擺式摩擦發(fā)電機(jī)非線性機(jī)電耦合建模研究1)

韓勤鍇 高 帥 邵卿洋 褚福磊

* (清華大學(xué)高端裝備界面科學(xué)與技術(shù)全國重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100084)

? (米蘭理工大學(xué)機(jī)械學(xué)院,意大利米蘭 20156)

引言

憑借結(jié)構(gòu)多樣、輸出穩(wěn)定、能量轉(zhuǎn)換效率高、成本低、環(huán)境適應(yīng)能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn),摩擦納米發(fā)電機(jī)(triboelectric nanogenerators,TENG)在環(huán)境振動能量收集中受到廣泛關(guān)注[1-2].自然環(huán)境中大量存在的是低頻振動能量.例如,人走路的頻率大致在2～3 Hz 之間,海浪波動以及高層或大型建筑的振動頻率大都集中在10 Hz 以下甚至更低[3-4].通過合理設(shè)計(jì)擺長,可有效降低單擺固有頻率,使其在低頻(甚至超低頻)振動激勵下即可實(shí)現(xiàn)共振,進(jìn)而大幅提升能量采集器的表現(xiàn)[5-7].因此,結(jié)合單擺結(jié)構(gòu)的摩擦發(fā)電機(jī)(pendulum-type TENG,P-TENG),自然成為學(xué)界關(guān)注的焦點(diǎn)[8-9].開展輸出特性建模與參數(shù)敏感性分析,將有助于P-TENG 的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì),進(jìn)而推動P-TENG 向工程實(shí)用化方向發(fā)展[10-11].

開展TENG 輸出特性分析的核心是明確輸出電壓、摩擦電荷和電極距離之間的關(guān)系,即V-Q-x關(guān)系.采用等效電路方法,Niu 等[12]首次開展這方面的研究.分別針對具有不同結(jié)構(gòu)形式的TENG (包括滑動結(jié)構(gòu)[13]、單電極結(jié)構(gòu)[14]、光柵結(jié)構(gòu)[15]等),建立了相應(yīng)的輸出特性分析模型.為了提升模型的預(yù)測表現(xiàn),不少學(xué)者從電荷轉(zhuǎn)移機(jī)制[16-17]、接觸界面微觀形狀[18-19]、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化[20-23]和初始?xì)堄嚯姾蒣24]等多個角度,對TENG 輸出特性分析模型進(jìn)行了持續(xù)的改進(jìn).但是,現(xiàn)有研究仍然采用線性諧波函數(shù)近似電極分離距離的變化.當(dāng)振動頻率接近或等于固有頻率時(shí),單擺大幅擺動,引起顯著的非線性效應(yīng).已有研究證實(shí)線性函數(shù)近似將使模型產(chǎn)生較大的預(yù)測誤差[25-27].但這些研究所考慮的非線性效應(yīng)是由電極之間或介電層與電極之間的非連續(xù)碰撞引起的,尚無研究涉及P-TENG 中單擺大幅擺動引起的非線性效應(yīng).

因此,本研究開展用于P-TENG 輸出特性分析的非線性機(jī)電耦合建模.在摩擦發(fā)電機(jī)理分析的基礎(chǔ)上,提出了等效電容模型;結(jié)合能量原理和等效電路方法,建立了考慮擺角非線性變化的機(jī)電耦合模型.利用諧波平衡法,解析求解P-TENG 的周期穩(wěn)態(tài)輸出,并判斷結(jié)果的穩(wěn)定性.采用數(shù)值積分和動態(tài)測試兩種手段,驗(yàn)證諧波平衡結(jié)果的準(zhǔn)確性.通過對比P-TENG 工作帶寬和最大輸出電流的變化,說明考慮非線性效應(yīng)的必要性.在此基礎(chǔ)上,討論設(shè)計(jì)參數(shù)(包括激勵幅值、阻尼比、間隙長度和電極夾角)對系統(tǒng)動態(tài)輸出特性的影響.通過構(gòu)建多種擬合模型,為P-TENG 輸出性能設(shè)計(jì)提供依據(jù).最后,總結(jié)論文的結(jié)論.

1 非線性機(jī)電耦合模型

1.1 摩擦發(fā)電機(jī)理

所研究的P-TENG 結(jié)構(gòu)如圖1 所示,包括扇形單擺、中心軸和圓形基板等.扇形單擺的材質(zhì)為聚四氟乙烯(PTFE),通過滾動軸承支承在中心軸上,可繞軸心往復(fù)擺動.建立軸心O為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)系O-x-y,單擺質(zhì)心半徑為rp.當(dāng)P-TENG 受到環(huán)境振動激勵力Fx(t)時(shí),質(zhì)心相對平衡位置的擺角為θ,且規(guī)定向右為正,如圖1 所示.圓形基板上設(shè)置左右銅電極,夾角為α.極性不同的單擺和銅電極經(jīng)過若干次接觸滑動后,在其表面將分別帶上等量異號的摩擦電荷,并隨著滑動次數(shù)的增加逐漸達(dá)到電荷飽和.因單擺的材質(zhì)為PTFE,其表面摩擦電荷可以駐留較長時(shí)間而不衰減.

圖1 P-TENG 結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of the P-TENG

左、右電極與扇形PTFE 單擺,共同構(gòu)成自由層模式TENG.為了便于分析摩擦發(fā)電機(jī)理,可沿基板圓形環(huán)面剖切,截面如圖2 所示.假定圖2 中(i)為初始位置.根據(jù)電荷守恒定律,PTFE 單擺的摩擦電荷量與左電極的摩擦電荷量相等.兩電極電勢差為零,外電路沒有電流產(chǎn)生.當(dāng)PTFE 單擺相對于基板擺動至位置(ii)時(shí),在靜電感應(yīng)作用下,電荷會通過外電路,從左電極運(yùn)動到右電極;當(dāng)PTFE 單擺擺動至位置(iii)時(shí),左電極上的電荷完全移動至右電極,使其與PTFE 單擺表面的電荷量相等.此時(shí),外電路中電流為零.當(dāng)PTFE 單擺回?cái)[至位置(iv)時(shí),電荷會通過外電路,從右電極移動到左電極.如此循環(huán)往復(fù),在外電路中形成交變電流,實(shí)現(xiàn)了外部機(jī)械能到電能的轉(zhuǎn)換.基于COMSOL 靜電場仿真模塊,計(jì)算了上述4 個位置時(shí),PTFE 單擺與左右電極截面之間的電勢差分布,如圖3 所示.仿真結(jié)果與上述結(jié)果具有較好的一致性,從而驗(yàn)證了原理分析的準(zhǔn)確性.

圖3 基于COMSOL 的靜電場仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results based on the COMSOL

1.2 等效電容分析與擬合

PTFE 單擺與左右電極組成了一種獨(dú)立層式可變電容器,可將其簡化為如圖4 所示帶負(fù)載Re的等效電路系統(tǒng).圖中Cp-l和Cp-r表示PTFE 單擺與左右電極的電容,二者是串聯(lián)關(guān)系;而與平板式獨(dú)立可變電容器不同的是,單擺無法完全隔開兩個電極,因此還存在Cl-r,表示兩個電極之間的電容,與前兩者是并聯(lián)關(guān)系.3 個電容值均為擺角θ的函數(shù).鑒于結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性,基于COMSOL 建立了三維電容仿真模型,如圖5 所示.仿真時(shí)結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1 所示.單擺與電極表面的間距為δ=0.2 mm.PTFE 材料的相對介電常數(shù)設(shè)置為2.引入真空介電常數(shù)ε0和長度L=1 m,將計(jì)算得到的電容值進(jìn)行無量綱處理.

表1 電容仿真時(shí)P-TENG 結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Structural parameters of the simulated P-TENG

圖4 帶負(fù)載的等效電路系統(tǒng)Fig.4 Equivalent circuit system with external resistance

圖5 等效電容仿真模型 (單位: mm)Fig.5 The three-dimensional capacitance simulation model based on COMSOL (unit: mm)

通過靜電場計(jì)算得到無量綱電容值隨擺角的變化曲線,如圖6(a)所示.當(dāng)擺角θ由-90°增加至90°時(shí),Cp-l先緩慢降低;在θ=0°附近,快速降低;進(jìn)而緩慢降低.與之相反,Cp-r先緩慢增加,在θ=0°附近,快速增加;進(jìn)而緩慢增加.Cl-r幾乎保持不變,因此在后續(xù)分析中將著重考慮Cp-l和Cp-r.考慮到后續(xù)將用到電容倒數(shù)值,可采用如下函數(shù)進(jìn)行擬合

圖6 等效電容仿真結(jié)果Fig.6 Capacitance simulation results

式中,a1=11.331 1,a2=10.099 7,a3=0.040 9,a4=1.419 0分別為相應(yīng)的擬合系數(shù).擬合曲線如圖6(b)所示.結(jié)構(gòu)尺寸不同,對應(yīng)的擬合系數(shù)值也有所不同.

1.3 解析建模

根據(jù)圖1 中的幾何關(guān)系,當(dāng)滾動角為θ時(shí),可得單擺質(zhì)心水平和垂向位移為xp=rpsinθ和yp=rp(1-cosθ).假定單擺表面摩擦電荷均勻分布,電荷量為σS,其中σ為摩擦電荷密度,S為單擺表面積.電容Cp-l的極板電荷為Q,電容Cp-r的極板電荷為Q-σS.系統(tǒng)的動能、勢能以及耗散能(實(shí)為耗散功率)可分別表示如下

式中,mp和Jp表示單擺質(zhì)量和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量,g為重力加速度,cp表示系統(tǒng)阻尼系數(shù).考慮外力作用引起的廣義力可表示為:Fx(t)=mpax(t),其中ax(t)表示加速度.將式(1)和式(2)代入式(3)～式(5)中,基于拉格朗日方程,并取sinθ≈θ-θ3/6 和cosθ≈ 1-θ2/2,可得P-TENG 的機(jī)電耦合方程如下

從式(6)和式(7)可以看出,由于機(jī)電耦合效應(yīng),使得單擺擺動方程中出現(xiàn)與電荷Q相關(guān)項(xiàng),而電路方程中出現(xiàn)與擺角θ相關(guān)的系數(shù).此外,式(6)中還出現(xiàn)了擺角的二次項(xiàng)和三次項(xiàng)(即θ2和θ3),其為非線性效應(yīng)的具體表現(xiàn).后續(xù)研究中,也將重點(diǎn)討論非線性效應(yīng)對系統(tǒng)輸出特性的影響.若忽略耦合項(xiàng)對摩擦電荷的影響,在小幅擺角下,系統(tǒng)的固有頻率可表示為

采用SolidWorks 求算單擺對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量及質(zhì)心的半徑,得mp=0.019 7 kg,Jp=6.533 kg·mm2,rp=30.612 mm,代入式(8),計(jì)算得ω0≈ 2.45 Hz.

將時(shí)變加速度激勵設(shè)定為諧波形式,即ax(t)=ax0cos(ωxt),其中ax0和ωx分別表示激勵幅值和頻率.引入無量綱時(shí)間為τ=ω0t,角位移尺度θ0=π/2,無量綱擺動位移為θn=θ/θ0.無量綱電荷可表示為Qn=Q/(σS).阻尼比ζ=cp/[2(mprp2+Jp)ω0],無量綱激勵幅值an=ax0/(Lω02)和頻率ωn=ωx/ω0.將上述變量代入式(6)和式(7),可得無量綱化后的機(jī)電耦合模型為

2 分析方法

作為數(shù)值積分方法的替代方法,諧波平衡法(HBM)可用于求解非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)周期解[28].與經(jīng)典的攝動法、多尺度法等相比,諧波平衡法的優(yōu)點(diǎn)是普適性強(qiáng),對于強(qiáng)非線性系統(tǒng)也可獲得滿意的結(jié)果.將上一節(jié)得到的機(jī)電耦合方程表示為矩陣形式

其中y=[θn,Qn]T表示自由度向量,A,B,C分別表示系數(shù)矩陣,具體表達(dá)式如下

Fxq由無量綱化的外部激勵力、非線性激勵力和機(jī)電耦合力組成,可表示為

單擺運(yùn)動的穩(wěn)定解可表示為如下Fourier 級數(shù)形式

式中,N表示Fourier 級數(shù)的階數(shù),Yk表示系數(shù)向量.穩(wěn)定解對τ的一階和二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為

由于不同參數(shù)和初始條件下,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解所對應(yīng)的諧波組合都不同,考慮對系統(tǒng)響應(yīng)具有顯著影響的低階諧波.不失一般性,可將Fxq分為線性部分G(τ)和非線性部分Fu(τ)的疊加,二者可分別表示為傅里葉級數(shù)形式

式中,Gk和Fuk分別為線性和非線性激勵力的傅里葉系數(shù)向量.將式(14)～式(18)代入式(11),通過運(yùn)算平衡掉同次諧波項(xiàng),可得到一組代數(shù)方程組.如果取到N次諧波,則可得2(2N+1)個方程,由此可求出包含有N次諧波的近似解.對于第k階諧波系數(shù),有如下關(guān)系

由于非線性力Fu(τ)是自由度y的函數(shù),因此其傅里葉系數(shù)Fuk也是Yk的函數(shù).因非線性因素的影響,上式需要數(shù)值方法求解.借助Carmeron 等[29]提出的時(shí)頻變換方法,可以將系統(tǒng)數(shù)值響應(yīng)信號由時(shí)域變換到頻域,進(jìn)而可以確定系統(tǒng)響應(yīng)中所包含的主要頻率成分,求解具有高階截?cái)嗟腨與Fu級數(shù)解形式,即

基于此,非線性代數(shù)方程組(見式(19))可通過Newton-Raphson 迭代方法求解.因分叉導(dǎo)致的系統(tǒng)多解區(qū),需借助弧長延拓技術(shù)進(jìn)行有效跟蹤[30].盡管諧波平衡法能夠求解系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng),但并不意味著該響應(yīng)是穩(wěn)定的.因此,有必要研究周期解的穩(wěn)定性問題.為了保持頻域方法的計(jì)算效率,需要開展頻域穩(wěn)定性分析.具體流程可參考文獻(xiàn)[25-26].

3 模型驗(yàn)證與對比

3.1 數(shù)值積分

采用數(shù)值積分和動態(tài)測試兩種手段,驗(yàn)證所提出的基于HBM 的P-TENG 輸出特性分析結(jié)果的準(zhǔn)確性.仿真和試驗(yàn)測試的P-TENG 參數(shù)已在第1 節(jié)中給出.表面摩擦電荷密度σ=1 nC/cm2,無量綱激勵幅值an=0.005 且頻率ωn的變化范圍為[0.5,1.5].考慮短路條件(Re≈0 Ω),采用HBM 和數(shù)值積分方法(numerical integration,NI)求解單擺角位移和表面電荷,如圖7 和圖8 所示.其中HBM 解的穩(wěn)定性判別結(jié)果也在圖中給出.當(dāng)ωn由0.5 增加至1 (即為線性系統(tǒng)固有頻率)時(shí),擺角和電荷響應(yīng)曲線均出現(xiàn)向左傾斜的現(xiàn)象.這是由于單擺擺動幅度的增加,系統(tǒng)非線性“軟特性”效應(yīng)增強(qiáng)導(dǎo)致的.HBM 結(jié)果與NI 結(jié)果吻合較好,初步驗(yàn)證了所提出的輸出特性分析方法是可靠的.當(dāng)諧波次數(shù)N由4 增加至6 時(shí),響應(yīng)峰值有所下降;繼續(xù)增加N至8 時(shí),響應(yīng)峰值幾乎保持不變,表明低階諧波對P-TENG 輸出特性的影響占主導(dǎo).后續(xù)的分析將取N=6.

圖7 單擺最大擺角隨激勵頻率變化曲線Fig.7 Pendulum angle vs.excitation frequency solved by HBM and NI

圖8 P-TENG 表面摩擦電荷隨激勵頻率變化曲線Fig.8 Surface charge vs.excitation frequency solved by HBM and NI

3.2 動態(tài)測試

圖9 給出了基于直線電機(jī)的動態(tài)測試平臺,其中P-TENG 樣機(jī)如圖特寫所示.直線電機(jī)產(chǎn)生周期性的振動激勵,其頻率和幅值分別由內(nèi)置的信號發(fā)生器和功率放大器控制.P-TENG 的左右電極外接負(fù)載電阻,通過靜電計(jì)和NI 數(shù)據(jù)采集模塊實(shí)時(shí)采集并記錄動態(tài)電流,進(jìn)而通過PC 進(jìn)行后處理分析,得到P-TENG 的輸出特性.動態(tài)測試中記錄的是流經(jīng)負(fù)載電阻的電流信號,而機(jī)電耦合模型中只能得到表面電荷信號,需要計(jì)算電荷對時(shí)間的微分,以獲得實(shí)時(shí)電流,即

圖9 基于直線電機(jī)的P-TENG 動態(tài)測試平臺Fig.9 Dynamic test platform based on a linear motor

同時(shí),需將試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行無量綱化,根據(jù)第2 節(jié)中定義的電荷和時(shí)間尺度,可知需將試驗(yàn)結(jié)果得到的電流值除以σSω0.外接負(fù)載電阻Re=1 MΩ 時(shí),實(shí)測和HBM 計(jì)算的輸出電流均方根值隨激勵頻率的變化結(jié)果如圖10(a)所示.當(dāng)ωn接近或者等于系統(tǒng)固有頻率時(shí)(即ωn≥ 1),由于“軟特性”非線性的影響,輸出電流響應(yīng)曲線有明顯向左傾斜的現(xiàn)象,這樣對P-TENG 工作頻帶的拓寬是有利的.試驗(yàn)結(jié)果很好印證了HBM 結(jié)果,進(jìn)一步驗(yàn)證了理論模型和所采用的分析方法是合理的.當(dāng)ωn=0.87 時(shí),實(shí)測和HBM 得到的輸出電流和功率密度隨負(fù)載電阻的變化情況如圖10(b)所示.隨著負(fù)載電阻的增加,輸出電流先緩慢下降,而后迅速降低;而功率密度則先增加后降低,在Re=200 MΩ 附近取得最大值,約為1500 μW/m2.試驗(yàn)與HBM 結(jié)果較為一致,進(jìn)一步驗(yàn)證了理論模型的準(zhǔn)確性.

圖10 HBM 結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的對比Fig.10 Comparison of HBM results with test results

3.3 與線性模型的對比

圖11 對比了考慮非線性效應(yīng)與否對單擺擺動角的影響.當(dāng)ωn遠(yuǎn)離系統(tǒng)固有頻率時(shí)(ωn? 1 或ωn? 1),考慮非線性效應(yīng)與否對結(jié)果影響不大.從式(6)來看,相當(dāng)于θ3的影響可忽略不計(jì).當(dāng)ωn處于1 附近時(shí),由于振幅較大,此時(shí)θ3的影響不可忽略.根據(jù)式(6),非線性的作用使得系統(tǒng)剛度被削弱,表現(xiàn)為“軟特性”.因此,曲線峰值向左偏移,因非線性軟特性效應(yīng)也使得最大擺角顯著增加.未考慮非線性效應(yīng)時(shí),擺角曲線的峰值以ωn=1 對稱.選取ωn=0.92 (case 1)和ωn=1.04 (case 2)兩種情況,對比了擺角穩(wěn)態(tài)響應(yīng)及其頻譜,如圖12(a)和圖12(b)所示.對于情況1,考慮非線性效應(yīng),使得穩(wěn)態(tài)擺角幅值大于未考慮非線性效應(yīng)的情況,且頻譜中激勵頻率的3 倍頻(3ωn)較為明顯;對于情況2,則剛好與情況1 相反,且頻譜中的3ωn幅值相對較低.圖13(a)中給出了非線性效應(yīng)對P-TENG 輸出電流的影響.與擺動角的結(jié)果類似,在ωn處于1 附近時(shí),非線性效應(yīng)對P-TENG 的輸出有顯著影響.引入兩個指標(biāo):工作帶寬Bw和最大輸出電流Imax,如圖13(a)所示,用于衡量P-TENG 輸出特性.圖13(b)分別考察了非線性效應(yīng)對兩個指標(biāo)的影響.考慮非線性效應(yīng),對最大輸出電流的結(jié)果影響不大,但是模型預(yù)估的工作帶寬顯著增加,相對增量83%.結(jié)果表明,本文提出的模型能夠有效避免現(xiàn)有模型對工作帶寬的低估問題,顯著提升模型對P-TENG 輸出性能估計(jì)的準(zhǔn)確性.

圖11 考慮非線性效應(yīng)與否對擺動角位移的影響Fig.11 Comparison of the influence of the consideration of the nonlinear effect for pendulum angle response curves

圖13 非線性效應(yīng)對P-TENG 輸出特性的影響Fig.13 Comparison of the influence of the consideration of the nonlinear effect

4 分析與討論

基于本文提出的考慮非線性效應(yīng)的機(jī)電耦合模型,研究不同設(shè)計(jì)參數(shù)對P-TENG 輸出特性的影響.這些參數(shù)包括: 激勵幅值an、阻尼比ζ、間隙長度δ和電極夾角α.當(dāng)激勵幅值an由0.003 增加至0.005 時(shí),如圖14 所示,P-TENG 輸出電流曲線的峰值所對應(yīng)的頻率范圍顯著擴(kuò)大,且最大值也有所增加.增加激勵幅值,有助于提升P-TENG 的輸出表現(xiàn).從圖15 的定量變化曲線可知,工作帶寬Bw隨激勵幅值以指數(shù)形式增加.采用冪函數(shù)進(jìn)行擬合,冪指數(shù)為3.16,系數(shù)約為5.58×106.最大輸出電流Imax則與激勵幅值呈現(xiàn)線性正比關(guān)系,比例系數(shù)約為25.01.

如圖16 所示,當(dāng)阻尼比ζ由0.04 增加至0.07 時(shí),P-TENG 輸出電流曲線的峰值所對應(yīng)的頻率范圍變窄,且最大值也有所降低.為了維持P-TENG的輸出表現(xiàn),應(yīng)盡可能減小系統(tǒng)阻尼.從圖17 的定量變化曲線可知,工作帶寬Bw和最大輸出電流Imax均隨阻尼比以冪指數(shù)形式降低.擬合的結(jié)果為:對于工作帶寬,冪指數(shù)為-3.1,系數(shù)約為9.63×10-6;對于最大輸出電流,冪指數(shù)為-0.93,系數(shù)約為6.3×10-3.

圖16 阻尼比對輸出電流均方根值影響的瀑布圖Fig.16 Waterfall map for the effect of damping ratio an on the output performance of the P-TENG

圖17 工作帶寬和最大電流隨阻尼比變化曲線及擬合結(jié)果Fig.17 Variation curves of operation bandwidth and maximum output current with damping ratio and fitting results

當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)(間隙長度δ和電極夾角α)變化時(shí),P-TENG 等效電容隨擺角的曲線發(fā)生變化,由此帶來式(1)和式(2)中的擬合系數(shù)值也隨之變化.需要分別確定不同結(jié)構(gòu)參數(shù)時(shí)相應(yīng)的擬合系數(shù)值(即a1,a2,a3和a4),以用于機(jī)電耦合模型的數(shù)值分析.如圖18所示,當(dāng)間隙長度δ由0.2 mm 增加至1.5 mm 時(shí),PTENG 輸出電流曲線的最大值和工作帶寬均有所降低.分別采用冪指數(shù)函數(shù)擬合工作帶寬、最大輸出電流與間隙長度δ的關(guān)系,如圖19 所示,可得冪指數(shù)分別為-0.07 和-0.09,系數(shù)分別為0.21 和0.12.為了保持P-TENG 的輸出表現(xiàn),應(yīng)盡量降低間隙長度.但是,間隙過小,易使單擺與電極表面的摩擦力增加,導(dǎo)致加速磨損問題.在實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí),需綜合考慮間隙長度和摩擦力幅值,以使P-TENG 輸出表現(xiàn)處于較優(yōu)狀態(tài).

圖18 間隙長度對輸出電流均方根值影響的瀑布圖Fig.18 Waterfall map for the effect of gap length an on the output performance of the P-TENG

圖19 工作帶寬和最大電流隨間隙長度變化曲線及擬合結(jié)果Fig.19 Variation curves of operation bandwidth and maximum output current with gap length and fitting results

當(dāng)電極夾角α由10°增加至70°時(shí),如圖20 所示,P-TENG 最大輸出電流值持續(xù)下降,工作頻帶也有所收窄.從圖21 的擬合結(jié)果可以看出,工作帶寬、最大輸出電流與電極夾角均呈現(xiàn)為采用線性反比關(guān)系.比例系數(shù)分別為-0.01 和-2.6×10-3.應(yīng)盡量減小電極夾角,以提升P-TENG 的輸出表現(xiàn).

圖20 電極夾角對輸出電流均方根值影響的瀑布圖Fig.20 Waterfall map for the effect of electrode angle an on the output performance of the P-TENG

上述分析基于本文提出的考慮非線性效應(yīng)的機(jī)電耦合模型,定量研究了不同設(shè)計(jì)參數(shù)對P-TENG輸出特性的影響.通過參數(shù)影響分析得到的擬合系數(shù),可作為P-TENG 輸出性能設(shè)計(jì)的依據(jù).

5 結(jié)論

本文提出了考慮單擺擺角非線性變化的機(jī)電耦合模型,并利用諧波平衡法解析求解P-TENG 的動態(tài)輸出特性.采用數(shù)值積分和動態(tài)測試兩種手段,驗(yàn)證了諧波平衡結(jié)果的準(zhǔn)確性.本文得出結(jié)論如下.

(1)考慮非線性效應(yīng),模型預(yù)估的工作帶寬顯著增加,相對增量83%.結(jié)果表明: 本文提出的模型能夠有效避免現(xiàn)有模型對工作帶寬的低估問題,顯著提升模型對P-TENG 輸出性能估計(jì)的準(zhǔn)確性.

(2)增加激勵幅值、降低系統(tǒng)阻尼或減小電極夾角,均有助于提升P-TENG 的輸出表現(xiàn).在實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí),需綜合考慮間隙長度和摩擦力幅值,以使PTENG 輸出表現(xiàn)處于較優(yōu)狀態(tài).

(3)提出了多種擬合模型用于表征設(shè)計(jì)參數(shù)與輸出性能的關(guān)系,并給出相關(guān)系數(shù)值,可作為PTENG 輸出性能設(shè)計(jì)的依據(jù).