探究對(duì)稱本質(zhì)　培養(yǎng)空間觀念

王余岳

［摘 要］小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”板塊內(nèi)容的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念是重要的教學(xué)目標(biāo)之一，且這一板塊內(nèi)容也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體?！拜S對(duì)稱的再認(rèn)識(shí)”是小學(xué)數(shù)學(xué)幾何概念教學(xué)中的重要內(nèi)容，教師要引導(dǎo)學(xué)生在原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行自主探究，深化學(xué)生對(duì)對(duì)稱本質(zhì)的理解，以實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的目標(biāo)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］空間觀念；軸對(duì)稱；本質(zhì)

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）30-0018-03

小學(xué)階段，學(xué)生學(xué)習(xí)“圖形與幾何”板塊內(nèi)容是有一定困難的，造成這樣的原因是他們的空間想象能力弱。“圖形與幾何”是小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的重要板塊內(nèi)容，其中圖形的認(rèn)識(shí)是主要內(nèi)容之一，旨在培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。但是，在認(rèn)識(shí)圖形的過(guò)程中，很多學(xué)生往往不能夠把握?qǐng)D形的本質(zhì)屬性，造成學(xué)習(xí)淺表化，無(wú)法培養(yǎng)他們的空間觀念。因此，教師要深入分析“圖形與幾何”板塊內(nèi)容，采取有效的策略開(kāi)展教學(xué)，以實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的目標(biāo)?！拜S對(duì)稱的再認(rèn)識(shí)”是“圖形與幾何”板塊內(nèi)容的重中之重，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生探究軸對(duì)稱圖形的本質(zhì)十分重要，這樣才能有效培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

一、借助趣味游戲，激活原有認(rèn)知

建構(gòu)主義特別強(qiáng)調(diào)，要在學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)上開(kāi)展教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生利用原有的認(rèn)知進(jìn)行遷移性學(xué)習(xí)。因此，教師要深入分析學(xué)生的學(xué)情，把握他們的認(rèn)知起點(diǎn)，并以此開(kāi)展教學(xué)。小學(xué)生天性愛(ài)玩、好動(dòng)，非常喜歡游戲活動(dòng)。由于學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了軸對(duì)稱圖形，所以本節(jié)課，教師借助趣味游戲進(jìn)行課堂導(dǎo)入，以此激活學(xué)生的原有認(rèn)知。

師：在正式學(xué)習(xí)之前，我們先玩一個(gè)游戲。大家認(rèn)真觀察這些圖片（略），前幾張圖片有怎樣的特點(diǎn)？

生1：圖片中的圖形都是對(duì)稱的。

師：大家認(rèn)為空白處應(yīng)該是怎樣的圖形？

生2：根據(jù)之前的圖形，發(fā)現(xiàn)它們分別是正1、反1和正2、反2，所以應(yīng)該填正6和反6。

師：只有通過(guò)細(xì)致的觀察，才能發(fā)現(xiàn)隱藏其中的圖形規(guī)律。你做到了，真棒！

師：二年級(jí)的軸對(duì)稱圖形，大家還記得嗎？用一個(gè)例子說(shuō)明一下。

生3：拿到一個(gè)圖形之后，沿著一條直線將其對(duì)折，這樣就可根據(jù)兩邊是否重合做出判斷，如果重合就是軸對(duì)稱圖形，如黑板、課桌等，它們?cè)谛螤钌暇褪菍?duì)稱的。

師：這種圖形在我們生活中非常普遍，本節(jié)課要嘗試進(jìn)行更深層次的探究。（板書(shū)課題：軸對(duì)稱的再認(rèn)識(shí)）

……

上述教學(xué)，教師通過(guò)趣味游戲喚醒學(xué)生原有的認(rèn)知，同時(shí)出示實(shí)物圖，引導(dǎo)學(xué)生將其中的非幾何屬性抽離出來(lái)，以此形成平面圖形，使學(xué)生可以快速且高效地回顧已學(xué)的知識(shí)。這樣既能起到復(fù)習(xí)的作用，又可以讓學(xué)生準(zhǔn)確把握學(xué)習(xí)重點(diǎn)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

二、引導(dǎo)操作探究，把握對(duì)稱本質(zhì)

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)特別強(qiáng)調(diào)引導(dǎo)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”，動(dòng)手操作是“做數(shù)學(xué)”的重要形式之一?！皥D形與幾何”板塊內(nèi)容特別適合學(xué)生進(jìn)行操作探究，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生在操作探究過(guò)程中學(xué)習(xí)“圖形與幾何”板塊內(nèi)容，這樣能收到事半功倍的效果。軸對(duì)稱的本質(zhì)是對(duì)稱點(diǎn)離對(duì)稱軸的距離相等，學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱現(xiàn)象是容易感知的，但對(duì)其本質(zhì)卻是難以理解的。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)手操作過(guò)程中深入探究，使學(xué)生真正理解軸對(duì)稱的本質(zhì)。

1.在操作中學(xué)習(xí)畫(huà)對(duì)稱軸

本課教學(xué)中，讓學(xué)生根據(jù)軸對(duì)稱圖形的特征畫(huà)對(duì)稱軸是十分重要的，因?yàn)樵诋?huà)對(duì)稱軸的過(guò)程中，他們能夠深入理解軸對(duì)稱的本質(zhì)。

師：（出示圖形）這些都是我們經(jīng)?？梢钥吹降妮S對(duì)稱圖形，大家嘗試畫(huà)一畫(huà)它們的對(duì)稱軸。（學(xué)生嘗試畫(huà)對(duì)稱軸）

師：在去掉顏色和圖案之后，大家有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)圖形發(fā)生了哪些變化？（多媒體出示圖形）這些就是抽象之后的圖形，你能夠發(fā)現(xiàn)每個(gè)圖形有幾條對(duì)稱軸嗎？

師：每個(gè)圖形的對(duì)稱軸的數(shù)量是不同的，有的圖形有好幾條對(duì)稱軸。

……

2.在探究中把握軸對(duì)稱的本質(zhì)

在學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱的特征有一定把握后，引導(dǎo)他們理解軸對(duì)稱的本質(zhì)十分重要。

師：（多媒體出示圖形）大家能否判斷這些圖形是否為軸對(duì)稱圖形呢？判斷的依據(jù)是什么？

生1：我根據(jù)對(duì)稱軸的概念將這個(gè)圖形對(duì)折，發(fā)現(xiàn)對(duì)折后兩邊的圖形可以完全重合。

師：你能運(yùn)用剛學(xué)過(guò)的概念作為判斷依據(jù)，真厲害！在軸對(duì)稱圖形中有很多相似的點(diǎn)，如點(diǎn)A和點(diǎn)A′，如果給它們?nèi)€(gè)名字，你認(rèn)為什么名字更合適？

生2：對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

師：為什么？

生3：它們?cè)谳S對(duì)稱圖形中，經(jīng)過(guò)對(duì)折之后重合。

師：真的是如此嗎？在幾何畫(huà)板的輔助下，針對(duì)大屏幕中的這個(gè)圖形，我們可以根據(jù)相應(yīng)的比例對(duì)其進(jìn)行縮小。大家看我所標(biāo)注的這兩個(gè)點(diǎn)，它們發(fā)生了怎樣的變化？?jī)蛇叺膱D形又是否發(fā)生變化呢？

生4：它們重合了。

師：通過(guò)這一步驟，可以了解大家之前的猜想是正確的。在數(shù)學(xué)中，這些點(diǎn)統(tǒng)稱為對(duì)稱點(diǎn)，我們現(xiàn)在要對(duì)其展開(kāi)深入探究。

師：學(xué)習(xí)有關(guān)圖形的內(nèi)容時(shí)，格子圖經(jīng)常被應(yīng)用其中，因?yàn)槭褂酶褡訄D后，具體的研究過(guò)程會(huì)更加便捷、高效，易于觀察?，F(xiàn)在我們把這棵小松樹(shù)也放入其中，大家研究看看，這些對(duì)稱點(diǎn)有怎樣的特點(diǎn)。

師：現(xiàn)在小松樹(shù)已經(jīng)在格子圖中了，大家從中能否發(fā)現(xiàn)幾對(duì)特殊的對(duì)稱點(diǎn)？想一想，這些對(duì)稱點(diǎn)可能在哪里？可以先畫(huà)一畫(huà)，觀察這些對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn)，再交流自己的想法。（教師提出明確的學(xué)習(xí)要求，并讓學(xué)生組建合作探究小組）

生5：我使用的是對(duì)折法，這樣就能夠找到與點(diǎn)B相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B′。

生6：我運(yùn)用數(shù)格子法，先確定點(diǎn)B，再向右數(shù)2個(gè)格子，就可以到達(dá)對(duì)稱軸，繼續(xù)向右數(shù)2個(gè)格子，就能找到點(diǎn)B′。

生7：我也是用這個(gè)方法。先從點(diǎn)C向右數(shù)一個(gè)格子，這樣可以到達(dá)對(duì)稱軸；然后從點(diǎn)C′向左數(shù)，只需要數(shù)一個(gè)格子，也能夠達(dá)到對(duì)稱軸；最后驗(yàn)證，即沿著對(duì)稱軸對(duì)折。

師：對(duì)于大家的做法，老師為你們點(diǎn)贊！大家不僅表達(dá)流利，而且進(jìn)行了驗(yàn)證。那么，觀察這些對(duì)稱點(diǎn)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生8：對(duì)稱點(diǎn)與對(duì)稱軸之間的格子數(shù)量是相等的，這說(shuō)明兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)和對(duì)稱軸之間的距離相等。

師：這位同學(xué)使用數(shù)格子法得出了這一結(jié)論，誰(shuí)的發(fā)現(xiàn)也是如此？大家還有其他的發(fā)現(xiàn)嗎？

生9：連接每一組對(duì)稱點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)連線會(huì)與對(duì)稱軸垂直。

師：這個(gè)發(fā)現(xiàn)是否正確呢？大家仔細(xì)觀察大屏幕（利用幾何畫(huà)板在對(duì)稱點(diǎn)之間連線），驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)確實(shí)如此。

師：看來(lái)，大家的探究結(jié)果非常正確。將點(diǎn)A與點(diǎn)A′連線后，發(fā)現(xiàn)連線和對(duì)稱軸相互垂直，由此驗(yàn)證了它們是軸對(duì)稱圖形中的一組對(duì)稱點(diǎn)。那么，大家在軸對(duì)稱圖形中能否找到其他的對(duì)稱點(diǎn)？（學(xué)生尋找對(duì)稱點(diǎn)）

師：大家找到了很多組對(duì)稱點(diǎn)，也就是說(shuō)，對(duì)于任意一點(diǎn)而言，都能夠在平面上找到與其相對(duì)應(yīng)的對(duì)稱點(diǎn)。那么，由它們所連成的線段是否也如此呢？

生10：也是這樣的。

生11：在軸對(duì)稱圖形中，對(duì)稱點(diǎn)是對(duì)應(yīng)的，圖形是對(duì)稱的，所以我認(rèn)為它們之間的連線也應(yīng)該有一些特殊的性質(zhì)。

師：大家仔細(xì)觀察一下，這些線段圍成了怎樣的圖形？

生12：都是軸對(duì)稱圖形。

師：大家非常了不起，能夠通過(guò)對(duì)稱點(diǎn)聯(lián)想到對(duì)稱線段，通過(guò)對(duì)稱線段聯(lián)想到軸對(duì)稱圖形。現(xiàn)在我們?cè)俅文闷疠S對(duì)稱圖形，體會(huì)點(diǎn)、線以及形沿著對(duì)稱軸完全重合的過(guò)程。

師：在格子圖的輔助下，我們快速地找到了對(duì)稱點(diǎn)，由點(diǎn)及線、形，層層深入探究和思考，完成了推理和證明過(guò)程，總結(jié)出了軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)。

……

上述教學(xué)，教師通過(guò)精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生探究，促進(jìn)了他們遷移學(xué)習(xí)方法，使學(xué)生可以基于對(duì)折自主發(fā)現(xiàn)對(duì)稱點(diǎn)，自然地感悟其與對(duì)稱軸之間的關(guān)系。這樣教學(xué)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)學(xué)生思維的有效引領(lǐng)，使學(xué)生可以準(zhǔn)確理解軸對(duì)稱的本質(zhì)，進(jìn)一步升華學(xué)生的認(rèn)知。

3.在補(bǔ)全中深化軸對(duì)稱概念

在“圖形與幾何”板塊內(nèi)容教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)概念也是重要的教學(xué)目標(biāo)。因此，在“軸對(duì)稱的再認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行深入探究，這樣才能實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)概念。

師：大家不僅掌握了軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)，還習(xí)得了一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)研究方法。那么，我們現(xiàn)在就利用掌握的知識(shí)和方法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。（課件出示例2）大家放飛想象，思考要使這個(gè)圖形完整，應(yīng)該怎樣操作？

生1：這個(gè)圖形應(yīng)該是個(gè)五角星。

師：能否將這個(gè)圖形補(bǔ)全？大家可以嘗試動(dòng)手操作。（學(xué)生操作后交流）

師：怎樣才能畫(huà)得又快又好？

生2：先畫(huà)出對(duì)稱點(diǎn)，再將它們連接起來(lái)。

師：為什么你們選擇的對(duì)稱點(diǎn)是這幾個(gè)呢？

生3：因?yàn)樗鼈兌嘉挥诙它c(diǎn)，只要找準(zhǔn)這些端點(diǎn)，就能夠畫(huà)得又快又準(zhǔn)。

師：只有先找準(zhǔn)關(guān)鍵點(diǎn)，才能夠做出合理的定位，才能夠?qū)⑦@些關(guān)鍵點(diǎn)串聯(lián)在一起，形成一個(gè)完整的圖形。（板書(shū)：第1步，找關(guān)鍵點(diǎn)；第2步，定位對(duì)稱點(diǎn)；第3步，連點(diǎn)成線，再成形）

……

三、引導(dǎo)靈活運(yùn)用，適度拓展延伸

在學(xué)生習(xí)得數(shù)學(xué)知識(shí)后，引導(dǎo)他們進(jìn)行靈活運(yùn)用十分重要。因此，教師要善于通過(guò)適度的拓展延伸，引導(dǎo)學(xué)生內(nèi)化所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)。本堂課中，在學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱的概念有了一定的掌握之后，引導(dǎo)他們靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決問(wèn)題，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展延伸十分重要，這樣能有效發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

師：通過(guò)剛才的動(dòng)手實(shí)踐，大家是否有所收獲呢？現(xiàn)在我們要用已掌握的知識(shí)和方法完成練習(xí)。

師：在之前的練習(xí)以及操作過(guò)程中，大家已經(jīng)掌握了補(bǔ)全對(duì)稱圖形的方法，現(xiàn)在我給大家提出一個(gè)挑戰(zhàn)，你們敢迎接挑戰(zhàn)嗎？大家看這條弧線，應(yīng)該如何繪制它的對(duì)稱圖形？可以先用手比劃一下。（學(xué)生比畫(huà)）

師：（課件呈現(xiàn)）大家看是不是這樣呢？現(xiàn)在我們要變換對(duì)稱軸，如果變換之后是這樣的（課件呈現(xiàn)），你認(rèn)為它們的對(duì)稱圖形有可能在哪里？找一位同學(xué)來(lái)指一指、畫(huà)一畫(huà)，說(shuō)一說(shuō)它的對(duì)稱圖形在哪里。（學(xué)生回答略）

師：在我們生活中有很多類似的軸對(duì)稱圖形，為我們的生活提供了豐富的裝扮，使生活更加美好?，F(xiàn)在老師將這些經(jīng)過(guò)裝飾之后的花朵送給你們，希望你們可以像它們一樣茁壯成長(zhǎng)、絢麗綻放。

……

這樣的練習(xí)，不僅能引導(dǎo)學(xué)生理解與把握軸對(duì)稱的本質(zhì)，還可以使學(xué)生充分體驗(yàn)到軸對(duì)稱圖形的美，激發(fā)他們熱愛(ài)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感，獲得了事半功倍的教學(xué)效果。

總之，在“圖形與幾何”板塊內(nèi)容教學(xué)中，要重點(diǎn)聚焦如何有效發(fā)展學(xué)生的空間觀念。首先，要求學(xué)生補(bǔ)全對(duì)稱圖形，完成畫(huà)法的優(yōu)化，這是以應(yīng)用的方式發(fā)展學(xué)生的空間觀念；其次，利用例題落實(shí)知識(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)；最后，實(shí)現(xiàn)更高思維層次的引領(lǐng)，利用弧線引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出對(duì)稱圖形，并在反復(fù)變換對(duì)稱軸之后，形成了美麗的花朵。這樣不僅能引發(fā)學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱圖形的關(guān)注，還能夠深化學(xué)生的理解，使學(xué)生在挑戰(zhàn)、探究的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)思維的發(fā)展。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 柯曉玲.小學(xué)數(shù)學(xué)“空間觀念”與“幾何直觀”中“核心素養(yǎng)”解讀：以北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)為例[J].中國(guó)校外教育，2019（20）：18，27.

[2] 林金香.小學(xué)數(shù)學(xué)空間觀念的培養(yǎng)策略探討[J].當(dāng)代教研論叢，2019（2）：75.

[3] 樊咪.核心素養(yǎng)下小學(xué)數(shù)學(xué)“空間觀念”教學(xué)的供給側(cè)改革[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（1）：21-23.

[4] 屠文婷.淺析小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的空間意識(shí)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2020（26）：55-56.

（責(zé)編 杜 華）