平均場反饋下全局耦合Stuart-Landau極限環(huán)系統(tǒng)的可解集體動(dòng)力學(xué)*

賀蘇娟 鄒為

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣州 510631)

耦合Stuart-Landau 極限環(huán)系統(tǒng)為研究含振幅自由度的自持續(xù)振蕩系統(tǒng)同步相變和集體動(dòng)力學(xué)提供了一個(gè)重要的范式模型.本文研究了平均場反饋下全局耦合Stuart-Landau 極限環(huán)系統(tǒng)中3 種典型的可解集體動(dòng)力學(xué):非相干態(tài)、振幅死亡及鎖頻態(tài).在熱力學(xué)極限 N →∞ 情形下,利用非相干態(tài)線性穩(wěn)定性分析揭示了耦合系統(tǒng)中同步發(fā)生的臨界條件,發(fā)現(xiàn)了增強(qiáng)平均場反饋強(qiáng)度可使得耦合系統(tǒng)在更小的擴(kuò)散耦合強(qiáng)度下出現(xiàn)同步相變行為;通過對振幅死亡態(tài)的線性穩(wěn)定性分析得到了參數(shù)空間中振幅死亡的穩(wěn)定區(qū),發(fā)現(xiàn)了平均場反饋強(qiáng)度可有效地消除耦合系統(tǒng)中的振幅死亡現(xiàn)象;從理論上分析了鎖頻態(tài)的存在性條件,并從鎖頻態(tài)序參量的自洽關(guān)系中推導(dǎo)出了振幅死亡區(qū)的邊界線.本文的研究揭示了平均場反饋對耦合非線性系統(tǒng)中集體行為的動(dòng)力學(xué)控制作用,加深了平均場反饋技術(shù)對耦合誘導(dǎo)的集體行為影響的理解,進(jìn)一步闡釋了復(fù)雜耦合系統(tǒng)中自組織行為的涌現(xiàn)規(guī)律與機(jī)制.

1 引言

大量單元通過相互作用而自組織形成的集體行為在自然界中普遍存在,其動(dòng)力學(xué)行為的演化規(guī)律與機(jī)制可通過耦合非線性振子模型進(jìn)行定性與定量的探索[1-4].近些年來,耦合非線性振子系統(tǒng)中各種豐富集體動(dòng)力學(xué)受到不同研究領(lǐng)域?qū)W者們的廣泛關(guān)注[5-7].其中,同步現(xiàn)象是自然界中最普遍與最典型的集體行為之一,自1975 年Kuramoto模型提出以來[8],同步現(xiàn)象的研究已經(jīng)取得了大量的理論進(jìn)展;迄今,Kuramoto 模型已經(jīng)成為從物理學(xué)到生物學(xué)與工程學(xué)等眾多學(xué)科領(lǐng)域中同步行為研究的范例[9-12].Kuramoto模型是由一組全局耦合的相振子來描述的,通常可有效地刻畫弱耦合系統(tǒng)中的同步相變行為[13-15].然而,當(dāng)系統(tǒng)之間的耦合強(qiáng)度變得足夠強(qiáng)時(shí),為了獲得對耦合系統(tǒng)集體動(dòng)力學(xué)的完整描述,子系統(tǒng)的振幅自由度一般不能被簡單地忽略.在強(qiáng)耦合非線性系統(tǒng)中,振幅自由度通常在決定集體行為涌現(xiàn)形式方面起著關(guān)鍵性作用,譬如鳥群、魚群、無人機(jī)或昆蟲群等[16-18].同時(shí)包含相位與振幅自由度的模型對于理解強(qiáng)耦合非線性系統(tǒng)中的分岔也具有特別重要的意義.結(jié)合相位和振幅動(dòng)力學(xué)的一個(gè)最簡單模型被稱為Stuart-Landau 極限環(huán)系統(tǒng)[19],它是描述超臨界霍普夫(Hopf)分岔的標(biāo)準(zhǔn)形式.在弱耦合的極限下,全局耦合Stuart-Landau 振子系統(tǒng)事實(shí)上可退化為經(jīng)典的Kuramoto 相位模型[20].

通過考慮單個(gè)子系統(tǒng)的振幅動(dòng)力學(xué),許多有趣的新的集體行為在耦合非線性振子系統(tǒng)被發(fā)現(xiàn),通常這些現(xiàn)象在不含振幅自由度的純相位模型中是不存在的[21,22].其中,最為典型的一個(gè)現(xiàn)象是振幅死亡(amplitude death)[23,24]:指自持續(xù)振蕩系統(tǒng)的振幅由于耦合作用而被完全抑制.從動(dòng)力學(xué)角度看,振幅死亡是由于子系統(tǒng)間的相互耦合作用而使得均勻不動(dòng)點(diǎn)從非穩(wěn)變?yōu)榉€(wěn)定,進(jìn)而消除耦合系統(tǒng)的宏觀振蕩的一種集體行為.過去的幾十年里,耦合Stuart-Landau 極限環(huán)系統(tǒng)經(jīng)常被用作一個(gè)理想的數(shù)學(xué)模型來探索振幅死亡現(xiàn)象的涌現(xiàn)規(guī)律,其中許多導(dǎo)致振幅死亡行為的不同動(dòng)力學(xué)機(jī)制相續(xù)被提出,譬如頻率不匹配[25-27]、時(shí)滯耦合[28-30]、動(dòng)態(tài)耦合[31]、共軛耦合[32,33]、非直接耦合[34]等.除了振幅死亡現(xiàn)象外,全局耦合Stuart-Landau 極限環(huán)系統(tǒng)也可表現(xiàn)出其他有趣的集體行為[35-37]:非相干態(tài)(incoherence)與鎖頻態(tài)(locked states).在非相干態(tài)中,耦合極限環(huán)系統(tǒng)的宏觀振蕩行為消失,但每個(gè)子系統(tǒng)卻以其固有自然頻率沿著共同的極限環(huán)做周期運(yùn)動(dòng).此外,在強(qiáng)耦合情形下,耦合Stuart-Landau 極限環(huán)系統(tǒng)可經(jīng)歷鎖頻態(tài),指每個(gè)子系統(tǒng)被吸引到不同的不動(dòng)點(diǎn)上.本質(zhì)上,振幅死亡、非相干態(tài)和鎖頻態(tài)這三類集體行為是耦合Stuart-Landau 極限環(huán)系統(tǒng)的不同類型的定態(tài)動(dòng)力學(xué)行為,其共同點(diǎn)是振子數(shù)目在相空間的分布并不會隨時(shí)間變化.

在過去的近十年里,對同時(shí)具有相位和振幅自由度的耦合非線性系統(tǒng)中集體行為的理論研究如春筍般地涌現(xiàn).例如,Schwab 等[38]研究了非直接耦合Stuart-Landau 極限環(huán)系統(tǒng)模型,并解析地推導(dǎo)出了非相干態(tài)、振幅死亡和鎖頻態(tài)3 種集體行為在參數(shù)空間中的邊界線.考慮子系統(tǒng)振幅參數(shù)服從一定的概率分布函數(shù),Lee 等[39]從理論上深入地研究了全局耦合Stuart-Landau 振子的宏觀動(dòng)力學(xué).通過調(diào)節(jié)耦合作用方式,Wang 和Garnier[40]在全局耦合Stuart-Landau 極限環(huán)系統(tǒng)中建立從連續(xù)到不連續(xù)的同步相變過程;特別地,他們通過對非相干態(tài)的線性穩(wěn)定性分析解析地推導(dǎo)出了向前相變點(diǎn)的臨界耦合強(qiáng)度.令人驚訝的是,即使在全局耦合的全同Stuart-Landau 振子系統(tǒng)中,研究人員也發(fā)現(xiàn)了大量的新奇的集體行為,如奇異態(tài)[41]、廣泛多穩(wěn)態(tài)[42]、多集團(tuán)態(tài)[43]等.最近,相位約化技術(shù)(phase reduction technique)已成功地從相模型擴(kuò)展到了全局耦合的全同Stuart-Landau振子系統(tǒng)中[44,45],該研究具有重要的理論意義,這將更加有利于耦合Stuart-Landau 極限環(huán)系統(tǒng)中集體行為的深入研究.

眾所周知,反饋?zhàn)饔迷谠S多自然系統(tǒng)中普遍存在,譬如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[46]、基因網(wǎng)絡(luò)[47]、視覺系統(tǒng)[48]等.反饋在系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)控制與同步控制問題中的重要性在電子學(xué)、生物學(xué)、量子信息等各個(gè)領(lǐng)域已被廣泛地報(bào)道.例如,腦深部刺激中反饋控制已被發(fā)現(xiàn)是治療震顫(tremor)、肌張力障礙(dystonia)、帕金森病(Parkinson’s disease)等慢性神經(jīng)疾病最有效的治療方式[49-51].本文研究了平均場反饋下全局耦合Stuart-Landau 極限環(huán)系統(tǒng)中的集體行為.通過引入平均場反饋,研究結(jié)果表明,在熱力學(xué)極限N →∞情形下,這種推廣的耦合Stuart-Landau極限環(huán)系統(tǒng)模型中的定態(tài)集體動(dòng)力學(xué)行為是可解的.具體地,首先通過對非相干態(tài)的線性穩(wěn)定性分析解析地得到了系統(tǒng)發(fā)生同步時(shí)平均場反饋強(qiáng)度與擴(kuò)散耦合強(qiáng)度所滿足的具體條件,發(fā)現(xiàn)了平均場反饋利于耦合系統(tǒng)的同步行為的發(fā)生;其次通過對振幅死亡態(tài)的線性穩(wěn)定性分析得到了參數(shù)空間中振幅死亡區(qū)的解析邊界線,發(fā)現(xiàn)了平均場反饋可有效地消除耦合系統(tǒng)中的振幅死亡現(xiàn)象;最后對鎖頻態(tài)的存在性條件給出一定的理論刻畫,并從鎖頻態(tài)序參量的自洽方程中進(jìn)一步地推導(dǎo)出了振幅死亡穩(wěn)定區(qū)的邊界曲線的解析表達(dá)式.

本文內(nèi)容安排如下:第2 節(jié)引入帶平均場反饋的全局耦合Stuart-Landau 極限環(huán)系統(tǒng)模型,并給出了序參量的具體定義和在序參量下模型的不同表達(dá)形式;第3 節(jié)分別對模型的非相干態(tài)、振幅死亡和鎖頻態(tài)3 種集體行為做了系統(tǒng)的理論分析,包括通過對非相干態(tài)與振幅死亡態(tài)的線性穩(wěn)定性分析得到了各自穩(wěn)定的解析條件,并通過數(shù)值模擬結(jié)果證實(shí)了理論預(yù)測的有效性;最后,第4 節(jié)對全文內(nèi)容進(jìn)行概括總結(jié),并對下一步的研究進(jìn)行了展望.

2 理論模型

本文考慮平均場反饋下N個(gè)全局耦合Stuart-Landau 極限環(huán)振子的模型,其動(dòng)力學(xué)演化方程如下:

其中j1,2,···,N(N ?1),zjxj+iyj是復(fù)變量,ωj代表第j個(gè)振子的固有自然頻率,K1≥0 是全局?jǐn)U散耦合強(qiáng)度,K2≥0 刻畫平均場反饋強(qiáng)度.當(dāng)擴(kuò)散耦合強(qiáng)度與平均場反饋強(qiáng)度為零,即K1K20時(shí),單個(gè)Stuart-Landua 系統(tǒng)是一個(gè)超臨界Hopf 分岔的范式模型[1],其有一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)zj(t)與一個(gè)非穩(wěn)的焦點(diǎn)zj0.

為了定量地刻畫耦合系統(tǒng)(1)的集體動(dòng)力學(xué)特性,引入如下的復(fù)序參量:

其中R和?是復(fù)序參量幅值和幅角.此時(shí),方程(1)可改寫為如下形式:

在極坐標(biāo)系下,方程(4)可進(jìn)一步地表達(dá)為

當(dāng)平均場反饋強(qiáng)度K20時(shí),方程(1)退化為文獻(xiàn)[35,36]中所研究的模型.研究表明當(dāng)逐漸增強(qiáng)擴(kuò)散耦合強(qiáng)度K1時(shí),全局耦合Stuart-Landau極限系統(tǒng)可表現(xiàn)出3 種典型的定態(tài)集體動(dòng)力學(xué)行為:非相干態(tài)、振幅死亡與鎖頻態(tài).耦合系統(tǒng)(1)中的宏觀定態(tài)集體行為是統(tǒng)計(jì)意義上的,指相空間中振子的概率密度分布并不會隨時(shí)間演化而變化,即序參量(3)中R與?均為常數(shù).本文將在熱力學(xué)極限N →∞下,從理論上研究平均場反饋?zhàn)饔脤θ竹詈蟂tuart-Landau 系統(tǒng)中定態(tài)集體行為的影響.特別地,將在擴(kuò)散耦合強(qiáng)度與平均場反饋強(qiáng)度的參數(shù)空間中嚴(yán)格地得到非相干態(tài)、振幅死亡與鎖頻態(tài)涌現(xiàn)條件的解析形式.

3 理論與數(shù)值結(jié)果

3.1 非相干態(tài)

耦合系統(tǒng)(1)中的非相干態(tài)是一種無序態(tài)(非同步態(tài)),每個(gè)振子都在半徑為|zj|的極限環(huán)上以各自的自然頻率ωj旋轉(zhuǎn),且滿足序參量〈z〉0.顯然非相干態(tài)存在的前提條件為擴(kuò)散耦合強(qiáng)度滿足K1＜1.特別地,平均場反饋?zhàn)饔肒2不會影響非相干態(tài)解的存在性,但可能會改變其穩(wěn)定性.嚴(yán)格來講,非相干態(tài)僅在熱力學(xué)極限N →∞下才存在.

當(dāng)N →∞時(shí),耦合系統(tǒng)(1)的宏觀動(dòng)力學(xué)可方便地由概率密度分布函數(shù)f(r,θ,ω,t) 來描述,其中f(r,θ,ω,t)rdθdr表示t時(shí)刻頻率為ω、介于區(qū)間r ∈(r,r+dr)和θ ∈(θ,θ+dθ) 內(nèi)振子的占比或振子數(shù)密度,其滿足歸一化條件:

由于系統(tǒng)的振子數(shù)量守恒,分布函數(shù)f(r,θ,ω,t) 滿足如下極坐標(biāo)系下的連續(xù)性方程:

在非相干態(tài)中,對每一個(gè)頻率ω,振子均勻地分布在半徑為ra的圓環(huán)上,故非相干態(tài)對應(yīng)的概率密度分布函數(shù)為

可直接驗(yàn)證(10)式中非相干態(tài)的解滿足連續(xù)性方程(8)及其對應(yīng)的序參量R0.

令F(r,θ,ω,t)f(r,θ,ω,t)r,連續(xù)性方程(8)可改寫為

相應(yīng)地,序參量的幅值與非相干態(tài)的解分別為

注意,(11)式和(12)式為耦合系統(tǒng)(1)在熱力學(xué)極限N →∞下的集體動(dòng)力學(xué)提供了一個(gè)簡潔的自洽描述.

為得到非相干態(tài)失穩(wěn)的臨界條件,接下來對其做線性穩(wěn)定性分析.對(13)式中非相干態(tài)解F0引入一個(gè)小的擾動(dòng):

其中 0＜ε ?1.將(14)式代入(12)式有

其中A,B,C,D均獨(dú)立于r與θ.將(17)式中F1的形式解代入(16)式的左邊,并利用δ函數(shù)等式

可分別計(jì)算出A,B,C,D的具體表達(dá)式為

利用(19)式,將F1的具體解(17)式代入(15)式后,等式兩邊消掉非零的R1,可得到關(guān)于s的方程:

其中g(shù)(ω) 假定是關(guān)于原點(diǎn)對稱的偶函數(shù).當(dāng)且僅當(dāng)方程(20)沒有正實(shí)部根s時(shí),非相干態(tài)是線性穩(wěn)定的.特別地,在方程(20)中通過取極限s →0+,可得到非相干態(tài)穩(wěn)定的臨界擴(kuò)散耦合強(qiáng)度與臨界平均場反饋強(qiáng)度需滿足

(21)式很好地從理論上預(yù)測耦合系統(tǒng)(1)在系統(tǒng)尺寸N充分大時(shí)非相干態(tài)失穩(wěn)的臨界條件.

為驗(yàn)證(21)式中理論預(yù)測的有效性,接下來通過展示方程(1)的數(shù)值模擬結(jié)果來直觀地顯示耦合系統(tǒng)中非相干態(tài)的行為規(guī)律.在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中,固定N10000,利用四階Runge-Kutta 方法與隨機(jī)初始條件對方程(1)進(jìn)行數(shù)值模擬,其中振子的自然頻率服從(2)式給出的高斯分布.圖1(a)給出了不同平均場反饋強(qiáng)度K2下序參量R隨擴(kuò)散耦合強(qiáng)度K1的相變圖,其中頻率標(biāo)準(zhǔn)差固定為Δ0.2.顯然可以看到,隨著K2的增大,系統(tǒng)非相干態(tài)失穩(wěn)(R的值從零變?yōu)榉橇?的臨界擴(kuò)散耦合強(qiáng)度K1c逐漸減小.圖1(b)進(jìn)一步給出了在不同K2值下K1c隨Δ的變化關(guān)系,其中實(shí)線為(21)式給出的理論預(yù)測,藍(lán)色的方形實(shí)點(diǎn)為數(shù)值結(jié)果,可以清晰地看到數(shù)值模擬與理論預(yù)測一致.

圖1 平均場反饋對全局?jǐn)U散耦合系統(tǒng)(1)中非相干態(tài)的影響(a) 不同平均場反饋強(qiáng)度 K2下,序參量R 隨擴(kuò)散耦合強(qiáng)度K1的相變圖,其中頻率標(biāo)準(zhǔn)差固定為 Δ0.2 ;(b) 不同平均場反饋強(qiáng)度 K2下,使得非相干態(tài)失穩(wěn)的臨界擴(kuò)散耦合強(qiáng)度K1c與頻率標(biāo)準(zhǔn)差Δ 的關(guān)系.實(shí)線為(21)式給出的理論預(yù)測,藍(lán)色的方形實(shí)點(diǎn)為數(shù)值結(jié)果Fig.1.Effect of mean-field feedback on the incoherence in coupled system(1):(a) Phase transition diagrams of order parameter R with the strengths of diffusive coupling K1 under different strengths of the mean-field feedback K2,where the standard deviation of natural frequencies is fixed at Δ0.2 ;(b) dependence of the critical diffusive coupling strength K1c,beyond which the incoherence becomes destabilized,on the standard deviation Δ of natural frequencies under different strengths of the mean-field feedback K2.The solid lines are the plots of the theoretical prediction given in Eq.(21),whereas the blue squares denote the numerical results.

3.2 振幅死亡

當(dāng)擴(kuò)散耦合強(qiáng)度與平均場反饋強(qiáng)度均為零,即K1K20時(shí),方程(1)中第j個(gè)Stuart-Landau系統(tǒng)在半徑為|zj|1 的極限環(huán)上以頻率ωj旋轉(zhuǎn),且有一個(gè)非穩(wěn)的焦點(diǎn)zj0.顯然,對于任何的K1＞0與K2＞0,zj0 依然為方程(1)的一個(gè)解.特別地,當(dāng)平均場反饋強(qiáng)度K20時(shí),前人研究表明在一定的固有自然頻率分布與擴(kuò)散耦合強(qiáng)度K1＞0 下[25],不動(dòng)點(diǎn)zj0 可轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠?1)的一個(gè)穩(wěn)定解,即耦合系統(tǒng)(1)經(jīng)歷所謂的擴(kuò)散耦合誘導(dǎo)的振幅死亡現(xiàn)象[23,24].通過在耦合振子系統(tǒng)中引入反饋,Chandrasekar 等[52]首次研究了兩個(gè)耦合的非全同Stuart-Landau 振子系統(tǒng)中反饋?zhàn)饔脤φ穹劳龅挠绊?他們發(fā)現(xiàn)反饋的出現(xiàn)可消除參數(shù)不匹配誘導(dǎo)的振幅死亡現(xiàn)象.進(jìn)一步地,Zhao 和Sun[53]揭示了平均場反饋可消除兩個(gè)耦合的Stuart-Landau 振子系統(tǒng)在不同耦合情形下的振幅死亡行為.最近,Shi 等[54]將平均場反饋擴(kuò)展到更一般的形式:使用雙權(quán)重反饋?zhàn)饔糜隈詈蟂tuart-Landau 系統(tǒng)中的每個(gè)振蕩器.他們發(fā)現(xiàn)消除振幅死亡現(xiàn)象的反饋?zhàn)饔弥写嬖谝粋€(gè)最優(yōu)的權(quán)重值.本節(jié)將從理論上揭示平均場反饋對N(N ?2)個(gè)全局耦合非全同Stuart-Landau 振子系統(tǒng)中振幅死亡的作用;特別地,通過嚴(yán)格的線性穩(wěn)定性分析,在熱力學(xué)極限情形(N →∞)下得到依賴于擴(kuò)散耦合強(qiáng)度K1與平均場反饋強(qiáng)度K2的振幅死亡態(tài)穩(wěn)定的精確條件.

為了得到振幅死亡的發(fā)生條件,對方程(1)在解zj0 處進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析.將帶小擾動(dòng)的振幅死亡解zj0+εηj(0＜ε ?1) 代入到(1)式中展開,只保留ε的一階線性項(xiàng)后,可得到如下的線性方程:

其中j1,2,···,N.由(22)式可知,耦合系統(tǒng)(1)在zj0 處線性化后的雅可比矩陣為

振幅死亡穩(wěn)定的充要條件為(23)式中的矩陣M所有特征值的實(shí)部都小于零.

記aj1-K1+iωj,按照行列式的性質(zhì),矩陣M的特征方程 det(λI-M)0 可具體地計(jì)算為

故方程(1)在解zj0 處線性化后的特征方程最終為

如果特征方程(24)只有實(shí)部為負(fù)的根,則耦合系統(tǒng)(1)中的振幅死亡態(tài)是穩(wěn)定的.反之,如果特征方程(24)有一個(gè)實(shí)部為正的根,則振幅死亡態(tài)是非穩(wěn)的.

一般情況下,當(dāng)N ＞2時(shí),(24)式所給出的特征方程的根很難解析地求解,因?yàn)樗鼈円蕾囉谔囟l率ω1,ω2,···,ωN的具體分布.然而,在熱力學(xué)極限N →∞情形下,特征方程(24)的根的求解問題可得到極大的簡化且易于解析地處理.具體地,當(dāng)N →∞時(shí),(24)式中左邊的兩部分分別對應(yīng)于振幅死亡的連續(xù)譜和離散譜.一方面,振幅死亡的連續(xù)譜可直接求得為

其中 support(g) 為使得g(ω)0 的ω的集合.顯然,當(dāng)K1＞1時(shí),連續(xù)譜是穩(wěn)定的,即連續(xù)譜不會誘導(dǎo)振幅死亡失穩(wěn).另外一方面,振幅死亡的離散譜由如下方程的根給出:

若(26)式的根的實(shí)部均為負(fù)數(shù),則離散譜是穩(wěn)定的.特別地,在方程(26)中令λ →0時(shí),可得離散譜決定的振幅死亡穩(wěn)定的臨界條件為

值得強(qiáng)調(diào)的是,熱力學(xué)極限N →∞情形下,連續(xù)譜(25)式與離散譜(26)式所預(yù)測的振幅死亡穩(wěn)定區(qū)具有重要的理論意義,它為具有足夠大的尺寸N的耦合系統(tǒng)(1)中振幅死亡的涌現(xiàn)提供了一個(gè)相當(dāng)準(zhǔn)確的描述.

圖2(a)給出了使得振幅死亡穩(wěn)定的擴(kuò)散耦合強(qiáng)度K1區(qū)間隨著平均場反饋強(qiáng)度K2的變化,其中頻率標(biāo)準(zhǔn)差固定為Δ1.5.隨著K2的增大,穩(wěn)定的振幅死亡區(qū)間逐漸變小,并最終徹底地消失.圖2(b)進(jìn)一步地給出了平均場反饋強(qiáng)度為K20,0.1和0.2時(shí),耦合系統(tǒng)(1)在參數(shù)空間(K1,Δ) 中振幅死亡的穩(wěn)定區(qū).圖2(a)與圖2(b)中,實(shí)斜線為(27)式所給出的理論預(yù)測,藍(lán)色的方形實(shí)點(diǎn)則表示數(shù)值實(shí)驗(yàn)得到的振幅死亡穩(wěn)定區(qū)的邊界.在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中,固定系統(tǒng)的尺寸為N10000,自然頻率服從高斯分布(2)式,且采用隨機(jī)初始條件.圖2表明理論分析與數(shù)值模擬的結(jié)果一致:隨著平均場反饋強(qiáng)度的增大,振幅死亡穩(wěn)定的參數(shù)區(qū)逐漸縮小.故平均場反饋可有效地消除擴(kuò)散耦合系統(tǒng)(1)中的振幅死亡現(xiàn)象,從而恢復(fù)系統(tǒng)的宏觀振蕩行為.

圖2 平均場反饋對全局?jǐn)U散耦合系統(tǒng)(1)中振幅死亡的影響(a) 穩(wěn)定的振幅死亡擴(kuò)散耦合強(qiáng)度 K1 區(qū)間隨平均場反饋強(qiáng)度K2 的變化,其中頻率標(biāo)準(zhǔn)差固定為 Δ1.5 ;(b) 不同平均場反饋強(qiáng)度 K2下,參數(shù)空間(K1,Δ) 中振幅死亡的穩(wěn)定區(qū).(a)與(b)中,藍(lán)色的方形實(shí)點(diǎn)表示數(shù)值模擬結(jié)果,實(shí)斜線為(27)式中的理論預(yù)測結(jié)果Fig.2.Effect of mean-field feedback on amplitude death(AD) in coupled system(1):(a) Stable AD interval of diffusive coupling K1 versus the strength of the mean-field feedback K2,where Δ1.5 is fixed;(b) stable regions of AD in the parameter space of(K1,Δ) under different strengths of the mean-field feedback K2.In both panels,the blue squares represent the numerical results,whereas the solid lines denote the theoretical prediction by Eq.(27).

3.3 鎖頻態(tài)

本節(jié)討論耦合系統(tǒng)(1)中的另外一種典型的定態(tài)集體行為:鎖頻態(tài).注意到方程(1)具有旋轉(zhuǎn)對稱性,假定平均頻率ω00時(shí),鎖頻態(tài)對應(yīng)于方程(1)的非平庸不動(dòng)點(diǎn)解.當(dāng) 2?N ＜∞時(shí),方程(1)的非平庸不動(dòng)點(diǎn)解幾乎不可能顯式地求得.然而,在熱力學(xué)極限N →∞情形下,依然可從理論上對耦合系統(tǒng)(1)中的鎖頻態(tài)獲得一定程度的理解.

當(dāng)N →∞時(shí),鎖頻態(tài)中每個(gè)振子的位置取決于自然頻率ω,故方程(1)中振子的狀態(tài)變量z可看作為依賴ω的函數(shù).由(5)式與(6)式中的極坐標(biāo)方程可知,鎖頻態(tài)中有:

其中r,θ,R和?同時(shí)滿足:

(28)式—(30)式對耦合系統(tǒng)(1)的鎖頻態(tài)的解提供一個(gè)完整的自洽描述.

鎖頻態(tài)中,振子的位置r與θ完全由序參量R,?和自然頻率ω來刻畫.顯然,從(29)式中可得:

將其代入到(28)式有:

可進(jìn)一步地寫為關(guān)于 cot(θ-?) 的三次方程:

它給出了鎖頻態(tài)中振子相位θ依賴于序參量R,?和自然頻率ω的一個(gè)隱式關(guān)系.此外,將(28)式與(29)式兩邊平方后相加,可得關(guān)于r2的一個(gè)三次方程:

它給出了鎖頻態(tài)中振子幅值r依賴于序參量R和自然頻率ω的一個(gè)隱式關(guān)系.事實(shí)上,由(28)式與(29)式有:

可知(33)式與(34)式本質(zhì)上是同一個(gè)三次方程.

注意到耦合系統(tǒng)(1)中的振幅死亡態(tài)其實(shí)是其鎖頻態(tài)的一類特殊情況,對應(yīng)于方程(1)中的平庸不動(dòng)點(diǎn)解r0,且有序參量R0.下面說明(27)式中的振幅死亡穩(wěn)定區(qū)的邊界線可從鎖頻態(tài)的序參量的自洽關(guān)系(30)式中推導(dǎo)出.由(31)式,方程(30)可改寫為

在振幅死亡態(tài)中r0,故從(35)式可解得:

利用三角函數(shù)等式可進(jìn)一步地求得:

將(38)式與(39)式代入(36)式中可得:

即為(27)式中所給出的振幅死亡穩(wěn)定區(qū)的邊界線表達(dá)式.

4 結(jié)論

本文在熱力學(xué)極限條件N →∞下,探討了平均場反饋下全局?jǐn)U散耦合Stuart-Landau 極限環(huán)系統(tǒng)中的3 種典型的可解集體動(dòng)力學(xué):非相干態(tài)、振幅死亡態(tài)及鎖頻態(tài).首先,通過對非相干態(tài)的線性穩(wěn)定性分析,解析地得到了耦合系統(tǒng)發(fā)生同步的臨界擴(kuò)散耦合強(qiáng)度與臨界平均場反饋強(qiáng)度之間滿足的具體條件.理論與數(shù)值結(jié)果均表明增強(qiáng)平均場反饋強(qiáng)度可使得耦合系統(tǒng)在更小的臨界擴(kuò)散耦合強(qiáng)度下出現(xiàn)同步行為.其次,利用振幅死亡線性穩(wěn)定性分析解析地得到了參數(shù)空間中振幅死亡區(qū)的臨界邊界線,并通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)證實(shí)了理論預(yù)測的有效性.結(jié)果顯示增強(qiáng)平均場反饋強(qiáng)度會導(dǎo)致系統(tǒng)的振幅死亡區(qū)逐漸縮減,進(jìn)而可使耦合系統(tǒng)從振幅死亡態(tài)中復(fù)蘇系統(tǒng)的集體振蕩行為.最后,通過對鎖頻態(tài)的序參量的自洽分析得到了鎖頻態(tài)的一些基本理論性質(zhì);特別地,從鎖頻態(tài)存在性的自洽條件中進(jìn)一步地推導(dǎo)出了振幅死亡態(tài)穩(wěn)定區(qū)的邊界線.

一方面,本文使用的Stuart-Landau 振子系統(tǒng)是描述超臨界霍普夫(Hopf)分岔動(dòng)力學(xué)的一個(gè)范式模型,該模型被諸多學(xué)科領(lǐng)域中的研究人員所廣泛使用.基于Stuart-Landau 極限環(huán)模型所得的結(jié)果具有非常深刻的科學(xué)意義,常常被認(rèn)為在大多數(shù)霍普夫分岔附近的非線性系統(tǒng)中均成立.另外一方面,反饋技術(shù)在眾多的自然系統(tǒng)中無所不在且有著重要意義與應(yīng)用,比如同步控制問題與腦深部刺激(DBS).本文是對全局?jǐn)U散耦合Stuart-Landau極限環(huán)系統(tǒng)中集體動(dòng)力學(xué)研究的一個(gè)重要拓展,本文的研究結(jié)果不僅在理論上有很好的普適意義,而且在許多物理與生物系統(tǒng)中都將有著重要的潛在應(yīng)用.基于本文的研究未來會有更多的關(guān)于耦合非線性系統(tǒng)中可解集體動(dòng)力學(xué)的有益探索,同時(shí)對發(fā)展平均場反饋技術(shù)的應(yīng)用也有所裨益.最后,本文僅對全局耦合系統(tǒng)所表現(xiàn)出的定態(tài)集體動(dòng)力學(xué)給出了相應(yīng)的理論分析,缺乏對非定態(tài)的集體動(dòng)力學(xué)(序參量隨時(shí)間變化的振蕩態(tài),如周期、擬周期或混沌行為等)的考量以及耦合網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的討論,這些重要問題未來亟需得到分析與解決.