參外聯(lián)合激勵下非線性Zener 系統(tǒng)的減振機理研究1)

邢景點 李向紅,?,2) 申永軍?,

* (石家莊鐵道大學(xué)數(shù)理系,石家莊 050043)

? (石家莊鐵道大學(xué)機械工程學(xué)院,石家莊 050043)

** (石家莊鐵道大學(xué)省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國家重點實驗室,石家莊 050043)

引言

工程實際中的有害振動不僅會影響機械設(shè)備的性能和使用壽命,更會給系統(tǒng)的安全與可靠性帶來嚴(yán)重威脅[1-2].在船舶工業(yè)[3]、鐵路運輸[4]、航空航天[5]等領(lǐng)域,由于外界復(fù)雜動態(tài)環(huán)境等因素的干擾,振動往往具有非線性特性,導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生豐富且復(fù)雜的動力學(xué)行為.

采用減振裝置來減小有害振動對機械系統(tǒng)的不利影響是振動控制中常用的手段,其中黏彈性材料容易構(gòu)造且具有較好的耗能性能,被廣泛應(yīng)用于各類隔振、減振系統(tǒng)中[6-7].黏彈性是指材料同時表現(xiàn)出黏性流體和彈性固體特性的性質(zhì),彈性材料在拉伸和釋放時會縮回其原始位置,而黏性流體在拉動時會保持其伸展形狀.黏彈性材料結(jié)合了這兩種特性,它在受到壓力后會恢復(fù)到原來的形狀,但恢復(fù)的速度足夠慢,可以抵抗下一個振動周期[8].比較典型的線性黏彈性本構(gòu)模型有Maxwell 模型、Kelvin 模型和Zener 模型,其中Maxwell 模型由一個彈簧和一個阻尼串聯(lián)而成,能夠較好地表達(dá)應(yīng)力弛豫特性,但不能反映蠕變行為;Kelvin 模型是一個彈簧和一個阻尼并聯(lián)而成,與Maxwell 模型相比,能很好地表達(dá)蠕變行為,但不能反映應(yīng)力弛豫現(xiàn)象,而具有1.5 自由度的Zener 模型可以更好地表征這兩種特性[9],它由一個彈簧并聯(lián)一個Maxwell 元件組成,該系統(tǒng)具有黏彈性材料的優(yōu)異特性、構(gòu)造簡單且具有較少的系統(tǒng)參數(shù),在提高系統(tǒng)減振效果方面有著廣泛應(yīng)用.

針對該模型,Brennan 等[10]研究了Zener 系統(tǒng)在自由振動和受迫振動條件下的動力學(xué)行為,探究了剛度和阻尼對系統(tǒng)性能的影響.焦小磊等[11]提出了歸一化的三參數(shù)隔振系統(tǒng)設(shè)計方法,并給出了正弦激勵以及階躍激勵下三參數(shù)隔振系統(tǒng)的時域響應(yīng)解析形式.為了進(jìn)一步改善Zener 系統(tǒng)的減振性能,Shi 等[12]建立四參數(shù) Zener 模型,并實驗驗證了該模型在高頻段的減隔振性能得到了改善.Wang 等[13]引入立方剛度,改善了三參數(shù)隔振器在諧振頻率和高頻區(qū)域的傳遞特征.Silva 等[14]發(fā)現(xiàn)將非線性立方剛度引入主彈簧或Maxwell 元件的彈簧中都將會使高頻段減振性能得到改善.康永剛等[15]提出改進(jìn)的Zener 模型,更準(zhǔn)確地描述黏彈性材料的應(yīng)力松弛行為;范舒銅等[16]提出新型非線性黏彈性能量阱,發(fā)現(xiàn)簡諧激勵下黏彈性非線性能量阱比傳統(tǒng)非線性能量阱的減振效果更優(yōu).

多頻激勵下的機械系統(tǒng)具有廣泛的工程背景,在實際工程中,系統(tǒng)在多個頻率作用下會產(chǎn)生復(fù)雜的振動響應(yīng)以及豐富的動力學(xué)行為[17-20].Yang 等[21]研究了多頻激勵下非線性時變正齒輪系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性,驗證了多頻激勵的存在會導(dǎo)致不同諧波激勵之間的相互作用,顯著影響系統(tǒng)的非線性振動特性.Dnailo 等[22]研究了在參數(shù)激勵和外部激勵作用下非線性Mathieu-Duffing 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng),驗證了二次和三次非線性以及參數(shù)放大對擴(kuò)展采集器應(yīng)用性能的影響.Asnafi[23]研究了Kelvin-Voigt 黏彈性板在參外聯(lián)合激勵下的混沌行為,表明阻尼、激勵振幅和頻率將影響系統(tǒng)混沌區(qū)域.Yan 等[24]研究了參外聯(lián)合激勵下鐵木辛柯梁橫向振動問題,發(fā)現(xiàn)非線性振動中的周期運動和混沌或準(zhǔn)周期運動隨著軸向平均速度的增加而交替進(jìn)行,且激勵幅值是影響系統(tǒng)響應(yīng)的重要參數(shù).Mehrdad 等[25]研究了參數(shù)激勵頻率與外激勵頻率為2:1 的Duffing 型非線性系統(tǒng)的系統(tǒng)響應(yīng),利用變幅法求得系統(tǒng)解析解,證明了系統(tǒng)振動響應(yīng)的有界性.

不同尺度耦合動力系統(tǒng)通常會呈現(xiàn)出簇發(fā)振動的特殊振動形式,即大幅振動的激發(fā)態(tài)和微幅振動的沉寂態(tài)的組合.當(dāng)系統(tǒng)的激勵頻率與固有頻率存在量級差異時,系統(tǒng)就會呈現(xiàn)出多尺度的特性[26].自Rinzel 等[27]提出快慢分析法以來,針對單頻慢變激勵系統(tǒng)的簇發(fā)振動機制已經(jīng)得到廣泛研究.為了解決不同激勵頻率之間存在差異而引起的快慢動力學(xué)問題,Li 等[28]提出了包絡(luò)快慢分析法,研究了鉑族金屬上CO 氧化過程中的簇發(fā)振蕩及其誘導(dǎo)機理.Han 等[29]根據(jù)De Moivre 公式提出了頻率截斷快慢分析法,解決了頻率比為m:n的參外聯(lián)合激勵系統(tǒng)的快慢動力學(xué)問題.基于此,更多學(xué)者對這類系統(tǒng)展開廣泛研究.張曉芳等[30]將參外聯(lián)合激勵引入Lorenz系統(tǒng),探究了系統(tǒng)在嚴(yán)格共振和非嚴(yán)格共振下的簇發(fā)振蕩機制.曲子芳等[31]揭示了含雙頻周期激勵的不同尺度Filippov 系統(tǒng)的非光滑簇發(fā)振蕩模式及分岔機制.

目前,對于機械系統(tǒng)減振的研究大多集中在結(jié)構(gòu)仿真與參數(shù)優(yōu)化,Liu 等[32]研究了不同的阻尼結(jié)構(gòu)對準(zhǔn)零剛度隔振器隔振性能的影響,發(fā)現(xiàn)硬化阻尼有利于隔振性能的提升.Wang 等[33]通過實驗探究了黏彈性阻尼材料性能與溫度、頻率之間的關(guān)系,驗證了其對結(jié)構(gòu)振動的抑制作用.Zhang 等[34]提出組合阻尼NES,通過數(shù)值模擬與不同NES 在不同脈沖載荷幅值下的減振效果進(jìn)行對比,發(fā)現(xiàn)組合阻尼NES 具有更好的減振性能.此外,萬洪林等[35]研究了線性動力吸振器對參數(shù)激勵下Duffing 系統(tǒng)振動控制機理,發(fā)現(xiàn)加入吸振器后系統(tǒng)自治系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定性增強是非自治系統(tǒng)減振的主要原因.

低頻振動具有傳播距離遠(yuǎn),隔離困難等特點,且存在于多個領(lǐng)域,例如航天器的微振動、工程建筑、交通運輸?shù)萚36].因此,目前除了研究共振情形下的振動控制問題之外,低頻隔振減振問題也受到了廣泛的關(guān)注.Wang 等[37]研究了加入軟化硬化(SH)元件的NES 的減振性能,發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)可以有效降低低頻振動;Zhao 等[38]提出了車輛-準(zhǔn)零剛度浮置板軌道耦合動力學(xué)模型,應(yīng)用高靜低動非線性剛度特征,進(jìn)一步優(yōu)化了浮置板軌道的低頻減振效果;Zhang等[39]提出了一種具有可編程準(zhǔn)零剛度特性的定制機械超材料,通過曲線梁的特定幾何形狀實現(xiàn)多個準(zhǔn)零剛度工作范圍,可用于超低頻振動隔離.

加入Maxwell 黏彈性元件通常會使動力系統(tǒng)增加半個自由度,因此會增加系統(tǒng)的復(fù)雜性,目前關(guān)于此類系統(tǒng)減振機理方面的研究工作較少.基于此,本文研究了參外聯(lián)合激勵下Zener 系統(tǒng)的減振機理,其中參數(shù)激勵為低頻激勵.采用包絡(luò)快慢分析法,將低頻激勵作為慢變參數(shù),結(jié)合非自制系統(tǒng)與自治系統(tǒng)相關(guān)性,重點討論了系統(tǒng)的減振效果、分岔機制、減振機理,為參外聯(lián)合激勵下低頻振動機理究提供了新的思路.

1 系統(tǒng)方程與減振效果

1.1 系統(tǒng)方程

具有參數(shù)和強迫周期激勵的非線性Duffing 系統(tǒng)為

其中m1是系統(tǒng)的等效質(zhì)量,為系統(tǒng)的等效阻尼,,和 ω1分別是系統(tǒng)參激剛度、振幅和頻率,為系統(tǒng)非線性剛度系數(shù),和 ω2分別是系統(tǒng)外激勵幅值和頻率.系統(tǒng)(1)涉及多個頻率的耦合,存在大幅振動.為了減少大幅振動對系統(tǒng)的危害,對系統(tǒng)(1)耦合一個Maxwell元件,變?yōu)?.5 自由度非線性Zener 系統(tǒng),如圖1 所示,其中ks是參激剛度和非線性剛度部分,和分別是Maxwell 元件的阻尼和剛度

圖1 非線性Zener 模型Fig.1 Nonlinear Zener model

引入變換

系統(tǒng)(1)與系統(tǒng)(2)分別變?yōu)槿缦孪到y(tǒng)

分別寫為如下狀態(tài)方程

1.2 減振效果

下面研究在參數(shù)取k=0.1,b=3,c1=0,ω1=0.01,α=1,F0=0.3,ω2=0.1,c=0.4,k1=0.5時,系統(tǒng)(5)和系統(tǒng)(6)不同的動力學(xué)行為.

原系統(tǒng)(5)的振動行為如圖2 所示,其中圖2(a)是位移時間歷程圖,圖2(b)為相圖.可以發(fā)現(xiàn)軌線振幅趨于增大,這表明系統(tǒng)處于大幅高頻振動的發(fā)散狀態(tài),同時系統(tǒng)一直呈現(xiàn)激發(fā)態(tài)振動.

圖2 系統(tǒng)(5)振動響應(yīng)Fig.2 Vibration response of system (5)

耦合Maxwell 元件后,取參數(shù)c=0.4,k1=0.5,系統(tǒng)(6)的振動行為如圖3 所示.通過對比,發(fā)現(xiàn)耦合Maxwell 元件后,系統(tǒng)高頻振動大幅降低,出現(xiàn)激發(fā)態(tài)與沉寂態(tài)相結(jié)合的混合振動模式,即簇發(fā)振動.從兩個相圖中明顯看出,系統(tǒng)位移降低了約50%,速度衰減了近90%.

圖3 系統(tǒng)(6)振動響應(yīng)Fig.3 Vibration response of system (6)

2 自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔分析

下面將深入研究加入Maxwell 元件后系統(tǒng)的減振機理.由于系統(tǒng)中各狀態(tài)變量的振動行為不但受系統(tǒng)的固有頻率的影響,同時又會受到參激和外激的調(diào)制,其中參數(shù)激勵為慢變激勵,因此采用快慢動力學(xué)中的包絡(luò)快慢分析法[28]揭示減振機理.令F=bcos(ω1t),當(dāng)ω1<<1時,在振動周期? 內(nèi),取t在[t0,t0+?] 變化,則F在Ft0=bcos(ω1t0)和Ft0+?=bcos[ω1(t0+?)] 內(nèi)變化,由于ω1很小,使得Ft0與Ft0+?非常接近,所以參數(shù)激勵F可近似看作常數(shù),為系統(tǒng)的慢變過程,可視為慢子系統(tǒng),x(t),y(t)為快變量,構(gòu)成快子系統(tǒng),則方程式(5)與式(6)都是快慢耦合的非自治系統(tǒng).再令P=F0cos(ω2t),顯然外激勵P始終在P1=F0和P2=-F0之間變化.

因此考慮如下自治系統(tǒng)

自治系統(tǒng)(7)和系統(tǒng)(8)與非自治系統(tǒng)(5)和系統(tǒng)(6)的振動密切相關(guān),尤其自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性變化和分岔行為將會對非自治系統(tǒng)的振動產(chǎn)生較大影響.具體而言,自治系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性影響著非自治系統(tǒng)振動的收斂和發(fā)散趨勢;而當(dāng)自治系統(tǒng)產(chǎn)生分岔行為時,往往會使非自治系統(tǒng)的振動發(fā)生變化.此外,分岔參數(shù)的周期性變化也會導(dǎo)致自治系統(tǒng)對非自治系統(tǒng)的影響呈現(xiàn)出周期性的變化.

未加入Maxwell 元件自治系統(tǒng)(7)的平衡點為E(x1,0),其中x1為方程 α+(k+F)x1-P=0 的實根,由盛金公式可計算出

自治系統(tǒng)(7)平衡點的穩(wěn)定性由以下特征方程決定

自治系統(tǒng)(8)的平衡點穩(wěn)定性由以下特征方程決定

當(dāng)a0>0,a2>0,a2a1-a0>0 時,平衡點穩(wěn)定,具體的平衡點類型及穩(wěn)定性可以通過數(shù)值模擬得到.

考慮參數(shù)P固定時系統(tǒng)運動狀態(tài)隨參數(shù)F的變化情況,當(dāng)P≠0 時,在臨界點右側(cè),系統(tǒng)有一個平衡點,在臨界點左側(cè),系統(tǒng)有3 個平衡點,系統(tǒng)發(fā)生破缺分岔.

下面給出在參數(shù)取k=0.1,b=3,c1=0,ω1=0.01,α=1,F0=0.3,ω2=0.1,c=0.4,k1=0.5時,系統(tǒng)(7)和系統(tǒng)(8)分岔圖以及平衡點穩(wěn)定性的變化情況,進(jìn)一步揭示系統(tǒng)減振機理.

圖4 是系統(tǒng)(7)關(guān)于參數(shù)F的分岔圖,其中紅線為P=0.3 時的分岔情況,藍(lán)線為P=-0.3 時的分岔情況,整體兩組平衡線關(guān)于x1=0 對稱,且在F=-0.946 9處發(fā)生破缺分岔.平衡曲線的穩(wěn)定性可由式(15)確定,其中平衡線SE1,SF1,SE2,SF2的特征值分別為一對實部為0 的共軛虛根,平衡點類型為中心;平衡線SE3,SF3特征值為一正一負(fù)兩個實根,平衡點類型為鞍點.圖中實線代表穩(wěn)定的平衡曲線,虛線代表不穩(wěn)定的平衡曲線.平衡點個數(shù)隨著F的減小發(fā)生變化,P=0.3 時,在分岔點IB1,IB2右側(cè)系統(tǒng)只有一個平衡點,在分岔點左側(cè)系統(tǒng)變?yōu)榱? 個平衡點;P=-0.3 時在分岔點IB3,IB4右側(cè)系統(tǒng)只有一個平衡點,在分岔點左側(cè)系統(tǒng)變?yōu)榱? 個平衡點.

圖4 系統(tǒng)(7)關(guān)于 F 的分岔圖Fig.4 The bifurcation diagram of system (7)with respect to F

加入Maxwell 元件后,系統(tǒng)(8)平衡線的分岔圖如圖5 所示,由于平衡線方程相同,所以系統(tǒng)(8)平衡點分岔情況形式上與系統(tǒng)(7)一致.其中紅線表示P=0.3 時系統(tǒng)的平衡線,藍(lán)線表示P=-0.3 時系統(tǒng)的平衡線,實線代表穩(wěn)定的平衡曲線,虛線代表不穩(wěn)定的平衡曲線.平衡線的穩(wěn)定性可由式(19)確定,每個平衡點有3 個特征根,平衡線SE1,SF1,SE2,SF2特征值分別為一個負(fù)實根和一對實部為負(fù)的共軛復(fù)根,平衡點類型為穩(wěn)定焦點.平衡線SE3,SF3特征值為一個正實根和一對實部為負(fù)的共軛復(fù)根,平衡點類型為鞍點.相較于系統(tǒng)(7),雖然都發(fā)生了破缺分岔,但平衡線SE1,SE2,SF1,SF2的平衡點類型由中心變?yōu)榱朔€(wěn)定的焦點.

圖5 系統(tǒng)(8)關(guān)于 F 的分岔圖Fig.5 The bifurcation diagram of system (8)with respect to F

3 簇發(fā)振動與減振機理分析

為深入理解減振機理,并清楚展示自治系統(tǒng)穩(wěn)定性與分岔是如何影響該非自治系統(tǒng)的振動行為,采用包絡(luò)快慢分析和轉(zhuǎn)換相圖進(jìn)行闡述.如圖6 所示,將系統(tǒng)(5)在 (F,x1)平面上的轉(zhuǎn)換相圖與平衡線分岔圖進(jìn)行疊加,更好地觀察在各平衡態(tài)附近的軌線性態(tài),可以發(fā)現(xiàn),未加Maxwell 元件的系統(tǒng)由于自治系統(tǒng)的平衡點類型為中心,平衡線對非自治系統(tǒng)軌線的吸引性很弱,因此系統(tǒng)(5)始終呈現(xiàn)大幅振蕩現(xiàn)象.

圖6 系統(tǒng)(5)轉(zhuǎn)換相圖與分岔圖疊加Fig.6 The overlap of transformed phase portrait and bifurcation diagram of system (5)

加入Maxwell 元件后,系統(tǒng)軌線在一個振動周期內(nèi),存在著明顯的簇發(fā)現(xiàn)象,如從圖7 中可以看出,該周期簇發(fā)振動分成4 個部分,SP1-QS1-S P2-QS2,其中SP1,S P2為激發(fā)態(tài),QS1,QS2為沉寂態(tài).

圖7 系統(tǒng)(6)時間歷程圖放大圖Fig.7 Enlargement of time history diagram of system (6)

下面利用包絡(luò)快慢分析法揭示振動機理.圖8(a)是系統(tǒng)(6)的轉(zhuǎn)換相圖,可以看到狀態(tài)變量x1隨慢變參激F=3cos(0.01t)變化而變化的過程.圖8(b)是系統(tǒng)(6)轉(zhuǎn)換相圖與平衡線分岔圖的疊加,隨著外激勵的值從P1到P2變化,周期性振蕩的整個軌跡幾乎都包裹在兩條平衡線SE1,SF1之間,在破缺分岔點附近,振動軌跡向上偏移,轉(zhuǎn)移到SE1,SF2兩條平衡線之間.

圖8 簇發(fā)現(xiàn)象產(chǎn)生機理Fig.8 Generation mechanism of bursting phenomenon

為了更清楚觀察系統(tǒng)軌線運動狀態(tài),將圖8 (b)分成兩個部分,一部分是隨著F減小時的變化情況,另一部分是隨著F增加時的變化情況.如圖8(c)所示,假設(shè)軌線從點M出發(fā),非自治系統(tǒng)(6)受到相應(yīng)自治系統(tǒng)(8)兩條穩(wěn)定平衡線的吸引,在SE1,SF1之間向左做振蕩運動,且軌線始終包裹在兩條穩(wěn)定的平衡線內(nèi).當(dāng)?shù)竭_(dá)點D1后,由于自治系統(tǒng)發(fā)生破缺分岔,軌線在平衡線SE1與SF2之間振動,形成了高頻振蕩的激發(fā)態(tài)SP1,之后振幅逐漸衰減,直至到達(dá)點N附近形成沉寂態(tài)QS1.隨著時間t的增加,當(dāng)慢變參數(shù)到達(dá)極小值F=bcos(ω1t)=-3 時,軌線將會向右折返.如圖8(d)所示,軌線從N點出發(fā)包裹在穩(wěn)定平衡線SE1,SF2中向右運動,系統(tǒng)處于沉寂態(tài)QS1,當(dāng)軌線經(jīng)過破缺分岔點到達(dá)點C1后,受到穩(wěn)定平衡線SF1的吸引,到達(dá)點C2,并形成振幅逐漸衰減的激發(fā)態(tài)SP2,之后很快又進(jìn)入沉寂態(tài)QS2,最終到達(dá)點M,至此完成一個周期的運動.同樣地,當(dāng)慢變參數(shù)到達(dá)極大值F=bcos(ω1t)=3 時,軌線則會折返向左運動,下一個周期軌線會繼續(xù)在平衡線SE1,SF1,SF2的包裹下做類似的運動.

加入Maxwell 元件后自治系統(tǒng)的平衡點類型發(fā)生了改變,SE1,SF1,SF2的穩(wěn)定性從中心變?yōu)榉€(wěn)定的焦點,其吸引性明顯增強,由此系統(tǒng)(5)的發(fā)散運動變?yōu)橄到y(tǒng)(6)的周期運動,并且振動位移和速度都有顯著的減小,系統(tǒng)的大幅振蕩得到明顯的抑制.此外,破缺分岔使得自治系統(tǒng)多個穩(wěn)定吸引子共存,從而導(dǎo)致非自治系統(tǒng)軌跡在不同穩(wěn)定吸引子之間跳躍.因此,在參數(shù)激勵項為慢變過程時,自治系統(tǒng)的動力學(xué)行為對非自治系統(tǒng)的振動具有明顯的調(diào)控作用.

4 系統(tǒng)參數(shù)對減振的影響

破缺分岔會導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)突跳現(xiàn)象,這種現(xiàn)象會導(dǎo)致系統(tǒng)從一個穩(wěn)定狀態(tài)跳躍到另一個穩(wěn)定狀態(tài)或者在周期運動狀態(tài)之間切換,使得系統(tǒng)的穩(wěn)定性受到一定影響[40].根據(jù)分岔條件發(fā)現(xiàn)可以通過改變系統(tǒng)剛度或者非線性項系數(shù)的方式來控制系統(tǒng)破缺分岔的發(fā)生,避免出現(xiàn)不穩(wěn)定平衡點,從而實現(xiàn)對系統(tǒng)的控制和優(yōu)化.

為了更好地說明這一點,給出了改變系統(tǒng)剛度k和非線性項系數(shù) α 時,系統(tǒng)雙參數(shù)曲面和分岔曲面的疊加,系統(tǒng)(5)和系統(tǒng)(6)的時間歷程圖以及系統(tǒng)(8)分岔圖和轉(zhuǎn)換相圖的疊加,進(jìn)而展示在不同條件下系統(tǒng)的運動狀態(tài),以更好地理解如何通過控制系統(tǒng)參數(shù)實現(xiàn)系統(tǒng)優(yōu)化.

4.1 系統(tǒng)剛度k

改變系統(tǒng)剛度k,其他參數(shù)與第3 節(jié)取值相同,給出加入Maxwell 元件之后自治系統(tǒng)(8)中x1關(guān)于F和k的雙參數(shù)分岔曲面,如圖9(a)所示,其中紅色為P=0.3 時雙參數(shù)分岔曲面,藍(lán)色為P=-0.3時雙參數(shù)分岔曲面,根據(jù)分岔條件計算出k=2.16 是破缺分岔的臨界參數(shù)值,黃色PE面為破缺分岔臨界面.可以看到PE與紅色和藍(lán)色曲面發(fā)生破缺分岔的臨界位置相切,切點在k=2.16 附近,PE面將整個區(qū)域分為兩個部分,其中紅色和藍(lán)色曲面分別在后上方region-1 區(qū)域只存在一個平衡點,在前下方region-2 區(qū)域有3 個平衡點.在圖中關(guān)于k取截面,比如k=0.1 時,截面圖如圖5 所示,取k=3時,截面圖如9(b)所示,此時在一定參數(shù)范圍內(nèi)系統(tǒng)不存在破缺分岔.

圖9 自治系統(tǒng)雙參數(shù)分岔曲面及在 k=3 時截面圖Fig.9 Two-parameter bifurcation surfaces of autonomous systems and cross section atk=3

k=3時,將系統(tǒng)(5)和系統(tǒng)(6)的時間歷程圖進(jìn)行對比.如圖10 所示,可以看出,系統(tǒng)(5)呈現(xiàn)出明顯的大幅振蕩現(xiàn)象,并且呈發(fā)散趨勢.在加入Maxwell元件后,系統(tǒng)呈現(xiàn)微幅高頻和大幅低頻的混合振動模式,大幅振動得到明顯抑制,振動幅值降低到0.7 左右.系統(tǒng)位移降低了近80%,與第一部分k=0.1時發(fā)生破缺分岔相比,減振效果得到了明顯的提高.其減振機理由圖11 給出,可以發(fā)現(xiàn)k=3 時,系統(tǒng)(8)不再發(fā)生破缺分岔,系統(tǒng)(6)的軌線幾乎完全包裹在兩條平衡線之間,從而達(dá)到減振的效果.

圖10 k=3 時系統(tǒng)(5)與系統(tǒng)(6)時間歷程圖Fig.10 Time history diagram of system (5)and system (6)fork=3

圖11 k=3 時系統(tǒng)(6)轉(zhuǎn)換相圖與平衡線疊加Fig.11 The overlap of transformed phase portrait and bifurcation diagram of system (6)fork=3

如圖12 和圖13 所示,給出加入Maxwell 元件前后k=4 和k=10 時的時間歷程圖,系統(tǒng)均不再發(fā)生破缺分岔,且在k=4 時系統(tǒng)位移幅值降低約90%,在k=10 時系統(tǒng)位移幅值降低近99%,即當(dāng)k≥2.16時,k取值越大,系統(tǒng)減振效果越明顯.

圖13 k=10 時系統(tǒng)(5)與系統(tǒng)(6)時間歷程圖Fig.13 Time history diagram of system (5)and system (6)fork=3

4.2 系統(tǒng)非線性項系數(shù)α

參數(shù)b,ω1,k,ω2,c,k1,F0與第3 節(jié)取值相同,改變系統(tǒng)非線性項系數(shù) α,根據(jù)分岔條件計算出大約在 α ≥40.15 時,系統(tǒng)不發(fā)生破缺分岔.

如圖14 所示,給出自治系統(tǒng)(8)中x1關(guān)于F和α的雙參數(shù)曲面,其中紅色為P=0.3 時雙參數(shù)分岔曲面,藍(lán)色為P=-0.3時雙參數(shù)分岔曲面,黃色PE面為由分岔條件計算得出的分岔臨界面,可以看到PE與紅色和藍(lán)色曲面發(fā)生破缺分岔的臨界位置相切,切點在 α=40.15 附近.PE面將整個區(qū)域分為兩個部分,其中紅色和藍(lán)色曲面分別在后上方region-1 區(qū)域只存在一個平衡點,在前下方region-2 區(qū)域有3 個平衡點.圖中關(guān)于 α 取截面,比如 α=1 時,截面圖如圖5 所示,取 α=40.2 時,截面圖如圖14(b)所示.

圖14 自治系統(tǒng)雙參數(shù)分岔曲面及在 α=40.2 時截面圖Fig.14 Two-parameter bifurcation surfaces of autonomous systems and cross section at α=40.2

給出 α=40.2 時系統(tǒng)(5)和系統(tǒng)(6)的時間歷程圖對比,如圖15 所示.可以看出,系統(tǒng)(5)呈現(xiàn)出明顯的大幅振蕩現(xiàn)象,在耦合Maxwell 元件后,系統(tǒng)呈現(xiàn)周期性簇發(fā)振動,大幅振蕩得到明顯抑制,振幅縮減50%以上.圖16 是系統(tǒng)(6)轉(zhuǎn)換相圖與平衡線疊加,可以看到系統(tǒng)不再發(fā)生破缺分岔,軌線幾乎完全包裹在P=±0.3 兩條平衡線之間.

圖15 α=40.2 時系統(tǒng)(5)與系統(tǒng)(6)時間歷程圖Fig.15 Time history diagram of system (5)and system (6)for α=40.2

圖16 α=40.2 時系統(tǒng)(6)轉(zhuǎn)換相圖與平衡線疊加Fig.16 The overlap of transformed phase portrait and bifurcation diagram of system (6)for α=40.2

如圖17 所示,給出加入Maxwell 元件前后α=50時的時間歷程圖,此時系統(tǒng)不再發(fā)生破缺分岔,且在 α=50 時系統(tǒng)位移幅值降低約60%,優(yōu)于α=1時的減振效果.

圖17 α=50 時系統(tǒng)(5)與系統(tǒng)(6)時間歷程圖Fig.17 Time history diagram of system (5)and system (6)for α=40.2

5 結(jié)論

本文以具有周期性低頻參數(shù)激勵和外激勵的Duffing 系統(tǒng)為例,探究耦合Maxwell 元件后,Zener 系統(tǒng)的振動控制問題.發(fā)現(xiàn)原系統(tǒng)的大幅高頻振動在耦合Maxwell 元件后出現(xiàn)了激發(fā)態(tài)和沉寂態(tài)結(jié)合的簇發(fā)振動,并且位移和速度的振動幅值都明顯降低.基于自治系統(tǒng)與非自治系統(tǒng)動力學(xué)行為的相關(guān)性,對耦合Maxwell 元件前后系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔進(jìn)行了分析,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)發(fā)生破缺分岔.采用包絡(luò)快慢分析法,將低頻參數(shù)激勵視作慢變量,結(jié)合外激勵項被最值包絡(luò)思想,詳細(xì)給出了非自治系統(tǒng)受自治系統(tǒng)調(diào)節(jié)的機理.發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)減振的主要原因有兩個,其一是平衡點穩(wěn)定性變化使得自治系統(tǒng)平衡線對非自治系統(tǒng)軌線的吸引性增強,導(dǎo)致軌線振動振幅降低;其二是非自治系統(tǒng)軌線總是在兩條穩(wěn)定的平衡線之間振動,也就是說,自治系統(tǒng)的平衡線限制了非自治系統(tǒng)的振動范圍.另外,基于雙參分岔分析,給出破缺分岔臨界面,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)不發(fā)生破缺分岔的減振效果明顯優(yōu)于發(fā)生破缺分岔的減振效果.因此通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)剛度系數(shù)和非線性項系數(shù)可以控制系統(tǒng)破缺分岔的發(fā)生,進(jìn)而增強系統(tǒng)穩(wěn)定性,提高系統(tǒng)的減振性能.