基于價格隨機Faustmann模型的最優(yōu)輪伐期決策方法及演進

余智涵，張楠，3，楊紅強，4

（1.南京林業(yè)大學經(jīng)濟管理學院，江蘇 南京 210037； 2.國家林業(yè)和草原局林產(chǎn)品經(jīng)濟貿(mào)易研究中心，江蘇 南京 210037；3.佐治亞大學沃內(nèi)爾林業(yè)與自然資源學院，美國 佐治亞州 雅典 30602；4.南京大學長江三角洲經(jīng)濟社會發(fā)展研究中心，江蘇 南京 210093）

隨著2030年碳達峰和2060年碳中和的“雙碳”目標提出，除了加快能源結(jié)構(gòu)調(diào)整、發(fā)展綠色低碳技術等減排措施，充分發(fā)揮以林業(yè)碳匯為主的陸地生態(tài)系統(tǒng)固碳能力也是緩解氣候變化、實現(xiàn)“雙碳”目標的重要途徑［1］。一方面，可以通過植樹造林、減少毀林等林業(yè)活動增加森林碳匯量；另一方面，也要充分發(fā)揮碳排放權交易市場的作用，通過市場機制將生態(tài)價值轉(zhuǎn)化為經(jīng)濟價值，以提高林業(yè)在緩解氣候變化方面的地位和作用［2］。就中國而言，天然林保護工程的實施對恢復天然林和生態(tài)修復起到了關鍵作用，其中中齡林和近熟林的固碳潛力巨大［3］。然而，成熟林和過熟林占比過高的問題也將導致其固碳量增長緩慢，甚至可能導致林區(qū)由碳匯向碳源轉(zhuǎn)變［4］。除此之外，種植廣泛的人工林也具有很高的木材生產(chǎn)和碳匯能力，且受到整地、撫育等森林管理行為影響，人工林蓄積量增長呈現(xiàn)出前期高、后期低的趨勢［5-6］。在合適的時機砍伐林分，不但能夠?qū)⑻脊檀嬖谏镔|(zhì)、土壤碳庫及木質(zhì)林產(chǎn)品中，也能夠?qū)⒛举|(zhì)林產(chǎn)品用于建筑以減少鋼鐵和混凝土行業(yè)生產(chǎn)期間的二氧化碳排放，更能夠?qū)⑸镔|(zhì)用于能源生產(chǎn)以代替化石燃料燃燒排放二氧化碳［7］。因此，在“雙碳”目標和氣候變化緩解的壓力下，有必要先導性探討合理的森林采伐制度，通過對森林進行可持續(xù)經(jīng)營管理，以最大限度地提高森林木材生產(chǎn)和固碳的聯(lián)合效益。

1 研究背景

在全球氣候變化緩解過程中，森林生態(tài)系統(tǒng)通常被認為是一個非常重要且具有成本效益的碳匯，據(jù)估計，全球森林對于大氣二氧化碳的抵消在陸地碳匯中的占比高達60%［8］。在中國，森林蓄積量及碳匯的增長也主要來源于20世紀70年代中期以來的人工林擴張［9］。因此，最大限度地發(fā)揮分布廣泛的人工林的固碳潛力，無疑是緩解全球氣候變化、實現(xiàn)中國碳中和目標的重要途徑。

人工林具有較高的木材生產(chǎn)和碳匯能力，然而，其增長率通常隨著林齡的增長而下降。因此，從多目標森林經(jīng)營管理的角度來看，林地所有者需要確定最優(yōu)輪伐期，使林地的經(jīng)濟價值和生態(tài)價值最大化。其中，經(jīng)濟價值為出售木材所獲得的收益，而生態(tài)價值主要為林業(yè)碳匯增加所帶來的在氣候變化減緩和“雙碳”目標實現(xiàn)過程中所發(fā)揮的重要作用。對于生態(tài)價值的獲取，首先包括每年林地碳匯增量所對應的價值總和；其次，只有可銷售商品材部分會被砍伐，這部分碳匯會進一步保留在木質(zhì)林產(chǎn)品中，而林分的未采伐部分則會轉(zhuǎn)移至死亡有機質(zhì)碳庫（包括枯死木、枯落物和土壤有機碳）中保留一段時間并緩慢分解［2，10-12］。除此之外，定義最優(yōu)輪伐期也是確定其他森林管理策略的重要前提，例如森林撫育、間伐等［13］。在“雙碳”目標下，如何基于中國森林資源特點，進一步從經(jīng)濟學視角探討林業(yè)碳匯項目的經(jīng)營管理策略，為林業(yè)參與“雙碳”目標的實現(xiàn)提供參考，已經(jīng)成為中國林業(yè)部門需要重點關注與急需回答的現(xiàn)實問題。

Faustmann［14］首先使用一個考慮木材收益的模型求解最優(yōu)輪伐期，之后碳匯收益也被納入到Faustmann模型的分析框架中［15］。根據(jù)新古典經(jīng)濟學中的市場交換理論，最優(yōu)輪伐期正是市場交換的結(jié)果，而作為交換過程中信息的載體，價格會調(diào)整林地所有者的個人行為，從而在與所有其他賣方和買方的無數(shù)交易相適應的同時，實現(xiàn)利潤最大化［16］。然而，木材價格和碳匯價格均存在不確定性。隨著市場經(jīng)濟的發(fā)展，隨機價格問題作為影響最優(yōu)輪伐期的重要因素也逐漸成林業(yè)經(jīng)濟學中的研究重點［17-19］。

Nordstrom［20］首次研究了隨機木材價格對于最優(yōu)輪伐期的影響。Brazee等［21］提出了存在價格波動時的最優(yōu)輪作問題，林地所有者應該根據(jù)預期價格重新制定管理決策。其他學者的進一步研究表明，最優(yōu)輪伐期和土地期望值（Land Expection Value， LEV）會隨著隨機價格過程的變化而變化，但林地所有者通?？梢岳脙r格波動獲得更高的收入［22-29］。隨著氣候變化問題的加劇，森林的碳匯效益受到了更加廣泛的關注，隨機價格假設也由木材價格擴展到碳匯價格，部分學者使用實物期權分析（Real Options Analysis， ROA）計算了包括碳匯收益在內(nèi)的最優(yōu)輪伐期和LEV［18，30-32］。ROA允許林地所有者在投資決策不可逆轉(zhuǎn)時將決策推遲，并且被認為是在價格波動的情況下對投資進行估價和描述投資行為的有效模型［33］。

該研究圍繞隨機價格下的最優(yōu)輪伐期問題，梳理其評估方法學及研究進展，歸納總結(jié)隨機價格問題未來在林業(yè)經(jīng)濟學中的主要研究趨勢。首先，梳理Faustmann模型的起源及其演進，揭示Faustmann模型經(jīng)典框架在靜態(tài)價格假設方面的不足；然后，結(jié)合不同市場假說和未來價格路徑的預測方法，探討不同的隨機價格過程在Faust‐mann模型中的應用情況；其次，歸納比較靜態(tài)和隨機價格假設下的林地價值評估方法學，分析其優(yōu)缺點，并以ROA為例，明確幾種具體模型求解方法在不同隨機價格假設下的適用性；最后，在全球氣候變化背景下，結(jié)合中國木材市場和碳排放權交易市場的實際發(fā)展情況，為Faust‐mann模型中隨機價格問題的發(fā)展提供建議。

2 Faustmann模型經(jīng)典框架及其廣義擴展

Faustmann［14］首次從經(jīng)濟學的角度，遵循利潤最大化原則，構(gòu)建了一個考慮木材收益時的模型以求解其最優(yōu)森林管理決策。首先從單輪伐期開始分析，假設造林成本為C，樹木的生長方程為V(t)，木材價格為P且保持不變，折現(xiàn)率為r，則林地所有者需要確定最佳采伐時間t，使得LEV最大，如式（1）所示：

進一步地，在多輪伐期假設下，林地所有者從0時刻開始種植，并且每經(jīng)過時間t對林分進行采伐以獲取利潤，同時再次種植相同的樹種。此時的LEV相當于將單輪伐期下的LEV分別乘以折現(xiàn)因子1、e-rt、e-2rt等并相加，即乘以一個幾何級數(shù)的和，如式（2）所示：

由此可以得到多輪伐期下的Faustmann模型及其一階條件，如表1所示。在Faustmann模型中，最優(yōu)輪伐期應通過比較持續(xù)輪作的邊際效益來確定，這種邊際效益由樹木價值的額外增長和延遲收獲的機會成本來解釋［34］。在Faustmann模型中，森林市場交易的復雜價格序列被簡化到價格序列的開始和結(jié)束點，這個序列的開始只考慮最后的木材和裸地價格，并以造林成本作為價格序列的結(jié)束［16］。

表1 多輪伐期下確定最優(yōu)輪伐期的不同模型及其一階條件

Hartman［35］擴展了Faustmann模型，將森林生態(tài)價值以函數(shù)F(t)的形式納入到評價系統(tǒng)，兼顧了木材經(jīng)濟效益和生態(tài)經(jīng)濟效益。表1給出了考慮林地服務價值下的Faust‐mann模型及其一階條件。之后，Van Kooten等［15］聚焦于生態(tài)價值中的森林碳匯效益，并將其納入到模型中來。在確定最優(yōu)輪伐期時，雖然也可以使用最大持續(xù)產(chǎn)量（Maxi‐mum Sustainable Yield， MSY）標準，但從經(jīng)濟學的角度選擇最優(yōu)輪伐期無疑對林地所有者和林業(yè)投資是最具吸引力的［34］。包含碳匯收益的Faustmann模型也逐漸成為關于最優(yōu)輪伐期決策和相關主題研究的基礎［36］。

經(jīng)典的Faustmann模型以5個基本假設為基礎：①價格和成本是不變的，而且是已知的。②未來的利率是不變的，而且是已知的。③已知林分的生長函數(shù)。④林地市場是完美的。⑤金融資本市場是完美的。在上述假設下，貼現(xiàn)現(xiàn)金流（Discounted Cash Flow， DCF）是一種常見的模型求解方法，它以固定可預測的現(xiàn)金流量模式為依據(jù)確定林地價值，式（1）中的LEV便是DCF的一種形式［12］。

然而在現(xiàn)實中，上述假設未必能嚴格成立，即林地所有者的經(jīng)濟行為會受到各種因素的影響［37］。特別是關于靜態(tài)價格的假設，會使林地所有者對LEV的評估出現(xiàn)嚴重偏誤［12，24］。因此，有必要明確現(xiàn)實市場中價格的波動形式，并使用動態(tài)模型根據(jù)市場狀況靈活決策，從而在價格波動的市場中實現(xiàn)利潤最大化的目標。

3 三類市場假說下的價格波動特征

考慮到木材價格和碳匯價格會隨著時間的推移而變化，因此林地所有者的管理決策面臨著一定的風險。林業(yè)經(jīng)濟學家通常使用金融和投資文獻中提出的隨機過程來處理這類風險，這為指定未知變量隨時間的漂移和波動提供了一種方法［34］。該節(jié)綜述了隨機過程理論在最優(yōu)輪伐期問題中的應用，首先介紹了現(xiàn)代資本市場理論下隨機價格過程的一般形式，接著歸納總結(jié)有效市場假說和完全競爭市場假設下價格波動的具體形式，最后討論基于經(jīng)驗數(shù)據(jù)的其他價格波動建模改進。

3.1 現(xiàn)代資本市場理論下的價格波動建模

包含資產(chǎn)組合理論、資本資產(chǎn)定價模型、套利定價理論、期權定價理論等在內(nèi)的現(xiàn)代資本市場理論的一個核心便是隨機價格假設，其中伊藤過程（Ito Process）是最常用的描述價格波動的隨機過程模型［38］。伊藤過程通過漂移率和波動率來描述價格隨時間的變化，被林業(yè)經(jīng)濟學家廣泛應用于處理Faustmann模型中的隨機價格問題［34，39］。伊藤過程的一般形式為：

其中：xt表示t時刻的價格；μ(xt，t)表示漂移項；σ(xt，t)表示波動項；Bt表示維納過程。

進一步地，Yoshimoto等［40］通指定過μ(xt，t)為xt的線性函數(shù)、σ(xt，t)為xt的非線性函數(shù)，將伊藤過程改寫為狀態(tài)相關波動過程（State‐Dependent Volatility Process），如式（4）所示：

其中：σ、α、β、γ為待估參數(shù)。

由式（4）表示的隨機過程被記為SDVP（α，β，γ）。其中，作為伊藤過程和狀態(tài)相關波動過程的特例，幾何布朗運動（Geometric Brownian Motion， GBM）和均值回復過程（Mean‐Reversion， MR）已經(jīng)被廣泛應用于林業(yè)經(jīng)濟學中的價格建模，能夠在不同的經(jīng)濟學假設下解決隨機價格假設中的最優(yōu)輪伐期問題［34，39-40］。

3.2 有效市場假說下的價格波動建模

根據(jù)有效市場假說，有效市場中的價格總是完全反映了所有可用信息，投資者無法通過基本分析和技術分析獲得超額利潤［41］。而GBM則是有效市場中價格波動的一個特例，它要求價格在不同微小時間間隔內(nèi)的增量為獨立同分布的隨機變量。部分學者在最優(yōu)輪伐期研究中假設價格波動服從正態(tài)分布，并建議使用GBM建模，因為它與有效市場假說一致，且價格每年都會在之前的水平上隨機增加［21-23］。其一般形式為：

其中：P表示價格；μ表示均值；σ表示標準差；dz表示維納過程的增量。對于初始價格P0，給定時間t下價格Pt的期望值和方差可以用式（6）—式（7）表示：

進一步的，根據(jù)伊藤引理（Ito’s Lemma），式（5）可以改寫為如下形式：

其離散形式為：

其中：εt～N(0，1)。

如果假設價格過程遵循GBM，那么參數(shù)μ和σ可以根據(jù)以下公式得到：

其中：m和s分別為序列{}lnPt-lnPt-1的均值和方差。

在早期林業(yè)經(jīng)濟學的研究中，許多學者基于GBM探討了隨機木材價格假設下林分的最優(yōu)輪伐期［21-23，42］。這些研究表明，當木材價格或林分價值遵循GBM且無重置成本時，最優(yōu)輪伐期對于價格波動不敏感；但當重置成本存在時，林地所有者可以利用價格的隨機性來改進最優(yōu)輪伐期的選擇，因為林地所有者有機會在觀察到未來真實價格前推遲重置成本的發(fā)生。表2總結(jié)了GBM在Faustmann模型中的應用情況。

表2 幾何布朗運動和均值回復過程在Faustmann模型中的應用

3.3 完全競爭市場假設下的價格波動建模

GBM假設使得最優(yōu)輪伐期問題在偏微分方程的模型框架下變得易于求解，但仍存在一些不切實際的地方［43］。首先，從式（5）中可以看出，如果價格在某一時刻變?yōu)?，那么它將在后續(xù)時刻始終保持為0，這與現(xiàn)實不符，也可能導致價格較低時期權價值的估值出現(xiàn)較大偏差［44］。此外，GBM假設下價格上漲的期望值和方差不受約束（式（6）—式（7）），但根據(jù)完全競爭市場假設，當一種商品的價格相對較高時，隨著成本較高的生產(chǎn)商進入市場，該商品的供應將會增加，從而對價格構(gòu)成下行壓力，反之亦然［45］。與遵循GBM的價格路徑相比，此行為更有可能導致MR價格路徑，部分學者對經(jīng)驗價格數(shù)據(jù)的實證檢驗也證明了這一觀點［24］。

MR的一般形式為：

其中：P表示價格；ν表示回復速率；μ表示均值；σ表示標準差；dz表示維納過程的增量。當實際價格P大于均值μ時，ν(μ-P)dt一項整體為負，不考慮隨機波動項σPdz，當期的價格增量dP小于0，因此當期價格將會向平均值趨近；同理，當實際價格P小于均值μ時，當期的價格增量dP則大于0，MR將使得每一期的價格穩(wěn)定在均值μ附近。

根據(jù)伊藤引理，可以求得MR的解析解，如式（13）所示：

從形式上看，離散形式下的式（13）與自回歸（Auto-Regressive， AR）過程非常相似，如式（14）所示：

其中：β0、β1和β2均為待估參數(shù)。因此，也有一些學者使用AR模型來代替MR分析木材價格的波動情況［29，46-47］。

為了求得參數(shù)ν、μ和σ，首先將式（12）轉(zhuǎn)化為離散形式：

式（15）可以改寫為如下形式：

其中：c1、c2和et的標準差se可以通過最小二乘法估計得到。則ν=。

Gjolberg等［24］指出，MR假設傾向于減少林地所有者所感知的長期價格波動，這將導致與GBM假設相比，LEV的估值更高。Insley［44］的研究也表明，在MR假設下，期權價值和最優(yōu)輪伐期與GBM假設相比有顯著差異，例如，當價格低于平均值時，MR給出了更高的期權價值。表2總結(jié)了MR在Faustmann模型中的應用情況。

3.4 基于經(jīng)驗數(shù)據(jù)的其他價格波動建模改進

根據(jù)式（4）—式（6），GBM和MR僅僅是隨機過程中的兩個特殊模型，它們分別由于符合有效市場假說和完全競爭市場假設而得到廣泛應用。

已有許多學者使用ADF（Augmented Dickey‐Fuller Test）檢驗法來測試經(jīng)驗價格數(shù)據(jù)是否存在單位根而決定使用GMB還是MR假設［34］。然而，Yoshimoto等［40］基于SDVP（α，β，γ）展示了13種亞洲樹種的木材價格在GBM、MR和其他多種形式隨機過程中的表現(xiàn)，結(jié)果表明，無論是GBM還是MR都不足以解釋這些木材價格的價格動態(tài)。

為了使隨機過程模型更加符合價格的實際波動情況，也有部分學者使用了GBM和MR之外的其他隨機過程。其中最常見的是與MR極為相近的AR（1）模型；其次是將價格取對數(shù)從而構(gòu)成對數(shù)均值回復過程；此外還包括進一步引入分布參數(shù)為γ的泊松跳躍，或均值為0、方差為σ2、赫斯特系數(shù)為H的分數(shù)高斯噪聲WHi，并將幾種隨機過程混合。但無論使用哪一種隨機過程模型，都應根據(jù)實際價格動態(tài)與隨機過程的匹配程度來選取［43，56-57］。表3展示了其他類型的隨機過程在Faustmann模型中的應用情況。

表3 其他類型的隨機過程在Faustmann模型中的應用

4 靜態(tài)與隨機價格下的最優(yōu)輪伐期決策

由于對隨機價格的描述通常以第3節(jié)中隨機過程的形式出現(xiàn)，這使得隨機價格假設下的Faustmann模型無法使用對利潤函數(shù)求一階導數(shù)的簡單靜態(tài)方法求解，需要使用ROA對經(jīng)典Faustmann模型針對隨機價格進行改進。此外，每一個價格波動模型都擁有一些數(shù)學特征，木材價格和碳匯價格也可能分別擁有不同的波動形式。因此，還需要選擇適當?shù)姆椒?，以解決具有不同的價格波動模型特征的最優(yōu)輪伐期動態(tài)決策問題。該節(jié)首先歸納了靜態(tài)價格假設下的最優(yōu)輪伐期決策方法學及缺陷，接著以ROA為基礎綜述了適用于具有隨機價格的最優(yōu)輪伐期決策動態(tài)模型，以及不同價格波動特征下的模型求解方法學。

4.1 基于貼現(xiàn)現(xiàn)金流的靜態(tài)價格決策方法及缺陷

DCF分析是評估林業(yè)和其他行業(yè)投資的一種基本靜態(tài)方法，它基于一個融資的基本原則：由于通貨膨脹和經(jīng)濟增長的存在，貨幣具有時間價值。其中，凈現(xiàn)值（Net Present Value， NPV）是DCF的一種，能夠比較總體投資回報隨著時間的演進規(guī)律［39］。Faustmann［14］、Hartman［35］和Van Kooten等［15］共同構(gòu)建的包含碳匯效益的經(jīng)典Faust‐mann模型均基于NPV分析，要求林地所有者將最優(yōu)輪伐期確定為LEV最大化的時間點。Asante等［11］分析了不同碳匯價格、考慮不同碳庫數(shù)量時的最優(yōu)輪伐期和LEV，與Van Kooten等［15］的理論分析一致，發(fā)現(xiàn)納入碳匯效益能夠縮短最優(yōu)輪伐期而提高LEV，且提高幅度隨著碳匯價格的增加而增加。在中國，也有學者以Faustmann模型為基礎，使用NPV評估了碳匯目標下杉木人工林的碳匯供給［61］和經(jīng)濟效益［62］，同樣發(fā)現(xiàn)考慮碳匯效益能夠提高LEV，木材價格和利率是影響最優(yōu)輪伐期的關鍵因素。由于中國碳排放權交易市場仍處于起步和建設發(fā)展階段，實際碳匯價格遠低于木材價格，因此對碳匯供給提高和經(jīng)濟效益增長的影響并不明顯；但敏感性分析結(jié)果也表明，當碳匯價格提高到一定程度時（如600元/t），林地所有者的經(jīng)濟收益將明顯提高。

然而，包含NPV在內(nèi)的DCF分析把投資決策看作是一個現(xiàn)在立即執(zhí)行或永遠不執(zhí)行的決定［39］。事實上，隨著時間的推移，林地所有者所掌握的相關價格信息越來越多，一項投資的不確定性在未來可能會降低，在未來預測的現(xiàn)金流量也將有別于最初的預測［63］。相比之下，ROA作為一種動態(tài)決策方法具有更強的靈活性，并擁有使用新信息更新決策的機會，因此可以為林地所有者提供更好的投資決策。

4.2 基于實物期權分析的三種動態(tài)隨機價格決策方法比較

4.2.1 隨機價格假設下的最優(yōu)輪伐期動態(tài)決策模型

ROA作為一種金融衍生工具能夠幫助林地所有者在風險市場中動態(tài)評估LEV隨時間的演進規(guī)律［64］。Sauter等［65］指出林地所有者的管理決策行為更符合ROA理論而非DCF理論。ROA考慮林分生長時間范圍內(nèi)的一系列決策點，在每個決策點，林地所有者通過比較立即采伐與延遲采伐的預期收益，來決定是現(xiàn)在采伐林分還是保留之后采伐的權利［31-32，60］。使用ROA分析的優(yōu)勢在于隨著新信息的出現(xiàn)以及市場狀況和未來現(xiàn)金流的不確定性逐漸得到解決，林地所有者可以隨時調(diào)整他們的經(jīng)營策略，并在木材價格或碳匯價格較為有利時選擇采伐林分從而在風險中獲利，提高了決策的靈活性［66］。

ROA所帶來的動態(tài)決策過程需要使用“貝爾曼方程”來求解［34］。總的思路是將決策過程分為兩個部分，即刻階段以及后續(xù)階段。林地所有者的目標是選擇一系列控制變量使即期收益價值與連續(xù)收益價值最大化。通過對貝爾曼方程求解，可以得到不同決策點上的一系列采伐閾值。就木材價格而言，當位于特定決策點的實際木材價格超過閾值時，林地所有者應該選擇立即采伐林分并出售木材從而獲取超額收益；而對于碳匯價格，由于林地所有者需要為采伐林分而造成的碳損失支付罰款，因此應該在實際碳匯價格低于閾值時采伐林分而減少收入損失［31-32，60］。其中，對于貝爾曼方程的求解方法，通常包含構(gòu)建偏微分方程、蒙特卡洛模擬和馬爾可夫決策過程（Markov Decision Process， MDP）［30］。

4.2.2 不同價格波動特征下的動態(tài)模型求解方法

（1）價格服從正態(tài)分布的求解方法。以隨機過程為基礎而構(gòu)建偏微分方程的Black‐Scholes‐Merton（BSM）模型是求解林地實物期權價值的常用方法，它通過將期權價值的變化等同于未到期資產(chǎn)價值的變化來計算期權價值，可以在短時間內(nèi)計算大量決策點的期權價值，其中價格的波動性保持不變且收益服從正態(tài)分布［39，67］。目前，由于多數(shù)有關最優(yōu)輪伐期的研究使用了GBM或MR假設，且價格在任意微小時間間隔內(nèi)的增量均服從正態(tài)分布，因此這些研究均使用了基于BSM的模型求解［18，22，24-29］。在中國，曹先磊［68］也使用該模型對濕地松碳匯造林項目進行了投資時機分析和價值評估。然而，BSM模型也存在一定的局限性，例如，只允許考慮一種風險來源而導致在項目期限較長的林業(yè)生產(chǎn)中與收益相關的多種其他風險被忽略［69］、缺乏透明度且無法提供所有關鍵變量之間的準確關系［30］。

基于點陣模型的二叉樹和有限差分方法的離散偏微分方程模型也能夠計算林地實物期權價值，并且允許價格的波動性發(fā)生變化［30，67］。Thomson［23］首次使用二叉樹方法來確定木材價格隨機時的林分價值；進一步地，Tee等［30］使用二叉樹方法對考慮兩個隨機價格（木材價格和碳匯價格）的林分進行估價，從而允許林地所有者在兩種風險來源下對管理決策進行聯(lián)合優(yōu)化。但是，隨著時間的增長和風險來源數(shù)量的增加，二叉樹和有限差分方法的計算量將呈現(xiàn)指數(shù)增長［70］。因此，該模型多應用于項目周期較短且風險來源較少的期權定價問題［56］。

（2）具有多個隨機價格的求解方法。由于木材價格和碳匯價格均存在隨機波動性，最優(yōu)輪伐期的計算可能涉及多個風險來源。蒙特卡洛模擬則能夠通過構(gòu)建具有特定分布的隨機變量、依靠重復隨機抽樣技術近似計算無限接近于真實值的數(shù)值解方式來處理這些價格波動，這些變量允許擁有非標準分布、隨時間變化的分布或存在相關性［56］。與偏微分方程相比，蒙特卡洛模擬不受時間或風險來源數(shù)量多的限制，也能夠提供未來林分價值的分布［56］。

自從Ibaneza等［56］提出了一種計算美式期權價值的蒙特卡洛模擬方法以來，蒙特卡洛模擬在求解Faustmann模型的ROA問題中得到了廣泛應用。Petrasek等［60］同時考慮木材價值和碳匯價值，計算了道格拉斯冷杉林的LEV和最優(yōu)采伐策略。Petrasek等［31］進一步考慮使用木材產(chǎn)品代替碳密集型材料所避免的排放，在不同固碳情景下計算了道格拉斯冷杉林的LEV，為設計碳補償政策提供了依據(jù)。Ning等［32］以美國密西西比州木材市場為研究對象，探討了同時考慮木材、碳匯和生物燃料生產(chǎn)對森林經(jīng)營管理的影響。在中國，余智涵等［10］也使用蒙特卡洛模擬計算了單次輪作下考慮死亡有機質(zhì)碳庫時杉木人工林的最優(yōu)輪伐期，發(fā)現(xiàn)考慮包含死亡有機質(zhì)碳庫在內(nèi)的林業(yè)碳匯效益能夠穩(wěn)定提高林地所有者的收益。

（3）價格具有馬爾可夫性的求解方法。在GBM和MR假設中，每一期的價格都取決于前一期的價格，這種包含了具有馬爾可夫性的隨機價格模型可以通過構(gòu)建轉(zhuǎn)移概率矩陣從而使用MDP近似求解［59，71］。但由于轉(zhuǎn)移概率矩陣的存在，MDP同二叉樹和有限差分方法一樣，其計算量也會隨著隨機變量個數(shù)的增加而呈現(xiàn)指數(shù)增長［43］。

Buongiorno［71］關于Faustmann模型隨機森林生長和價格的研究表明，F(xiàn)austmann公式是一種特殊的MDP模型，其中假設的一切信息已知；Faustmann模型給出了確定環(huán)境下的最優(yōu)LEV，而MDP模型則給出了隨機環(huán)境下的最優(yōu)LEV。Lembersky等［72］首次將MDP應用于林分LEV的估值。隨后，Insley等［43］、Buongiorno等［59］聚焦于隨機木材價格，使用MDP探討了木材價格波動對于林地所有者收益的影響，也證明了MDP在林業(yè)經(jīng)濟學中的適用性和高效性。進一步地，Sloggy等［47］將MDP擴展為MOMDP（Mixed Observability Markov Decision Process），以處理多個隨機變量下最優(yōu)輪伐期的確定問題。

5 研究結(jié)論與展望

5.1 結(jié)論

最優(yōu)輪伐期決策一直是林業(yè)經(jīng)濟學領域的研究重點。設置合理的林業(yè)碳匯項目期限及森林采伐制度，能夠充分發(fā)揮森林及木質(zhì)林產(chǎn)品的固碳潛力。文章以Faustmann模型為基礎，著眼于隨機價格下最優(yōu)輪伐期決策的研究進展，梳理了Faustmann模型經(jīng)典框架及其廣義擴展，對不同市場假說下價格波動的處理方法以及不同價格假設下的林地價值評估方法學進行了分析，得出以下主要結(jié)論。

（1）在現(xiàn)代資本市場理論中，以伊藤過程和狀態(tài)相關波動過程為基礎的隨機過程是描述木材和碳匯價格波動的重要模型，它們通過指定漂移率和波動率來描述價格隨時間的變化。GBM和MR分別由于符合有效市場假說和完全競爭市場假設而得到廣泛應用，在GBM假設下，價格具有指數(shù)增長的趨勢，而MR假設下的價格將保持在均值附近波動。此外，也有林業(yè)經(jīng)濟學家根據(jù)經(jīng)驗價格數(shù)據(jù)的檢驗使用了更為復雜的隨機過程模型。

（2）以Faustmann經(jīng)典模型框架為基礎的多數(shù)研究均使用了基于DCF的靜態(tài)價格分析方法，但DCF作為確定型決策無法處理市場風險，也無法利用新信息靈活調(diào)整決策方案。而ROA允許林地所有者進行動態(tài)分析、根據(jù)市場狀況隨時調(diào)整經(jīng)營策略，通過在每個決策點比較立即采伐與延遲采伐的預期收益、并在實際木材價格超過閾值或?qū)嶋H碳匯價格低于閾值時選擇采伐林分從而在風險中獲利。

（3）以即期收益價值與連續(xù)收益價值最大化為目標的貝爾曼方程是求解林地實物期權價值的有效方法。通過對貝爾曼方程求解，可以得到不同決策點上的一系列采伐閾值，林地所有者可以通過比較采伐閾值和實際價格的方式?jīng)Q定是否立即采伐林分并出售木材獲利。而構(gòu)建偏微分方程、蒙特卡洛模擬和MDP則分別可以在價格服從正態(tài)分布、具有多個隨機價格和價格具有馬爾可夫性時有效求解貝爾曼方程。

5.2 展望

林地所有者面臨著來自金融資本市場的多重價格風險，大量學者基于ROA和隨機過程模型研究了Faust‐mann模型中的隨機價格問題，特別是針對木材價格波動時的森林管理決策問題，已有許多學者對不同樹種開展了專門研究。然而，在處理Faustmann模型中的隨機價格問題時，仍有一些值得重視的科學問題。

（1）將Faustmann模型在氣候變化背景下擴展至完整林業(yè)碳匯效益。隨著氣候問題的加劇，森林在緩解全球氣候變化方面發(fā)揮的作用越來越受到國際社會的關注［7，15］。從已有研究來看，F(xiàn)austmann模型中的隨機價格研究多集中于木材價格，涉及碳匯效益的研究仍然較少。一般來說，完整林業(yè)碳庫包括地上生物量、地下生物量、枯死木、枯落物、土壤有機碳和木質(zhì)林產(chǎn)品，特別是木質(zhì)林產(chǎn)品碳庫，它們不僅可以比自然死亡的樹木將碳儲存更長時間，而且當考慮替代效應時，還可能導致高碳排放建筑材料的使用減少［7］。精準核算完整林業(yè)碳匯效益并與ROA相結(jié)合，能夠充分實現(xiàn)林業(yè)的生態(tài)價值。

（2）使用包含機器學習在內(nèi)的多種方法對木材及碳匯價格波動進行更加精確和合理的建模。不同的價格模型會導致模擬的樣本路徑在未來時間點上的不同分布，由于ROA方法依賴于未來價格分布的形式，價格模型的設置對LEV的估算至關重要［40］。就中國而言，木材市場存在明顯的區(qū)域特征，且競爭與壟斷并存，多種所有制和經(jīng)營形式并存［17］；碳排放權交易市場仍處于起步和發(fā)展階段，且交易價格會受到環(huán)境、政策等因素的影響，未來的價格路徑難以用簡單的隨機過程描述［10］。因此，有必要使用包括隨機過程、神經(jīng)網(wǎng)絡、機器學習在內(nèi)的多種方法對木材價格和碳匯價格進行準確建模，以實現(xiàn)LVE的精確估值。

（3）在Faustmann模型中考慮包含資源風險和決策者偏好風險在內(nèi)的多個風險來源。除了價格風險外，林業(yè)管理還涉及資源風險和決策者偏好風險［73］。特別是在氣候變化背景下，包含火災、病蟲害等在內(nèi)的資源風險顯得尤為重要。此外，以林地所有者自身風險偏好和政策風險為代表的決策者偏好風險也是影響最優(yōu)輪伐期的關鍵因素。因此，如何將多個風險來源同時納入Faustmann模型，并構(gòu)建一個合理的指標體系，在生態(tài)模型和經(jīng)濟模型之間取得權衡，以協(xié)助林地所有者根據(jù)自身偏好做出最優(yōu)管理決策，也是未來的一個重要研究方向。