基于雙層凸優(yōu)化模型的月面運載器大范圍轉(zhuǎn)移最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法

喬衍迪，張澤旭

（哈爾濱工業(yè)大學 深空探測基礎研究中心，哈爾濱 150001）

引言

月球作為地球的天然衛(wèi)星，被視為探索前沿航天科技的實驗基地和未來火星探測任務的跳板，“嫦娥”工程作為中國深空探測的基礎工程，在過去的幾十年間取得了舉世矚目的巨大成功[1]，隨著深空發(fā)射、自主變軌、自主導航、制導與控制技術的成熟，月球南極探測和月球基地的建設從論證階段被列入航天發(fā)展的實施計劃，各個國家均提出了自己的月球探測任務或月球基地建設規(guī)劃[2]。未來聚焦在月球南極的科學探測任務，面臨著晝夜溫差大、地形復雜等重重挑戰(zhàn)，在結合多項數(shù)據(jù)后，多數(shù)科研團隊將月球基地的選址確認在南極點附近的沙克爾頓（Shackleton）及其附近的幾個隕石坑[3]。月球資源勘探開采、月球基地建設等一切月基活動的關鍵基礎是長時間穩(wěn)定且充足的月基原位能源供給。月球水冰的大規(guī)模開采實現(xiàn)以電解水為原理的燃料能源系統(tǒng)構建是實現(xiàn)月球基地初期探測任務的主要途徑，燃料系統(tǒng)以氫氧燃料電池為主。為了節(jié)約水冰運輸與開采成本，各國都在研究可重復運載器，作為月球表面可靠運載工具[4]。本文提出了一種基于可重復運載器的月面大范圍資源運載方案。

實現(xiàn)月球自主高精度垂直起降任務，可以將軌跡規(guī)劃問題表述為具有非線性動力學、大量狀態(tài)和控制約束的連續(xù)時間最優(yōu)控制問題，通過直接法和間接法來解決，其中直接法是通過離散化方法將最優(yōu)問題進行迭代求解，文獻[5]將多階段軌跡優(yōu)化問題利用動態(tài)規(guī)劃的思想，利用Legendre-Gauss-Radau配點法對多階段軌跡規(guī)劃問題離散化，通過求解非線性規(guī)劃問題得到全局近似最優(yōu)解。

近年來，隨著凸優(yōu)化理論的發(fā)展，提出了許多基于序列凸優(yōu)化和無損凸優(yōu)化方法的軌跡規(guī)劃方法，文獻[6]提出實現(xiàn)了6-DOF自主一般全尺度的軌跡優(yōu)化問題。文獻[7]將軌跡規(guī)劃問題擴展為6-DOF的運載器動力學與運動學，并比較了不同離散化方法對于算法性能的影響；文獻[8]在凸優(yōu)化的基礎上，利用虛擬控制函數(shù)和信賴域法，強化了軌跡規(guī)劃算法的魯棒性；文獻[9]進一步將自適應信賴域半徑法降低了凸優(yōu)化算法的收斂性與收斂速度；文獻[10]引入復合狀態(tài)觸發(fā)約束的概念，將其表示為連續(xù)凸化函數(shù)，在復雜約束條件下實現(xiàn)快速收斂。文獻[11]利用神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化了序列凸優(yōu)化算法的收斂效率和實時性，提高了擴展性，在飛行器有效地求解了避障過程中復雜約束下的軌跡優(yōu)化問題。

文獻[12]針對飛行器垂直起降過程中大姿態(tài)翻轉(zhuǎn)問題，提出了1種考慮氣動力矩影響的平面運動模型，并利用凸優(yōu)化方法在線規(guī)劃出了飛行軌跡。問題是只考慮了二維軌跡問題。文獻[13]將多階段軌跡優(yōu)化問題作為完整的系統(tǒng)進行優(yōu)化，并在分階段利用單獨的模型替代原始模型，利用傅里葉級數(shù)降低求解難度，通過預設計得到最優(yōu)發(fā)射再入軌跡。文獻[14]針對月面飛躍問題，利用黃金分割法搜索上升著陸時間的最優(yōu)解，在固定上升著陸時間的條件下，利用凸優(yōu)化方法對分段求解拼接全飛行軌跡，不足是只得到了分段燃料最優(yōu)解。

在求解月面大范圍轉(zhuǎn)移軌跡優(yōu)化問題時，其一，利用凸優(yōu)化工具求解，往往通過固定終端時刻來進行線性搜索，得到最優(yōu)解，且模型非線性程度越高，規(guī)劃時間越久，既無法保證算法的實時性，也無法保證整條軌跡的最優(yōu)性；其二，考慮水冰采集任務中，運載器的飛行時間長，橫向行程遠大于縱向行程，著陸精度要求高，需要合理規(guī)劃主推進器點火時長與時間點，以節(jié)省燃料消耗；其三，多數(shù)軌跡規(guī)劃問題將任務簡化為一個二維剖面，得到的推力分配方案是非現(xiàn)實的?；谏鲜龇治?，本文借鑒雙層凸優(yōu)化模型的思想，將大范圍垂直起降問題轉(zhuǎn)化為內(nèi)外層凸優(yōu)化問題，分段求解，在保證分段燃料最優(yōu)性的同時，實現(xiàn)全局最優(yōu)軌跡規(guī)劃。

1 月球南極水冰采集任務概述

1.1 問題提出

月球基地是目前最為可行的地月空間基礎設施開發(fā)的工程起點和最佳實踐場。為了滿足月球基地健康可持續(xù)運維能力，月球基地應具備勘探艾特肯盆地（Aitken Basin）任意隕石坑的能力，因此綜合考慮重復往返各隕石坑水冰采集區(qū)的運輸成本，選擇Shackleton隕石坑的坑緣區(qū)域[15]，作為月球基地的長期運維地點，如圖1所示。

圖1 月球基地與水冰采集區(qū)域示意圖（圖中紅色星星表示月球基地選址，黃色星星表示水冰采集區(qū)域選址）Fig.1 Illustration of lunar base and in-situ water excavation locations(red star indicates lunar base location;yellow stars indicate in-situ water excavation locations)

本文中將水冰采集區(qū)域放在距離月球基地較遠的舒梅克（Shoemaker）隕石坑，德格拉什（de Gerlache）隕石坑，斯維德魯普（Sverdrup）隕石坑等，如圖1黃色星星所示，為了滿足較長距離的可重復運輸，運載器在設計時應滿足此類任務的上限。

1.2 任務場景概述

如圖2所示，運載器大范圍運載任務可以描述成：小型液體火箭運載器分別裝載完有效載荷和燃料后（LO2/LH2），氫氧發(fā)動機點火，保障運載器垂直上升，到達一定高度后，主發(fā)動機關機，運載器姿控發(fā)動機工作，幫助運載器重新定向，使運載器的頭部指向月球基地，之后姿控發(fā)動機關閉，主發(fā)動機第2次點火，推動運載器飛向駐人月球基地，橫向速度提升到一定數(shù)值后，主發(fā)動機關機，運載器無動力飛行，且在此過程中，姿控發(fā)動機工作，在運載器的尾部指向月球基地后，姿控發(fā)動機關機，在距離月球基地的一定范圍時，主發(fā)動機重新點火，在水平速度消減至0 m/s后，關機，接著運載器姿控發(fā)動機工作，調(diào)整運載器尾部指向目標著陸點，主發(fā)動機點火，實現(xiàn)垂直軟著陸。

圖2 月面運載器大范圍轉(zhuǎn)移過程示意圖Fig.2 Scheme of lunar large-scale transportation trajectory designation

水冰運輸任務中，位于隕石坑底的水冰采集區(qū)與月球基地之間的海拔落差不超過10 km，但是運載器的飛行范圍跨度可達上百km，運載器的主推進器角度可調(diào)節(jié)范圍有限，無法及時完成運載器轉(zhuǎn)身調(diào)姿任務，需要借助姿控發(fā)動機，進行翻轉(zhuǎn)操作；其次，考慮到運載器燃料原位制備的可行性，采用液氫液氧發(fā)動機，優(yōu)點是發(fā)動機比沖高，可達500 s，推力范圍大，可達上百tnf，可重復點火，但是液體發(fā)動機燃料消耗速率相應也很快，無法完成連續(xù)推力控制；最后，考慮到任務的安全性，運載器的發(fā)射與著陸姿態(tài)均應垂直于月面。

基于上述分析，將運載器姿態(tài)調(diào)整與動力飛行拆分，分別進行優(yōu)化設計，運載器飛行軌跡劃分為垂直上升段、姿態(tài)調(diào)整段、動力飛行段和垂直下降段。

1.3 可重復運載器設計

為了滿足月面大范圍運載任務，包括GNC系統(tǒng)的質(zhì)量在內(nèi)，有必要定義一下實際的可重復運載器模型。由于此類運載器的沒有公開且可靠的數(shù)據(jù)，參考經(jīng)典的發(fā)動機信息。因此，參考文獻[16]，將液氫液氧作為運載器發(fā)動機的燃料，該運載器為單級結構，包含助推器和箭身小型噴氣式推進器?；鸺l(fā)動機可包括液體燃料火箭發(fā)動機，例如LO2/LH2發(fā)動機?？砂ǘ鄠€小型推進器，用于控制火箭的上升和下降軌跡。

本節(jié)的目的是初步確定可重復使用運載器規(guī)格，以支持任務需求。包括運載器發(fā)動機的推力、推進劑的體積、流量、混合比，有效載荷的體積、質(zhì)量，以實現(xiàn)推力矢量控制。同時，燃料與有效載荷的參數(shù)將直接決定運載器主體的直徑，長度和其它構型。

根據(jù)圖中飛行剖面，確定任務所需的最大推力，并確定燃料的質(zhì)量與體積。主要考慮2個主要的動力段，即動力上升段與垂直下降段，忽略運載器姿態(tài)翻轉(zhuǎn)所需的少量燃料。

本文從運載器到達初始滑行速度或動力上升段結束時的速度Vpa后的無動力上升段開始計算，通過式（1）確定無動力上升段的初始速度Vpa：

其中：hf為最大上升高度；hpa為動力上升段的高度；Vpa為動力上升段結束時運載器的速度的縱向分量；gm為月球的重力加速度，gm=1.62 m/s2。

為了保證運載器能夠達到最大高度，運載器可以綜合考慮高度與速度要求，動力上升段hpa結束得越早，對段終的速度Vpa要求就越高。通常，無動力上升段的高度應該大于動力上升段的高度。

在動力上升段，運載器的主推進器第一次點火，當確定了動力上升段結束時的速度Vpa后，再來確定動力上升段的時間，即發(fā)動機點火時長。

公式（2）為加入重力修正的Tsiolkowsky方程，提供了推進劑質(zhì)量與動力上升段發(fā)動機開機時長tpa的關系，假設該方程只作用于運載器的縱軸

同時，根據(jù)式（3），可以得到動力上升段高度與發(fā)動機開機時長的關系

根據(jù)式（1）與（2）判斷動力上升段結束時的速度與高度關系，在確定運載器的燃料載荷后，可以通過式（2）與式（3）得到運載器的總重和動力上升段的發(fā)動機點火時長的曲線，在后續(xù)軌跡規(guī)劃過程中做出合理性判斷依據(jù)。

2 月面運載器大范圍垂直起降軌跡建模

2.1 坐標系與運動學方程

如前所述，構建局部參考坐標系，如圖3所示，假設月球引力場均勻，且考慮月球自轉(zhuǎn)的影響。

圖3 坐標系示意圖Fig.3 Guidance reference frame

運載器主發(fā)動機初始推力方向與運載器縱軸指向一致；

1）發(fā)射點坐標系—OX0Y0Z0

如圖3所示，坐標原點為運載器在水冰采集區(qū)的發(fā)射起點，Z0軸為坐標原點與月心的連線且垂直向上，X0指向運載器的著陸點方向，Y0軸與X0軸、Z0軸構成右手正交坐標系。

運載器的運動學方程為

2.2 軌跡優(yōu)化問題建模

運載器大范圍垂直起降軌跡最優(yōu)考慮的是燃料的消耗問題，姿態(tài)調(diào)整段、動力飛行段等飛行階段的初始條件和終端條件不作約束，只對運載器發(fā)射點的位置、速度以及目標位置和速度做出約束

其中：r0和v0為運載器在發(fā)射點的位置和速度；rf和vf為運載器在著陸點的位置和速度；m0為運載器在初始質(zhì)量，包含有效載荷和燃料以及運載器干重。

對于運載器的主推進器推力約束可以表示為

其中，Tmin和Tmax為主推進器的推力范圍。

各飛行階段均將燃料最優(yōu)作為軌跡規(guī)劃目標，則目標函數(shù)為

則動力學方程、控制約束、狀態(tài)約束與目標函數(shù)，共同構成了月面運載器大范圍垂直起降的軌跡優(yōu)化問題方程。

2.3 問題的凸優(yōu)化

為了運用凸優(yōu)化算法對軌跡優(yōu)化問題求解，需要將觀察到的非凸控制約束推力進行凸化，即引入松弛變量 Γ，令

則原始軌跡優(yōu)化問題中的推力約束可以寫作

目標函數(shù)為

式（11）所描述的優(yōu)化問題是對原始優(yōu)化問題的松弛，原始優(yōu)化問題的解顯然也滿足式（4）。此外，由文獻[17]可知，對于松弛后的優(yōu)化問題，當取最優(yōu)解時，對于松弛后的軌跡優(yōu)化問題，若存在最優(yōu)解，則

成立，同時滿足邊界條件（10）。即原始最優(yōu)問題與凸化后的最優(yōu)問題可以看作是等價的。

為了數(shù)值求解最優(yōu)軌跡規(guī)劃問題，定義一組新的變量σ(t)，將非線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為具有凸性目標函數(shù)的連續(xù)時間最優(yōu)控制問題，將狀態(tài)約束與控制約束轉(zhuǎn)換為二階錐約束或線性約束

則運載器動力學方程轉(zhuǎn)換為

令

則運載器推力約束可以寫作

等式右側(cè)為非凸域，利用泰勒展開實現(xiàn)二階錐和線性逼近，構造可行凸域，即z0(t)=ln(m0-αTmaxt)

其中，為運載器燃料最大消耗量，z(t)的約束為

則最終運載器大范圍垂直起降燃料最優(yōu)軌跡規(guī)劃問題可以表述為

動力學方程轉(zhuǎn)換為（9），控制約束為（11）、（12），燃料消耗約束為（13），狀態(tài)變量約束條件不變。

為了求解最優(yōu)軌跡規(guī)劃問題，需要將問題離散化，即將[t0,tf]拆分為等距的時間間隔，并在時間節(jié)點處施加線性或二階錐約束，將無限維優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為有限維二階錐優(yōu)化問題求解，離散化的最優(yōu)軌跡規(guī)劃問題可以表述為

動力學方程

控制約束

其中，

狀態(tài)約束

邊界條件不變。

3 基于雙層凸優(yōu)化模型的梯度下降算法

在求解上述離散化最優(yōu)軌跡規(guī)劃問題時，凸優(yōu)化方法無法在姿態(tài)調(diào)整段與動力飛行段處理推力分配，導致在燃料有限的情況下，軌跡優(yōu)化問題無可行解；其次，在求解最優(yōu)燃料問題時，凸優(yōu)化算法在設置燃料最優(yōu)指標下，推力分配不符合bang-bang特性，導致運載器上升高度過高，造成燃料浪費或燃料消耗大于搭載值。為了解決上述問題，引入雙層凸優(yōu)化模型的思想，將大范圍軌跡優(yōu)化問題看作雙層凸優(yōu)化問題，并利用梯度下降法進行最優(yōu)燃料軌跡規(guī)劃求解。

3.1 雙層凸優(yōu)化模型構造

將多段軌跡優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為雙層凸優(yōu)化問題，即在內(nèi)層光滑凸函數(shù)的約束極小值集上實現(xiàn)外層光滑凸函數(shù)最小化的問題，并利用梯度下降法得到優(yōu)化問題的數(shù)值解。對于內(nèi)層凸函數(shù)，利用內(nèi)點法進行最優(yōu)問題求解，再得到可行解后，加入懲罰因子，利用梯度下降法求得外層凸函數(shù)的最優(yōu)解。

下面介紹雙層凸優(yōu)化問題的構造，首先，將外層函數(shù)f1(x)的可行解集表示為

其中，g(x)為內(nèi)層函數(shù)的不等式約束，則內(nèi)層函數(shù)約束可以定義為f2(x)

雙層凸優(yōu)化問題可利用梯度投影法求解，即迭代解算雙層凸優(yōu)化問題的基函數(shù)，其中D為閉合凸子集。

其中：η為懲罰因子；f1(x)為內(nèi)層光滑凸函數(shù)，即原始分段軌跡優(yōu)化問題；f2(x)為外層光滑凸函數(shù)。

為了滿足內(nèi)層函數(shù)的解算的收斂性，需要保證

為了得到外層函數(shù)的最優(yōu)解，在求解內(nèi)層目標函數(shù)的基礎上，需要適當選擇函數(shù)的可行解集D或適當調(diào)整式（28）中的懲罰因子 η，其中，D可以是非負性約束，或球形約束，或某個R維狀態(tài)空間。

在解算內(nèi)層優(yōu)化問題時，直接求解帶有邊界約束的凸優(yōu)化問題，會有效提高算法的計算效率，因此只在外層優(yōu)化問題加入懲罰因子，將優(yōu)化問題寫作

在求解過程中，雙層凸優(yōu)化問題采用顯式求解方法，在 ηk的迭代過程中不計算最小正則化函數(shù)，不存在迭代收斂問題，降低了計算成本。其次，利用梯度下降法解算外層凸優(yōu)化問題時，可以不求解最優(yōu)化內(nèi)層函數(shù)，因此不會增加任何“隱形”計算成本。

綜上，本文利用的雙層凸優(yōu)化算法思想，利用內(nèi)點法求解內(nèi)層復雜約束下的二階錐規(guī)劃問題，內(nèi)點法的單次迭代特點，可以很快得到可行解，保證算法的較高的求解效率；利用梯度下降法求解外層凸優(yōu)化問題，通過懲罰因子將外層約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為無約束問題，利用梯度下降法多次迭代嘗試得到完整軌跡的燃料最優(yōu)解。內(nèi)點法與連續(xù)時間最速下降法共同得到一組最優(yōu)軌跡的可行解，其中懲罰因子的更新方法可以對照序列二次規(guī)劃法。

3.2 算法流程

本文提出一種基于雙層凸優(yōu)化模型的梯度下降算法，內(nèi)層循環(huán)利用內(nèi)點法求解分段軌跡優(yōu)化問題的可行解，外層循環(huán)利用梯度下降法迭代更新完整軌跡規(guī)劃問題的最優(yōu)解。

雙層凸優(yōu)化問題中，內(nèi)層凸優(yōu)化問題的目標函數(shù)與外層凸優(yōu)化問題一致，如式（15）所示，其它約束為式（17）～（20），邊界條件不變。但是外層凸優(yōu)化問題的狀態(tài)變量必須為內(nèi)層凸優(yōu)化問題的可行解的集合，可表述為

下面對基于雙層凸優(yōu)化模型的最優(yōu)軌跡規(guī)劃算法總結如下：

步驟1：通過內(nèi)點法求解從初始狀態(tài)x0到指定著陸點的分段最優(yōu)燃料標稱軌跡，令k=0。

步驟2：判斷是否滿足外層凸優(yōu)化問題的約束；若不滿足，則重新劃定外層約束，求解分段最優(yōu)燃料標稱軌跡；若滿足，則給定一組參數(shù)，，η 和 θ，并規(guī)定＞0，η∈(0,1)，θ∈(0,1)

步驟3：令m=T到0，計算

并得到滿足條件的最小負整數(shù)m，令

sk=ηmk s

步驟4：更新

步驟5：判斷是否滿足f1(xk+1)＞f1(xk)，若滿足，則k=k+1，再次計算分段最優(yōu)燃料標稱軌跡，直到f1(xk+1)≤f1(xk)。

算法流程如圖4所示。

圖4 基于雙層凸優(yōu)化模型的軌跡優(yōu)化算法流程圖Fig.4 Flow diagram of the bilevel model optimal trajectory optimization algorithm

4 仿真試驗

下面給出仿真試驗的條件：

將水冰采集區(qū)設計在Shoemaker坑的永久陰影區(qū)，具體位置為88.051 7 °S，45.488 1 °E，海拔為–4 200 m，著陸點為Shackleton隕石坑的坑沿位置，具體位置為89.678 2 °S，143.915 6 °W，海拔為1 660 m。運載器高2.65 m，直徑0.8 m，可運輸水冰400 kg，裝載燃料100 kg，發(fā)動機比沖450 s，推力為3.2 t。

圖5～8為基于雙層凸優(yōu)化算法得到的軌跡規(guī)劃曲線，根據(jù)任務描述，發(fā)動機點火，以最大推力水平工作4.2 s，如圖5所示，主要作用為將運載器盡快帶離發(fā)射點，之后主推進器關機，利用姿控發(fā)動機單獨對運載器進行姿態(tài)調(diào)整，調(diào)整時間為8.7 s，主推進器再次開機，推力水平為2.61 tnf，時長為5.9 s，此時橫向速度與位置開始變化，如圖6～7所示，當X向速度上升至175 m/s，Y向速度上升至265 m/s時，主推進器關機，運載器進入滑行狀態(tài)，至縱向位置上升至9 899 m時，主推進器再次開機，推力水平為2.21 tnf，時長為5.7 s，將X向速度與Y速度降至0，且運載器到達目標著陸點上空，此時利用姿控發(fā)動機再次調(diào)整運載器姿態(tài)，調(diào)整時間為8.2 s，當運載器機頭垂直向上時，主推進器開機，推力水平為3.2 tnf，時長為3.0 s，此時縱向速度降為0，實現(xiàn)運載器安全著陸。圖8為單次仿真完整的軌跡規(guī)劃示意圖。

圖5 推力示意圖Fig.5 Results of thrust magnitude

圖6 三軸速度示意圖Fig.6 Results of velocity magnitude

圖7 位置示意圖Fig.7 Results of trajectory magnitude

圖8 運載器飛行軌跡示意圖Fig.8 Three dimensional trajectory history

隨機生成動力上升段結束時刻產(chǎn)生的500個隨機位置誤差，其中X、Y向的位置誤差標準差為±500 m，Z向位置的標準差±200 m，符合正態(tài)分布，利用蒙特卡洛試驗驗證算法的魯棒性。

如圖9和圖10所示，運載器水平方向位置誤差在±0.6 m以內(nèi)，速度誤差在±0.02 m/s以內(nèi)實現(xiàn)了運載器的高精度著陸精度要求；如圖11與圖12所示，由于最終著陸階段時間較短，縱向位置誤差在±0.2 m以內(nèi)，誤差多大于目標高度，這對于軟著陸任務是有利的，避免運載器直接接觸月面而墜毀，縱向速度誤差±6 × 10–3nm/s以內(nèi)，保障了運載器的安全著陸；根據(jù)剩余質(zhì)量約束，仿真的成功率為97.4%，其中有13次仿真試驗剩余燃料小于0，其次燃料剩余最多分布在410 kg附近，根據(jù)液體燃料即時加注的特點，燃料的利用率達到80%以上。

圖9 最終橫向位置誤差柱狀圖Fig.9 Histogram of final horizon position errors

圖10 最終橫向速度誤差柱狀圖Fig.10 Histogram of final horizon velocity errors

圖11 最終縱向位置誤差柱狀圖Fig.11 Histogram of final vertical direction errors

圖12 最終縱向速度誤差柱狀圖Fig.12 Histogram of final Z direction velocity errors

接著，隨機生成動力上升段結束時刻產(chǎn)生的500個隨機速度誤差，其中X、Y向的位置誤差標準差為±70 m/s，Z向速度誤差的標準差±50 m/s，符合正態(tài)分布，利用蒙特卡洛試驗驗證算法的魯棒性。

如圖13和圖14所示，運載器水平方向位置誤差在±0.4 m以內(nèi)，速度誤差在±0.4 m/s以內(nèi)實現(xiàn)了運載器的高精度著陸精度要求，且由于Y向行程較長，位置和速度誤差分布優(yōu)于X向誤差，尤其是速度誤差，64%的誤差在±0.1 m/s以內(nèi)；如圖15與圖16所示，由于最終著陸階段時間較短，縱向位置誤差在±0.4 m以內(nèi)，縱向速度誤差±1.5 × 10–3m/s以內(nèi)，雖然精度有所下降，但依然保障了運載器的安全著陸；根據(jù)剩余質(zhì)量約束，仿真的成功率為96.7%，其中有16次仿真試驗剩余燃料小于0，其次燃料剩余最多分布在407 kg附近，根據(jù)液體燃料即時加注的特點，燃料的利用率達到80%以上。

圖13 最終橫向速度誤差柱狀圖Fig.13 Histogram of final horizon velocity errors

圖14 最終橫向位置誤差柱狀圖Fig.14 Histogram of final horizon position errors

圖15 最終縱向速度誤差柱狀圖Fig.15 Histogram of final Z direction velocity errors

圖16 最終縱向位置誤差柱狀圖Fig.16 Histogram of final vertical direction error

如圖17所示為500次仿真試驗得到的運載器大范圍垂直起降的軌跡圖，為了更明顯的顯示初始位置不同，采用了對數(shù)坐標，可以看到得到的軌跡全部收斂于最終著陸點，證明算法具有良好的收斂性與穩(wěn)定性。

圖17 運載器飛行軌跡圖Fig.17 The 3-Dimensional Trajectory of the vehicle

4 結論

本文利用雙層凸優(yōu)化思想構造了月面運載器大范圍最優(yōu)軌跡規(guī)劃問題，將大范圍飛行軌跡劃分為動力上升段、大范圍動力飛行段、垂直下降段的最優(yōu)化問題，并將其作為內(nèi)層凸優(yōu)化問題，通過內(nèi)點法進行求解，同時，結合全局燃料最優(yōu)化目標，設計目標函數(shù)，作為外層凸優(yōu)化目標函數(shù)，利用最速下降法的思想，進行迭代求解，得到了大范圍垂直起降的燃料最優(yōu)軌跡。仿真試驗證明，本文提出的算法可以實現(xiàn)運載器大范圍垂直起降軌跡優(yōu)化問題，且在初始位置誤差在700 m以上時規(guī)劃出滿足著陸約束，并實現(xiàn)水平位置誤差小于0.6 m，高度誤差小于0.2 m的運載器軌跡，且燃料利用率達80%以上，剩余燃料有97.4%的概率滿足約束。