一類SEIR-A與TCN混合傳染病模型的研究

李 季,喬 敏,鄒黎敏

重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶 400067

1 引 言

由于傳染病在全球不斷出現(xiàn),在研究傳染病機(jī)理的過(guò)程中,發(fā)現(xiàn)一類包含潛伏期的SEIR模型出現(xiàn)了局限性,如病毒在潛伏期間也可能存在傳染性,且患者在經(jīng)歷潛伏期之后可能被感染但未出現(xiàn)相關(guān)癥狀的隱性情況。針對(duì)這一類現(xiàn)象,需要建立更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)模型。李峰[1]、TANG Y L[2]、馬千里等[3]都針對(duì)隱性感染者構(gòu)建了不同的動(dòng)力學(xué)模型,來(lái)分析疾病的傳播機(jī)制。雖然這些含有隱性感染人群的模型符合傳染病的發(fā)展規(guī)律,但較為刻板,都不能準(zhǔn)確體現(xiàn)隱性感染者與顯性感染者之間的轉(zhuǎn)換。

此外,將傳統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與機(jī)器學(xué)習(xí)融合進(jìn)行建模的方法也被廣泛應(yīng)用。馮苗勝等[4]提出一種將統(tǒng)計(jì)學(xué)與動(dòng)力學(xué)融合的Logistic＿SEIR模型,解決了單一模型需多次調(diào)參的局限; Malavika等[5]使用Logistic增長(zhǎng)曲線模型、SIR模型對(duì)印度和部分高發(fā)州新患者進(jìn)行了預(yù)測(cè);張晴[6]采用得SIR模型、Logistic模型相結(jié)合的方式,對(duì)傳染病的傳播情況進(jìn)行研究和預(yù)測(cè);謝小良等[7]提出一種SEIR模型和ARIMA模型搭建的SEIR-ARIMA混合模型。上述學(xué)者都采用混合模型的形式來(lái)研究傳染病,這些方法在大數(shù)據(jù)時(shí)代下都可以取得較高的預(yù)測(cè)精度,但對(duì)傳播機(jī)理的解釋不夠完善。

基于上述,目前還沒(méi)有綜合考慮疾病潛伏期傳染性和隱性感染人群向顯性感染人群?jiǎn)蜗蛄鲃?dòng)的動(dòng)力學(xué)模型,因此,本文在基礎(chǔ)SEIR模型中假設(shè)潛伏期具有傳染性,同時(shí)引入隱性感染人群,增添隱性與顯性感染人群之間的轉(zhuǎn)換因子作為影響參數(shù),構(gòu)建一種含隱性感染人群的SEIR-A模型。此外,通過(guò)構(gòu)建SEIR-A與TCN的混合模型,有效減少不可控因素對(duì)疾病傳播的影響,彌補(bǔ)了原有數(shù)學(xué)模型的不足。

2 研究方法

首先,文章基于經(jīng)典的SEIR模型,將隱性感染人群加入傳統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型中,同時(shí)考慮潛伏期的傳染性,得到改進(jìn)的SEIR-A模型。接著,通過(guò)數(shù)據(jù)驗(yàn)證,使用粒子群算法分階段對(duì)此模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì),粗略得到傳染病發(fā)展的整體趨勢(shì)。觀察結(jié)果發(fā)現(xiàn):顯性感染人群的變化受較多外界因素影響,而微分方程無(wú)法進(jìn)行模型外生變量的自我調(diào)節(jié),導(dǎo)致動(dòng)力學(xué)模型無(wú)法達(dá)到理想的結(jié)果。在深度學(xué)習(xí)中,時(shí)序卷積網(wǎng)絡(luò)模型能夠減少其他因素對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響。因此,本文建立SEIR-A與TCN混合模型來(lái)實(shí)現(xiàn)每日顯性感染者人數(shù)的擬合,實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了該混合模型預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。

2.1 構(gòu)建SEIR-A模型

“倉(cāng)室”模型早在1927年被首次提出,之后一直廣泛應(yīng)用并得到發(fā)展完善。經(jīng)典傳染性模型有SI模型、SIR模型及SEIR模型等。本文研究的傳染病模型具有隱性感染者居多的特點(diǎn),且5類人群之間存在相應(yīng)的流動(dòng)與轉(zhuǎn)換,需要建立符合其發(fā)展規(guī)律的SEIR-A傳染病模型。該模型設(shè)置了5種不同的人群,它們分別為易感人群(S)、潛伏人群(E)、顯性感染人群(I)、隱性感染人群(A)以及恢復(fù)人群(R)這5個(gè)不同的倉(cāng)室,其中重新定義相關(guān)人群,詳細(xì)解釋如下。

(1) E:潛伏人群,表示已接觸過(guò)感染者,但尚未呈現(xiàn)出陽(yáng)性狀態(tài)的潛伏人群,同樣具有傳染性。

(2) A:隱性感染人群,表示尚未出現(xiàn)癥狀但已呈現(xiàn)出陽(yáng)性的感染人群,具有傳染性。

(3) R:恢復(fù)人群,表示通過(guò)治療或者自愈方式獲得健康的人群,該階段的人群具有免疫力且不再具有傳染性。

2.1.1 模型假設(shè)

通過(guò)分析病毒的傳播機(jī)制(明確易感者、傳染源和傳播途徑)和流行病學(xué)相關(guān)知識(shí),對(duì)疾病傳播過(guò)程作出必要假設(shè)。本文所建立模型基于如下假設(shè):

(1) 不考慮傳染期間人群的遷入和遷出、出生與死亡。

(2) 假設(shè)潛伏人群和隱性感染人群都具有傳染因子,且潛伏人群和顯性感染人群具有相同的傳染率。

(3) 假設(shè)隱性感染患者可以向顯性感染患者單向流動(dòng),且不可逆。

(4) 假設(shè)該類傳染病導(dǎo)致死亡的人數(shù)極少,可忽略死亡人群對(duì)疾病傳播的影響。

2.1.2 確定疾病發(fā)生率

已知流行病傳染的前提為感染病人與易感者之間發(fā)生有效接觸,這樣才會(huì)導(dǎo)致病毒的傳播。接觸率是指單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)感染者和易感者之間可能接觸的平均次數(shù)。由于接觸率的形式不同,發(fā)生率也會(huì)隨之改變,常見(jiàn)的形式有雙線性發(fā)生率、標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率及飽和發(fā)生率。

通過(guò)查閱文獻(xiàn)和分析傳染病的傳播機(jī)制,本文選擇標(biāo)準(zhǔn)形式的發(fā)生率來(lái)研究疾病的傳播機(jī)理,其公式如下:

(1)

式(1)中,β和N分別代表疾病傳染率和人口總數(shù)。

2.1.3 建立微分方程組

假設(shè)這一類傳染病的傳播具有單向不可逆的特點(diǎn),各類人群的數(shù)量隨時(shí)間而不斷變化,t時(shí)刻各人群的狀態(tài)可分別記作S(t)、E(t)、I(t)、A(t)和R(t),它們之間存在如下恒等關(guān)系:

S(t)+E(t)+I(t) +R(t) +A(t)=N

通過(guò)分析疫病傳播的現(xiàn)狀,可得SEIR-A模型的動(dòng)力學(xué)過(guò)程如圖1所示。

圖1 SEIR-A模型傳播過(guò)程圖Fig.1 Propagation process diagram of SEIR-A model

接著,根據(jù)疾病傳播規(guī)律和發(fā)生率的確定,可得到該模型的微分方程組為

其中,模型中的各參數(shù)的含義見(jiàn)表1所示。

表1 符號(hào)說(shuō)明Table 1 Description of symbols

綜上,本文提出改進(jìn)后的SEIR-A模型有如下特點(diǎn):

(1) 引入具有感染性的隱性感染人群。由于疫苗和易感者免疫力的提高,所以在疾病發(fā)展過(guò)程中出現(xiàn)了大量沒(méi)有感染癥狀的患者,并攜帶一定的傳染因子。

(2) 考慮顯性感染人群與隱性感染人群之間的轉(zhuǎn)換率ω。實(shí)際情況下,隱性感染者在醫(yī)學(xué)隔離期間有概率轉(zhuǎn)為顯性感染者,兩類人群之間存在單向流動(dòng)。

(3) 分別考慮潛伏人群向隱性感染人群和顯性感染人群的轉(zhuǎn)換比率q、1-q。

2.2 構(gòu)建時(shí)間卷積TCN模型

在深度學(xué)習(xí)中,TCN可以將一維卷積進(jìn)行變形,建立適用于時(shí)序的模型。TCN建模有兩個(gè)基本原則,一方面是該模型輸入序列的長(zhǎng)度決定輸出序列的長(zhǎng)度,兩者保持一致;另一方面指預(yù)測(cè)結(jié)果只與現(xiàn)在和過(guò)去有關(guān),與未來(lái)無(wú)關(guān)。為了實(shí)現(xiàn)第一點(diǎn),TCN模型在架構(gòu)時(shí)采用一維全卷積網(wǎng)絡(luò)FCN,這樣保證了每個(gè)隱藏層的長(zhǎng)度與輸入層長(zhǎng)度相同,再通過(guò)設(shè)置padding=0使后續(xù)層的長(zhǎng)度與之前層保持相同。為了實(shí)現(xiàn)第二點(diǎn),可在TCN模型中增添因果卷積來(lái)保證不能從未來(lái)泄露到過(guò)去的事實(shí),則模型可表示為

TCN=1D FCN+因果卷積

接著,為了解決對(duì)長(zhǎng)序列歷史信息的預(yù)測(cè)問(wèn)題,采用空洞卷積來(lái)實(shí)現(xiàn)呈指數(shù)級(jí)別增大的感受野。對(duì)于一維輸入序列X∈Rn和過(guò)濾器f:{0,…,k-1}→R,對(duì)序列元素s的空洞卷積運(yùn)算F可以定義為(d代表膨脹因子):

為進(jìn)一步解決由深度增長(zhǎng)而產(chǎn)生的退化問(wèn)題,提出殘差模塊概念。其中F的輸出被添加到該模塊的輸入Χ中(σ為激活函數(shù)):

ο=σ(X+F(X))

在殘差塊內(nèi),TCN 模型使用了整流線性單元 (ReLU),這樣不僅擴(kuò)張了因果卷積,而且存在非線性,并將權(quán)重歸一化應(yīng)用于卷積濾波器,實(shí)現(xiàn)歸一化過(guò)程。此外,在每個(gè)擴(kuò)張卷積之后添加了空間 Dropout,目的就是為了正則化:在每個(gè)訓(xùn)練步驟中,將整個(gè)通道歸零。

2.3 構(gòu)建SEIR-A和TCN混合模型

本文利用SEIR-A模型和TCN模型的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行建模,采用二元線性回歸方式進(jìn)行擬合,結(jié)合兩者特點(diǎn)組成一種混合模型。線性回歸模型主要研究自變量和因變量之間的關(guān)系。首先假設(shè)SEIR-A模型和TCN模型存在線性相關(guān)性,再通過(guò)擬合直線的方式找到兩者之間的內(nèi)部關(guān)系,使用該混合模型進(jìn)行預(yù)測(cè)的步驟如下:

(1) SEIR-A模型預(yù)測(cè)。根據(jù)官方數(shù)據(jù),利用SEIR-A模型分別對(duì)起始期、發(fā)展期及衰減期進(jìn)行多階段建模,在參數(shù)估計(jì)過(guò)程中,采用粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化,使其適應(yīng)度函數(shù)達(dá)到最小值,最終整理得到完整的預(yù)測(cè)結(jié)果X1。

(2) TCN模型預(yù)測(cè)。對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行滯后處理來(lái)構(gòu)建適合時(shí)序建模的數(shù)據(jù)集,通過(guò)調(diào)整不同滑動(dòng)窗口及設(shè)置重要參數(shù)的方法來(lái)訓(xùn)練模型,并在測(cè)試集上進(jìn)行誤差評(píng)估,根據(jù)不同預(yù)測(cè)效果選擇均方根誤差最小的TCN模型,其預(yù)測(cè)結(jié)果為X2。

(3) SEIR-A與TCN模型混合預(yù)測(cè)。在得到兩個(gè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果X1和X2之后,將其作為二元線性回歸模型的兩個(gè)自變量,也就是模型的輸入值,用真實(shí)數(shù)據(jù)作為輸出值來(lái)建立回歸模型,其方程可以表示為

(2)

2.4 模型評(píng)估指標(biāo)

本文使用到的模型評(píng)估指標(biāo)一共有4個(gè),它們分別是平均絕對(duì)誤差YMAE、均方根誤差YRMSE、決定系數(shù)R2和平均誤差YBias,將其作為度量該傳染病擬合效果的評(píng)估體系,可對(duì)不同模型進(jìn)行性能分析,其中定義YBias:

(3)

優(yōu)化思想是參數(shù)估計(jì)的中心部分。粒子群算法不僅是基于群體的全局隨機(jī)搜索算法,而且具有智能的特點(diǎn)。在該算法中,可以把每個(gè)優(yōu)化問(wèn)題的可能解看作搜索空間中的“粒子”,將每一個(gè)由優(yōu)化函數(shù)決定的適應(yīng)度值賦給所有的粒子們,同時(shí)每一個(gè)粒子都具有一個(gè)確定飛行方向和距離的速度。接著粒子們?cè)诮饪臻g進(jìn)行最優(yōu)化搜索,PSO算法具體步驟如下:

(1) 第一步設(shè)置粒子群規(guī)模、慣性因子、加速因子以及迭代次數(shù)。

(2) 第二步是隨機(jī)初始化步驟,這也是建模過(guò)程的前提基礎(chǔ)。一般的做法是初始化粒子的初速度向量,并且假設(shè)當(dāng)前位置就是個(gè)體的最優(yōu)位置,這樣減少了復(fù)雜度,為后面算法尋找最優(yōu)位置做鋪墊。

(3) 第三步更新每個(gè)粒子的速度(約束粒子速度); 更新每個(gè)粒子的位置;在k+1次迭代d維更新位置。

(4) 第四步是模型的中心部分,通過(guò)適應(yīng)度函數(shù)的計(jì)算結(jié)果來(lái)更新迭代,方法就是更新每個(gè)粒子的個(gè)體歷史最優(yōu)解,同時(shí)為避免陷入局部最優(yōu)化,應(yīng)該設(shè)置適當(dāng)?shù)牧Ｗ訑?shù)量來(lái)控制全局最優(yōu)化。

(5) 第五步,若滿足條件,則停止搜索并輸出結(jié)果;否則回到第三步。

3 模型的驗(yàn)證與評(píng)估

3.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

為了驗(yàn)證模型的合理性,本文確定研究對(duì)象為國(guó)內(nèi)一類含有大量隱性感染者的傳染病,且滿足模型假設(shè),數(shù)據(jù)范圍為2022-02-11—2022-06-10,相關(guān)數(shù)據(jù)來(lái)源于國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)官方網(wǎng)站。

3.2 基于粒子群算法驗(yàn)證SEIR-A模型

3.2.1 建立多階段傳染病模型

根據(jù)真實(shí)數(shù)據(jù),觀察該時(shí)間范圍內(nèi)傳染病發(fā)展現(xiàn)狀(圖2)。其中,現(xiàn)存隱性感染人群和累計(jì)恢復(fù)人群符合常規(guī)變化規(guī)律,而現(xiàn)存顯性感染人群的發(fā)展受外界因素影響較大,具有明顯的波動(dòng)(現(xiàn)存隱性感染人數(shù)=累計(jì)隱性感染人數(shù)-累計(jì)隱性感染者自愈人數(shù)-累計(jì)隱性轉(zhuǎn)顯性的感染人數(shù))。

圖2 傳染病發(fā)展趨勢(shì)圖Fig.2 Trend of infectious disease development

由圖2可以看出:該傳染病出現(xiàn)了大量隱性感染患者的現(xiàn)象,表明該疾病傳播機(jī)制符合本文建立的SEIR-A模型,可以進(jìn)一步用來(lái)驗(yàn)證該模型的合理性。由于隱性感染者沒(méi)有臨床表現(xiàn),導(dǎo)致在生活中無(wú)法及時(shí)發(fā)現(xiàn),但卻在疾病傳播過(guò)程中起到了關(guān)鍵作用,所以將隱性患者加入感染者中,可以使模型更好地符合實(shí)際疾病的發(fā)展。現(xiàn)將現(xiàn)存顯性感染人群和現(xiàn)存隱性感染人群結(jié)合為現(xiàn)有感染人群(現(xiàn)有感染人群=現(xiàn)存顯性感染人群+現(xiàn)存隱性感染人群),并以該人群為依據(jù)將傳染病分為3個(gè)階段:2月11日—3月2日(起始期)、3月3日—4月17日(發(fā)展期)、4月18日—6月10日(衰減期)。根據(jù)不同時(shí)期采取不同干預(yù)措施,引入不同的參數(shù),建立多階段傳染病模型(圖3)。

圖3 傳染病分段示意圖Fig.3 Schematic diagram of infectious diseases

3.2.2 Logistic模型估計(jì)易感人群

首先,確定SEIR-A模型中各類人群的初始值。一方面,每個(gè)感染者可以接觸到的人數(shù)是有限的,而且一旦被追蹤到就會(huì)被隔離或者治療,另一方面,易感者也會(huì)通過(guò)戴口罩等方式盡量避免與感染者接觸。將易感者初值設(shè)定為中國(guó)總?cè)丝谑遣缓侠淼?在本文中設(shè)定S(0)是未知量,需要對(duì)其進(jìn)行估計(jì)。而潛伏人群會(huì)根據(jù)易感人群的估計(jì)結(jié)果,通過(guò)解離散化微分方程組的方式獲得估計(jì)值。此外,顯性感染人群數(shù)目I(0)、隱性感染人群數(shù)目A(0)和累計(jì)恢復(fù)人群數(shù)目R(0)的初始值由官方數(shù)據(jù)獲得。

人口的增長(zhǎng)情況可以用經(jīng)典的Logistic模型來(lái)擬合,之前也有學(xué)者提出用該模型研究傳染病的增長(zhǎng)規(guī)律,如文獻(xiàn)[6]中采用該模型估計(jì)得到了易感人群的初始值。由此受到啟發(fā),決定采用累計(jì)感染人群的數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)易感人群,其累計(jì)感染人數(shù)滿足式(4):

(4)

假定易感者初始值與最大累計(jì)感染者在數(shù)值上差別不大,式(4)中:L0是累計(jì)感染人群的初始值;K的含義是環(huán)境容量,這里表示易感人群的初始值,表示傳染病模型中的最大累計(jì)感染人數(shù);r表示固定增長(zhǎng)率;t表示時(shí)間;L(t)的含義為隨時(shí)間發(fā)生變化的累計(jì)感染人數(shù)。擬合結(jié)果中決定系數(shù)大于0.95,模型合理。

由上述分析可得易感人群的初始值,則該階段模型中所有人群的初始值見(jiàn)表2,總?cè)丝跀?shù)N=793 060。

表2 起始期模型初始值Table 2 Initial values of initial model

顯然,易感人群和傳染病模型增長(zhǎng)趨勢(shì)呈相反趨勢(shì),因此,將Logistic擬合模型得到的數(shù)值通過(guò)降序變化作為易感人群的估計(jì)值。同理得到第二階段和第三階段的初始人群數(shù)量。

3.2.3 粒子群算法估計(jì)模型參數(shù)值

SEIR-A模型一共有8個(gè)參數(shù),其中某些具有現(xiàn)實(shí)意義的參數(shù)可以根據(jù)文獻(xiàn)資料獲得,如潛伏期的轉(zhuǎn)陽(yáng)率及易感人群的接觸率,分別設(shè)置為0.2和14.7;此外,還可以通過(guò)已獲得的真實(shí)數(shù)據(jù)計(jì)算得到相關(guān)參數(shù),后采用取平均值方法來(lái)確定該參數(shù),這些可計(jì)算的參數(shù)分別為γ0、γ1和ω。

在使用粒子群算法估計(jì)SEIR-A模型中的其他參數(shù)時(shí),粒子代表的就是其他剩余參數(shù),粒子的速度范圍就是各個(gè)參數(shù)的取值范圍,其中設(shè)置傳染率(β1和β2)的范圍為[0,0.5],其余參數(shù)在[0,1]中取值,其適應(yīng)度函數(shù)如下所示:

通過(guò)MATLAB軟件中的particleswarm()函數(shù)來(lái)求解該算法,函數(shù)采用的是自適應(yīng)的領(lǐng)域模式,搜索前期使用領(lǐng)域模式,如果適應(yīng)度開(kāi)始停滯時(shí),粒子群搜索會(huì)從領(lǐng)域模式向全局模式轉(zhuǎn)換。設(shè)置學(xué)習(xí)因子為1.49,修改粒子數(shù)量為200,其最大的迭代次數(shù)為200。通過(guò)不斷調(diào)試可以發(fā)現(xiàn):在確定數(shù)值的5個(gè)參數(shù)中,需要在γ0和γ1中選擇一個(gè)參數(shù)作為已知參數(shù),另一個(gè)參數(shù)作為未知數(shù),通過(guò)求解粒子群算法來(lái)獲得。

結(jié)果顯示:第一階段選擇γ0作為已知參數(shù),γ1作為未知參數(shù)來(lái)進(jìn)行模型的擬合,模型效果如圖4所示。

圖4 SEIR-A模型第一階段擬合Fig.4 First stage fitting of SEIR-A model

接著,第二、三階段中選擇γ1作為已知參數(shù),γ0作為未知參數(shù)來(lái)進(jìn)行模型的擬合,模型效果如圖5所示。

(a) 第二階段

(b) 第三階段圖5 SEIR-A模型第二、三階段擬合Fig.5 Second and third stage fitting of SEIR-A model

經(jīng)過(guò)不斷修改調(diào)整,得到上述的擬合效果,結(jié)果表明該模型具有可行性,可以較好地預(yù)測(cè)該傳染病發(fā)展的大致趨勢(shì)。最終確定SEIR-A模型的參數(shù)見(jiàn)表3。

表3 多階段SEIR-A模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果Table 3 Parameter estimation results of multi-stage SEIR-A model

3.2.4 SEIR-A模型的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證模型,分別整理了3個(gè)階段的SEIR-A模型對(duì)現(xiàn)存顯性感染人群、現(xiàn)存隱性感染人群以及累計(jì)恢復(fù)人群的預(yù)測(cè)結(jié)果,并通過(guò)評(píng)估指標(biāo)來(lái)描述其合理性。其中隱性感染人群和累計(jì)恢復(fù)人群的擬合結(jié)果見(jiàn)表4和圖6所示,模型預(yù)測(cè)數(shù)值與真實(shí)數(shù)據(jù)相差不大,總體預(yù)測(cè)效果比較好,決定系數(shù)都大于0.95,說(shuō)明參數(shù)估計(jì)結(jié)果較為準(zhǔn)確,反映了SEIR-A模型能夠科學(xué)地模擬傳染病的發(fā)展規(guī)律。

表4 A(t)和R(t)預(yù)測(cè)結(jié)果評(píng)估Table 4 Evaluation of A (t) and R (t) forecast results

(a) 現(xiàn)存隱性感染人群

(b) 累計(jì)恢復(fù)人群圖6 SEIR-A模型對(duì)現(xiàn)存隱性感染人群和累計(jì)恢復(fù)人群的擬合Fig.6 The fitting of SEIR-A model to recessive infection population and cumulative recovery population

但是,由于現(xiàn)存顯性感染人群I(t)的增減受不可控因素的影響較大,所以傳統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)該人群的動(dòng)態(tài)變化(圖7),導(dǎo)致偏差達(dá)到Y(jié)Bias= 0.501 5,需要進(jìn)一步研究分析。

圖7 SEIR-A模型對(duì)現(xiàn)存顯性感染人群的擬合Fig.7 Fitting of SEIR-A model to existing dominant infection population

3.3 時(shí)間卷積TCN模型的驗(yàn)證

顯然,SEIR-A模型能夠刻畫出傳染病的總體變化趨勢(shì),保證了模型的正確性。但由于不可控因素的影響使預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際情況存在一定的誤差,結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí),嘗試建立關(guān)于時(shí)間序列的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型TCN來(lái)預(yù)測(cè)現(xiàn)存顯性感染人群的變化,并利用Python軟件得到對(duì)每日現(xiàn)存顯性感染人數(shù)的預(yù)測(cè)結(jié)果。

在建模過(guò)程中,TCN模型把每日現(xiàn)存的顯性感染人數(shù)作為非線性時(shí)間序列,預(yù)測(cè)過(guò)程可以看作是從輸入病例空間到輸出病例空間的非線性映射,再通過(guò)設(shè)置合適的滑動(dòng)窗口,將每日現(xiàn)存顯性感染人數(shù)時(shí)間序列分成輸入序列和輸出序列,然后使用TCN網(wǎng)絡(luò)挖掘?qū)W習(xí)輸入序列前后之間的相關(guān)性,通過(guò)全連接網(wǎng)絡(luò)變換殘差塊輸出序列維度,使其與輸出序列維度相同,接著求預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的均方根誤差,并利用反向傳播原理不斷更新梯度,最終得到具有預(yù)測(cè)現(xiàn)存顯性感染人群能力的TCN模型。

3.3.1 數(shù)據(jù)歸一化

3.3.2 構(gòu)建數(shù)據(jù)集

對(duì)于單維時(shí)序預(yù)測(cè),需要采用滯后處理的方法來(lái)修改維度,從而構(gòu)造出適合TCN模型的數(shù)據(jù)集。設(shè)T天的每日現(xiàn)存顯性感染人數(shù)為X=(x1,x2,…,xT-1,xT),T就是統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的天數(shù),假設(shè)使用前T-1天的每日現(xiàn)存顯性感染人群預(yù)測(cè)第T天的顯性感染人數(shù),則可以通過(guò)設(shè)置適合的滯后天數(shù)來(lái)對(duì)T天的每日顯性感染人數(shù)進(jìn)行劃分,將其擴(kuò)展成為標(biāo)準(zhǔn)的矩陣形式。假設(shè)x1—xM作為第1個(gè)樣本,(x1,x2,…,xM-1)為輸入數(shù)據(jù),xM為預(yù)測(cè)第M天的顯性感染人數(shù),以此類推,x2—xM+1作為第2個(gè)樣本,X=(x2,x3,…,xM-1,xM)為輸入的顯性感染病例數(shù),xM+1為預(yù)測(cè)值,這樣就可以得到以下樣本矩陣:

在矩陣A中,每一行代表的是一個(gè)樣本,最后一列代表的是顯性感染人群的待預(yù)測(cè)值。本文設(shè)置訓(xùn)練集的占比為0.8,將該矩陣前91個(gè)樣本作為訓(xùn)練集輸入到TCN模型中進(jìn)行參數(shù)訓(xùn)練,剩余23個(gè)樣本作為測(cè)試集做預(yù)測(cè)結(jié)果的分析驗(yàn)證。

3.3.3 用現(xiàn)存顯性感染人群驗(yàn)證TCN模型

TCN模型中輸入序列的維數(shù)也是滯后處理的天數(shù)M,該參數(shù)為待調(diào)節(jié)參數(shù);本文TCN模型采用一維因果卷積,設(shè)置padding方式是‘causal’; Adam優(yōu)化器的選擇可以更新步長(zhǎng),它綜合考慮了梯度的一階矩估計(jì)和二階矩估計(jì),提高了計(jì)算效率且占用內(nèi)存較少;最后,為了減少計(jì)算量并且避免梯度消失,在殘差板塊使用activation=‘relu’作為激活函數(shù),其表達(dá)形式為

f(x)=max(0,x)

此外,所含殘差模塊層數(shù)、卷積核的個(gè)數(shù)和維度,以及其他的一些參數(shù)都會(huì)影響TCN模型的訓(xùn)練效率和擬合精度,需要通過(guò)不斷地調(diào)試使模型達(dá)到最佳預(yù)測(cè)性能。假設(shè)M的取值可能為2、6、10、14,觀察圖8中YRMSE的變化,由此圖可以看出:當(dāng)M=6時(shí)得到最小的誤差,則確定該模型的輸入序列維度。其他重要參數(shù)的設(shè)置見(jiàn)表5所示。

圖8 不同滯后天數(shù)下的RMSE數(shù)值Fig.8 RMSE values under different lag days

表5 TCN模型中幾個(gè)重要的參數(shù)值Table 5 Several important parameter values in TCN model

根據(jù)上述參數(shù)建立TCN模型,預(yù)測(cè)每日現(xiàn)存顯性感染者人數(shù),擬合效果如圖9所示。R2=0.900 5,說(shuō)明TCN模型可以用來(lái)預(yù)測(cè)該傳染病中的現(xiàn)存顯性感染人群。

圖9 TCN模型擬合現(xiàn)存顯性感染人群I(t)Fig.9 TCN model fitting existing confirmed population I (t)

3.4 SEIR-A與TCN混合模型的驗(yàn)證

在TCN模型中確定的滯后天數(shù)為6,所以在構(gòu)建混合模型時(shí)選擇數(shù)據(jù)的起始時(shí)間為2022年2月17日。分別整理兩個(gè)獨(dú)立模型的預(yù)測(cè)結(jié)果作為輸入值,每日現(xiàn)存顯性感染人群的數(shù)據(jù)為目標(biāo)值,利用Python軟件實(shí)現(xiàn)線性回歸過(guò)程,結(jié)果如表6所示。其P值都小于0.05,則實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

表6 線性回歸模型結(jié)果Table 6 Results of linear regression model

最后,選擇近年來(lái)被廣泛應(yīng)用于時(shí)間序列預(yù)測(cè)領(lǐng)域的LSTM模型作為對(duì)比基準(zhǔn),并建立 SEIR-A與LSTM的混合模型。觀察圖10中5個(gè)模型預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間的擬合圖像,發(fā)現(xiàn)本文提出的SEIR-A與TCN混合模型更加貼合現(xiàn)存顯性感染人群的變化趨勢(shì)。

在數(shù)據(jù)上,分別計(jì)算出5種模型預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間的YMAE、YRMSE、R2和YBias,發(fā)現(xiàn)SEIR-A與TCN的混合模型和SEIR-A與LSTM的混合模型相差不大,前者結(jié)果略優(yōu)于后者,決定系數(shù)達(dá)到0.9611,且YMAE、YRMSE、YBias分別為1 628、2 144、0.289 1,都是該對(duì)比情況下的最小值。

表7 顯性感染人群I(t)擬合結(jié)果對(duì)比Table 7 Comparison of I(t) fitting results in dominant infected population

綜上所有對(duì)比實(shí)驗(yàn)可以得出:SEIR-A與TCN混合模型對(duì)現(xiàn)存顯性感染人群的擬合效果相比于SEIR-A模型、TCN模型、LSTM模型、SEIR-A與LSTM混合模型來(lái)說(shuō),其擬合效果更為精確,說(shuō)明該混合模型具有很強(qiáng)的數(shù)據(jù)擬合能力和時(shí)序建模能力。

4 結(jié)論與展望

4.1 結(jié) 論

本文以傳統(tǒng)動(dòng)力學(xué)SEIR 模型為基礎(chǔ),在原有疾病傳播過(guò)程中加入具有傳染性的潛伏者和隱形傳播者,用于表述一類含感染可能性較大的傳染病。利用數(shù)據(jù)進(jìn)行完整時(shí)間段的擬合,得到如下結(jié)論:

(1) 引入具有不同感染因子的潛伏者和隱性傳播者使動(dòng)力學(xué)模型得到完善,利用現(xiàn)存隱性感染人群數(shù)量和累計(jì)恢復(fù)人群數(shù)量驗(yàn)證改進(jìn)后的SEIR-A模型,證明該模型合理。

(2) 引入時(shí)間卷積網(wǎng)絡(luò)TCN模型提高現(xiàn)存顯性感染人群的擬合精度,并利用線性回歸結(jié)合改進(jìn)后的SEIR-A模型得到混合模型,發(fā)現(xiàn)該模型在擬合結(jié)果上取得最優(yōu)。

(3) 經(jīng)典動(dòng)力學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)模型的巧妙結(jié)合,表明本文提出的SEIR-A與TCN混合模型不僅體現(xiàn)出了疾病感染的傳播機(jī)理,而且提高了原有模型的擬合精度。

4.2 展 望

為了對(duì)傳染病傳播進(jìn)行準(zhǔn)確地時(shí)序建模,本文提出了一種基于SEIR-A與TCN混合模型擬合的方法,并利用一類含隱性感染人群傳染病的真實(shí)情況,驗(yàn)證了該模型的合理性。其SEIR-A模型是由經(jīng)典動(dòng)力學(xué)模型SEIR改進(jìn)而來(lái),在傳統(tǒng)定義的基礎(chǔ)之上引入了隱性感染人群,并理性增添了相關(guān)因子的影響,模型驗(yàn)證過(guò)程中采用多階段擬合的方式,得到了3個(gè)階段不同的參數(shù)值,這樣能有效減少整體預(yù)測(cè)所產(chǎn)生的誤差。結(jié)果表明:該模型只適用于對(duì)現(xiàn)存隱性感染人群和累計(jì)恢復(fù)人群進(jìn)行估計(jì),對(duì)現(xiàn)存顯性感染人群的擬合有所欠缺。所以,采用時(shí)間卷積網(wǎng)絡(luò)的方式建立TCN模型,通過(guò)不斷調(diào)試參數(shù),實(shí)現(xiàn)了對(duì)顯性感染人群更高精度的預(yù)測(cè)。最后,將數(shù)學(xué)模型與深度學(xué)習(xí)利用線性關(guān)系結(jié)合起來(lái),通過(guò)對(duì)比可知:該混合模型能夠更為準(zhǔn)確地分析復(fù)雜狀態(tài)下現(xiàn)存顯性感染人群的變化趨勢(shì),進(jìn)一步驗(yàn)證了模型的有效性以及對(duì)復(fù)雜真實(shí)情況的適應(yīng)性。

但是,本文尚未考慮隔離人群對(duì)傳染病的影響,后續(xù)可以在此基礎(chǔ)上完善SEIR-A模型,得到更加貼合現(xiàn)實(shí)情況的動(dòng)力學(xué)模型。