強(qiáng)驅(qū)動(dòng)單態(tài)-三重態(tài)量子比特的高保真單比特門(mén)*

劉啟沛 張程賢 薛正遠(yuǎn)3)4)?

1)(華南師范大學(xué)物理學(xué)院,原子亞原子結(jié)構(gòu)與量子調(diào)控教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣州 510006)

2)(廣西大學(xué)物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院,南寧 530004)

3)(華南師范大學(xué)物理前沿科學(xué)研究院,廣東省量子調(diào)控與量子材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,粵港量子物質(zhì)實(shí)驗(yàn)室,廣州 510006)

4)(合肥國(guó)家實(shí)驗(yàn)室,合肥 230088)

半導(dǎo)體量子點(diǎn)量子比特是最有希望實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算的候選者之一.其中自旋單態(tài)-三重態(tài)量子比特因具有全電控制和讀取準(zhǔn)確的優(yōu)良性質(zhì)而備受關(guān)注.為增強(qiáng)對(duì)電荷噪聲的免疫,通常引進(jìn)強(qiáng)脈沖驅(qū)動(dòng)以盡可能加快門(mén)操作速度.但是,強(qiáng)驅(qū)動(dòng)脈沖引起的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)導(dǎo)致旋波近似不再適用,反而會(huì)阻礙高保真度比特操作的實(shí)現(xiàn).本文提出了一種增加簡(jiǎn)單的正交脈沖的方法,可以很好地抑制強(qiáng)驅(qū)動(dòng)引起的高頻振蕩項(xiàng)的操作錯(cuò)誤.數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明,NOT 門(mén)的保真度在無(wú)噪聲時(shí)可達(dá)99.99%且操作時(shí)間只需2 ns.特別地,即便電荷噪聲強(qiáng)度到了 2μeV 的水平,NOT 門(mén)的平均保真度也可高于99.9%.值得注意的是,該方案同時(shí)也適用于任意單比特量子門(mén)的優(yōu)化.因此,本文的脈沖優(yōu)化方案將有助于獲得快速高保真度的自旋單態(tài)-三重態(tài)量子比特.

1 引言

基于半導(dǎo)體量子點(diǎn)的量子計(jì)算具有全電控操作的優(yōu)勢(shì)以及可結(jié)合現(xiàn)代半導(dǎo)體工業(yè)的能力[1-3],被認(rèn)為是實(shí)現(xiàn)大規(guī)模量子計(jì)算的最有潛力的物理系統(tǒng)之一.近年來(lái),技術(shù)的進(jìn)步使得基于單量子點(diǎn)單自旋態(tài)的高保真單比特門(mén)[4-6]和兩比特門(mén)[7-9]得以實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn).另外,基于多量子點(diǎn)多個(gè)自旋態(tài)實(shí)現(xiàn)的量子比特方案,通過(guò)引入更多的自由度帶來(lái)了相干時(shí)間或比特操作上的優(yōu)勢(shì)[2,3,10-13].其中,單態(tài)-三重態(tài)(ST0)量子比特是由束縛于雙量子點(diǎn)的雙電子自旋單態(tài)和三重態(tài)構(gòu)成的[11,14],具有快速全電控制和讀取準(zhǔn)確率高的優(yōu)點(diǎn)[11,15,16].近年來(lái),得益于硅基半導(dǎo)體上同位素純化技術(shù)的廣泛使用[17,18],核自旋引起的局域磁場(chǎng)擾動(dòng)可以進(jìn)一步得到消除,大大增強(qiáng)了量子比特的弛豫時(shí)間.然而,高保真量子比特門(mén)的實(shí)現(xiàn)仍然受限于量子點(diǎn)附近隨機(jī)擾動(dòng)的電荷噪聲[19,20]的影響.因此,有必要引入新方法來(lái)保護(hù)比特,如在對(duì)電荷噪聲不敏感的甜點(diǎn)區(qū)域進(jìn)行操作[21-27],或增強(qiáng)驅(qū)動(dòng)脈沖縮短操作時(shí)間[24].

對(duì)量子點(diǎn)自旋比特,對(duì)稱工作點(diǎn)[21,22]是近來(lái)備受關(guān)注的一種甜點(diǎn)類型.在該點(diǎn)處,比特能級(jí)間距對(duì)電荷噪聲一階不敏感,因此其平均單比特門(mén)操作保真度可高達(dá)99.6%[25].然而,此時(shí)對(duì)量子比特進(jìn)行操作的拉比頻率通常被限制在只有幾MHz[25,28]的水平上,使得量子比特變得更易受到噪聲和控制錯(cuò)誤的影響.此外,近年來(lái)一種被稱為橫向甜點(diǎn)區(qū)域操作的方案也引發(fā)了關(guān)注[23,26].在該區(qū)域,量子比特的電偶極耦合主要為橫向形式且兼具電偶極矩大和對(duì)電荷噪聲一階不敏感的特點(diǎn),因此更適合實(shí)現(xiàn)快速的比特操作,進(jìn)而提高ST0量子比特在電荷噪聲下的保真度.同時(shí),量子點(diǎn)雜化比特中也存在類似的工作區(qū)域[24,27].

另一方面,快速高保真的單比特門(mén)不能簡(jiǎn)單地通過(guò)增大拉比頻率來(lái)完成.這是因?yàn)?在強(qiáng)驅(qū)動(dòng)下,旋波近似可能不再適用[29-31].為了修正強(qiáng)驅(qū)動(dòng)帶來(lái)的比特操控誤差,研究人員提出了一種通過(guò)補(bǔ)償Bloch-Siegert 位移的頻率修正方法[24].然而,該修正方法限制了不同單比特門(mén)的門(mén)速度的選擇,且僅適用于方波脈沖,限制了實(shí)驗(yàn)上脈沖波形的自由選取.本文提出了一種通過(guò)增加一個(gè)簡(jiǎn)單的正交脈沖來(lái)抑制高頻振蕩項(xiàng)的方案.這一修正脈沖的求解方法將半經(jīng)典的驅(qū)動(dòng)場(chǎng)等效為一個(gè)光子場(chǎng)[24,30,31],從而將高頻振蕩耦合都轉(zhuǎn)化為了不同光子數(shù)的態(tài)之間的耦合,然后抑制邏輯子空間與其他子空間的耦合[32,33],達(dá)到高保真量子操控的目標(biāo).數(shù)值模擬結(jié)果表明,在無(wú)噪聲時(shí),本方法優(yōu)于頻率修正方法[24],可將單比特門(mén)保真度提高至少一個(gè)數(shù)量級(jí).因?yàn)閷?duì)強(qiáng)驅(qū)動(dòng)所致控制錯(cuò)誤的高效抑制,本方法將有助于ST0量子比特在電荷噪聲下實(shí)現(xiàn)快速高保真的單比特門(mén).

2 模 型

考慮限制在雙量子點(diǎn)中的雙電子自旋構(gòu)成的ST0量子比特,并定義自旋磁量子數(shù)為零(ms0)的子空間為比特的邏輯空間.門(mén)操作區(qū)域在電荷構(gòu)型(1,1)?(0,2)附近,其中(nL,nR) 表示左(右)量子點(diǎn)中各有nL(nR)個(gè)電子.在強(qiáng)外磁場(chǎng)下,極化三重態(tài)|T±(1,1)〉將遠(yuǎn)離操作空間,因此可以忽略,在{|T0(1,1)〉,|S(1,1)〉,|S(0,2)〉}基矢下,系統(tǒng)的哈密頓量可以寫(xiě)為[23]

其中 ΔBgμB(BL-BR) 是量子點(diǎn)間的塞曼能量差,g為電子自旋g因子,μB是玻爾磁子,BL(BR)對(duì)應(yīng)左(右)點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度,并取約化普朗克常數(shù)?1(下文亦然);τ代表兩個(gè)點(diǎn)之間的隧穿耦合,它可以通過(guò)改變雙量子點(diǎn)中間的門(mén)電壓進(jìn)行調(diào)節(jié);ε是兩個(gè)量子點(diǎn)之間的失諧.這里定義ε0 對(duì)應(yīng)于|S(1,1)〉-|S(0,2)〉相互轉(zhuǎn)換的位置.

為了保護(hù)ST0量子比特免受電荷噪聲的影響,通常在對(duì)噪聲不敏感的橫向甜點(diǎn)處進(jìn)行比特操作.對(duì)于給定的隧穿耦合τ0,若存在失諧εss使得該處比特頻率ωq對(duì)失諧一階不敏感,即?ωq/?ε0,則{τ0,εss}對(duì)應(yīng)一個(gè)橫向甜點(diǎn).在此處進(jìn)行單比特門(mén)操作,可以施加一個(gè)與比特共振的隧穿耦合脈沖τAC(t)Ωx(t)cos(ωqt+?),其脈沖包絡(luò)為Ωx(t),相位為?.包含驅(qū)動(dòng)的半經(jīng)典哈密頓量為

其中σij|i〉〈j|,Vij〈i|?H0/?τ|j〉.當(dāng)Ωx(t)?ωq時(shí),在驅(qū)動(dòng)場(chǎng)作用下,量子比特可以繞布洛赫球X-Y平面的任意軸線旋轉(zhuǎn),而任意單比特門(mén)操作可通過(guò)復(fù)合這些旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)[34].然而,在強(qiáng)驅(qū)動(dòng)下,旋轉(zhuǎn)繪景中非共振的耦合項(xiàng)不能被忽略,量子比特的動(dòng)力學(xué)將變得復(fù)雜.因此,為了實(shí)現(xiàn)快速高保真的操作,有必要對(duì)控制脈沖進(jìn)行更進(jìn)一步的設(shè)計(jì).

3 強(qiáng)驅(qū)動(dòng)

本節(jié)提供一種同時(shí)實(shí)現(xiàn)快速單比特門(mén)操作和抑制額外強(qiáng)驅(qū)動(dòng)效應(yīng)的控制脈沖方法.

3.1 全量子化哈密頓量

把驅(qū)動(dòng)脈沖量子化為一個(gè)單模光子場(chǎng),圖1 所示為全量子化哈密頓量對(duì)應(yīng)的裸態(tài)能級(jí)圖.此時(shí)可清楚地闡明強(qiáng)驅(qū)動(dòng)效應(yīng)引起非共振躍遷的基本過(guò)程.為此,擴(kuò)展(2)式中的經(jīng)典驅(qū)動(dòng)場(chǎng)到其對(duì)應(yīng)的量子化光子場(chǎng).比特和光子場(chǎng)的哈密頓量分別記為Hdot和Hph,二者的相互作用哈密頓量為Vint,其量子哈密頓量為

圖1 全量子化哈密頓量的裸態(tài)能級(jí)圖Fig.1.Energy levels of the full quantized Hamiltonian for the bare states.

其中Hdot,Iph對(duì)應(yīng)光子場(chǎng)的單位算符;類似地,HphIdot?ωqa?a,Idot是比特的單位算符.這里考慮共振驅(qū)動(dòng)的單比特門(mén),所以光子的頻率與量子比特頻率一致,a?(a)是光子產(chǎn)生(湮滅)算符.自由哈密頓量Hdot+Hph的本征態(tài)為裸態(tài){|i,n〉|i〉?|n〉},其中|i〉∈{|0〉,|1〉,|f〉},|n〉代表占有數(shù)為n的光子數(shù)態(tài).

考慮到驅(qū)動(dòng)是由單模的交變電壓產(chǎn)生的,可擬設(shè)相互作用哈密頓量為VintVDQD?(a+a?),VDQD對(duì)應(yīng)于作用在雙量子點(diǎn)部分的算符.該哈密頓量應(yīng)滿足經(jīng)典-量子對(duì)應(yīng)原則[24],即

注意到經(jīng)典驅(qū)動(dòng)場(chǎng)對(duì)應(yīng)的光子數(shù)態(tài)為相干態(tài),其分布滿足泊松分布,且平均光子數(shù)N是一個(gè)大數(shù),光子數(shù)偏差 ΔN遠(yuǎn)小于N,所以可以聚焦在光子數(shù)在N附近的態(tài)上,n ∈[N-ΔN,N+ΔN].則任意兩個(gè)裸態(tài)間的耦合強(qiáng)度滿足

單比特門(mén)操作對(duì)應(yīng)的就是裸態(tài)|1,n〉和|0,n+1〉之間的拉比振蕩.然而,如圖1 所示,上述態(tài)還會(huì)和其他光子數(shù)相差1 的態(tài)耦合,這對(duì)應(yīng)于半經(jīng)典哈密頓量中的高頻振蕩項(xiàng).在強(qiáng)驅(qū)動(dòng)下,這些額外的耦合將導(dǎo)致不可忽略的相位錯(cuò)誤和泄漏.可以看到,將哈密頓量全量子化后,處理高頻振蕩項(xiàng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榱艘种七壿嬜涌臻g與其他能級(jí)之間的耦合的問(wèn)題.

3.2 修正脈沖

本文通過(guò)引入額外的自由度來(lái)修正強(qiáng)驅(qū)動(dòng)引起的控制誤差.而對(duì)于比特頻率,我們希望保持其為常數(shù),一是因?yàn)榱孔颖忍囟x在最低的兩個(gè)能量本征態(tài)上,改變比特頻率可能引發(fā)泄漏等問(wèn)題;二是為了保證ST0比特受橫向甜點(diǎn)的保護(hù).因此,我們考慮額外增加一個(gè)正交的脈沖,現(xiàn)在總的脈沖為Ωx(t)cos(ωqt+?)+Ωy(t)sin(ωqt+?).擬設(shè)對(duì)應(yīng)的全量子化哈密頓量為HQHdot+Hph+.由經(jīng)典-量子對(duì)應(yīng)原則,上述哈密頓量可緊湊地表示為

式中的各個(gè)記號(hào)分別為

我們操作的目的在于實(shí)現(xiàn)裸態(tài)|0,n+1〉和|1,n〉之間拉比振蕩的同時(shí),可以同步消除這兩個(gè)態(tài)向其他態(tài)的泄漏.由于光子數(shù)相差1 的裸態(tài)間才有直接耦合,下面只關(guān)注光子數(shù)屬于{n-1,n,n+1,n+2}的子空間.為了抑制泄漏,我們希望找到一個(gè)繪景變換算符U(t),在該變換下的哈密頓量

要滿足以下3 個(gè)要求:首先,它的邏輯子空間部分為目標(biāo)哈密頓量.其次,邏輯子空間和泄漏空間之間沒(méi)有耦合,即

這里|q〉屬于邏輯子空間,而|k〉為泄漏態(tài).最后,該變換在比特操作末時(shí)刻tg是一個(gè)單位算符

以保證在門(mén)操作結(jié)束時(shí)回到原繪景.

實(shí)踐中,U(t)和Ωx(y)(t) 可以通過(guò)微擾法進(jìn)行求解[32].為了做到這一點(diǎn),引入微擾參量δ,并將全量子化的哈密頓量展開(kāi)為

對(duì)(7)式使用Baker-Campbell-Hausdorff 展開(kāi)和Taylor 展開(kāi),可得到Heff的級(jí)數(shù)展開(kāi)式,其第l階的系數(shù)為

而無(wú)泄漏條件(8)式的微擾形式為

由(9)式和(14)—(17)式可迭代求得控制脈沖的微擾解.

具體地,取目標(biāo)哈密頓參數(shù)hx(t)2η10,x/V10.對(duì)于一階微擾解,由無(wú)泄漏條件(17)式,S(t) 應(yīng)該滿足

容易發(fā)現(xiàn),通過(guò)簡(jiǎn)單地改變脈沖的相位?即可實(shí)現(xiàn)繞不同軸的比特旋轉(zhuǎn),所以,上述方法適用于任意單比特量子門(mén)操作的優(yōu)化.

4 數(shù)值模擬

為研究本方案修正脈沖的效果,對(duì)于NOT 門(mén)的表現(xiàn),與文獻(xiàn)[24]中的頻率修正方案及未修正情況做比較.注意到,雖然修正脈沖方案是通過(guò)求解全量子化哈密頓量得到的,但也同樣適用于半經(jīng)典哈密頓量,下文中的數(shù)值模擬結(jié)果都基于半經(jīng)典哈密頓量給出,其中 ΔB/(2π)2 GHz[35],τ01.25ΔB對(duì)應(yīng)的是平坦區(qū)域較寬的甜點(diǎn)[23].量子門(mén)平均保真度由公式[36]

計(jì)算得出,其中單比特操作對(duì)應(yīng)d2,而U0為目標(biāo)量子門(mén),E為實(shí)際的量子比特操作,Ui代表泡利算符I,X,Y和Z.

驅(qū)動(dòng)脈沖以實(shí)驗(yàn)上常用的截?cái)喔咚姑}沖

和三角函數(shù)型脈沖

為示例,對(duì)應(yīng)NOT 門(mén)操作,其中高斯脈沖的半峰全寬取σtg/4,γπ,V01為甜點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的耦合系數(shù)(見(jiàn)(2)式),還有Ωmax為三角函數(shù)型脈沖峰值.

首先考慮無(wú)噪聲情況,如圖2(a)所示,修正脈沖方案的失真度比未修正的情況至少降低了一個(gè)數(shù)量級(jí).特別地,即便平均拉比頻率Ω高至0.25×2π GHz(對(duì)應(yīng)門(mén)時(shí)間2 ns),我們方案的失真度也能低于 10-4.此外,與文獻(xiàn)[24]提出的頻率修正方法進(jìn)行比較,可以看到,本文的方案比頻率修正方案的失真度更低,這是因?yàn)楸疚姆桨缚梢造`活使用不同的拉比頻率,并且對(duì)脈沖包絡(luò)有著較少的限制,有利于強(qiáng)驅(qū)動(dòng)與其他優(yōu)化方案相結(jié)合.可見(jiàn),通過(guò)修正脈沖方案,強(qiáng)驅(qū)動(dòng)引起的控制誤差將大為緩解.

圖2 (a)無(wú)噪聲時(shí)和(b)電荷噪聲下的NOT 門(mén)表現(xiàn).頻率修正和脈沖修正分別指文獻(xiàn)[24]和本文所用的修正方案.實(shí)線和虛線分別對(duì)應(yīng) Ωx 脈沖的包絡(luò)為高斯型和三角函數(shù)型.圖(a)右下角的插入圖為高斯型 Ωx 及其對(duì)應(yīng)的 Ωy 的示 意圖.所用參數(shù)為V01 0.6402,V0f 0.5309,V1f=0.0014Fig.2.NOT gate performance under(a) noise-free and(b) charge noise.The frequency correction and the pulse correction refers to the correction scheme used in Ref.[24]and this work,respectively.The Gaussian and trigonometric Ωxpulse envelopes are represented by the solid and dashed lines,respectively.The bottem right insert in panel(a) is a diagram of Gaussian Ωx and its corresponding Ωy.Parameters:V01 0.6402,V0f 0.5309,V1f 0.0014.

ST0量子比特的相干性主要受失諧噪聲的影響.對(duì)準(zhǔn)靜的失諧噪聲εss→εss+δε,其分布滿足標(biāo)準(zhǔn)偏差為σε的高斯分布.為計(jì)算準(zhǔn)靜噪聲的影響,數(shù)值模擬的基矢為哈密頓量H0(εss+δε) 的本征態(tài),并按高斯分布采樣20 個(gè)不同的δε數(shù)值進(jìn)行平均.對(duì)高頻的失諧噪聲,通過(guò)主方程[37]進(jìn)行模擬,其中耗散超算符為D[c]ρcρc?-c?cρ/2-ρc?c/2,γ?為退相干速率.

圖2(b)模擬了未修正、頻率修正方案和脈沖修正方案中NOT 門(mén)在準(zhǔn)靜噪聲和高頻噪聲共同作用下的表現(xiàn).取準(zhǔn)靜噪聲標(biāo)準(zhǔn)為典型值σ?2 μeV[38,39],退相干時(shí)間T21/γ?7μs[40].對(duì)比脈沖修正方案與其他方案的表現(xiàn),脈沖修正的效果在一定區(qū)域內(nèi)隨著拉比頻率的增加而變得更加顯著.這是因?yàn)?一方面,高頻振蕩項(xiàng)的影響在強(qiáng)驅(qū)動(dòng)下更明顯;另一方面,強(qiáng)驅(qū)動(dòng)縮短了門(mén)時(shí)間,減弱了噪聲的干擾.考慮到求解修正脈沖時(shí)微擾展開(kāi)的有效性,門(mén)保真度不會(huì)一直隨著拉比頻率的增大而增大,脈沖修正方案下NOT 門(mén)的保真度始終高于99.9%,而未修正方案門(mén)保真度則低于99.9%,這展示了脈沖修正方案對(duì)減弱電荷噪聲影響的作用.對(duì)比頻率修正方案,脈沖修正的效果不僅對(duì)控制脈沖的限制更少,且利于進(jìn)一步與其他優(yōu)化方法的兼容.

5 結(jié)論

研究表明,以橫向甜點(diǎn)作為工作區(qū)域,不僅可以實(shí)現(xiàn)對(duì)ST0量子比特的快速單比特操作,同時(shí)也可以保證量子比特對(duì)電荷噪聲的一階不敏感.另一方面,在橫向甜點(diǎn)工作處,強(qiáng)驅(qū)動(dòng)下的高頻振蕩同時(shí)也將導(dǎo)致不可忽略的控制誤差.本文提出了一種通過(guò)增加一個(gè)簡(jiǎn)單的正交脈沖的方法,以減少由強(qiáng)驅(qū)動(dòng)引起的控制誤差,并以NOT 門(mén)為例進(jìn)行了數(shù)值模擬.結(jié)果表明,在本文的脈沖修正下,即便電荷噪聲強(qiáng)度在 2μeV 的水平,也可獲得保真度高于99.9%的單量子比特門(mén)操作.值得注意的是,該方案同時(shí)也適用于任意單比特量子門(mén)的優(yōu)化.因此,本文的脈沖優(yōu)化方案將有助于獲得快速高保真度的ST0量子比特.此外,這種方法也可應(yīng)用于實(shí)現(xiàn)其他量子系統(tǒng)的快速精確操作.