核心素養(yǎng)視角下幾道與球相關(guān)的?？碱}求解賞析*

江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 (330022) 梁夢嬌

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要模塊內(nèi)容，近年的高考卷中一般包括一道解答題和兩道客觀題.而且解答題主要考查學(xué)生對傳統(tǒng)立體幾何求解的一作、二證、三求等三個步驟要求的掌握情況，其中能較好考查到學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).相應(yīng)地，兩道客觀題的考查背景中以球為模型出現(xiàn)的頻數(shù)較高，本文例析幾道與球相關(guān)的?？碱}，賞析其在核心素養(yǎng)視角下的求解方法.

圖1

圖2

賞析：本題第二問的解法1為定義法，通過分別作三棱錐底面和某一側(cè)面的外心的垂線，進(jìn)而確定了外接球球心位置，考查學(xué)生直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).解法2為補(bǔ)體法，它將三棱錐補(bǔ)體成三棱柱，將三棱錐外接球半徑問題轉(zhuǎn)化為三棱柱外接球半徑，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生直觀想象素養(yǎng).解法3為公式法，它直接利用已知的半徑公式簡單快速的解決問題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

例2 (2021年江蘇省新高考基地學(xué)校大聯(lián)考試卷16題)已知等邊△ABC的邊長為2，點D,E分別在邊AC,BC上，且DE//AB，將ΔCDE沿DE折起，則四棱錐C-DABE的體積的最大值為________，此時四棱錐C-DABE的外接球的表面積為________.

圖3

賞析：本題第一問先用翻折角度的三角函數(shù)表示出四棱錐的高，確定高的最大值，再設(shè)值，用三次函數(shù)表示出四棱錐的體積，求導(dǎo)后利用函數(shù)單調(diào)性求最值問題，其中運用了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸及函數(shù)與方程等思想方法，能綜合考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).

例3 (2021年江蘇省六校適應(yīng)性試卷16題)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=13,AD=5,AA1=12,過點A且與直線CD平行的平面α將長方體分成兩部分，現(xiàn)同時將兩個球分別放入這兩部分幾何體內(nèi)，則在平面α變化的過程中，這兩個球的半徑之和的最大值為________.

解析：如圖4，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，過點A且與直線CD平行的平面α既有可能與平面CDD1C1相交，也有可能與平面A1B1C1D1相交.由對稱性可知，平面α無論與哪個平面相交，兩球半徑之和的最大值都是相同的，故解答僅考慮平面α與平面CDD1C1相交于直線MN的情況.

圖4

圖5

賞析：由求解可知，題中的長方體內(nèi)兩球半徑之和與二面角M-AB-C有關(guān)，關(guān)鍵是達(dá)到構(gòu)建以二面角為自變量再半徑之和為因變量的函數(shù)模型，再通過求函數(shù)最值達(dá)到解決本題最值問題，求解中考查學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).解法1通過作軸截面，將空間中球的半徑問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)圓的半徑問題，降低了思維難度，體現(xiàn)了平面化思想，考查學(xué)生直觀想象素養(yǎng).解法2用等體積法，將棱柱分割成幾個棱錐，利用幾何體等體積的性質(zhì)，求出球半徑，體現(xiàn)了整體轉(zhuǎn)化部分的思想，考查學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).

用上述三道例題的求解可以發(fā)現(xiàn)，在核心素養(yǎng)視角下，以球為模型的客觀題不再是單一的考查幾何體外接球的表面積和體積，它還會與軌跡、翻折、函數(shù)等問題相結(jié)合，這樣能更好地考查學(xué)生的核心素養(yǎng).