應(yīng)用動(dòng)能定理解決多過程運(yùn)動(dòng)問題

徐 梅

(安徽省濉溪縣第二中學(xué))

動(dòng)能定理是物理學(xué)中的一個(gè)重要規(guī)律,對(duì)于簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)過程,學(xué)生一般能正確應(yīng)用動(dòng)能定理,但是遇到多運(yùn)動(dòng)過程問題時(shí)常常顧此失彼,漏洞百出.實(shí)際上,只要掌握了正確的分析方法,就可以破解該類問題.下面結(jié)合具體例題,討論如何應(yīng)用動(dòng)能定理解決多過程運(yùn)動(dòng)問題.

1 動(dòng)能定理解決多過程運(yùn)動(dòng)問題的方法

多過程運(yùn)動(dòng)指的是物體在運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)歷了多個(gè)階段或過程.在這種運(yùn)動(dòng)中,物體在不同的時(shí)間段或空間段內(nèi),可能具有不同的運(yùn)動(dòng)方式、速度、加速度或受力.每個(gè)過程都有其獨(dú)有的特征和規(guī)律.當(dāng)一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)包含多過程時(shí),我們可以通過如圖1所示的流程進(jìn)行分析,以幫助我們輕松掌握動(dòng)能定理在多過程運(yùn)動(dòng)問題中的應(yīng)用.分析過程中首先確定研究對(duì)象和過程,而后對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析和受力分析.分析運(yùn)動(dòng)時(shí),要明確研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)性質(zhì),明確速度、位移、加速度等相關(guān)物理量,確定過程的初、末動(dòng)能.受力分析時(shí)要明確研究對(duì)象的受力情況,確定該力的做功大小.值得注意的是,當(dāng)涉及多個(gè)力做功時(shí),各個(gè)力對(duì)應(yīng)的位移大小可能不相同,要注意各力對(duì)應(yīng)的位移.最后,根據(jù)物理情境選擇子過程或者全過程,進(jìn)行動(dòng)能定理的應(yīng)用,列方程求解.

圖1

2 解題策略

應(yīng)用上述流程進(jìn)行解題要求學(xué)生從問題入手,要根據(jù)問題,明確研究對(duì)象和研究過程,明確物體的運(yùn)動(dòng)由哪些過程組成,然后分析研究過程中的受力情況和動(dòng)能的變化情況,最后通過動(dòng)能定理解決問題.下面通過幾道例題加以說明.

例1將一質(zhì)量為m的物塊放置在水平桌面上,已知其和桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ.在水平拉力F的作用下,物塊開始運(yùn)動(dòng),當(dāng)位移為s1時(shí),將拉力F撤去,則物體還能運(yùn)動(dòng)的距離為多少?

選取質(zhì)量為m的小物塊為研究對(duì)象.其由靜止開始,先做勻加速運(yùn)動(dòng),而后做勻減速運(yùn)動(dòng)至速度為零.設(shè)物塊加速的位移為s1,減速時(shí)的位移為s2.我們將子過程和全程分開研究,這樣對(duì)動(dòng)能定理的過程研究有一個(gè)更直觀的理解.

方法1將小物塊的運(yùn)動(dòng)分成勻加速和勻減速兩個(gè)階段進(jìn)行分析.

小物塊剛開始做勻加速運(yùn)動(dòng),其位移為s1.在該過程中,拉力F做正功,摩擦力Ff做負(fù)功,重力和彈力不做功.初始狀態(tài)的動(dòng)能Ek0＝0,末動(dòng)能Ek1＝.根據(jù)動(dòng)能定理有,滑動(dòng)摩擦力Ff＝μFN＝μmg.物體接下來做勻減速運(yùn)動(dòng),在該過程中,摩擦力Ff做負(fù)功,重力和彈力不做功.初始狀態(tài)的動(dòng)能,末動(dòng)能Ek2＝0.根據(jù)動(dòng)能定理有,聯(lián)立有Fs1－μmgs1－μmgs2＝0,解得.

方法2選取全程為研究過程直接應(yīng)用動(dòng)能定理.

在全過程中,拉力F做正功,摩擦力Ff做負(fù)功,重力和彈力不做功.初始狀態(tài)的Ek0＝0,末動(dòng)能Ek2＝0.根據(jù)動(dòng)能定理有Fs1－μmgs1－μmgs2＝0－0,求得

【小結(jié)】當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)過程包含幾個(gè)性質(zhì)不同的子過程時(shí),子過程或者全過程都可以應(yīng)用動(dòng)能定理,關(guān)鍵在于選擇合適的研究過程,起到簡(jiǎn)化問題的效果.過程的選取需要根據(jù)具體的物理情形進(jìn)行靈活判斷.當(dāng)不需要考慮物體的具體運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)時(shí),不涉及中間的速度時(shí),可以優(yōu)先考慮選擇全過程進(jìn)行分析.

例2如圖2 所示,ABCD是一豎直平面內(nèi)的軌道,其中BC段水平,A點(diǎn)距離BC的高度H＝10 m,D點(diǎn)距離BC的高度h＝10.3 m,BC段的長(zhǎng)度為l＝1 m,AB和CD均為光滑軌道.有一質(zhì)量為1 kg的物體,以v1＝4 m?s－1的初速度自A點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng),經(jīng)過BC后滑到D點(diǎn)時(shí)速度為零.(g取10 m?s－2)

圖2

(1)求物體和BC軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ;

(2)物體第5次經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度大小;

(3)物體最后停止的位置(距B點(diǎn)).

(1)選取物體從A點(diǎn)到D點(diǎn)的過程為研究過程,該過程重力和摩擦力做功,初動(dòng)能,末動(dòng)能Ek1＝0,由動(dòng)能定理可得

解得物體和BC軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.5.

(2)設(shè)當(dāng)物體第5次經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度為v2,選取物體從A點(diǎn)到第5次經(jīng)過B點(diǎn)為研究過程,在該過程中,物體在BC上滑動(dòng)了4次,根據(jù)動(dòng)能定理有

(3)設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的全過程在水平面上通過的路程為s,由動(dòng)能定理得mgH－μmgs＝,解得s＝21.6 m.所以物體在軌道上反復(fù)滑動(dòng)10 次之后,仍有1.6 m.因此物塊停止的位置距B點(diǎn)的距離s′＝2 m－1.6 m＝0.4 m.

【小結(jié)】在某些研究模型中,我們所研究的物體的運(yùn)動(dòng)具有重復(fù)性、往返性的特征,但是其對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)物理量多數(shù)情況下是不斷變化的.如果運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解,會(huì)導(dǎo)致整個(gè)求解過程十分煩瑣,甚至最后無法計(jì)算出結(jié)果.在此種情況下,動(dòng)能定理具有很大優(yōu)勢(shì),其只關(guān)心物體的初、末狀態(tài)而不計(jì)運(yùn)動(dòng)過程的細(xì)節(jié),所以用動(dòng)能定理分析這類問題更為便利.

例3如圖3所示,有一質(zhì)量m＝3 kg的小物塊(視為質(zhì)點(diǎn))以某速度從高臺(tái)邊的A點(diǎn)飛出,其下方放置一個(gè)半徑R＝0.5 m 固定的光滑圓弧軌道CDM,O為圓弧的圓心,D為圓弧的最低點(diǎn).圓弧軌道與一長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)的斜面MN于M點(diǎn)相切.已知C點(diǎn)和M點(diǎn)是同一水平高度,OC和CM的夾角為37°,MN和CM的夾角為53°,物塊和斜面MN間的動(dòng)摩擦因數(shù).當(dāng)小物塊飛出后,恰好能從軌道的左端C點(diǎn),沿著圓弧的切線方向進(jìn)入該軌道,此后沿著軌道繼續(xù)運(yùn)動(dòng).當(dāng)小物塊第一次到達(dá)圓弧軌道的D點(diǎn)時(shí),其對(duì)軌道的壓力大小為78 N.小物塊第一次通過C點(diǎn)后,立刻在C點(diǎn)裝一個(gè)與該點(diǎn)相切且和斜面MN關(guān)于OD對(duì)稱的固定光滑斜面(重力加速度g取10 m?s－2,sin 37°＝0.6,cos 37°＝0.8,不考慮小物塊運(yùn)動(dòng)過程中的轉(zhuǎn)動(dòng)).求:

圖3

(1)小物塊平拋運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)的速度大小;

(2)小物塊在斜面MN上滑行的總路程.

(1)研究對(duì)象為小物塊,研究過程為C點(diǎn)至D點(diǎn)的過程.在D點(diǎn)時(shí),軌道對(duì)小物塊的支持力和小物塊自身重力的合力提供了向心力,有FD－mg＝.從C點(diǎn)到D點(diǎn),由動(dòng)能定理有mgR(1－sin 37°)＝,解得vC＝2 m?s－1.

(2)小物塊最終的運(yùn)動(dòng)軌跡為在CM之間來回滑動(dòng),且到達(dá)M點(diǎn)時(shí)速度為零,選取D點(diǎn)到M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程,根據(jù)動(dòng)能定理得－mgR(1－sin 37°)－μmgcos 53°?s總＝,代入數(shù)據(jù)得s總＝1 m.

【小結(jié)】有些問題雖然是多過程問題,但在仔細(xì)分析后,只需要對(duì)其中某一個(gè)子過程運(yùn)用動(dòng)能定理即可,即將多過程問題簡(jiǎn)化為單一運(yùn)動(dòng)過程.

3 結(jié)語

多過程運(yùn)動(dòng)雖然有其自身的復(fù)雜性,但其分析重點(diǎn)仍是在研究對(duì)象受力的總功、初始動(dòng)能和末動(dòng)能上,和單一的運(yùn)動(dòng)過程并無差別,相比之下只是多出了研究過程的選取.在該類題中運(yùn)用系統(tǒng)化的思維分析,對(duì)其中涉及的問題逐個(gè)擊破,萬變不離其宗,就可以“撥開云霧見天日”.

(完)