生的綜合測(cè)評(píng)工作,為促進(jìn)學(xué)生身心健康、全面發(fā)展,創(chuàng)新德智體美勞過程性評(píng)價(jià)辦法,建立以品行考評(píng)(F1)、學(xué)業(yè)考評(píng)(F2)、競(jìng)賽考評(píng)(F3)3個(gè)指標(biāo)的綜合測(cè)評(píng)體系.其中,品行考評(píng)以政治態(tài)度、品德修養(yǎng)、集體觀念等思想政治素質(zhì)為評(píng)價(jià)指標(biāo),其語言屬性值由輔導(dǎo)員確定;學(xué)業(yè)考評(píng)以學(xué)期各門課程的學(xué)分績(jī)點(diǎn)為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),其高斯模糊語言屬性值的參數(shù)μ,σ由所有課程學(xué)分績(jī)點(diǎn)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差給出;競(jìng)賽考評(píng)以學(xué)科競(jìng)賽、文體活動(dòng)等個(gè)人特長(zhǎng)為評(píng)價(jià)指標(biāo),該數(shù)值型屬性值由各類競(jìng)賽加分求和而得,可以看作是σ=0的高斯模糊語言值.

收集49個(gè)學(xué)生的綜合測(cè)評(píng)語言指標(biāo)(屬性)值,如表1所示.評(píng)價(jià)者希望根據(jù)每個(gè)學(xué)生在這3個(gè)指標(biāo)上的表現(xiàn),給出一個(gè)語言值評(píng)價(jià).考慮用5個(gè)語言值(優(yōu)秀、良、中、及格、不及格)來評(píng)價(jià)學(xué)生,采用高斯模糊集刻畫這些語言值,其隸屬函數(shù)如表2和圖2所示.

表1 綜合測(cè)評(píng)的語言屬性值

表2 評(píng)價(jià)等級(jí)

圖2 基于高斯模糊集的語言值評(píng)價(jià)

表3 班級(jí)綜合評(píng)價(jià)評(píng)價(jià)結(jié)果

6 總結(jié)

傳統(tǒng)的OWA算子可以對(duì)具有數(shù)值屬性值的對(duì)象進(jìn)行評(píng)價(jià).然而在大學(xué)生綜合評(píng)價(jià)的場(chǎng)合,許多屬性值往往具有語言值描述。本文提出了一種基于高斯模糊集的GOWA綜合評(píng)價(jià)方法,制定了高斯模糊集的數(shù)乘運(yùn)算,并針對(duì)綜合測(cè)評(píng)的場(chǎng)合提出了一種新的高斯模糊集的排序方法.為了鼓勵(lì)大學(xué)生發(fā)展特長(zhǎng),設(shè)計(jì)了一種結(jié)合評(píng)價(jià)者樂觀水平和熵值的目標(biāo)規(guī)劃模型,得到了綜合主客觀因素的綜合評(píng)價(jià)權(quán)重,所得出的目標(biāo)規(guī)劃模型具有良好的對(duì)稱性.大學(xué)生綜合測(cè)評(píng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,所提出的模型可以得到與主觀感覺一致的評(píng)價(jià)結(jié)果,在某方面表現(xiàn)突出的學(xué)生,可以獲得較好的排名,說明設(shè)置適當(dāng)?shù)臉酚^水平后,新的評(píng)價(jià)方法可以鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)揮自己的特長(zhǎng).