“橢圓的扁平程度”微探究活動(dòng)的思考與設(shè)計(jì)*

鄒信武

(廣西南寧市第三中學(xué) 530021)

1 “橢圓的扁平程度”教學(xué)中的問(wèn)題

“橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)3.1“橢圓”的第二課時(shí)內(nèi)容.本節(jié)課一方面要使學(xué)生掌握橢圓的幾何性質(zhì),另一方面要通過(guò)橢圓方程的討論研究橢圓的幾何性質(zhì),體會(huì)用坐標(biāo)法研究幾何性質(zhì)的基本思路與方法,感受通過(guò)代數(shù)運(yùn)算研究曲線性質(zhì)所具有的程序化、普適性等特點(diǎn)．

在本節(jié)課中,離心率e與橢圓的扁平程度是課堂教學(xué)重點(diǎn)之一．在筆者參與的一次本課時(shí)的同課異構(gòu)教學(xué)活動(dòng)中,幾位教師對(duì)于“橢圓的扁平程度”部分的教學(xué)大致有以下三種處理方式:

方式1 直接給出特殊橢圓,教師引導(dǎo)并歸納

追問(wèn)1 這兩個(gè)橢圓的扁平程度不同是由方程中的哪個(gè)量的變化引起的?

追問(wèn)2 你認(rèn)為可以用一個(gè)怎樣的關(guān)系式來(lái)定量刻畫橢圓的扁平程度呢?(利用幾何畫板演示動(dòng)態(tài)變化的橢圓,以此提供直觀支持)

方式2 通過(guò)信息技術(shù)演示發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究發(fā)現(xiàn)

問(wèn)題(教師通過(guò)幾何畫板演示)我們可以看到a,b,c的變化會(huì)影響橢圓扁平程度．請(qǐng)同學(xué)們思考,需要幾個(gè)量才能發(fā)生變化?(與學(xué)生辨析分離出兩個(gè)基本量:a和c)

追問(wèn) 用a和c的怎樣的關(guān)系刻畫呢?

數(shù)學(xué)活動(dòng) 細(xì)繩實(shí)驗(yàn)．分別固定焦距、調(diào)整繩子長(zhǎng)度與固定繩長(zhǎng)、調(diào)整焦距,觀察橢圓“扁”的程度變化規(guī)律．

方式3 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)歸納,代數(shù)運(yùn)算分析

(1)橢圓的扁平程度概念模糊．在沒(méi)有明確定義的情況下,“扁平程度”是一個(gè)視覺(jué)效果,具有相對(duì)性,只有在差異明顯時(shí)學(xué)生才能識(shí)別．正因?yàn)閷W(xué)生對(duì)于扁平程度沒(méi)有清楚的認(rèn)識(shí),所以多數(shù)學(xué)生無(wú)法意識(shí)到橢圓可能存在“相似”的情況,進(jìn)而間接影響了學(xué)生思考為什么使用“比”來(lái)判斷橢圓的扁平程度,而不使用“差”進(jìn)行判斷．

(2)幾何關(guān)系的觀察與提煉太草率．教材中呈現(xiàn)該部分內(nèi)容時(shí),采用了“先用幾何眼光觀察,再用坐標(biāo)法解決”的編排思路．橢圓的前幾條性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性等)幾何特征較為明顯,因此不需要太多圖象進(jìn)行對(duì)比提煉．但是對(duì)于橢圓的扁平程度,沒(méi)有大量的圖象對(duì)比作為基礎(chǔ),讓學(xué)生提煉出這一幾何關(guān)系是非常困難的．其實(shí)這一點(diǎn)在教材第111頁(yè)“思考”中也有教學(xué)提示:如圖1,對(duì)于左邊這些橢圓,顯然呈現(xiàn)出不同的“扁平程度”,但是對(duì)于右圖呢,它們的扁平關(guān)系是怎樣的?其實(shí)應(yīng)該是“扁平程度一樣的橢圓”,即相似橢圓．

圖1

(3)忽視選擇a,c(或a,b)研究橢圓的扁平程度的思辨過(guò)程．三種方式從直接作圖、信息技術(shù)演示和“細(xì)繩實(shí)驗(yàn)”分析出選取a,c(或a,b)作為參考量,再引導(dǎo)學(xué)生探究它們的關(guān)系,整個(gè)過(guò)程看似自然,實(shí)則不然．三種設(shè)計(jì)都有太多教師“直接給予”的成分,缺乏從學(xué)生角度的思考——為什么先固定了其中一個(gè)量?在高中階段分析兩個(gè)參數(shù)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的作用時(shí),常常會(huì)先固定其中一個(gè)參數(shù),分析另一個(gè)參數(shù)的作用和影響,再反過(guò)來(lái)用同樣的方法研究另一個(gè)參數(shù),最后綜合分析．思考問(wèn)題的這種方法應(yīng)該是在教學(xué)中要讓學(xué)生體會(huì)的．上述的幾種教學(xué)設(shè)計(jì)中顯然忽略了這一點(diǎn)．

圖2

2 “橢圓的扁平程度”教學(xué)再設(shè)計(jì)

2.1 “橢圓的扁平程度”探究活動(dòng)再認(rèn)識(shí)

在《課標(biāo)2020》中,數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的具體表現(xiàn)為[1]:發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題,猜測(cè)合理的數(shù)學(xué)結(jié)論,提出解決問(wèn)題的思路與方案,通過(guò)自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論．在實(shí)際教學(xué)中,某些探究活動(dòng)不具備完整的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的環(huán)節(jié),它只是課堂的一個(gè)環(huán)節(jié),是教師根據(jù)教學(xué)目標(biāo),設(shè)置合理的數(shù)學(xué)問(wèn)題和組織形式開(kāi)展的探究活動(dòng),我們可以簡(jiǎn)稱為“微探究活動(dòng)”[2]．在微探究活動(dòng)中,教師做引導(dǎo),學(xué)生是主體,探究?jī)?nèi)容為載體,數(shù)學(xué)思維是鏈條,以此培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)性、創(chuàng)造性、應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐意識(shí)．探究橢圓的扁平程度就是一個(gè)典型的微探究活動(dòng)．

解析幾何是一門方法論色彩濃厚的學(xué)科,教學(xué)中應(yīng)當(dāng)以“坐標(biāo)法研究問(wèn)題”為主線,以讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)坐標(biāo)法和數(shù)形結(jié)合思想為主要任務(wù)．因此,根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)微探究活動(dòng)的特點(diǎn),結(jié)合解析幾何方法論知識(shí),可以把“橢圓的扁平程度”探究活動(dòng)大致分為三個(gè)環(huán)節(jié):幾何直觀—代數(shù)表達(dá)—論證與幾何解釋(圖3)．代數(shù)表達(dá)是這個(gè)探究活動(dòng)的核心,是發(fā)展學(xué)生理性思維和科學(xué)精神的重要環(huán)節(jié)．在代數(shù)表達(dá)環(huán)節(jié),主要解決兩個(gè)問(wèn)題:一是橢圓的扁平程度與什么量有關(guān);二是如何用a,c刻畫橢圓的扁平程度．為實(shí)現(xiàn)探究活動(dòng)的預(yù)期目標(biāo),教師應(yīng)設(shè)置恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題和利用信息技術(shù)輔助教學(xué)．

圖3 探究橢圓扁平程度的三個(gè)環(huán)節(jié)

2.2 “橢圓的扁平程度”探究活動(dòng)再設(shè)計(jì)

問(wèn)題1我們剛剛得到的“范圍”“對(duì)稱性”和“頂點(diǎn)”這些性質(zhì)是從一個(gè)橢圓圖形得到的,如果我們把多個(gè)橢圓放在一起,你能發(fā)現(xiàn)橢圓的其他特征嗎?請(qǐng)大家觀察圖1和動(dòng)畫演示．

(教師投影圖1,并演示GeoGebra制作橢圓動(dòng)畫.如圖4,保持一個(gè)橢圓不變化,設(shè)置另外一個(gè)橢圓的兩個(gè)參數(shù)a,b自動(dòng)變化,形成一個(gè)自由變化的橢圓．注:此時(shí)隱藏四個(gè)參數(shù)的滾動(dòng)條)

圖4 GeoGebra演示

設(shè)計(jì)意圖這是一個(gè)比較開(kāi)放的問(wèn)題,目的是在圖形的對(duì)比中觸發(fā)學(xué)生的直觀想象.學(xué)生的答案可能出現(xiàn)大小、圓扁、相似、周長(zhǎng)和面積等,教師充分收集學(xué)生的結(jié)果,重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生是否發(fā)現(xiàn)大小相等、相似和扁平程度等幾何關(guān)系．同時(shí),教師指引學(xué)生先關(guān)注橢圓的扁平程度．

問(wèn)題2我們發(fā)現(xiàn),不同形狀的橢圓扁平程度不同,相同形狀的橢圓的扁平程度相同．扁平程度是橢圓的重要形狀特征,你能用適當(dāng)?shù)牧慷靠坍嫏E圓的扁平程度嗎?你覺(jué)得我們應(yīng)該如何開(kāi)始研究呢?

設(shè)計(jì)意圖將學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)引向橢圓的扁平程度,并布置下一個(gè)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)任務(wù):用適當(dāng)?shù)牧慷靠坍嫏E圓的扁平程度．這個(gè)問(wèn)題的容量是比較大的,學(xué)生需要考慮許多因素才能回答這個(gè)問(wèn)題,而這恰是我們數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一——教會(huì)學(xué)生思考．因此,提出這個(gè)問(wèn)題后,教師留一定時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立思考,再根據(jù)學(xué)生的情況,設(shè)置追問(wèn),引導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題進(jìn)一步具體化．

追問(wèn)1 橢圓的扁平程度與橢圓的什么量有關(guān)系呢?你是如何判斷的?

設(shè)計(jì)意圖從幾何直觀中分析影響扁平程度的因素,并設(shè)計(jì)檢驗(yàn)方案．在這里,采用何種方式分析兩個(gè)參數(shù)是關(guān)鍵,教學(xué)中教師可以進(jìn)行針對(duì)性提問(wèn)．檢驗(yàn)過(guò)程可以根據(jù)教學(xué)條件采取不同的方案,例如:

方案1學(xué)生使用信息技術(shù),分別保持a(或b)不變,觀察b(或a)變化時(shí)橢圓如何變化．分別保持a(或c)不變,觀察c(或a)變化時(shí)橢圓如何變化．

方案2細(xì)繩實(shí)驗(yàn):分別固定繩長(zhǎng)、調(diào)整焦點(diǎn)位置和固定焦點(diǎn)位置、改變繩長(zhǎng),觀察橢圓的變化．

追問(wèn)2 我們已經(jīng)確定橢圓的扁平程度與a,c都有關(guān)系,a,c是如何一起作用于橢圓的扁平程度呢?結(jié)合剛剛的小實(shí)驗(yàn),你能找到與a,c相關(guān)的一個(gè)量來(lái)刻畫這個(gè)現(xiàn)象嗎?請(qǐng)給出猜想論證．

設(shè)計(jì)意圖這是探究的重點(diǎn),具有方法論意義,它體現(xiàn)了用數(shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)客觀世界的現(xiàn)象和規(guī)律．教師引導(dǎo)學(xué)生從剛剛進(jìn)行的小實(shí)驗(yàn)中的現(xiàn)象尋找變化規(guī)律、提煉關(guān)系式,并引出離心率的概念．因?yàn)楸咎骄繂?wèn)題的發(fā)散性,教師將學(xué)生分成小組進(jìn)行合作思考,并提前準(zhǔn)備了幾個(gè)預(yù)案:

預(yù)案2如果有學(xué)生用a-c(或c-a)表示,引導(dǎo)學(xué)生用信息技術(shù)實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)a-c(或c-a)相同時(shí)橢圓的圓扁變化(注意大小不同、扁平程度相同的橢圓的情況)．

如果沒(méi)有學(xué)生提出用a-c(或c-a)表示,此時(shí)教師應(yīng)該在學(xué)生驗(yàn)證了預(yù)案1的猜想之后提出追問(wèn):我們能用a-c(或c-a)刻畫橢圓的扁平程度嗎?再回到預(yù)案2．

問(wèn)題3回顧剛才研究橢圓扁平程度的過(guò)程,請(qǐng)回答以下問(wèn)題:

(1)我們剛才依次做了哪些工作?

(2)在這一過(guò)程中碰到了什么問(wèn)題,我們是如何解決它的?

(3)你覺(jué)得今后還可以研究橢圓的哪些性質(zhì)?應(yīng)該如何開(kāi)始呢?

設(shè)計(jì)意圖每一個(gè)探究都應(yīng)該有小結(jié),小結(jié)中教師應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生回顧探究過(guò)程,提煉方法,讓學(xué)生再一次體會(huì)數(shù)學(xué)思想,并促使學(xué)生對(duì)未來(lái)要探究的數(shù)學(xué)問(wèn)題展開(kāi)聯(lián)想．

3 結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)是訓(xùn)練思維的學(xué)科,是教會(huì)人思考的學(xué)科．在探究活動(dòng)中,教師不僅不能代替學(xué)生的思考,更應(yīng)該促進(jìn)思考的發(fā)生與生成．小環(huán)節(jié)體現(xiàn)大智慧,教師在教學(xué)中充分理解并運(yùn)用好教材,組織行之有效的微探究活動(dòng),是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑．