垂索-輔助索系統(tǒng)的建模與固有特性

孫測世，焦德望，趙碧航，譚 超

(重慶交通大學土木工程學院，重慶 400074)

斜拉索是斜拉橋的主要承重結(jié)構(gòu)，具有柔度大、阻尼低等特點，極易發(fā)生大幅振動，對橋梁的安全造成重大影響[1-2]。為了抑制斜拉索可能產(chǎn)生的大幅振動，工程上常采用氣動措施[3]、安裝阻尼器[4-7]或輔助索等措施。但隨著斜拉索的長度不斷增長，結(jié)構(gòu)非線性和垂度效應的影響逐漸增大，阻尼器因受安裝位置的限制達不到理想的減振效果[8]。近年來，輔助索被認為是解決這一難題的有效手段[9]，為此研究人員對拉索-輔助索系統(tǒng)進行了大量的理論研究和實驗研究。

早期研究中，為計算簡便，將拉索簡化為緊繃的弦。CARACOGLIA 等[10-11]建立了由輔助索連接水平弦的模型，基于解析和數(shù)值計算方法研究了系統(tǒng)的面內(nèi)自由振動特性，并將該方法應用于一座既有斜拉橋的減振研究，證明了該方法的有效性。AHMAD 等[12-14]建立了水平弦-輔助索模型，理論分析了模型中各參數(shù)對系統(tǒng)面內(nèi)剛度及阻尼特性的影響。GIACCU 等[15-17]采用基于能量的“等效線性化”方法研究了輔助索連接水平弦系統(tǒng)的非線性自由振動特性，并將模型應用到了既有橋梁的減振研究中。HE 等[18]研究了沿水平弦均勻布置彈性輔助索來抑制弦的振動，研究表明輔助索的剛度和間隙率顯著影響系統(tǒng)的模態(tài)頻率和振型。CHEN 等[19]建立了多個輔助索連接水平弦系統(tǒng)模型，研究了不同參數(shù)下彎曲剛度對系統(tǒng)自由振動特性的影響。值得一提的是，以孫利民和周?？榻艹龃淼膰鴥?nèi)學者在輔助索減振、輔助索加阻尼器復合減振的力學建模、理論分析和試驗研究中開展了一系列的系統(tǒng)研究[20-23]，如：SUN 等[20]建立了由彈簧并聯(lián)阻尼器組成的輔助索連接兩根水平弦系統(tǒng)模型，并通過復模態(tài)分析得到系統(tǒng)特征方程。ZHOU 等[21]建立了采用負剛度阻尼器連接兩根水平弦的模型，在近似確定臨界粘性阻尼和負剛度的情況下，給出了附加模態(tài)阻尼比的漸近解，研究表明輔助索能顯著降低兩根水平弦的振動效應。除此以外，具有超彈性和高阻尼的形狀記憶合金(SMA)輔助索對弦-輔助索系統(tǒng)的振動特性影響也受到了廣泛關(guān)注[24-26]。

隨著拉索長度不斷增大，垂度效應不容忽視，若干最新研究均考慮了垂度影響。2019 年起，SUN 等[27]首先建立了考慮垂度的拉索-輔助索模型，研究表明垂度幾乎影響系統(tǒng)的所有振動模式，只有特定模式的頻率與垂度無關(guān)。其后，CHEN 等[28]提出了一種基于分量模態(tài)綜合法的索網(wǎng)自由振動和強迫振動分析的通用數(shù)值模型，并與SUN 的模型進行了對比分析。AHMAD[29]建立了雙懸索-輔助索系統(tǒng)模型，討論了考慮垂度和忽略垂度情況下不同參數(shù)對垂索-輔助索系統(tǒng)一階頻率的影響，研究表明忽略垂度影響會造成非常大的誤差。DI等[30-31]進一步考慮了含有預張力的輔助索連接兩根小垂度拉索的模型，研究了輔助索預張力對垂索-輔助索系統(tǒng)動力特性影響。

綜上所述，輔助索對斜拉索減振有著廣闊的應用前景，已受到國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注。目前，垂索-輔助索模型多是在有量綱或部分無量綱化前提下進行的推導，或者推導過程并非直接從無量綱運動方程出發(fā)，不便更好地把握系統(tǒng)關(guān)鍵參數(shù)及其物理意義。另外，對于考慮垂度的拉索-輔助索系統(tǒng)，關(guān)鍵參數(shù)對系統(tǒng)固有特性影響的研究尚需進一步豐富。為此，本文推導了由N根垂索和M道輔助索組成的索網(wǎng)系統(tǒng)的無量綱運動方程，建立了垂索-輔助索動力學模型；然后，退化到雙索-輔助索系統(tǒng)，并求得其無量綱頻率方程和模態(tài)方程；最后，研究了系統(tǒng)關(guān)鍵參數(shù)對固有特性的影響，以期為后續(xù)輔助索減振設(shè)計提供理論參考。

1 動力學模型

1.1 垂索-輔助索動力學模型的建立

圖1 表示由輔助索(忽略質(zhì)量)連接小垂度拉索[32]構(gòu)成的一般垂索-輔助索系統(tǒng)，垂索總數(shù)為N，輔助索總道數(shù)為M，共計M(N+1)段。每根拉索的單位質(zhì)量、長度、水平張力、軸向剛度分別為。每根輔助索剛度為，其中j=1, 2, ···,N+1，表示 第j根 拉 索，p=1, 2, ···,M+1，表示第p索段。整個垂索-輔助索系統(tǒng)中的拉索可分成N(M+1)個索段，各索段的長度為，其中j=1, 2,···,N，p=1, 2, ···,M+1。

圖1 垂索-輔助索系統(tǒng)Fig.1 The sagged-cable-crosstie system

如圖1 所示在各拉索j建立局部直角坐標系，xj從拉索左端開始，yj(xj)表示拉索j的初始位移。在自重作用下拉索的初始構(gòu)型為：

式中，g*為重力加速度。為表示各索段的動態(tài)位移，以各索段左端為原點建立了如圖1 所示的索段局部直角坐標系。表示第j根索第p段的動態(tài)位移，其中j=1, 2, ···,N+1；p=1, 2, ···,M+1。每個索段考慮垂度的運動方程均可采用Irvine 的拉索經(jīng)典理論方程表示[32]，即：

為使運動方程式(4)更具一般性，引入無量綱量：

式中，L*為使垂索-輔助索系統(tǒng)在統(tǒng)一空間尺度下進行無量綱化而引入的任意長度。當L*=L*j時，即表示其他索的空間無量綱化均按第j根的索長進行。

利用式(5)對式(4)進行無量綱化處理，可得無量綱運動方程：

式中：

顯然，式(6)是考慮垂度的無量綱波動方程，其中：參數(shù)εj,p反映輔助索的安裝位置；為索j的Irvine 參數(shù)；1/αj是索j的無量綱波速。αj是對式(4)進行無量綱化處理的過程中產(chǎn)生的參數(shù)，本質(zhì)上是將系統(tǒng)在統(tǒng)一時間尺度下進行無量綱化而引入的綜合參數(shù)，其中包含了整個垂索-輔助索系統(tǒng)的索力和與質(zhì)量和之比(對應系統(tǒng)的波速)，又包含了索j的索力與質(zhì)量比(對應索j的波速)。由于式(6)為徹底無量綱化后動力學方程，具有普適性，物理世界中圖1 所示的所有索網(wǎng)結(jié)構(gòu)均由該方程描述。由式(6)還可知，系統(tǒng)運動方程僅依賴于εj,p、和αj三個參數(shù)，這是后續(xù)開展參數(shù)分析的重要基礎(chǔ)，而若不進行無量綱化處理很難直接掌握這三個反映系統(tǒng)動力學本質(zhì)的基礎(chǔ)參數(shù)。

1.2 垂索-輔助索動力學模型的通解

采用分離變量法將運動方程式(6)中的空間和時間進行分離，令：

將式(7)代入式(6)并求解可得任意索段的模態(tài)函數(shù)：

式 中：βj=αjω為 索j橫 向 振 動 的 無 量 綱 波 數(shù)；Bj,p和Dj,p為各索段模態(tài)函數(shù)的未知常數(shù)。

對式(8)兩邊從0～εj,p積分，并將各段索相加后再回代入式(8)可得：

式中，Qj為垂度產(chǎn)生的附加項，其表達式為：

是一個有量綱波數(shù)，而本文中的βj為無量綱波數(shù)，是一個反映了索j和整個結(jié)構(gòu)之間關(guān)系的綜合參數(shù)。

1.3 垂索-輔助索動力學模型的定解

為了得到模態(tài)頻率和模態(tài)振型，依次引入拉索的邊界條件、位移連續(xù)條件和輔助索兩端節(jié)點處力的平衡條件。

將式(10)代入式(9)可得：

聯(lián)立整個索網(wǎng)N根拉索的邊界條件代入式(11)共可得到2N個方程。

由輔助索kj,p和拉索j的節(jié)點處力的平衡條件(假設(shè)輔助索拉力為正)可得：

將式(9)和式(11)代入式(12)可得：

聯(lián)立整個索網(wǎng)N×M個節(jié)點處的力平衡條件代入式(13)共可得到N×M個方程。

在輔助索kj,p和拉索j的節(jié)點左右需滿足位移連續(xù)條件，則有：

將式(9)代入式(14)，得：

聯(lián)立整個索網(wǎng)N×M個節(jié)點處的位移連續(xù)條件，代入式(15)共可得到N×M個方程。

綜上，由式(11)、式(13)和式(15)聯(lián)立可以得到2N(M+1)個方程，整個索網(wǎng)中各索段模態(tài)函數(shù)的未知數(shù)Bj,p和Dj,p總數(shù)也為2N(M+1)個，因此，將方程聯(lián)立并寫成矩陣形式可得：

式中：S= {B1,1,B1,2, ···,B1,p, ···,B1,M+1,D1,1,D1,2, ···,D1,p, ···,D1,M+1, ···,Bj,1,Bj,2, ···,Bj,p, ···,Bj,M+1,Dj,1,Dj,2, ···,Dj,p, ···,Dj,M+1, ···,BN,1,BN,2, ···,BN,p, ···,BN,M+1,DN,1,DN,2, ···,DN,p, ···,DN,M+1}T為一個包含整個索網(wǎng)各索段模態(tài)函數(shù)的未知數(shù)Bj,p和Dj,p的向量；0 為零向量；R為2N(M+1)階的系數(shù)矩陣。顯然S不等于0，因此令系數(shù)矩陣R對應的行列式等于0，即可求得N根垂索和M道輔助索組成的索網(wǎng)系統(tǒng)的頻率方程，進而可以求得各階頻率和模態(tài)。

2 雙索-輔助索系統(tǒng)退化模型

實際應用時，一根輔助索可能僅連接少量拉索，如近年對蘇通大橋開展的輔助索減振實橋研究中便是連接3 根斜拉索[28]。因此，為便于討論，本文暫考慮最簡單的情況，將垂索-輔助索一般模型退化到一根輔助索連接兩根拉索的結(jié)構(gòu)，即N=2、M=1。此時，方程中j=1, 2；p=1, 2。另外，令L*=L*1。此時式(16)中的S={B11,B12,D11,D12,B21,B22,D21,D22}T為一個包含8 個未知常數(shù)的向量；R為一個8 階的系數(shù)矩陣(見附錄)。

系統(tǒng)的頻率可以通過令系數(shù)矩陣R的行列式等于0 求得，展開行列式進行三角函數(shù)簡化，并合并同類項，可得系統(tǒng)的頻率方程：

其中：

式(17)中第一項為不考慮垂度的項，其余三項為考慮垂度影響的項，當γj=0 時便可以得到忽略垂度影響的頻率方程：

式(18)進行一定量綱處理可還原到AHMAD[12]的頻率方程；同時，若考慮兩所參數(shù)相同，則式(18)可進一步化簡為：

式(19)經(jīng)過一定量綱處理亦與ZHOU[22]推導頻率方程忽略阻尼影響后的情形一致。

當式(17)中的k2,1取無窮大時方程可退化為：

式(20)亦可通過一定量綱處理還原到SUN 等[27]研究的剛性輔助索的情形。

3 模型驗證

3.1 雙索單輔助索退化模型驗證

為驗證方程推導的正確性，參照AHMAD[29]論文中拉索的參數(shù)進行計算，并與其計算結(jié)果對比。兩根拉索參數(shù)為：

輔助索放置在拉索的1/4 截面處，其剛度取無窮大，將上述參數(shù)代入式(17)，分別求得系統(tǒng)考慮垂度(=2)和忽略垂度(=0)情況下前十階無量綱頻率，再將頻率轉(zhuǎn)化為有量綱頻率與AHMAD[12,29]論文進行對比；另外，利用上述拉索參數(shù)采用有限元軟件ANSYS 算得的前十階頻率結(jié)果如表1 所示。由表可知：本文求得的頻率有量綱化后與AHMAD 的解相同，同時與ANSYS結(jié)果也非常接近，說明方程推導的正確性。

表1 模態(tài)頻率對比Table 1 Comparison of frequencies

從表1 可以看到，各階模態(tài)振動均對應兩個頻率，這是由于各階模態(tài)振動均含有兩個模態(tài)振型，即同相振型和反相振型，較小的頻率對應同相振動模態(tài)振型，較大的頻率對應反相振動模態(tài)振型[24]。另外，還可以發(fā)現(xiàn)，當=0 時，第三階反相、第四階同相、第四階反相振動頻率相同，這與輔助索剛度和位置有關(guān)。

3.2 五索雙輔助索復雜模型驗證

為進一步驗證本文推導方程對更復雜索網(wǎng)的正確性，參照AHMAD[33]拉索參數(shù)(表2)建立了由2 道輔助索連接5 根拉索的模型。2 道輔助索布置在第一根拉索的L1/3 處，輔助索無量綱剛度取100。求得忽略垂度(λ=0)情況下前10 階無量綱頻率，再將頻率轉(zhuǎn)化為有量綱頻率與AHMAD[33]論文進行對比；同時，建立ANSYS 模型進行對比，結(jié)果如表3 所示?？梢姡疚乃箢l率有量綱化后與AHMAD 論文[33]及ANSYS 結(jié)果均非常接近。

表2 拉索參數(shù)[33]Table 2 Cable parameters

表3 模態(tài)頻率對比Table 3 Comparison of frequencies

4 參數(shù)分析

從式(17)可以看出，垂索-輔助索系統(tǒng)的模態(tài)和頻率取決于4 個關(guān)鍵參數(shù)，即：式(6)所示的εj,p、和αj以及由平衡方程引入的kj,p。當然，拉索間無量綱波速1/αj的差異以波速比參數(shù)η 計入，即：

因此，本節(jié)以3.1 小節(jié)的退化模型為對象，針對Irvine 參數(shù)、輔助索剛度k2,1和位置ε2,1、波速比η 四個關(guān)鍵參數(shù)開展參數(shù)分析，分別討論它們對系統(tǒng)固有特性的影響。

4.1 Irvine 參數(shù)

本小節(jié)考慮兩根拉索參數(shù)相同，其索力、單位長度質(zhì)量及長度均取3.1 小節(jié)中數(shù)值，輔助索剛度k2,1=10，輔助索位置ε2,1=0.3。直接改變參數(shù)大小，研究對垂索-輔助索系統(tǒng)頻率及模態(tài)的影響。

圖2 曲線Fig.2 Curvesof

綜上，圖2(a)由于是同相振動，輔助索不起作用，所以表現(xiàn)出單一懸索的固有特性，ω-曲線出現(xiàn)“穿越”(cross-over)現(xiàn)象，而圖2(b)的反相振動中，輔助索起作用，客觀上破壞了模態(tài)的對稱性。這和斜拉索中重力效應下的模態(tài)對稱性破壞類似，因此ω-曲線表現(xiàn)為“轉(zhuǎn)向”(veering)現(xiàn)象。但若輔助索恰好位于模態(tài)節(jié)點處，則仍表現(xiàn)為“穿越”現(xiàn)象。

為進一步考察同相振動和反相振動固有特性間的關(guān)系，將圖2(a)和圖2(b)中第一個“穿越”點附近的頻率曲線繪于圖3(a)。同時，考慮輔助索剛度對一階反相振動頻率的影響，增加k2,1=500(相對剛性)時的一階反相振動頻率曲線。圖3(b)為圖3(a)中的部分典型模態(tài)。由圖3(a)可知：<39.48 時一階反相振動頻率大于一階同相振動，其原因是，反相振動中輔助索發(fā)揮了作用，輔助索剛度越大垂索-輔助索系統(tǒng)反相振動頻率越大。隨著逐漸增加，一階同相振動頻率曲線增長速度最快，輔助索剛度對索網(wǎng)反相振動頻率的貢獻越來越低，同時，一階反相振動模態(tài)形狀逐漸向二階轉(zhuǎn)變(圖3(b))。當=39.48 時，3 條一階頻率曲線與二階同相振動的頻率曲線相交于“穿越”點。從模態(tài)圖可知：此時對于一階反相振動，輔助索兩端正好處于索的不動點處(模態(tài)的節(jié)點處)，故失去了其作用。因此，同相和反相振動頻率相等，不同輔助索剛度下的固有頻率也相等，從而出現(xiàn)4 條曲線交匯于同一點的現(xiàn)象。當>39.48 時，3 條一階振動頻率曲線均越過二階同相振動頻率曲線。此后，一階同相振動頻率均大于反相振動頻率。輔助索對一階反相振動頻率和模態(tài)重新起作用，因此k2,1=500 的頻率曲線一直處于k2,1=10 之上。值得注意的是，一階同相振動模態(tài)呈現(xiàn)3 個半波，而一階反相振動為2 個半波。

圖3 第一個“穿越”點附近頻率曲線和典型模態(tài)圖Fig.3 Frequency curves and typical modes near the first cross-over point

為進一步分析系統(tǒng)模態(tài)的局部振動模態(tài)特性，利用ZHOU 等[23]提出的衡量模態(tài)局部化指標方法，結(jié)合GATTULLI 等[34]在研究斜拉橋索-梁-塔耦合振動時，提出的衡量拉索局部振動的指標，給出以下反映索網(wǎng)系統(tǒng)模態(tài)局部化的指標計算公式：

式中：

為第j根索第p段的模態(tài)勢能與整個索網(wǎng)系統(tǒng)模態(tài)勢能之比。顯然，Θ 取值范圍為[0,1]，Θ 越大，模態(tài)局部化程度越高。從圖3(b)可以看出：隨著的增大，一階同相模態(tài)局部化程度增大；一階反相模態(tài)的局部化程度則隨增大而降低；二階同相模態(tài)不受影響，Θ 保持不變。

4.2 輔助索位置ε2,1 及剛度k2,1

由理論推導可以看出，輔助索的位置及剛度是影響其作用效果的關(guān)鍵因素，為此通過改變式(17)中的參數(shù)k2,1和ε2,1來研究輔助索剛度及位置對系統(tǒng)頻率及模態(tài)的影響。兩根拉索的索力、質(zhì)量及長度均取3.1 節(jié)中數(shù)值，另外取=2。

圖4 是系統(tǒng)前四階頻率隨輔助索位置及剛度變化而改變的曲面圖。由圖可知，各階同相振動頻率不受k2,1及ε2,1變化的影響，主要原因在于，同步振動時兩索間無相對位移，輔助索無作用。反相振動時，兩索振動時存在相對位移，且不同位置處大小不同，故輔助索的影響不盡相同。當輔助索位置ε2,1=z/(n+1)時(n為階次，z為小于n的正整數(shù))，即輔助索安裝于兩索反相振幅最大處時對系統(tǒng)反相頻率的影響最大。當然，即使輔助索設(shè)置在這些位置，隨著剛度的增大，各階反相振動頻率并不會無限增大，而是接近于高一階次的同相振動頻率，即輔助索的安裝位置和剛度最多能使系統(tǒng)無量綱頻率增大1。

圖4 ω 的三維曲面圖Fig.4 The 3-D surfaces of ω

另外，對于反相模態(tài)，系統(tǒng)可視為一個以輔助索中點處為對稱軸的對稱結(jié)構(gòu)，故取其中一半結(jié)構(gòu)則正好可退化至周海俊等[35]所研究的拉索-接地輔助索結(jié)構(gòu)。因此，圖4 中各階反相模態(tài)頻率隨k2,1及ε2,1變化的規(guī)律與文獻[35]完全一致。

圖5 是圖4 中頻率對應的典型模態(tài)，對比圖5(a)和圖5(b)中的第三階反相振動模態(tài)可以發(fā)現(xiàn)，若采用大剛度輔助索，其將抑制索振動位移，從而提高系統(tǒng)的剛度；另外，當ε2,1=0.25時，對于第四階反相振動模態(tài)，輔助索兩端點間未產(chǎn)生相對位移，輔助索無作用，因此其頻率與四階同相振動的相同，Θ 值亦相同，僅是方向不同而已。值得注意的是，由于剛度的增大各階反相振動頻率并不會無限增大，而是接近于高一階次的同相振動頻率，當=0 時，若k2,1取無窮大，三階反相振動頻率也無限接近于四階同相振動頻率，從而導致表1 中6 階、7 階、8 階三個頻率均為5.4247 Hz。

圖5 典型模態(tài)Fig.5 Typical modes

4.3 波速比η

波速的差異使拉索間產(chǎn)生相對位移，而輔助索的作用將改變垂索-輔助索系統(tǒng)的頻率及模態(tài)。為此，通過改變η 的大小來研究拉索間參數(shù)差異對系統(tǒng)頻率和模態(tài)的影響。計算時索1 的索力、質(zhì)量及長度均取3.1 節(jié)中數(shù)值，索2 的索力及長度與索1 相同，但變化索2 質(zhì)量，同時為僅研究η 單一參數(shù)的影響，保證兩根拉索=2 不變。輔助索剛度和位置參數(shù)分別取為：k2,1=10，ε2,1=0.3。

計算得到的系統(tǒng)各階頻率ω隨η 的變化曲線及典型模態(tài)見圖6。由圖可知，隨著η 減小，即兩索參數(shù)差異變大，各階頻率逐漸增大并出現(xiàn)了跳階，階次越高的頻率曲線受到η 變化的影響越大，二階及以上頻率隨著η 的減小甚至出現(xiàn)了連續(xù)跳階現(xiàn)象，且階次越高連續(xù)跳躍的次數(shù)也越多。結(jié)合圖6(b)模態(tài)圖也可以看出，隨著η 減小，兩索間模態(tài)位移差異逐步增大，安裝輔助索后系統(tǒng)整體剛度和頻率增大越顯著。

圖6 ω-η 曲線圖及典型模態(tài)圖Fig.6 Curves of ω-η and typical modes

從Θ 值來看，二階同相和三階反相模態(tài)的局部化程度隨η 減小而不斷增加。從方程上看，η 減小本質(zhì)上可以認為是索2 質(zhì)量的減小，在不變的情況下相當于拉索2 垂度降低，等效軸向剛度提高[36-38]，因此系統(tǒng)的整體剛度和各階固有頻率變大，且對高階頻率的影響更明顯。其力學原理與禹見達等[36-38]的復合阻尼索設(shè)計一致，本質(zhì)上均是利用副索的支撐作用減小主索垂度，使主索在幾何上近乎為一條直線，從而在第一時間承受可能來自端部或橫向的載荷，客觀上達到提高系統(tǒng)剛度和頻率的效果。斜拉橋中相鄰拉索的波速往往存在差異，因此，安裝輔助索后系統(tǒng)剛度和頻率將增大，且對高階頻率的影響大于低階。

5 結(jié)論

本文推導了包含N根垂索和M道輔助索的索網(wǎng)動力學模型，給出了求解頻率方程及模態(tài)函數(shù)的通用表達式，并進行了驗證?；陔p索-輔助索退化模型進行參數(shù)分析，研究了索網(wǎng)系統(tǒng)的固有特性，得到如下主要結(jié)論：

(1) 由于本文對垂索-輔助索系統(tǒng)運動方程進行了徹底的無量綱化，故方程更具普適性，且關(guān)鍵參數(shù)及其物理意義更明晰。系統(tǒng)運動方程僅依賴于輔助索位置εj,p、Irvine 參數(shù)和αj，以及由平衡方程引入的輔助索剛度kj,p四個關(guān)鍵參數(shù)。

(2) 當兩索參數(shù)相同時，系統(tǒng)的同相振動頻率曲線以及輔助索恰好位于模態(tài)節(jié)點處時的反相振動頻率曲線隨Irvine 參數(shù)的增加表現(xiàn)為“穿越”現(xiàn)象，而其它反相振動頻率則表現(xiàn)為“轉(zhuǎn)向”現(xiàn)象。特定的Irvine 參數(shù)下，任意輔助索剛度對應的系統(tǒng)一階反相振動頻率均等于一階同相頻率，因此出現(xiàn)各頻率曲線在第一個“穿越”點交匯的現(xiàn)象。

(3) 當兩索參數(shù)相同時，輔助索僅影響反相振動頻率，且其安裝位置和剛度最多能使系統(tǒng)各階反相頻率增大1，因此，僅依賴輔助索剛度和位置來提高系統(tǒng)頻率的方式效果有限。

(4) 系統(tǒng)同相和反相頻率均隨兩索波速差異增大而發(fā)生往高階的“跳階”現(xiàn)象(頻率增大)，且頻率階次越高“跳階”次數(shù)越多。實際斜拉橋的拉索波速往往不同，因此安裝輔助索后的垂索-輔助索系統(tǒng)高階頻率可能有明顯增大，故合理調(diào)節(jié)兩索的參數(shù)可在一定程度上突破僅增大輔助索剛度這一手段的限制，進一步提高系統(tǒng)剛度和頻率。