混合策略改進(jìn)型禿鷹搜索算法

曹 慧,秦江濤

上海理工大學(xué) 管理學(xué)院,上海 200093

1 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步,需要解決的優(yōu)化問(wèn)題越來(lái)越多,如函數(shù)極值、聚類(lèi)問(wèn)題等,大多都具有復(fù)雜、多維、非線性等特點(diǎn),用常規(guī)的數(shù)學(xué)方法難以解決。因此一些學(xué)者根據(jù)大自然中種群活動(dòng)或自然規(guī)律的啟發(fā)提出多種元啟發(fā)式優(yōu)化算法[1],這類(lèi)算法通過(guò)模擬生物行為或物理現(xiàn)象,建立不同的數(shù)學(xué)模型以解決優(yōu)化問(wèn)題。常見(jiàn)的元啟發(fā)式算法有粒子群優(yōu)化算法(PSO)[2],遺傳算法(GA)[3],灰狼優(yōu)化算法(GWO)[4],鯨魚(yú)優(yōu)化算法(WOA)[5],蟻獅優(yōu)化算法(ALO)[6],麻雀搜索算法(SSA)[7]等。這些元啟發(fā)式算法具備方法簡(jiǎn)便,參數(shù)少,易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)勢(shì),可以解決不同類(lèi)型的優(yōu)化問(wèn)題,目前多被用于特征選擇、路徑規(guī)劃等相關(guān)領(lǐng)域[8-12]。此外,一些學(xué)者對(duì)這類(lèi)算法也進(jìn)行了相應(yīng)的改進(jìn),以進(jìn)一步增強(qiáng)算法的性能。但按照NFL(No Free Lunch)[13]理論,不存在一種可以獨(dú)立處理全部?jī)?yōu)化問(wèn)題的元啟發(fā)式算法,因此應(yīng)不斷探索新算法并對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn)。

禿鷹搜索算法(Bald Eagle Search,BES)在2020年由Alsattar等[14]受禿鷹的搜索和狩獵行為的啟發(fā)而提出的元啟發(fā)式算法。目前,國(guó)內(nèi)外一些學(xué)者已將禿鷹搜索算法應(yīng)用于實(shí)際工程問(wèn)題的優(yōu)化,如文獻(xiàn)[15]將BES用于支持向量機(jī)(SVM),構(gòu)建了BES-SVM預(yù)測(cè)模型,BES算法可以對(duì)SVM算法進(jìn)行有效的優(yōu)化,提高了SVM的預(yù)測(cè)精度。文獻(xiàn)[16]將其應(yīng)用于光伏參數(shù)估計(jì),結(jié)果證明所使用的BES算法能夠獲得更好的光伏參數(shù)結(jié)果,但學(xué)者忽略了BES算法本身所存在的易陷入局部最優(yōu)等問(wèn)題。文獻(xiàn)[17]將其用來(lái)解決水下無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)(UWSN)的高能耗等問(wèn)題,根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果,BES算法在UWSN中表現(xiàn)的性能具有極大的優(yōu)越性。大部分文獻(xiàn)將BES算法用于實(shí)際問(wèn)題的優(yōu)化中,并取得了較好的結(jié)果,但是并未考慮BES算法本身所存在的問(wèn)題。而B(niǎo)ES作為新型元啟發(fā)式算法,類(lèi)似于其他傳統(tǒng)算法,具有收斂速度慢,尋優(yōu)精度不高等問(wèn)題,因此文獻(xiàn)[18]提出了基于萊維飛行和模擬退火策略的禿鷹搜索算法(IBES),使用萊維飛行擴(kuò)大群體的搜索范圍,模擬退火策略增強(qiáng)原算法在局部鄰域內(nèi)求解精度,算法的性能得到一定程度的改善,但該算法側(cè)重于跳出局部最優(yōu)解,收斂速度和精度還有一定的提高空間。

上述改進(jìn)策略側(cè)重于算法跳出局部最優(yōu),在提升算法局部搜索上具有一定的改善,但是對(duì)于算法的收斂速度以及平衡局部和全局搜索方面還具有很大的改進(jìn)空間。為了彌補(bǔ)這些不足,本文將提出一種混合策略改進(jìn)型禿鷹搜索算法(HSIBES),此算法利用Logistic映射策略初始化種群,使其分布更加均勻,有助于算法在全局范圍內(nèi)搜索?？紤]萊維飛行具有長(zhǎng)短步長(zhǎng)交替搜索的特點(diǎn),使用萊維飛行進(jìn)行搜索空間中步長(zhǎng)的控制,擴(kuò)大搜尋區(qū)域,提高算法跳出局部極值點(diǎn)的能力。最后使用自適應(yīng)慣性權(quán)重,協(xié)調(diào)禿鷹搜索算法在局部以及全局范圍內(nèi)的尋優(yōu)能力,提高算法尋優(yōu)的精度和速度。將HSIBES算法在9個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),并且進(jìn)行Wilcoxon秩和檢驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明本文提出的HSIBES算法具有更快的收斂速度和更高的收斂精度,可以更好地平衡全局和局部搜索能力。

2 禿鷹搜索算法

禿鷹種群主要分布于北美地區(qū), 它們具有視力敏銳,觀察能力優(yōu)秀的特點(diǎn)。在進(jìn)行捕食食物時(shí),禿鷹種群會(huì)先根據(jù)食物的濃度來(lái)確定搜尋空間,之后飛向所確定的區(qū)域;接著在所選擇的搜尋空間中搜尋食物;最終禿鷹根據(jù)食物所在的位置,慢慢改變飛行高度,加速向下飛行,直至成功獲取獵物。

Alsattar 等根據(jù)禿鷹捕獲食物的活動(dòng)建立了禿鷹搜索算法(BES)數(shù)學(xué)模型,算法可以總結(jié)為3個(gè)階段,分別是選取搜尋空間、搜尋空間食物以及俯沖捕獲食物。

2.1 選取搜尋空間

禿鷹選取搜尋區(qū)域,根據(jù)區(qū)域內(nèi)食物的數(shù)量選擇最優(yōu)搜索位置,易于搜尋食物,該行為用數(shù)學(xué)模型表示如下:

Pi,new=Pbest+α×r×(Pmean-Pi)

(1)

式(1)中:α是控制禿鷹位置改變的因子,取值在1.5和2之間;r是0和1之間的隨機(jī)數(shù);Pi,new為禿鷹的更新位置;Pbest是禿鷹種群搜尋選擇的最優(yōu)位置;Pmean是當(dāng)前種群的平均位置;Pi表示種群中第i只個(gè)體的位置。

2.2 搜尋空間食物(探索)

在此搜索階段,禿鷹種群在確定的搜尋空間中搜尋食物,并在空間中以螺旋狀飛行,加速對(duì)獵物的追捕,尋求最優(yōu)向下飛行捕獲食物的位置。禿鷹種群以螺旋狀搜尋食物的飛行軌跡可用以下數(shù)學(xué)模型進(jìn)行表示:

θ(i)=a×π×rand()

(2)

r(i)=θ(i)+R×rand()

(3)

xr(i)=r(i)×sin(θ(i))

(4)

yr(i)=r(i)×cos(θ(i))

(5)

x(i)=xr(i)/max(|xr|)

(6)

y(i)=yr(i)/max(|yr|)

(7)

其中:θ(i)表示螺旋方程的極角,r(i)表示螺旋方程的極徑;a表示控制螺旋軌跡的因子介于5至10之間,R用來(lái)確定搜索周期數(shù),取值在0.5至2之間,x(i)與y(i)為極坐標(biāo)方程中個(gè)體所處的位置,取值范圍均在-1到1之間。禿鷹位置更新如下:

Pi,new=Pi+x(i)×(Pi-Pmean)+y(i)×(Pi-Pi+1)

(8)

2.3 俯沖捕獲獵物

禿鷹從所選擇的搜尋區(qū)域的最優(yōu)位置加速飛向目標(biāo)食物,所有個(gè)體也會(huì)飛向最優(yōu)位置去捕獲食物,飛行軌跡仍然使用極坐標(biāo)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行描述,公式如下:

θ(i)=a×π×rand()

(9)

r(i)=θ(i)

(10)

xr(i)=r(i)×sinh(θ(i))

(11)

yr(i)=r(i)×cosh(θ(i))

(12)

x1(i)=xr(i)/max(|xr|)

(13)

y1(i)=yr(i)/max(|yr|)

(14)

加速飛向目標(biāo)過(guò)程中禿鷹的位置更新公式為

(15)

Pi,new=rand×Pbest+δx+δy

(16)

其中:c1和c2分別表示禿鷹向最佳位置與中心位置的運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度,取值區(qū)間均為[1,2]。

3 混合策略改進(jìn)型禿鷹搜索算法

標(biāo)準(zhǔn)的禿鷹搜索算法與其他標(biāo)準(zhǔn)元啟發(fā)算法相比有良好的收斂速度和收斂精度,但與其余基準(zhǔn)元啟發(fā)式算法相同也存在尋優(yōu)精度低,易陷入局部最優(yōu)的缺陷,為了提升收斂速度和精度,提出了一種混合策略改進(jìn)型禿鷹搜索算法,并設(shè)計(jì)了3種改進(jìn)策略,分別是:Logistic混沌映射,進(jìn)行種群初始化,增加種群多樣性;萊維飛行,控制步長(zhǎng),擴(kuò)大搜索范圍,跳出局部最優(yōu)解;自適應(yīng)慣性權(quán)重,改善群體之間的信息交流,平衡局部和全局搜索能力。

3.1 Logistic混沌映射

禿鷹搜索算法采用隨機(jī)法初始化種群,使得禿鷹個(gè)體在搜索空間內(nèi)分布不均勻,從而導(dǎo)致算法在解空間的遍歷性低,降低收斂速度和求解精度。將Logistic混沌映射[19]引入BES算法,增加種群的多樣性,提高算法的收斂速度并提升算法在全局范圍內(nèi)的尋優(yōu)能力,其數(shù)學(xué)模型如下所示:

yt+1=μyt(1-yt)

(17)

式(17)中,yt表示第t次迭代產(chǎn)生的混沌變量,取值范圍為[0,1],μ為控制參數(shù),取值范圍為[0,4]。當(dāng)μ的取值為4時(shí),變量會(huì)遍歷整個(gè)搜索空間。

將獲得的混沌序列yt通過(guò)下式逆映射到搜尋空間中,得到初始化種群Pt:

Pt=Lt+(Ut-Lt)yt

(18)

其中,Ut和Lt分別為搜索空間的上界和下界。

3.2 萊維飛行

萊維飛行[20]是一個(gè)隨機(jī)漫步的過(guò)程,由法國(guó)數(shù)學(xué)家萊維提出,萊維飛行大步長(zhǎng)與小步長(zhǎng)隨機(jī)交替,可有效跳出局部最優(yōu)。由于禿鷹搜索算法在選擇搜索空間階段的搜索步長(zhǎng)是一個(gè)定值,容易陷入局部最優(yōu)。而引入萊維飛行能夠控制步長(zhǎng),擴(kuò)大搜索范圍,使算法有機(jī)會(huì)跳出局部最優(yōu)解。根據(jù)萊維飛行,改進(jìn)后的選擇搜索空間階段位置更新函數(shù)如下:

Pi,new=Pbest+α*r(Pmean-Pi)×Levy

(19)

Levy符合萊維分布,滿足Levy(λ)～u=t-λ(1<λ≤3)。由于萊維飛行的復(fù)雜性,通常使用Mantegna算法對(duì)其進(jìn)行模擬[21],步長(zhǎng)S的計(jì)算式為

(20)

式(20)中,u、v均遵循正態(tài)分布:

(21)

(22)

其中,τ為Gamma函數(shù),參數(shù)β=1.5。

3.3 自適應(yīng)慣性權(quán)重

在搜尋空間食物中只依照當(dāng)前禿鷹種群的信息來(lái)更新所處位置,而未考慮其余迭代中出現(xiàn)的位置信息,會(huì)導(dǎo)致在搜索更新位置中,位置更新不準(zhǔn)確,并在一定程度上限制了算法的搜索效率。因此,將引入自適應(yīng)慣性權(quán)重,在權(quán)重值較大的情況下,算法的在全局范圍內(nèi)的搜尋能力比較強(qiáng),在權(quán)值較小的情況下,算法后期在局部范圍內(nèi)的尋優(yōu)能力較強(qiáng)。因此,加入自適應(yīng)慣性權(quán)重,可以有效改善群體之間的信息交流,平衡局部和全局搜索能力,提高算法尋優(yōu)的精度和速度[22]。

自適應(yīng)權(quán)重公式如式(23)所示:

ω=sin((π×p)/(2×M)+π)+1

(23)

其中,p為當(dāng)前迭代次數(shù),M為最大迭代次數(shù)。

將式(23)代入式(8),得到改進(jìn)的禿鷹位置更新函數(shù):

Pi,new=Pi+ω×x(i)×(Pi-Pmean)+ω×y(i)×(Pi-Pi+1)

(24)

3.4 算法流程

step1：初始化禿鷹算法種群規(guī)模,空間維度等參數(shù),使用Logistic混沌映射進(jìn)行禿鷹種群初始化;

step2：計(jì)算適應(yīng)度值,獲得最優(yōu)個(gè)體;

step3：禿鷹選擇搜索空間,利用式(19)更新位置;

step4：禿鷹在搜索空間搜索獵物,利用式(24)更新位置;

step5：禿鷹俯沖利用式(16),更新位置;

step6：當(dāng)符合結(jié)束條件時(shí),輸出最優(yōu)結(jié)果,否則繼續(xù)進(jìn)行從step2到step6的流程。

3.5 時(shí)間復(fù)雜度分析

假設(shè)種群規(guī)模為N,空間維度為D,則BES算法參數(shù)初始化的時(shí)間復(fù)雜度為O(1),計(jì)算函數(shù)適應(yīng)度為O(N),迭代過(guò)程中種群復(fù)雜為O(ND),BES算法總的時(shí)間復(fù)雜度為

O(1)+O(N)+O(ND)=O(ND)

(25)

在HSIBES算法中,隨機(jī)初始化替換為L(zhǎng)ogistic混沌初始化時(shí)間復(fù)雜度為O(ND),計(jì)算適應(yīng)度為O(N),引入萊維飛行和自適應(yīng)慣性權(quán)重進(jìn)行位置更新所對(duì)應(yīng)的時(shí)間復(fù)雜度均為O(ND),則HSIBES算法總的時(shí)間復(fù)雜度為

O(ND)+O(N)+O(ND)+O(ND)=O(ND)

(26)

基于上述分析,HSIBES算法和BES算法相比,時(shí)間復(fù)雜度并未增加。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果均在Intel(R) Core(TM) i7-10750H CPU @ 2.60GHz,64位Windows10操作系統(tǒng)和MATLAB R2018b上實(shí)現(xiàn)。

為了驗(yàn)證混合策略改進(jìn)型禿鷹搜索算法的有效性,將從以下幾個(gè)部分進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證:

(1) 將HSIBES與基本禿鷹搜索算法(BES)[14]、粒子群優(yōu)化算法(PSO)[2]、鯨魚(yú)優(yōu)化算法(WOA)[5]、蟻獅算法(ALO)[6]、灰狼優(yōu)化算法(GWO)[4]這5個(gè)基本元啟發(fā)式算法進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證混合策略改進(jìn)型禿鷹搜索算法的尋優(yōu)能力和魯棒性。

(2) 將HSIBES與文獻(xiàn)[18]中改進(jìn)的禿鷹搜索算法進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證本文改進(jìn)算法具有一定的競(jìng)爭(zhēng)力。

(3) 通過(guò)Wilcoxon秩和檢驗(yàn)進(jìn)行差異性檢驗(yàn),驗(yàn)證HSIBES算法與其他對(duì)比算法的差異性。

為了檢驗(yàn)提出的改進(jìn)的禿鷹搜索算法的魯棒性以及有效性,從文獻(xiàn)[23]中選擇了9個(gè)具備不同特征的基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試,具體函數(shù)表達(dá)式如表1所示。這9個(gè)用于實(shí)驗(yàn)的測(cè)試函數(shù)主要分為單峰函數(shù)以及多峰函數(shù),其中f1(x)—f6(x)是單峰函數(shù),f7(x)—f9(x)是多峰函數(shù),算法的局部搜索能力與收斂速度可用f1(x)-f6(x)測(cè)試,算法在全局范圍內(nèi)的尋優(yōu)能力以及跳出局部極值點(diǎn)的能力可用f7(x)—f9(x)測(cè)試。

表1 基本測(cè)試函數(shù)Table 1 Basic test functions

4.1 與其他基準(zhǔn)算法進(jìn)行對(duì)比

將提出的HSIBES算法與BES[14]、PSO[2]、WOA[5]、ALO[6]、GWO[4]算法在9個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn),為保證實(shí)驗(yàn)的公平性,種群規(guī)模均設(shè)為30,最大迭代次數(shù)為500,維度設(shè)為30維,各個(gè)算法其他參數(shù)設(shè)置與相應(yīng)參考文獻(xiàn)一致,實(shí)驗(yàn)將記錄每種算法在測(cè)試函數(shù)上獨(dú)立運(yùn)行30次的平均值、方差和平均耗時(shí)以便進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果如表2所示。

表2 函數(shù)測(cè)試實(shí)驗(yàn)結(jié)果Table 2 Results of function test experiment

從均值來(lái)看,提出的HSIBES算法在測(cè)試函數(shù)f7(x)和f9(x)的均值達(dá)到了理論最優(yōu)值,說(shuō)明30次獨(dú)立運(yùn)行中得到的結(jié)果精度較高,穩(wěn)定性較好。HSIBES算法在測(cè)試函數(shù)f5(x)的均值結(jié)果不是算法結(jié)果里最優(yōu)的,劣于其他算法,但是差異不是非常顯著,求解精度在1個(gè)數(shù)量級(jí)以?xún)?nèi),在可以接受的范圍內(nèi)。在測(cè)試函數(shù)f1(x)—f4(x),f6(x),f8(x)上HSIBES算法明顯優(yōu)于其他對(duì)比算法,尤其在函數(shù)f1(x)、f3(x)和f4(x)上,HSIBES算法相較于BES、GWO、ALO、PSO、WOA均提升了100～200個(gè)數(shù)量級(jí)左右。在f2(x)、f6(x)和f8(x)函數(shù)上也提升了多個(gè)數(shù)量級(jí),說(shuō)明混合策略改進(jìn)型禿鷹搜索算法求解精度較好。從標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)看HSIBES算法測(cè)試函數(shù)上的標(biāo)準(zhǔn)差均是所有結(jié)果里最優(yōu)的,說(shuō)明提出的算法的魯棒性較好。從平均耗時(shí)來(lái)看,PSO算法整體耗時(shí)最短,HSIBES算法相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)BES的平均耗時(shí)要小,說(shuō)明引進(jìn)的改進(jìn)策略并未降低原算法的執(zhí)行效率。經(jīng)過(guò)上述分析,HSIBES算法在平均值標(biāo)準(zhǔn)差以及耗時(shí)方面整體來(lái)說(shuō)要優(yōu)于對(duì)比算法,具有較好的收斂速度和收斂精度,穩(wěn)定性也較好。

4.2 與其他改進(jìn)算法的對(duì)比

為了突出提出的混合策略改進(jìn)型禿鷹搜索算法相比于其他學(xué)者改進(jìn)的禿鷹搜索算法的競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì),選取文獻(xiàn)[18]改進(jìn)的禿鷹搜索算法IBES進(jìn)行對(duì)比,和上文設(shè)置統(tǒng)一的參數(shù)條件:c1=c2=α=2,a=10,R=1.5,種群規(guī)模均設(shè)為30,最大迭代次數(shù)為500,維度設(shè)為30維,在上文的測(cè)試函數(shù)及運(yùn)行環(huán)境上進(jìn)行測(cè)試,獨(dú)立運(yùn)行30次,對(duì)所得結(jié)果求平均值與標(biāo)準(zhǔn)差,與本文提出的HSIBES進(jìn)行對(duì)比分析,結(jié)果如表3所示。

對(duì)于函數(shù)f1(x)和f3(x),HSIBES算法的平均尋優(yōu)精度高于IBES算法,高出20個(gè)數(shù)量級(jí)左右,兩者的標(biāo)準(zhǔn)差相同,說(shuō)明兩種算法在函數(shù)f1(x)和f3(x)的穩(wěn)定性相當(dāng),在測(cè)試函數(shù)f2(x)、f4(x)和f6(x)上,HSIBES算法的均值和標(biāo)準(zhǔn)差均高于IBES算法,在測(cè)試函數(shù)f5(x)上,HSIBES算法的尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性不及IBES,在函數(shù)f7(x)—f9(x)上,二者的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的求解結(jié)果相同。從平均值和標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)看,HSIBES算法在55%以上的測(cè)試函數(shù)上優(yōu)于IBES算法,33%測(cè)試函數(shù)和IBES算法結(jié)果相同。從平均耗時(shí)的結(jié)果來(lái)看,HSIBES算法在9個(gè)函數(shù)上的耗時(shí)都比IBES算法的耗時(shí)短。綜上,和對(duì)比算法IBES相比,HSIBES算法具有一定的競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)。

4.3 算法收斂曲線對(duì)比分析

為了更加直觀地反映HSIBES算法的性能,給出了算法在函數(shù)上運(yùn)行30次中其中一次的收斂圖,如圖1所示。和其他基本算法相比,HSIBES算法在單峰函數(shù)f1(x)—f4(x),f6(x)的收斂速度和收斂精度明顯高于其他對(duì)比算法,雖然在f5(x)函數(shù)上的精度略低于其他算法,但是其收斂速度明顯優(yōu)于其他對(duì)比算法,在多峰函數(shù)f7(x)—f9(x)上,HSIBES算法可以快速地收斂并且跳出局部最優(yōu),說(shuō)明混合策略改進(jìn)型禿鷹搜索算法HSIBES可以提高基本算法的收斂速度,跳出局部極值點(diǎn),進(jìn)行全局范圍的尋優(yōu)。

和IBES對(duì)比算法相比,HSIBES算法除了在函數(shù)f5(x)上表現(xiàn)不佳,在其他函數(shù)上都有較好的尋優(yōu)精度和收斂速度。在函數(shù)f1(x)—f4(x)上,HSIBES算法和IBES算法相比精度顯著提升,在函數(shù)f6(x)上HSIBES算法出現(xiàn)了多次拐點(diǎn),但停滯次數(shù)相對(duì)較少,并且在后期跳出局部最優(yōu)解,在函數(shù)f7(x)—f9(x)上,HSIBES算法可在較短的時(shí)間內(nèi)和其他改進(jìn)算法達(dá)到相同的尋優(yōu)值,綜上所述本文提出的HSIBES算法具有較好的收斂速度和尋優(yōu)精度,能更好地平衡算法局部和全局搜索能力。

(a) f1(x)收斂曲線

(b) f2(x)收斂曲線

(c) f3(x)收斂曲線

(d) f4(x)收斂曲線

(e) f5(x)收斂曲線

(f) f6(x)收斂曲線

(g) f7(x)收斂曲線

(h) f8(x)收斂曲線

(i) f9(x)收斂曲線圖1 各測(cè)試函數(shù)下的收斂曲線Fig.1 Convergence curves under each test function

4.4 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)

運(yùn)用Wilcoxon秩和檢驗(yàn)[24]的方法來(lái)檢驗(yàn)提出的HSIBES算法與其他算法的顯著性差別。將獲得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果在5%的顯著性水平下進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn),在p大于0.05的情況下,說(shuō)明兩種算法性能相差不大,否則兩種比較算法的性能具有顯著性差異。為了判斷HSIBES算法與其他算法的顯著性區(qū)別,將以上算法在函數(shù)上獨(dú)立運(yùn)行30次的結(jié)果作為樣本,進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。得到的Wilcoxon秩和檢驗(yàn)的p值結(jié)果如表4所示,由于HSIBES算法不能和本身進(jìn)行比較,所以在這里不再列出HSIBES算法的p值,當(dāng)實(shí)驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)一樣時(shí),說(shuō)明兩個(gè)對(duì)比算法性能相當(dāng),此時(shí)數(shù)據(jù)無(wú)效,在下表中使用NaN表示。

表4 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)p值Table 4 Wilcoxon rank and test p-value

由表4可知,根據(jù)對(duì)比算法在測(cè)試函數(shù)f7(x)—f9(x)的檢驗(yàn)結(jié)果來(lái)看,HSIBES算法與IBES算法性能相當(dāng),在函數(shù)f4(x)上,二者性能顯著性差異不明顯,在函數(shù)f7(x)上,HSIBES算法與WOA算法顯著性差異不明顯,除此之外,其余p值均小于5%,說(shuō)明HSIBES算法和其他對(duì)比算法之間具有顯著性差異,總體看來(lái),本文提出的HSIBES算法的優(yōu)越性在統(tǒng)計(jì)上是顯著的,與其他對(duì)比算法具有顯著性差異。

5 結(jié)束語(yǔ)

根據(jù)BES算法存在易陷入局部最優(yōu),收斂精度低的問(wèn)題,提出了混合策略改進(jìn)的禿鷹搜索算法(HSIBES),利用Logistic映射策略初始化種群,使種群分布更加均勻,其次引入萊維飛行,其長(zhǎng)短步長(zhǎng)交替搜索,控制搜索步長(zhǎng),有利于提高解的質(zhì)量。最后在探索階段使用自適應(yīng)慣性權(quán)重,提高了算法尋優(yōu)的精度和速度,平衡了局部和全局探索能力。最后在9個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn),并與BES、PSO、WOA、ALO、GWO以及其他學(xué)者改進(jìn)的IBES算法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn),分析得出了提出的HSIBES算法收斂速度、收斂精度以及魯棒性都表現(xiàn)較好,并通過(guò)Wilcoxon秩和檢驗(yàn)驗(yàn)證了HSIBES算法與其他算法的顯著性差異。在后續(xù)的研究中,將會(huì)把HSIBES算法用于實(shí)際工程問(wèn)題中,如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化,圖像分割等。