Boussinesq方程的孤子與Jacobi橢圓函數(shù)波的相互作用解及動力學研究

劉 鵬, 向靖峰

(貴州師范大學物理與電子科學學院, 貴陽 550025)

尋找非線性偏微分方程的解析解有助于解釋復雜的非線性物理現(xiàn)象, 非線性偏微分方程解析解的研究受到了許多數(shù)學家和物理學家的關(guān)注.隨著非線性研究的發(fā)展, 數(shù)學家和物理學家提出了很多有效的方法,例如分離變量法[1]、反散射法[2]、B?cklund變換[3]、Hirota雙線性變換法[4]、齊次平衡法[5]等,這些方法可以獲得非線性偏微分方程的孤立波解.隨著計算機技術(shù)的發(fā)展與非線性研究的深入, 計算機符號計算成為求解非線性偏微分方程的有力手段之一. 2000年,范恩貴[6]基于Riccati方程的精確解, 提出tanh函數(shù)展開法. 2001年, 劉式適等[7]提出了比Tanh函數(shù)展開法更通用的Jacobi橢圓函數(shù)展開法, 用于構(gòu)造非線性波動方程的精確周期解. 2015年, 樓森岳[8]利用Riccati方程, 提出了求解非線性系統(tǒng)的相容的Riccati展開方法,即CRE方法, 該方法可根據(jù)非線性偏微分方程的CRE可解性條件來構(gòu)造新的相互作用解．

1872年, 法國物理學家Boussinesq提出了著名的Boussinesq方程來解決兩個方向的淺水波運動問題.該方程為:

utt+αuxx+β(u2)xx+γuxxxx=0,

(1)

其中, 下角標x和t表示偏微分. Boussinesq方程主要用來研究等離子體物理、固體物理和流體力學等領(lǐng)域的物理現(xiàn)象[9]. 目前, 已經(jīng)有很多報道尋找Boussinesq方程精確解的有效方法. 例如, 文獻[3]利用B?cklund變換得到Boussinesq方程的孤子解和周期波解. 文獻[10]利用Riccati展開法得到了Boussinesq方程的孤立波解和三角函數(shù)解. 文獻[11]利用F展開法得到Boussinesq方程的多種精確行波解. 文獻[12]使用雅可比(Jacobi)橢圓函數(shù)展開法得到Boussinesq方程的Jacobi橢圓周期波和孤立波解. 文獻[13]基于齊次平衡法給出了Boussinesq方程新的精確解, 并且研究了方程的混沌行為. 以上的這些方法沒有得到孤立波與Jacobi橢圓周期波的相互作用解. 本文將樓森岳教授提出的CRE方法應用于Boussinesq方程, 得到了孤立波與Jacobi橢圓周期波的相互作用解, 通過改變Jacobi橢圓函數(shù)的模數(shù)得到了相互作用解的不同動力學行為, 并作圖說明了這種復雜解的物理意義．

1 CRE方法簡介

考慮一個非線性偏微分方程

p(t,x1,x2,…,xn,u)=0,

(2)

設方程(2)有如下形式解

(3)

這里,u與w是關(guān)于x,t的函數(shù);N為正整數(shù),其值由方程(1)中的非線性項和最高階導數(shù)項平衡得到;R(w)是Riccati方程的嚴格解[8].Riccati方程的形式為

Rw=σ+R(w)2,

(4)

這里,Rw表示(dR(W))/dw,σ是常數(shù).將(3)式和(4)式代入(2)式, 得到關(guān)于R(w)的方程, 并令R(w)各階次項的系數(shù)為零,求解得出ui的關(guān)系式,再將ui代入(3)式中進行求解就可以得到方程(2)的解.再令R(w)各階次項的系數(shù)為零,過程中得出方程數(shù)量多于未知數(shù)個數(shù)的情況,由此得到的代數(shù)方程組為超定方程組,解該超定方程組得到方程(2)的相容性條件

F(w)=0.

(5)

因此,只要方程(5)有解w(x,t), 將解w(x,t)代入(3)式中就可以得到方程(2)的解,即方程(5)是自洽的,說明非線性偏微分方程(2)是CRE相容系統(tǒng)[14].CRE方法可應用于證明一個系統(tǒng)為相容系統(tǒng),并適用于尋找一個非線性系統(tǒng)的相互作用解．

2 Boussinesq方程的奇異孤立波解和三角函數(shù)波解

考慮形如(1)式的Boussinesq方程, 設其形式解為(3)式, 通過平衡非線性項和最高階導數(shù)項得到N=2, 由此得到方程(1)的截斷展開解為

u=u0+u1R(w)+u2R(w)2,

(6)

這里,u0,u1,u2和w是關(guān)于x,t的函數(shù),R(w)是方程(4)的解,方程(4)含5個特解[15].

當σ<0時,

(7)

(8)

當σ>0時,

(9)

(10)

當σ=0時,

(11)

將(6)式和(4)式代入方程(1)中,從而得到關(guān)于R(w)的方程:

R(w)2u2tt+mu1wtt+2mR(w)u2ttwtt+

R(w)2u2xx+mu1wxx+2mR(w)u2wxx)+

2β((u0x+R(w)(u1x+R(w)u2x)+

m(u1+2R(w)u2wx)2+(u0+R(w)(u1+

R(w)u2))(2mu1xwx+4mR(w)u2xwx+

6R(w)4(6wx(2u2xwxx+wx(u2xx+u1wxx))+

4wx(6σu2xwxx+u1xxx)+

4wx(24σu2xwxx+u1xxx)+

(12)

其中,m=σ+R(w)2．

令方程(12)中R6系數(shù)為零,可得

(13)

令方程(12)中R5系數(shù)為零,可得

(14)

令方程(12)中R4系數(shù)為零,可得

(15)

令方程(12)中R3系數(shù)為零,并將式(13)～(15)代入,可得

(16)

將式(13)～(16)代入方程(12),求得Ri(w)的系數(shù),應用軟件mathematica 12.0驗證其系數(shù)均為零.所以, 方程(1)是CRE方法可解的.(16)式是Boussinesq方程的相容性條件,只要證明w是方程(16)的解,則方程(1)有解

(17)

構(gòu)造方程(16)有如下行波解

w=k1x+w2t,

(18)

這里,w是關(guān)于x,t的函數(shù),k1,k2為任意常數(shù)．

由式(17)、 (18)和(7)可得孤立波解

(19)

由式(17)、 (18)和(8)可得奇異孤立波解

(20)

由式(17)、 (18)、 (9)和(10)可得三角函數(shù)波解

(21)

(22)

3 Boussinesq方程的孤立波-周期波相互作用解

由方程(1)的CRE性質(zhì),可構(gòu)造該方程孤立波與Jacobi橢圓函數(shù)周期波的相互作用解.設(16)式的形式解為

w=k1x+w1t+F(k2x+w2t),

(23)

其中,k1,k2,w1和w1為任意常數(shù).且令

F(k2x+w2t)=F(ξ)=F,

(24)

其中,F滿足第一類橢圓函數(shù)方程

(25)

這里,F1=Fξ;C0,C1和C2是常數(shù).當

C0=1,C1=-(1+k2),C2=k2,

(26)

方程(25)存在特解[16]

F1=sn(ξ,k),

(27)

其中,sn表示Jacobi正弦函數(shù),k(0

(28)

這里,令Fξ的各階次項系數(shù)為零,可以解得

(29)

將(26)式代入(29)式,可以得出(28)式成立的條件,

(30)

這里,k1,k2和w2是不全為零的任意常數(shù).如上式(30)成立,則根據(jù)式(23)～(27),方程(16)有特解

(31)

其中,cn表示Jacobi余弦函數(shù),dn是第三種Jacobi正弦函數(shù)[16].由(31)式可知σ<0,滿足Riccati方程的特解為式(7)和(8).將上式(31)和(7)代入方程(17),同時取C=0,從而通過求解得出方程(1)的一個孤立波和Jacobi橢圓周期波的相互作用解,

(32)

基于式(32),如果自由參數(shù)取值如下:

k2=-0.6,k1=0.8,w2=0.5,β=-1,

(33)

可以得到孤立波-Jacobi橢圓周期波相互作用解的空間結(jié)構(gòu)和時間演化,如圖1所示.不同顏色曲線表示模數(shù)取值不同, 其取值分別為k=0.001(綠色),k=0.5(紅色),k=0.999(藍色).圖2是圖1對應的時-空演化圖及其密度圖.從圖1(a)結(jié)構(gòu)圖可以看出,k=0.001(接近模量下限0的值), 相互作用解u退化為單個鐘型孤立波, 且幅度數(shù)值只接近1.808; 當k=0.5, 相互作用解u表現(xiàn)出含周期波的孤立波, 且幅度數(shù)值達到10左右.從圖2可看出, 當k=0.001和0.5時, 孤立波-Jacobi橢圓周期波相互作用隨時間變化的過程中,振幅幾乎保持不變, 體現(xiàn)了孤子能量守恒的性質(zhì).但當k=0.999(接近模量上限1的值)時, 從圖1(a)和圖2(c)看出u呈現(xiàn)出周期型變化,但從密度圖2(f)可以看出, 孤立波-Jacobi橢圓周期波相互作用導致了波形和幅度發(fā)生了變化．

4 結(jié)論

本文用CRE方法求解Boussinesq方程, 得到Boussinesq方程的相容性方程(16), 說明該非線性方程CRE可解.通過構(gòu)造相容性方程(16)的不同形式解, 得到了Boussinesq方程單孤子解, 以及孤子與Jacobi橢圓正弦周期波的相互作用解.進一步, 作圖說明了在不同模數(shù)k條件下, 孤子與Jacobi橢圓正弦周期波的相互作用解的結(jié)構(gòu),以及隨時間演化的動力學行為. Boussinesq方程是一個著名的孤立子方程, 應用于眾多科學領(lǐng)域, 本文結(jié)論有利于深入認識該方程的物理意義．