非厄米格點(diǎn)模型的經(jīng)典電路模擬*

徐燦鴻 許志聰 周子榆 成恩宏? 郎利君2)?

1)(華南師范大學(xué)物理學(xué)院,廣州 510006)

2)(華南師范大學(xué),廣東省量子調(diào)控工程與材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣州 510006)

量子模擬是研究和理解量子世界中奇異物理現(xiàn)象的重要手段.近年來,人們發(fā)現(xiàn)除了量子平臺,經(jīng)典系統(tǒng)(如光子晶體、聲子晶體和機(jī)械振子等) 也能通過類比薛定諤方程的方式模擬量子模型.其中,經(jīng)典電路因具有成本低廉、技術(shù)成熟和易于擴(kuò)展等特點(diǎn),成為一個新興的模擬平臺,并成功模擬了許多重要的量子現(xiàn)象.與此同時,非厄米物理突破了傳統(tǒng)量子力學(xué)中系統(tǒng)哈密頓量的厄米性,為人們理解量子系統(tǒng),尤其是開放量子系統(tǒng)中的物理,提供了一種新的視角.非厄米系統(tǒng)由于展現(xiàn)出不同于厄米系統(tǒng)的新奇現(xiàn)象,在物理學(xué)的多個領(lǐng)域中成為新興的研究對象.然而,許多非厄米現(xiàn)象所要求的奇異構(gòu)型在量子平臺上實(shí)現(xiàn)的技術(shù)門檻相對較高,例如非厄米趨膚效應(yīng)通常需要系統(tǒng)具備非互易的格點(diǎn)間躍遷.因此,利用操控靈活的經(jīng)典電路模擬非厄米物理成為一種自然的選擇.本文旨在通過簡要介紹非厄米物理的相關(guān)知識(包括數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和新奇現(xiàn)象) 以及經(jīng)典電路的模擬理論(包括對格點(diǎn)模型的映射理論、非厄米的引入和物理量的測量等),概述當(dāng)前經(jīng)典電路模擬非厄米格點(diǎn)模型的實(shí)驗(yàn)進(jìn)展,為相關(guān)研究工作提供參考,以推動該領(lǐng)域的進(jìn)一步發(fā)展.

1 引言

量子模擬的概念最早由著名物理學(xué)家費(fèi)曼提出[1],以解決復(fù)雜量子系統(tǒng)無法用經(jīng)典計(jì)算機(jī)模擬的問題,從而更好地理解奇異的量子世界.隨著低溫、超導(dǎo)等極端技術(shù)的發(fā)展,人造量子平臺(如冷原子[2-4]、離子阱[5-7]、超導(dǎo)量子比特[8-10]等)表現(xiàn)出系統(tǒng)純凈、可控性強(qiáng)等優(yōu)勢,成功模擬了許多重要的量子現(xiàn)象.然而,量子模擬平臺對技術(shù)條件要求苛刻且容易受環(huán)境影響而發(fā)生退相干[11],導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)成本很高.近些年,研究者們發(fā)現(xiàn)主導(dǎo)經(jīng)典系統(tǒng)的物態(tài)方程在一定條件下可以與量子系統(tǒng)所遵循的薛定諤方程相對應(yīng)[12],因此,經(jīng)典系統(tǒng)(如光子晶體[13-18]、聲子晶體[19-24]、機(jī)械振子[25-30]等)同樣可以用來模擬量子現(xiàn)象,并且具有成本低廉、技術(shù)成熟和擴(kuò)展性強(qiáng)等特點(diǎn).尤其是近期興起的經(jīng)典電路系統(tǒng)[31,32],原則上可以模擬任意維度和任意邊界條件下具有任意格點(diǎn)間躍遷的量子緊束縛模型(即格點(diǎn)模型).利用經(jīng)典電路,人們已經(jīng)成功模擬了許多量子現(xiàn)象[33-49],比如拓?fù)溥吘墤B(tài)[35,39,46,48]以及高階拓?fù)浣菓B(tài)[36,40,43,47]等.

另一方面,非厄米系統(tǒng)作為量子開放系統(tǒng)的一種有效描述[12,50,51],本身帶來許多不同于傳統(tǒng)厄米系統(tǒng)的獨(dú)特現(xiàn)象,比如復(fù)能譜的出現(xiàn)、宇稱-時間反演對稱(parity-time-reversal symmetry,PT 對稱)破缺[52-56]、傳統(tǒng)體邊對應(yīng)關(guān)系(bulk-boundary correspondence)的失效[57-70]、非厄米動力學(xué)[71-73]等,已經(jīng)成為當(dāng)下凝聚態(tài)領(lǐng)域中一個新興的研究熱點(diǎn).鑒于經(jīng)典電路對量子厄米拓?fù)湎到y(tǒng)的成功模擬,人們自然也希望用它模擬非厄米系統(tǒng),以期更好地研究和理解新奇的非厄米物理現(xiàn)象.實(shí)驗(yàn)上,研究者們在利用經(jīng)典電路模擬非厄米物理方面已經(jīng)取得了很大進(jìn)展[32],比如成功模擬具有非互易躍遷的Su-Schriefer-Heeger(SSH)模型[41],觀測到由增益/損耗(gain/loss)誘導(dǎo)的非厄米拓?fù)溥吘墤B(tài)[74]等.本文將聚焦于經(jīng)典電路對非厄米格點(diǎn)模型的模擬,對當(dāng)前的實(shí)驗(yàn)進(jìn)展進(jìn)行綜述,為相關(guān)研究提供參考,以推動該領(lǐng)域進(jìn)一步發(fā)展.

本文的剩余部分大致安排如下:第2 節(jié)簡要介紹非厄米物理中的一些數(shù)學(xué)知識和新奇現(xiàn)象;第3 節(jié)介紹經(jīng)典電路模擬的理論基礎(chǔ);第4 節(jié)概述當(dāng)下經(jīng)典電路模擬非厄米格點(diǎn)模型的實(shí)驗(yàn)進(jìn)展;第5 節(jié)進(jìn)行總結(jié).

2 非厄米物理簡介

非厄米物理的研究對象既可以是量子系統(tǒng)也可以是經(jīng)典系統(tǒng),其特征是系統(tǒng)的性質(zhì)可以通過有效的非厄米矩陣進(jìn)行描述[12].系統(tǒng)的非厄米性通常來源于系統(tǒng)與環(huán)境之間的耦合,比如系統(tǒng)與環(huán)境之間的能量交換,對系統(tǒng)的測量等[50,51].

早期的研究主要關(guān)注于PT 對稱的非厄米系統(tǒng)[52,53],因?yàn)檫@類系統(tǒng)在特定參數(shù)下具有類似厄米系統(tǒng)的純實(shí)數(shù)能譜,以保證態(tài)的演化不發(fā)散或不消逝.同時,此類系統(tǒng)能譜的實(shí)復(fù)轉(zhuǎn)變對應(yīng)于本征態(tài)的PT 對稱破缺,其轉(zhuǎn)變點(diǎn)即為異常點(diǎn)(exceptional point,EP)[75].隨后,人們建立了非厄米系統(tǒng)的一般性理論—非厄米量子力學(xué)[76],給出了描述非厄米系統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)范式.

近些年,傳統(tǒng)體邊對應(yīng)關(guān)系在非厄米拓?fù)湎到y(tǒng)的失效引起新一輪對非厄米物理研究的浪潮.在重建非厄米體邊對應(yīng)關(guān)系的過程中,人們逐漸發(fā)現(xiàn)一些非厄米系統(tǒng)所特有的現(xiàn)象,比如非厄米趨膚效應(yīng)[57-59,77-79],也建立起一些新的非厄米理論,比如非布洛赫理論[59,80-88]、非厄米拓?fù)浞诸怺89-92]等.這些研究在理論上揭示出非厄米系統(tǒng)不同于厄米系統(tǒng)的獨(dú)特性質(zhì)[12,86,92].近期隨著非厄米領(lǐng)域的不斷發(fā)展,人們開始將非厄米理論應(yīng)用于對開放系統(tǒng)的研究中[63,93-101].

本節(jié)根據(jù)理解相關(guān)實(shí)驗(yàn)的需要,簡要介紹一些實(shí)驗(yàn)中所涉及的非厄米理論的基本數(shù)學(xué)知識以及非厄米系統(tǒng)所特有的新奇現(xiàn)象.

2.1 非厄米理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

2.1.1 非厄米矩陣及雙正交基

非厄米系統(tǒng)通常可以用非厄米矩陣H(相當(dāng)于傳統(tǒng)量子力學(xué)中系統(tǒng)的哈密頓量)來描述,其非厄米性表現(xiàn)為H?H.對于可對角化的非厄米矩陣而言(不可對角化的情況隨后介紹),其本征值分解如下[102]:

其中,Λ為對角矩陣,其對角項(xiàng){En}為本征值(相當(dāng)于傳統(tǒng)量子力學(xué)中系統(tǒng)的本征能量),可以為任意復(fù)數(shù);S為相似矩陣,其中的列向量被稱為H的右本征矢,記作,而S-1中的行向量被稱為H的左本征矢,記作.將(1)式寫成本征方程的形式:

表示非厄米系統(tǒng)的定態(tài)薛定諤方程.由相似矩陣的性質(zhì)可知,左右本征矢之間滿足雙正交歸一關(guān)系:

從而具有如下完備性:

因此,左右矢可構(gòu)成非厄米矩陣的雙正交基(biorthogonal basis)[76].

2.1.2 缺陷矩陣及EP

當(dāng)非厄米矩陣不可對角化(被稱為缺陷矩陣)時,無法對其進(jìn)行本征值分解,取而代之的是更一般的約當(dāng)分解(Jordan decomposition)[12,103]:

其中,S仍為相似矩陣,

是在相似變換下最接近完全對角化的塊對角矩陣,其對角塊Js(E) 具有如下形式:對角元均為E,上次對角元均為1,其他為0.具有這樣形式的J被稱為H的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型(Jordan canonical form),其中Js(E) 為第s個約當(dāng)塊(Jordan block).每個約當(dāng)塊Js(E) 都有且僅有一個本征矢(1,0,···)T,E為相應(yīng)的本征值.因此,當(dāng)存在約當(dāng)塊的維度ps(E)dimJs(E)＞1時,H即為缺陷矩陣.具有相同本征值E的約當(dāng)塊的個數(shù)α(E) 即為缺陷矩陣H在E處的簡并度.特別地,當(dāng)所有約當(dāng)塊的維度均為1時,約當(dāng)分解則退化為本征值分解,即H不再是缺陷矩陣.

如果調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù),使描述非厄米系統(tǒng)的非厄米矩陣恰好為缺陷矩陣,此參數(shù)即為非厄米系統(tǒng)的EP[75].不同于厄米矩陣的簡并點(diǎn),在EP 處不僅本征值重合,本征矢也會部分或全部合并(coalesce),即H的左右本征矢無法提供完備的雙正交基,此時需要用廣義本征矢(generalized eigenvector)來補(bǔ)足.通常大家定義在本征值E處的EP 階數(shù)為,但此定義只適合對EP 的粗糙描述,并不能反映在此系統(tǒng)參數(shù)下是否發(fā)生了本征矢合并以及合并的細(xì)節(jié).只有給出本征值E對應(yīng)的每一個約當(dāng)塊的維度信息ps(E),才能更好地表征EP 的性質(zhì).

為了度量系統(tǒng)參數(shù)離EP 的遠(yuǎn)近程度,可以定義平均的相剛度(phase rigidity)[104]:

其中,N為可對角化矩陣H(z)的維度,為其在參數(shù)z處的第n個左/右本征矢.當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)接近EP值z0時,相剛度r(z →z0)→0 ;對于厄米矩陣,左右本征矢互為復(fù)共軛,所以相剛度r(z)1,即厄米矩陣不存在EP.

2.2 非厄米系統(tǒng)中的新奇現(xiàn)象

2.2.1 PT 對稱破缺及贗厄米

在傳統(tǒng)的量子力學(xué)中,系統(tǒng)的哈密頓量為厄米算符(對應(yīng)于厄米矩陣),其本征譜全為實(shí)數(shù),反映系統(tǒng)能量為實(shí)數(shù)的物理事實(shí).1998年,Bender 和Boettcher[52,53]發(fā)現(xiàn),PT對稱的非厄米哈密頓量(對應(yīng)于非厄米矩陣)同樣可以具有全實(shí)能譜.這里的P 和T 分別表示空間反演和時間反演.當(dāng)非厄米強(qiáng)度(比如增益/損耗強(qiáng)度)γ比較弱時,系統(tǒng)的所有本征態(tài)均具有PT對稱性,從而具有全實(shí)的能譜,此時系統(tǒng)處于PT對稱相,任何量子態(tài)在此系統(tǒng)下均具有穩(wěn)定的動力學(xué).當(dāng)非厄米強(qiáng)度很強(qiáng)時,系統(tǒng)的部分或全部本征態(tài)不再具有PT 對稱性,其能譜也出現(xiàn)復(fù)數(shù),此時系統(tǒng)處于PT 對稱破缺相,量子態(tài)在其中的演化通常會發(fā)散或消逝.因此,在PT 對稱的非厄米系統(tǒng)里,存在能譜由全實(shí)到復(fù)數(shù)的轉(zhuǎn)變,被稱為PT 轉(zhuǎn)變(PT transition),如圖1所示.在轉(zhuǎn)變點(diǎn)處部分或全部本征態(tài)會發(fā)生自發(fā)性PT 對稱破缺.此轉(zhuǎn)變點(diǎn)即為前面所提到的EP.PT 轉(zhuǎn)變是厄米系統(tǒng)所沒有的.

圖1 能量E 的實(shí)部(實(shí)線)和虛部(虛線)隨非厄米強(qiáng)度γ 的變化.點(diǎn)線處為PT 轉(zhuǎn)變點(diǎn),其左側(cè)為PT 對稱相(白色區(qū)域),右側(cè)為PT 對稱破缺相(灰色區(qū)域)Fig.1.The real(solid lines) and imaginary(dashed lines)parts of the energy E versus the strength γ of the non-Hermiticity.The dotted line indicates the PT transition point,to the left side of which is the PT symmetric phase(white region) and to the right side of which is the PT-broken phase(gray region).

其實(shí),不只有PT 對稱的非厄米系統(tǒng)可以存在全實(shí)能譜.Mostafazadeh[105]在2002 年的研究發(fā)現(xiàn),每一個具有全實(shí)能譜的哈密頓量都是贗厄米的(pseudo-Hermitian),而PT 對稱只是贗厄米的一種特殊形式.如果存在一個厄米的可逆算符η,使得系統(tǒng)的哈密頓量H滿足H?ηHη-1,則稱H是贗厄米的[12,105].如果η可以取單位算符,則H退化為厄米的.贗厄米哈密頓量的能譜一定具備以下性質(zhì)之一:1) 全實(shí)能譜;2) 能譜以復(fù)共軛的形式成對出現(xiàn),且互為復(fù)共軛的能譜的簡并度相同.

如果存在η,它可以進(jìn)一步寫成ηOO?的形式,其中O為線性可逆算符,則贗厄米哈密頓量H一定具有全實(shí)能譜[12,106].這是非厄米哈密頓量具有全實(shí)能譜的充分必要條件.而PT 對稱僅能保證非厄米哈密頓量具有產(chǎn)生全實(shí)能譜的可能性,既不是其具有全實(shí)能譜的充分條件,也不是必要條件.

2.2.2 傳統(tǒng)體邊對應(yīng)關(guān)系的失效及非厄米趨膚效應(yīng)

體邊對應(yīng)關(guān)系是被體能隙保護(hù)的厄米拓?fù)湎到y(tǒng)遵循的一個基本原則,它描述了系統(tǒng)的體態(tài)拓?fù)洳蛔兞颗c拓?fù)溥吘墤B(tài)之間的關(guān)聯(lián).然而,此原則在某些非厄米系統(tǒng)中并不成立,表現(xiàn)為開邊界條件下的能譜和體態(tài)與周期邊界下有很大的不同[57,58],如圖2(a)所示.這是因?yàn)榇祟惙嵌蛎紫到y(tǒng)對邊界的選擇表現(xiàn)出很強(qiáng)的敏感性,開邊界與周期邊界的同一系統(tǒng)在熱力學(xué)極限下并不等價[57,58,107].

圖2 (a)非厄米SSH 模型[59]分別在開邊界(粉色)和周期邊界(灰色)條件下的能譜E 在復(fù)平面的示意圖;(b)與(a)中能譜相對應(yīng)的布里淵區(qū)(灰色)和廣義布里淵區(qū)(粉色)的示意圖,其中β 的定義見正文;(c)開邊界條件下拓?fù)溥吘墤B(tài)(紅色)和趨膚態(tài)(灰色)的在實(shí)空間的幾率分布|ψi|2示意圖,i 為格點(diǎn)標(biāo)記Fig.2.(a) The sketch of the energy spectra in complex plane for the non-Hermitian SSH model in Ref.[59] respectively under open(pink) and periodic(gray) boundary conditions;(b) the sketch of the Brillouin zone(black) and the generalized Brillouin zone(pink) corresponding to the spectra with the same colors in(a),where the definition of β can be referred to in the main text;(c) the sketch of probability distribution|ψi|2 of the topological end state(red)and the skin bulk states(gray) in real space under open boundary conditions,where i is the site index.

非厄米趨膚效應(yīng)恰是這種邊界敏感性的體現(xiàn).它具體表現(xiàn)為非厄米系統(tǒng)的體態(tài)在開邊界條件下呈指數(shù)型地聚集在某一邊界,如圖2(c)所示.非厄米趨膚效應(yīng)使具有體周期性的非厄米系統(tǒng)的體態(tài)丟失了布洛赫態(tài)的特性,與厄米系統(tǒng)中體態(tài)彌散在全域的情形完全不同.

基于對非厄米趨膚效應(yīng)的觀察,Yao 等[60]在一維非厄米SSH 模型中建立起非布洛赫理論(non-Bloch theory),成功重塑了此非厄米系統(tǒng)中的體邊對應(yīng)關(guān)系,引起了后續(xù)的廣泛研究[80-88].在非布洛赫理論中,對于熱力學(xué)極限下的非厄米系統(tǒng),周期邊界下的哈密頓量H(k) 被開邊界下的H(β)所取代.這里,原先定義在布里淵區(qū)上的晶格動量k被擴(kuò)展為一個復(fù)變量βreik,它在復(fù)平面的集合被稱為廣義布里淵區(qū)(generalized Brillouin zone).廣義布里淵區(qū)通常為一個閉合路徑,如圖2(b)所示,其與原點(diǎn)的距離r反映系統(tǒng)在開邊界條件下體態(tài)的趨膚性質(zhì):r1 代表布洛赫態(tài),即沒有非厄米趨膚效應(yīng);r ＜1和r ＞1 分別對應(yīng)趨向于不同邊界的體趨膚態(tài)[60,81].類比厄米情形[108],可以用非布洛赫態(tài)在廣義布里淵區(qū)中定義非布洛赫的拓?fù)洳蛔兞?從而重構(gòu)非厄米拓?fù)湎到y(tǒng)的體邊對應(yīng)關(guān)系,即非布洛赫拓?fù)洳蛔兞颗c非厄米拓?fù)溥吘墤B(tài)之間的關(guān)聯(lián):拓?fù)洳蛔兞繛? 表示不存在拓?fù)溥吘墤B(tài)的拓?fù)淦接瓜?非0 表示存在拓?fù)溥吘墤B(tài)的非厄米拓?fù)湎?

例如,對于具有手征對稱性的一維非厄米系統(tǒng),其非布洛赫纏繞數(shù)可定義為[59]

其中,矩陣q(β) 由哈密頓量H(β) 的Q-矩陣來定義:

由于系統(tǒng)具有手征對稱性{H(β),Γ}0(Γ為相應(yīng)的手征算符),導(dǎo)致能譜關(guān)于零點(diǎn)對稱,因此可以將H(β) 的本征態(tài)(n為能帶指標(biāo))按本征能量{En(β),-En(β)}劃分成兩個子空間N+和N-.以手征算符Γ的本征態(tài)為基,手征對稱的Q-矩陣便可寫成(9)式中第2 行的反對角形式.

又如,二維非厄米系統(tǒng)的非布洛赫陳數(shù)可定義為[60,109]

分別為非布洛赫貝里曲率(Berry curvature)和貝里聯(lián)絡(luò)(Berry connection).

以上用非布洛赫本征態(tài)定義的拓?fù)洳蛔兞?雖然能很好地反映非厄米系統(tǒng)在開邊界條件下的拓?fù)湎嘧?包括能隙的關(guān)閉以及拓?fù)溥吘墤B(tài)的產(chǎn)生,但并沒有體現(xiàn)出非厄米趨膚態(tài)本身的拓?fù)湫再|(zhì).借助于非厄米系統(tǒng)的能譜一般為復(fù)數(shù)的特性,可以定義能量纏繞數(shù)[12,67]:

其中,C為積分回路,可以是布里淵區(qū)(BZ)或廣義布里淵區(qū)(GBZ),也可以是其他周期參數(shù)空間;Eb是能量復(fù)平面內(nèi)的基準(zhǔn)能量.對于一維單帶非厄米系統(tǒng),周期邊界下的能量纏繞數(shù)wBZ,Eb可以反映相應(yīng)開邊界下趨膚態(tài)的性質(zhì):wBZ,Eb0 表明存在非厄米趨膚效應(yīng),其正負(fù)反映趨膚態(tài)的趨膚方向[67].這種周期邊界下能譜的拓?fù)湫再|(zhì)與開邊界下非厄米趨膚態(tài)的對應(yīng)關(guān)系是非厄米拓?fù)湎到y(tǒng)所獨(dú)有的.

2.2.3 EP 誘導(dǎo)的高靈敏度及分?jǐn)?shù)級數(shù)展開

與傳統(tǒng)的簡并點(diǎn)(此處僅是能量重合而態(tài)并不合并)不同,EP 能使非厄米系統(tǒng)的能量對微擾產(chǎn)生更靈敏的響應(yīng).對于一個p階EP,能譜對微擾z的響應(yīng)ε在一定條件下最大可以達(dá)到ε ∝z1/p的量級,而傳統(tǒng)的簡并點(diǎn)僅為ε ∝z[110],如圖3 所示.基于這一特性,EP 可以用于制造高靈敏度的傳感器,其最早方案由Wiersig[111]于2014 年提出.

圖3 (a)能譜ε 隨微擾z 在二階EP 附近劈裂的示意圖,具有 ε ∝z1/2 的形式[110];(b)能譜ε 隨微擾z 在傳統(tǒng)的二重簡并點(diǎn)附近劈裂的示 意圖,具有 ε ∝z 的形式[110]Fig.3.(a) The sketch of energy spectra ε versus the perturbation z around a two-order EP,satisfying ε ∝z1/2[110];(b) the sketch of energy spectra ε versus the perturbation z around a traditional two-fold degenerate point,satisfying ε ∝z [110].

EP 產(chǎn)生高靈敏度的原因可以通過數(shù)學(xué)上的皮瑟級數(shù)(Puiseux series)來理解.已知非厄米系統(tǒng)H(z)(參數(shù)z ∈C)在z0 處有一個能量為E0的p階EP.當(dāng)系統(tǒng)偏離EP時,假設(shè)能量完全劈裂為p支不同的能量函數(shù)Eh(z)(h0,···,p-1) 且它們恰好構(gòu)成以z0為p-1 階支點(diǎn)的p葉黎曼面(即這p支能量函數(shù)之間在z0 附近是連續(xù)解析的,且函數(shù)值繞p圈才能回到初始值),則能量函數(shù)在EP 附近展開有如下皮瑟級數(shù)[92,112]:

其中αn是展開系數(shù).因?yàn)閨z|?1,所以能量在EP 附近的劈裂由領(lǐng)頭項(xiàng)z1/p主導(dǎo).皮瑟級數(shù)是分?jǐn)?shù)級數(shù),當(dāng)EP 階數(shù)p ＞1時,能量劈裂對參數(shù)偏離的響應(yīng)比傳統(tǒng)的簡并點(diǎn)(對應(yīng)于泰勒級數(shù))要大.這就是EP 能導(dǎo)致高靈敏度的來源.

值得注意的是,展開式(14)假設(shè)了p階EP恰好是其附近能量函數(shù)的p-1 階支點(diǎn),但這些能量函數(shù)也可以形成α個各自連續(xù)解析的函數(shù)族,每族函數(shù)以p階EP 作為其ps-1 階支點(diǎn)(滿足此時,每一族能量函數(shù)的展開式都具有(14)式的形式,只是將p換成ps,這會導(dǎo)致能量對參數(shù)偏離的響應(yīng)相對較弱[103].因此,能譜對微擾的響應(yīng)并非只由EP 的階數(shù)決定,還跟具體的微擾形式有關(guān).

3 經(jīng)典電路模擬的理論基礎(chǔ)

3.1 經(jīng)典電路對格點(diǎn)模型的映射

利用經(jīng)典電路模擬物理現(xiàn)象的基本邏輯為,基于電路的基爾霍夫定律,通過合理近似,建立起電路中描述某物理量的運(yùn)動方程與模擬對象所遵循的運(yùn)動方程之間的映射關(guān)系,以達(dá)到通過觀測此物理量在電路中的行為從而獲知模擬對象相關(guān)性質(zhì)的目的.由于基爾霍夫方程的離散屬性,經(jīng)典電路主要用于模擬量子力學(xué)中的緊束縛模型(即格點(diǎn)模型).所以,本節(jié)主要介紹用于映射格點(diǎn)模型薛定諤方程的3 種電路理論:拉普拉斯形式(Laplacian formalism)[35]、劉維爾形式(Liouvillian formalism)[113]以及耦合模理論(coupled mode theory)[114-116].

3.1.1 拉普拉斯形式

對于任意線性電路構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò),元件從節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j(有方向性)的特性可以通過線性的等效電阻Rij、等效電感Lij和等效電容Cij來描述.如果元件的等效值依賴于節(jié)點(diǎn)i與j之間的方向,則稱此元件為非互易的(nonreciprocal).定義節(jié)點(diǎn)的外部輸入電流Ii(t) 和對地電壓Vi(t),根據(jù)基爾霍夫定律可得矩陣形式的線性微分方程[117]:

其中,I(t)和V(t) 分別為Ii(t)和Vi(t) 的矢量形式,系數(shù)矩陣:

分別具有 [電容]、[電阻]-1和[電感]-1 的量綱,g 表示對地.

對電路注入驅(qū)動頻率為ω ∈R 的交變電流I(t)Ieiωt,電路節(jié)點(diǎn)將具有穩(wěn)定的電壓響應(yīng)V(t)Veiωt,其電流幅I和電壓幅V之間滿足如下關(guān)系:

式中J(ω) 具有 [導(dǎo)納] 的量綱,被稱為導(dǎo)納矩陣(admittance matrix)或電路拉普拉斯量(circuit Laplacian)[35].它是驅(qū)動頻率ω的函數(shù),其矩陣元Jij表示節(jié)點(diǎn)i到j(luò)的導(dǎo)納.其逆矩陣GJ-1被稱為電路格林函數(shù)(circuit Green function),具有[阻抗] 的量綱,反映了節(jié)點(diǎn)電壓V對節(jié)點(diǎn)輸入電流I的響應(yīng).有時為了方便起見,也可將導(dǎo)納矩陣分解為三部分:

其中,A代表導(dǎo)納矩陣的非對角部分,D和W分別代表對角部分中的節(jié)點(diǎn)間耦合部分和對地部分,其矩陣元分別為

其中δij為Kronecker 函數(shù).

如果將導(dǎo)納矩陣J看作格點(diǎn)模型的哈密頓量,則電路節(jié)點(diǎn)對應(yīng)格點(diǎn)的位置,J的對角元和非對角元分別對應(yīng)格點(diǎn)上的在位勢能和格點(diǎn)間的躍遷振幅,而導(dǎo)納矩陣的本征方程,

便可用于模擬格點(diǎn)模型的定態(tài)薛定諤方程(2)式.這里的jn表示導(dǎo)納矩陣J的第n個本征值,為相應(yīng)的左右本征矢.因此,jn對應(yīng)格點(diǎn)模型的本征能量En,而對應(yīng)格點(diǎn)模型的本征態(tài)需要注意的是,在此對應(yīng)關(guān)系中,驅(qū)動頻率ω是作為模擬參數(shù)而存在的,并非直接對應(yīng)于格點(diǎn)模型的本征能量.

特別地,當(dāng)無外界輸入電流(即I0)時,(17)式變?yōu)楸菊鞣匠蘆(ω)V0,其存在非平庸解的條件為

由(17)式可知,當(dāng)電路中僅含有被動(passive)電阻時(即純耗散電路),J是厄米的,而僅含有被動電容和電感時(即純振蕩電路),J是反厄米的,即J?-J.因此,通常用 iJ建立與格點(diǎn)模型哈密頓量H的映射,用僅含有被動電容和電感的電路模擬厄米格點(diǎn)模型[33,35,45],而通過引入被動電阻以及主動(active)元件來模擬非厄米格點(diǎn)模型[41,74,118-129].只要對電路元件及排布進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)并采取合適的驅(qū)動頻率,原則上可以用導(dǎo)納矩陣模擬任意格點(diǎn)模型的穩(wěn)態(tài)性質(zhì),包括本征能和本征態(tài)以及由它們定義的各種物理量.

3.1.2 劉維爾形式

如果要模擬格點(diǎn)模型的動力學(xué),需要將描述電路動力學(xué)的(15)式與描述格點(diǎn)模型動力學(xué)的含時薛定諤方程 i?t|ψ(t)〉H|ψ(t)〉(?1)相 聯(lián)系.由于含時薛定諤方程是齊次方程,所以這里考慮無外界電流輸入的情況,即I(t)0.此時,(15)式變?yōu)殛P(guān)于時間的二階齊次微分方程而含時薛定諤方程是一階的,因此,需要通過變量替換將(15)式降為一階:

定義新變量Φ(t)[V(t),W(t)]T,(22)式可改寫為如下劉維爾方程的形式[113]:

這里的L被稱為電路劉維爾量(circuit Liouvillian),E為單位矩陣.劉維爾方程將微分方程(15)從二階降為一階,但變量的個數(shù)擴(kuò)大為原來的2 倍.

顯然,電路的劉維爾方程類似含時薛定諤方程,iL具有哈密頓量的地位.此方程具有形為Φ(t)的穩(wěn)態(tài)解,其中 iL的本征值即為電路的本征頻率,模擬格點(diǎn)模型的本征能En[122,130];矢量Φ(t)反映電路中電壓隨時間的演化情況,模擬格點(diǎn)模型中量子態(tài)的動力學(xué)[131].

3.1.3 耦合模理論

因?yàn)楦顸c(diǎn)模型直接來源于凝聚態(tài)物理中的緊束縛近似(即將不同的原子軌道弱耦合在一起),所以同樣可以用電路重構(gòu)類似的近似過程:將多個具有獨(dú)自振蕩頻率的RLC 電路,通過某種形式的弱耦合連接起來,從而模擬格點(diǎn)模型.這種近似方法被稱為耦合模理論[114-116].

為了清楚地展示耦合模理論的近似過程,這里選取通過電感元件間的互感M耦合的兩個RLC回路作為例子[115],如圖4 所示.根據(jù)基爾霍夫電壓定律,可得

圖4 二聚體電路示意圖[132].由電感耦合的兩個RLC 回路構(gòu)成,其中M 為互感,-R 代表負(fù)電阻Fig.4.The sketch of the dimer circuit consisting of two inductively coupled RLC tanks[132],where M is the mutual inductance and -R represents an negative resistance.

當(dāng)考慮弱耦合的情況時,即

(25)式可化為

此方程等價于振蕩電流Il,r(t)Il,reiωt所滿足的耦合模方程:

顯然,(28)式與含時薛定諤方程形式一致,可以用來模擬相應(yīng)的動力學(xué)以及穩(wěn)態(tài)性質(zhì).

值得注意的是,電路的耦合模方程(28)與劉維爾方程(23)的形式相同,但卻沒有增加變量的個數(shù),這是因?yàn)轳詈夏＠碚撛谌躐詈辖葡聦?25)式中ω的平方項(xiàng)降成了(27)式中的線性項(xiàng),等價于將基爾霍夫方程(15)中關(guān)于時間的二階導(dǎo)數(shù)降到了一階.這便是耦合模理論能直接模擬含時薛定諤方程的原因.由于弱耦合近似(26)式的限制,耦合模理論適用范圍較窄.目前在電路系統(tǒng)中主要用于高靈敏EP 傳感器的設(shè)計(jì)[114-116,130].

3.2 非厄米在經(jīng)典電路中的引入

為了用經(jīng)典電路模擬非厄米格點(diǎn)模型,需要在以上電路理論中引入等效的非厄米項(xiàng),主要包括格點(diǎn)上的復(fù)在位勢和格點(diǎn)間的非互易躍遷,分別對應(yīng)于哈密頓量矩陣中的復(fù)對角元和不滿足復(fù)共軛關(guān)系的非對角元,它們均可以使描述系統(tǒng)的矩陣失去厄米性.

3.2.1 損耗和增益

由于電阻天然的耗散屬性,在電路中引入非厄米最自然且最簡單的方式就是加入電阻.根據(jù)電路的拉普拉斯形式,在電路中添加電阻或等效的負(fù)電阻可以模擬非厄米格點(diǎn)模型中的損耗或增益,使得iJ(iJ)?.具體地,由(16)式和(17)式可知,節(jié)點(diǎn)對地的電阻Rng使iJ的對角元產(chǎn)生虛部,可以模擬格點(diǎn)的復(fù)在位勢;節(jié)點(diǎn)間的電阻Rnm則會在對角元和非對角元上同時引入虛部,額外模擬格點(diǎn)間的復(fù)躍遷[118].

由此可知,電阻的引入產(chǎn)生損耗,但如要產(chǎn)生增益,需引入等效的負(fù)電阻.文獻(xiàn)[133]給出了利用運(yùn)算放大器(簡稱運(yùn)放)實(shí)現(xiàn)一般負(fù)阻抗(負(fù)電阻是其特殊情況)的方案,如圖5(a)所示,其中包括對地端口(上)和兩端口間(下)的負(fù)阻抗方案,

圖5 (a)負(fù)阻抗的電路原理圖[133],上下圖分別表示對地端口和自由雙端口的情況;(b) INIC 的電路原理圖[137];(c)電壓跟隨器的電路原理圖[136].以上所用運(yùn)放的等效增益函數(shù)可用加法器和乘法器實(shí)現(xiàn)Fig.5.(a) The schematic circuit for negative impedance[133],where the upper and lower panels represent the one-port and two-port cases,respectively;(b) the schematic circuit for INIC[136];(c) the schematic circuit for a voltage follower[136].The equivalent gain functions of the operational amplifiers used above can be implemented using adders and multipliers.

其阻抗值可由基爾霍夫電流定律分別求得

其中,Z為需要變負(fù)值的目標(biāo)阻抗.圖中運(yùn)放的等效增益函數(shù)可用簡單的加法器和乘法器實(shí)現(xiàn).應(yīng)用負(fù)電阻的典型實(shí)例是對PT 對稱破缺的電路模擬[113,134,135].

3.2.2 非互易躍遷

相比于增益/損耗,非互易躍遷的實(shí)現(xiàn)更具有挑戰(zhàn)性.在交流源的驅(qū)動下,被動元件(如電阻、電容和電感)的阻抗/導(dǎo)納值都與測量方向無關(guān),即被動元件是互易的(reciprocal).為了使電路元件具有非互易性,從而實(shí)現(xiàn)對格點(diǎn)間非互易躍遷的模擬,必須引入主動元件打破其互易性.

實(shí)驗(yàn)上常見的方案是使用電流型負(fù)阻抗變換器(negative impedance converter with current inversion,INIC)[136],它由運(yùn)放和若干線性元件組成,其原理如圖5(b)所示.由基爾霍夫定律易得

此外,電壓跟隨器(voltage follower)[136]也可以用來實(shí)現(xiàn)非互易躍遷,如圖5(c)所示.根據(jù)理想運(yùn)放正負(fù)兩輸入端口的電壓相同的特點(diǎn),當(dāng)負(fù)輸入端口與輸出端口相連時,輸出端口的電壓V0則與正輸入端口的電壓Vj相同,從而實(shí)現(xiàn)電壓跟隨.由此可得,YijIi/(Vi-Vj)Z-1.又由于理想運(yùn)放的輸入阻抗趨于無窮大,導(dǎo)致Ij～0,所以YjiIj/(Vj-Vi)～0.顯然,YijYji.將電壓跟隨器與被動元件并聯(lián)同樣能實(shí)現(xiàn)非互易躍遷的效果[124,139],尤其是對單向躍遷(unidirectional hopping)的實(shí)現(xiàn)[129],相比INIC 更為簡單.

3.3 經(jīng)典電路中物理量的測量與表征

建立好經(jīng)典電路對非厄米格點(diǎn)模型的映射后,則需要考慮如何通過電路測量反映模型中的物理性質(zhì).在非厄米系統(tǒng)中,大家主要關(guān)心的是復(fù)能譜和本征態(tài)以及由它們所構(gòu)造的各種物理量等靜態(tài)性質(zhì),或者是量子態(tài)演化等動力學(xué)性質(zhì).因此,本節(jié)將概述經(jīng)典電路實(shí)驗(yàn)中常用的測量方法與物理量之間的對應(yīng).

3.3.1 導(dǎo)納矩陣

根據(jù)電路的拉普拉斯形式,測量出導(dǎo)納譜{jn}便可得到相應(yīng)格點(diǎn)模型能譜{En}的信息.但導(dǎo)納譜通常無法被直接測量,因?yàn)楦鶕?jù)導(dǎo)納矩陣的定義(17)式,節(jié)點(diǎn)電壓V對節(jié)點(diǎn)輸入電流I的響應(yīng)直接反映的是電路格林函數(shù)G.所以,可以先測出電路格林函數(shù),再根據(jù)JG-1得到導(dǎo)納矩陣,進(jìn)而將其對角化得到導(dǎo)納譜.

下面介紹如何測量電路格林函數(shù).假設(shè)電路有N個節(jié)點(diǎn),如果僅在第j節(jié)點(diǎn)注入頻率為ω的交變電流Ijeiωt,由VGI可得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)電壓的幅矢量為

于是通過測量每個節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)電壓幅Vi,便可得到電路格林函數(shù)第j列的矩陣元GijVi/Ij.當(dāng)以相同的頻率對電路中所有節(jié)點(diǎn)遍歷上述電流驅(qū)動,利用頻譜分析儀測量每次驅(qū)動下所有節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)電壓幅,即可完全重構(gòu)電路格林函數(shù),進(jìn)而得到導(dǎo)納矩陣[38].這個過程所需要的總的測量次數(shù)為N2.而對于具有平移不變性的周期性電路而言,僅需遍歷一個電路原胞即可,測量次數(shù)可以減少到N2/Nc,其中Nc表示原胞數(shù)[41].將得到的導(dǎo)納矩陣J對角化,便可得到本征值jn和左右本征矢以及由它們所構(gòu)成的其他靜態(tài)物理量;本征頻率也可以通過 det[J]0 得到.

在實(shí)驗(yàn)中更高效的方法是,利用矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀(vector network analyzer,VNA)對電路各節(jié)點(diǎn)的散射信號進(jìn)行掃描,再將包含散射信息的S 參數(shù)矩陣(S-parameter matrix)變換到導(dǎo)納矩陣,便可計(jì)算出電路的導(dǎo)納譜和本征頻率譜[114,115,130,132,134,139-142].

另外,如果僅是定性地表征導(dǎo)納矩陣本征矢的特性,也可以直接測量各個節(jié)點(diǎn)對交變電流的電壓響應(yīng)[41].根據(jù)下式

可知,電壓響應(yīng)V是所有導(dǎo)納矩陣右本征矢的某種線性疊加.據(jù)此可以從電壓在節(jié)點(diǎn)間的分布粗略判斷系統(tǒng)是否發(fā)生類似非厄米趨膚效應(yīng)或安德森局域化的現(xiàn)象[117].

3.3.2 兩點(diǎn)間阻抗

電路實(shí)驗(yàn)中也經(jīng)常通過測量兩點(diǎn)間阻抗(twopoint impedance)來表征所關(guān)心的模擬量的性質(zhì).節(jié)點(diǎn)i到j(luò)的阻抗Zij可以通過輸入交變電流Iieiωt并測量兩節(jié)點(diǎn)的響應(yīng)電壓Vieiωt和Vjeiωt得到.利用(20)式中導(dǎo)納矩陣J的本征值jn和本征矢,可以將兩點(diǎn)間阻抗表示為[143]

這樣可以通過對每個節(jié)點(diǎn)掃頻測得兩點(diǎn)間阻抗的共振峰的位置,從而確定電路的本征頻率譜.固定本征頻率,測量對地阻抗Zig隨節(jié)點(diǎn)i的變化也反映了導(dǎo)納本征矢(即電路的本征電壓)在節(jié)點(diǎn)間的分布特點(diǎn),常被應(yīng)用于拓?fù)溥吘墤B(tài)和非厄米趨膚效應(yīng)[35,74,119,128,144,145]以及高階拓?fù)浣菓B(tài)[126,127,146]的測量.不過需要注意的是,本方法只適用于本征頻率譜為近實(shí)譜(即本征頻率的虛部很小)的情況,因?yàn)閽呙桀l率ω只能是實(shí)數(shù).

3.3.3 動力學(xué)

前兩種測量主要模擬的是格點(diǎn)模型的靜態(tài)性質(zhì),對于動力學(xué)性質(zhì)的模擬,可直接利用電路的劉維爾方程(23)[131,137,147]或耦合模方程(28)[114,115,130],類比格點(diǎn)模型的含時薛定諤方程.此類測量非常簡單,只要按模擬需求給電路各節(jié)點(diǎn)注入相應(yīng)的初始電壓或電流,隨后測量其隨時間的變化即可.

利用動力學(xué)也能驗(yàn)證格點(diǎn)模型的部分靜態(tài)性質(zhì).比如利用導(dǎo)納矩陣根據(jù) det[J()]0 已得到了系統(tǒng)的本征頻率(一般為復(fù)數(shù)),通過動力學(xué)的辦法可以觀測到此本征頻率且判斷其正確性.方法是,將與本征頻率相應(yīng)的本征電壓v0設(shè)為電路的初態(tài),隨后撤掉外部源,則初態(tài)將會按照劉維爾方程(23)進(jìn)行演化,其任意時刻的電壓應(yīng)滿足:

因此,可根據(jù)電壓隨時間的振蕩頻率和幅值的放大/衰減程度分別擬合出本征頻率的實(shí)部和虛部,與理論相比較[122,135,148].

雖然電壓的動力學(xué)行為并不是遵從于導(dǎo)納矩陣J() 的本征值jn(),而是依賴于本征頻率,但是由于本征頻率譜與導(dǎo)納譜結(jié)構(gòu)上的相似性,可以用本征電壓的動力學(xué)定性的反映導(dǎo)納矩陣本征矢的動力學(xué),進(jìn)而模擬相關(guān)的行為,例如拓?fù)溥吘墤B(tài)和非厄米趨膚效應(yīng)的動力學(xué)行為[137,147]以及場相干的演化[127]等.

4 經(jīng)典電路模擬非厄米格點(diǎn)模型的實(shí)驗(yàn)進(jìn)展

目前,人們利用經(jīng)典電路在實(shí)驗(yàn)上已經(jīng)成功模擬和觀測了非厄米格點(diǎn)模型的許多性質(zhì).本節(jié)將從PT 對稱破缺、多種非厄米趨膚效應(yīng)、其他非厄米拓?fù)鋺B(tài)以及EP 在傳感器上的應(yīng)用這4 個方面介紹相關(guān)的實(shí)驗(yàn)進(jìn)展.

4.1 PT 對稱破缺

PT 對稱破缺是非厄米系統(tǒng)所獨(dú)有的現(xiàn)象.在經(jīng)典電路實(shí)驗(yàn)中,人們將增益電路與損耗電路耦合形成二聚體(dimer)電路[113,133,135,148]或者在二聚體電路中進(jìn)一步添加一個中性電路構(gòu)成的三聚體(trimer)電路[130,141],觀測電路的本征頻率譜隨增益/損耗強(qiáng)度的變化,從而對PT 對稱破缺進(jìn)行研究.本節(jié)將從不同的電路模型出發(fā)對相關(guān)實(shí)驗(yàn)進(jìn)展進(jìn)行介紹.

最早在電路平臺上研究PT 對稱破缺的是Schindler 等[113].他們在2011 年設(shè)計(jì)了一個由一對RLC電路耦合形成的二聚體電路 [圖6(a)][133],其中增益和損耗部分分別由接地運(yùn)放和電阻實(shí)現(xiàn).他們根據(jù)基爾霍夫定律寫出描述電量和電流變化的劉維爾方程(23)式,建立起與含時薛定諤方程的對應(yīng)關(guān)系,在實(shí)驗(yàn)上觀測本征頻率隨增益/損耗強(qiáng)度的變化.如圖6(b)所示,在γ/γPT＞1時,觀測到復(fù)本征頻率出現(xiàn),對應(yīng)于PT 對稱破缺.2017年,該研究組[148]基于Floquet 理論對一系列由EP 分隔開的PT 對稱相與PT 對稱破缺相進(jìn)行了研究.他們在增益電路中用光電池(photocell)連接金屬-氧化物場效應(yīng)晶體管(MOSFET)的源極與電感,并將MOSFET的漏極接入振蕩電路.當(dāng)光電池兩端的電壓降低時,其電流會流入電路,從而實(shí)現(xiàn)增益.在損耗電路中使用接地的光電池連接電感,其電流由于接地會耗散,從而實(shí)現(xiàn)損耗.利用變?nèi)荻O管(varactor diode)耦合增益電路與損耗電路,實(shí)現(xiàn)對電路耦合強(qiáng)度的控制.

圖6 (a) PT 對稱的二聚體電路,電路中的增益和損耗部分通過電容或互感耦合;(b) 實(shí)驗(yàn)測量的本征頻率隨著增益/損耗參數(shù)γ/γPT 的變換,在 γ/γPT 1 時發(fā)生PT 對稱破缺.圖來源于文獻(xiàn)[113],版權(quán)屬于美國物理學(xué)會Fig.6.(a) Circuit diagram of a PT-symmetric dimer,where the gain and loss parts are capacitively or inductively coupled;(b) experimentally measured eigenfrequencies versus the gain/loss parameter γ/γPT,where the PT symmetry breaking occurs at γ/γPT 1.All figures are adapted from Ref.[113] with the copyright ? 2011 by the American Physical Society.

2020年,Wang 等[135]利用接地的INIC 實(shí)現(xiàn)等效負(fù)阻抗,搭建了由兩個RLC 回路組成的對稱二聚體電路,在頻譜中觀測到一階和二階EP 以及PT 對稱相和PT 對稱破缺相.次年,Zhou 等[115]同樣搭建了由兩個RLC 回路耦合的二聚體電路,基于耦合模理論(25)式對格點(diǎn)模型進(jìn)行模擬,研究了微擾對PT 對稱系統(tǒng)的影響.實(shí)驗(yàn)將VNA 的輸入端連接到電路實(shí)現(xiàn)等效的負(fù)阻抗,同時將另一端連接到到讀取器(reader)中測量頻率.VNA 自身帶有阻抗,連接輸入源端口到閉合回路中可以輸入電能,在電路中可以起到增益的作用.

隨著人們對于PT 對稱認(rèn)識的加深,對其模擬的電路平臺不僅局限于二聚體電路.三聚體電路由于中性電路的加入具有更強(qiáng)的可擴(kuò)展性,同樣是重要的模擬平臺.2019年,Sakhdari 等[141]在原來的二聚體電路之間添加了一個LC 振蕩電路,并利用VNA 實(shí)現(xiàn)等效負(fù)阻抗并同時進(jìn)行頻率測量.他們比較了二聚體與三聚體電路的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,觀測到三聚體頻譜中接近發(fā)散EP(divergent exceptional points,DEP)的頻率偏移程度較二聚體更大.2023年,Yin 等[130]采用了與Zhou 等[115]類似的方法,利用VNA 同時實(shí)現(xiàn)負(fù)阻抗與測量,構(gòu)建了一個由3 個RLC 回路耦合的三聚體電路,并觀測到環(huán)繞周期為3 的三階EP.

除了二聚體或三聚體電路之外,2021年,Stegmaier 等[120]構(gòu)建了一個類SSH 模型的電路來研究PT 對稱性.他們根據(jù)電路的拉普拉斯形式(17)式,利用導(dǎo)納矩陣建立起電路與格點(diǎn)模型之間的對應(yīng)關(guān)系.他們在電路的每個節(jié)點(diǎn)上添加接地電阻以實(shí)現(xiàn)格點(diǎn)上的增益和損耗,并測量了不同增益和損耗強(qiáng)度下的導(dǎo)納譜.通過這些測量,他們觀察到了PT對稱、PT 對稱破缺和反PT 對稱這3 種情況.該實(shí)驗(yàn)為研究PT 對稱破缺提供了一個新的平臺,并為進(jìn)一步將EP 應(yīng)用在傳感器上提供了新的思路.

4.2 多種非厄米趨膚效應(yīng)

非互易躍遷往往可以誘導(dǎo)出非厄米趨膚效應(yīng),從而導(dǎo)致傳統(tǒng)體邊對應(yīng)關(guān)系的失效.在經(jīng)典電路的實(shí)驗(yàn)中,研究者們通常在電路節(jié)點(diǎn)間加入INIC[41,74,121,123,127,138,145,146]或電壓跟隨器[119,124,129]等主動元件實(shí)現(xiàn)對非互易躍遷的模擬,通過電路中電壓響應(yīng)的分布觀測非厄米趨膚效應(yīng).目前,利用經(jīng)典電路已實(shí)現(xiàn)對非厄米系統(tǒng)中多種非厄米趨膚效應(yīng)及相關(guān)奇異現(xiàn)象的研究和模擬,包括一維非厄米趨膚效應(yīng)和傳統(tǒng)體邊對應(yīng)關(guān)系的失效[41,119]、非布洛赫波的演化和廣義布里淵區(qū)[127]、高維非厄米趨膚效應(yīng)[118]、高階非厄米趨膚效應(yīng)[121,124,128]、多體非厄米趨膚效應(yīng)[123]、臨界非厄米趨膚效應(yīng)[125]以及尺寸依賴的非厄米趨膚效應(yīng)[129]等.

2020年,Helbig 等[41]首次在電路實(shí)驗(yàn)中觀測到傳統(tǒng)體邊對應(yīng)關(guān)系的失效與非厄米趨膚效應(yīng)的出現(xiàn).他們研究了一維非厄米SSH 模型,在電路節(jié)點(diǎn)間加入INIC 實(shí)現(xiàn)對等效的非互易躍遷的模擬,并通過電路的拉普拉斯形式(17)式建立起導(dǎo)納矩陣與SSH 模型的對應(yīng)關(guān)系.他們利用測量節(jié)點(diǎn)電壓響應(yīng)的方法(33)式,對電路中所有節(jié)點(diǎn)施加了電流驅(qū)動,測量各節(jié)點(diǎn)上的電壓響應(yīng),觀測到節(jié)點(diǎn)上的電壓響應(yīng)局域在電路的一側(cè)邊界,即在該電路中實(shí)現(xiàn)了非厄米趨膚效應(yīng).次年,Liu 等[119]利用電壓跟隨器構(gòu)建了具有非互易躍遷的SSH 電路.他們觀察到由傳統(tǒng)體邊對應(yīng)關(guān)系失效引起的電路本征頻率譜的變化.與此同時,他們基于廣義布里淵區(qū)的理論對能量纏繞數(shù)(13)式進(jìn)行了計(jì)算,驗(yàn)證了這種新的體邊對應(yīng)關(guān)系.

非厄米趨膚效應(yīng)本質(zhì)是一種非布洛赫效應(yīng).在經(jīng)典電路平臺上研究者們已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了非布洛赫波的演化及對廣義布里淵區(qū)的驗(yàn)證.2023年,Wu 等[127]構(gòu)建了如圖7(a)所示的二維電路來觀測非布洛赫動力學(xué).實(shí)驗(yàn)中,他們利用INIC 實(shí)現(xiàn)了格點(diǎn)間等效的非互易躍遷,利用傅里葉變換場掃描(Fourier-transformed field scan)的方法對節(jié)點(diǎn)的電壓分布進(jìn)行測量,將其進(jìn)行拉普拉斯變換(Laplace transform)后得到在廣義布里淵區(qū)的分布 [圖7(b)],結(jié)果與理論一致.由此驗(yàn)證了廣義布里淵區(qū)在描述非布洛赫動力學(xué)上的有效性.

圖7 (a)非布洛赫演化的拓?fù)潆娐?(b)實(shí)驗(yàn)測得的電壓分布經(jīng)拉普拉斯變換后在廣義布里淵區(qū)中的等頻分布;(c)四次方根非厄米SSH 模型的電路圖.圖(a)和(b)來源于文獻(xiàn)[127],圖(c)來源于文獻(xiàn)[145].版權(quán)屬于美國物理學(xué)會Fig.7.(a) Topolectrical circuit for the non-Bloch dynamics;(b) the isofrequency contour of the measured voltage distribution through the Laplace transform in the GBZ;(c) circuit diagram of a 4th-root non-Hermitian SSH model.Subfigures(a) and(b) are adapted from Ref.[127],and Figure(c) from Ref.[145].Copyright ? 2023 and 2022 by the American Physical Society.

人們在經(jīng)典電路實(shí)驗(yàn)里還研究了更多影響非厄米趨膚效應(yīng)的因素.2022年,Zhang 等[125]研究了一個由兩條Hatano-Nelson鏈耦合成的類梯子模型.他們在實(shí)驗(yàn)中測量了在開邊界和周期邊界條件下各節(jié)點(diǎn)的阻抗,發(fā)現(xiàn)當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)增多到一定程度時,周期邊界的阻抗與開邊界的阻抗比值明顯大于1,進(jìn)一步表明邊界連接對遠(yuǎn)距離的阻抗響應(yīng)具有非局域的影響,即具有臨界非厄米趨膚效應(yīng).

2023年,Su 等[129]在電路平臺上對單向躍遷的格點(diǎn)模型進(jìn)行了研究.他們利用電壓跟隨器在電路中模擬單向躍遷,并在不同的節(jié)點(diǎn)數(shù)量下測量了導(dǎo)納譜研究發(fā)現(xiàn)隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)目的增多,集中在一側(cè)的局域化程度會降低,實(shí)現(xiàn)了對尺寸依賴的非厄米趨膚效應(yīng)的觀測.同年,他們也對非厄米趨膚效應(yīng)與安德森局域化之間的競爭進(jìn)行了研究[149].實(shí)驗(yàn)僅采用了線性元件,通過賦予元件冪指數(shù)變化的參數(shù)值以模擬格點(diǎn)間的非互易躍遷,成功實(shí)現(xiàn)了非厄米趨膚效應(yīng).在引入準(zhǔn)無序后成功觀測到非厄米趨膚效應(yīng)與安德森局域化的競爭,發(fā)現(xiàn)當(dāng)無序強(qiáng)度足夠大時,本征態(tài)從非厄米趨膚相轉(zhuǎn)變?yōu)榫钟蛳?類似地,Tang 等[146]基于二維非互易蜂窩(honeycomb)電路對非厄米趨膚效應(yīng)與角態(tài)之間的競爭關(guān)系進(jìn)行了研究.實(shí)驗(yàn)中,他們通過調(diào)整INIC里電容的大小以改變非互易強(qiáng)度,并對電路節(jié)點(diǎn)的電壓響應(yīng)進(jìn)行測量,發(fā)現(xiàn)隨著非互易強(qiáng)度的增強(qiáng),節(jié)點(diǎn)電壓會從電路兩端逐漸轉(zhuǎn)移到同一端,呈現(xiàn)出角態(tài)的特征.

隨著對非厄米趨膚效應(yīng)研究的不斷深入以及經(jīng)典電路模擬方法的不斷發(fā)展,研究者們開始將對非厄米趨膚效應(yīng)的經(jīng)典電路模擬推向高維、高階以及多體等更為復(fù)雜的系統(tǒng).2021年,Zou 等[121]基于電路的拉普拉斯形式(17)式,分別建立了電路的導(dǎo)納矩陣與二維格點(diǎn)模型以及三維格點(diǎn)模型之間的對應(yīng)關(guān)系.對雜化高階拓?fù)溱吥w效應(yīng)(hybrid higher-order topological skin effect)進(jìn)行了研究.雜化高階拓?fù)溱吥w效應(yīng)是在高維系統(tǒng)中,由非厄米趨膚效應(yīng)以及拓?fù)渚钟驊B(tài)相互影響所形成的一種拓?fù)洮F(xiàn)象[150].實(shí)驗(yàn)中,他們在電路耦合處引入INIC 實(shí)現(xiàn)等效的非互易躍遷,繼而測量各節(jié)點(diǎn)上的電壓響應(yīng)分布,通過調(diào)整INIC 的連接方向?qū)崿F(xiàn)不同的雜化方式,觀測到二階雜化趨膚-拓?fù)湫?yīng)(即電壓集中分布在二維平面中的一組對角節(jié)點(diǎn))、二階雜化趨膚-趨膚效應(yīng)(即電壓分布在二維平面中的其中一個角節(jié)點(diǎn)上)、三階雜化趨膚-趨膚-趨膚效應(yīng)(即電壓集中分布在三維立體中的角節(jié)點(diǎn)上)以及三階雜化趨膚-拓?fù)?拓?fù)湫?yīng)(即電壓分布在一對平面上的對角節(jié)點(diǎn)上).2022年,Deng 等[145]研究了一個一維N次方根非厄米SSH模型 [圖7(c)],其中N的大小可以通過調(diào)整原胞內(nèi)電容電感等元器件的數(shù)目實(shí)現(xiàn).實(shí)驗(yàn)中,他們選擇了不同的N對節(jié)點(diǎn)電壓進(jìn)行測量,觀測到電壓分布集中在電路節(jié)點(diǎn)的一側(cè),即出現(xiàn)了非厄米趨膚效應(yīng),并發(fā)現(xiàn)非厄米趨膚效應(yīng)隨N的增大變得更加明顯.同年,他們還對一個一維三粒子Bose-Hubbard 模型進(jìn)行了研究[123].他們將此模型的本征態(tài)在希爾伯特空間中重新表示為Fock 態(tài)的形式后,寫出系統(tǒng)的薛定諤方程,并根據(jù)基爾霍夫定律直接構(gòu)造電路模擬該薛定諤方程.該團(tuán)隊(duì)測量了節(jié)點(diǎn)上的阻抗分布,發(fā)現(xiàn)阻抗值集中在一個節(jié)點(diǎn)上,觀察到了多體系統(tǒng)中由阻抗表征的非厄米趨膚效應(yīng),這被稱為非厄米聚集效 應(yīng)(non-Hermitian aggregation effect).2023年,他們在三維電路系統(tǒng)中基于INIC 設(shè)計(jì)了一個拓?fù)溟_關(guān),也可以用于研究非厄米趨膚效應(yīng)[138].

2022年,Shang 等[124]研究了一個二維的非互易格點(diǎn)模型,他們在實(shí)驗(yàn)中計(jì)算了二維的非布洛赫能量纏繞數(shù),發(fā)現(xiàn)由其表征的二階非厄米趨膚效應(yīng).2023年,Zhu 等[126]構(gòu)建了一個具有二階手性的二維電路.他們利用標(biāo)準(zhǔn)電阻引入非厄米項(xiàng),重構(gòu)電路格林函數(shù)以測量每個節(jié)點(diǎn)的電壓響應(yīng),觀測到阻抗的響應(yīng)集中在邊界局域態(tài)上,展示了二維二階非厄米趨膚效應(yīng).

基于經(jīng)典電路平臺同樣可以實(shí)現(xiàn)互易非厄米趨膚效應(yīng).2020年,Hofmann 等[118]通過在二維電路中的對角節(jié)點(diǎn)連接電阻引入非厄米,研究了一個具有π-通量的格點(diǎn)模型.實(shí)驗(yàn)中,他們測量并計(jì)算了導(dǎo)納矩陣本征矢 [由(20)式定義] 的倒參與率(inverse participation ratio),對動量空間中ky方向上的局域態(tài)進(jìn)行了研究,觀察到在kyπ/2,ky3π/2處的局域化程度最高,與理論預(yù)測的非厄米π-通量模型呈現(xiàn)出互易趨膚效應(yīng)時的特征相同.

4.3 其他非厄米拓?fù)鋺B(tài)

在用經(jīng)典電路模擬非厄米趨膚效應(yīng)的同時,人們也對其他非厄米拓?fù)湮飸B(tài)進(jìn)行了模擬,包括單純由增益/耗損誘導(dǎo)的非厄米拓?fù)鋺B(tài)[74]、非厄米連續(xù)譜中的束縛態(tài)(bound state in the continuum)[144]、雜化高階趨膚拓?fù)鋺B(tài)[121]、高階拓?fù)浣菓B(tài)[122,127]、N 次方根拓?fù)湎郲145]、二階手性系統(tǒng)中的拓?fù)鋺B(tài)及動力學(xué)[126]、非厄米拓?fù)溟_關(guān)[138]以及非厄米Hopf束[128]等.

2020年,Liu 等[74]首次實(shí)現(xiàn)了單純由增益/損耗誘導(dǎo)的一維非厄米拓?fù)淠Ｐ?[圖8(a)].他們在電路 [圖8(b)] 中引入INIC 實(shí)現(xiàn)等效負(fù)電阻,通過調(diào)控接地電阻R0以及代表增益(損耗)的正(負(fù))電阻R1(R2),可觀測到不同的拓?fù)湎?同年,Li 等[144]利用電路研究了一個由兩條SSH 鏈耦合構(gòu)成的梯子模型,在兩條鏈之間引入耦合電阻使其變成非厄米模型.實(shí)驗(yàn)中,他們測量了特定節(jié)點(diǎn)上的阻抗隨輸入頻率的變化,發(fā)現(xiàn)阻抗的峰值處于特定頻率,對應(yīng)于非厄米連續(xù)譜中的束縛態(tài).

圖8 (a)單純由增益/損耗誘導(dǎo)的非厄米拓?fù)淠Ｐ?(b)實(shí)現(xiàn)(a)中模型的電路圖.圖均來源于文獻(xiàn)[74],版權(quán)屬于美國物理學(xué)會Fig.8.(a) A non-Hermitian topological model whose topology is purely induced by gain/loss;(b) circuit diagram for the realization of the model in(a).All figures are adapted from Ref.[74] with the copyright ? 2020 by the American Physical Society.

2021年,Zou 等[121]設(shè)計(jì)了一個二維格點(diǎn)模型,對雜化二階趨膚-拓?fù)鋺B(tài)進(jìn)行了研究.實(shí)驗(yàn)中,他們設(shè)計(jì)了3 種不同的INIC,并通過改變節(jié)點(diǎn)間INIC 的連接方向?qū)崿F(xiàn)對趨膚-趨膚和趨膚-拓?fù)鋬煞N態(tài)的模擬.通過測量不同輸入頻率下電路節(jié)點(diǎn)的電壓響應(yīng),觀測到在雜化二階趨膚-拓?fù)浠蜈吥w-趨膚情況下的角態(tài)、邊緣態(tài)以及體態(tài).雜化趨膚-拓?fù)鋺B(tài)可被用于拓?fù)溟_關(guān)的設(shè)計(jì)上[151],可以通過控制電路內(nèi)的能量傳遞實(shí)現(xiàn)對趨膚效應(yīng)的“開關(guān)”[121].2023年,Zhang 等[138]在電路實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)拓?fù)溟_關(guān).他們在節(jié)點(diǎn)間連接INIC實(shí)現(xiàn)對非互易躍遷的模擬,觀測到在三維系統(tǒng)中趨膚-拓?fù)?趨膚效應(yīng)以及趨膚-拓?fù)?拓?fù)湫?yīng)之間的轉(zhuǎn)變,表明利用INIC 設(shè)計(jì)拓?fù)溟_關(guān)的可行性.

2022年,Wu 等[43]在研究非厄米二維電路的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)了一個模擬二階拓?fù)浣^緣體的二維拓?fù)潆娐?[圖9(a)][122].實(shí)驗(yàn)中,他們通過電阻引入非厄米項(xiàng),并調(diào)整兩種電阻的大小關(guān)系以誘導(dǎo)不同的拓?fù)鋺B(tài).通過對電路本征頻率以及節(jié)點(diǎn)電壓響應(yīng)的測量,他們觀察到帶隙中的一維邊緣態(tài) [圖9(b)]以及零維角態(tài) [圖9(c)].此外,他們還測量了在電路的角態(tài)、邊緣態(tài)和體態(tài)的阻抗響應(yīng)隨驅(qū)動頻率的變化 [圖9(d)].

圖9 (a)非厄米二階拓?fù)潆娐返脑疽鈭D;(b)能隙間的一維邊緣態(tài),彩色和圓圈分別表示實(shí)驗(yàn)測量和理論計(jì)算的結(jié)果;(c)實(shí)驗(yàn)測量的零維角態(tài)的電壓分布;(d)實(shí)驗(yàn)測量的角態(tài)、邊緣態(tài)和體態(tài)的阻抗響應(yīng)隨驅(qū)動頻率的變化.圖均來源于文獻(xiàn)[122],版權(quán)屬于美國物理學(xué)會Fig.9.(a) Circuit diagram of a unit cell of the non-Hermitian second-order topological electric circuit;(b) one-dimensional gapped edge states,where the color map and the blue circles represent the data from the experiment and the theoretical calculation,respectively;(c) experimental voltage distributions of the zeroth dimensional corner states;(d) experimental impedance responses of corner states,edge states,and bulk states to the driving frequency.All figures are adapted from Ref.[122] with the copyright ?2022 by the American Physical Society.

2023年,Zhu 等[126]構(gòu)建了一個具有二階手性的二維電路.他們利用標(biāo)準(zhǔn)電阻引入非厄米項(xiàng),觀測到阻抗響應(yīng)局域在電路節(jié)點(diǎn)平面的角、邊和體三種情況,分別表征二階手性二維格點(diǎn)模型中的角態(tài)、邊緣態(tài)和體態(tài).

4.4 EP 在傳感器上的應(yīng)用

EP 在傳感器上的應(yīng)用與PT 對稱破缺的實(shí)驗(yàn)研究密切相關(guān).實(shí)現(xiàn)EP 傳感器的電路一般也采取PT 對稱二聚體電路[114,115,132,140,142]或三聚體電路[116,152]的結(jié)構(gòu).實(shí)驗(yàn)中通常采用測得的反射譜(reflection spectra)來對傳感器的靈敏度進(jìn)行表征[116,132,140,142,152],反射譜的響應(yīng)越大,即反射譜曲線中波谷所處位置越深 [圖10(b)],傳感器越靈敏.

圖10 (a)傳統(tǒng)的被動無線傳感器與基于PT 對稱性的被動無線傳感器的電路圖;(b)基于PT 對稱性的被動無線傳感器的反射譜的測量結(jié)果;(c)具有PT 對稱性的三階無線傳感器的電路圖.圖(a)和(b)來源于文獻(xiàn)[132],圖(c)來源于文獻(xiàn)[152],版權(quán)屬于美國物理學(xué)會Fig.10.(a) Circuit diagrams of a conventional passive wireless sensor and a PT-symmetry-based passive wireless sensor;(b) measured reflection spectra for the PT-symmetry-based passive wireless sensor;(c) circuit diagram of a PT symmetric third-order wireless sensing system.Subfigures(a) and(b) are adapted from Ref.[132] and subfigure(c) from Ref.[152],with copyright ? 2020 and 2022 by the American Physical Society.

2018年,Chen 等[140]成功將EP 應(yīng)用于無線壓力傳感器(wireless pressure sensor)中,該傳感器通過電容的阻值對壓力進(jìn)行表征.在增益電路中,他們改用了可以調(diào)參的電感與損耗電路進(jìn)行耦合,由此實(shí)現(xiàn)了更一般情況下的PTX 對稱電路,這里的X 表示一種互易的標(biāo)度操作(reciprocalscaling operation).實(shí)驗(yàn)中,他們選擇EP 附近和非EP 處的多個不同耦合強(qiáng)度來對反射譜進(jìn)行測量與對比,觀測到在相同頻段內(nèi),選在EP 附近的耦合強(qiáng)度,反射會更強(qiáng),由此表明EP 可以增強(qiáng)傳感器的靈敏度.在實(shí)際壓力傳感測試中,實(shí)驗(yàn)人員利用VNA 分別對PTX 電路、PT 電路以及未應(yīng)用EP 的普通傳感器的反射譜進(jìn)行了測量,在相同的頻段內(nèi),PTX 電路和PT 電路都可以增強(qiáng)反射.由于PTX 電路相比于PT 電路具有不同的電路特征模式,可以放大特定頻率的反射系數(shù),具有更大的操作空間.

2019年,Dong 等[114]在動物表皮層植入用于測量生物體征(壓力,溫度等)的傳感器,并利用讀取器對感應(yīng)頻率的偏移進(jìn)行了測量,通過頻率偏移變化曲線對測量的物理量進(jìn)行表征.實(shí)驗(yàn)觀測到,隨耦合強(qiáng)度變化的頻率偏移在EP 附近明顯增高.該團(tuán)隊(duì)將基于EP 設(shè)計(jì)的傳感器的靈敏度提升至當(dāng)時極限的3.2 倍.2020年,Zhou 等[132]比較了傳統(tǒng)的被動無線傳感器與基于PT 對稱性的被動無線傳感器在靈敏度上的差別 [圖10(a)],根據(jù)實(shí)驗(yàn)中VNA測得的反射譜 [圖10(b)],在增大傳感器距離的同時,響應(yīng)仍然能夠保持在較強(qiáng)的范圍內(nèi),即EP 可提升傳感器的控制距離.2021年,Zeng 等[116]將三階EP 應(yīng)用到傳感器中,設(shè)計(jì)了一個三線圈耦合的電路.與二階EP 傳感器相比,實(shí)驗(yàn)測得的反射譜反映出高階EP 對靈敏度的增強(qiáng)更為顯著.2022年,Yin 等[142]利用運(yùn)放在增益?zhèn)葘?shí)現(xiàn)了等效的負(fù)阻抗,進(jìn)而設(shè)計(jì)了一個不需要引入VNA 的無線傳感器.得益于運(yùn)放的非線性飽和效應(yīng),該傳感器可以通過觀測讀取器對電容的阻值進(jìn)行實(shí)時讀出.同年,他們在二聚體電路的基礎(chǔ)上加入了一個由電感與可變電容構(gòu)成的振蕩電路,設(shè)計(jì)了一個三聚體電路 [圖10(c)][152].相比于二聚體電路,三聚體電路測得的反射譜具有更強(qiáng)的響應(yīng).選取多組阻值的電容進(jìn)行實(shí)驗(yàn),三聚體電路測得的反射譜穩(wěn)定在較強(qiáng)的響應(yīng)區(qū)間,比二聚體電路具有更高的品質(zhì)因子(Qfactor).

SSH 電路同樣可應(yīng)用在EP 傳感器上.2023年,Yuan 等[139]在實(shí)驗(yàn)上采用具有非互易躍遷的SSH 模型作為平臺設(shè)計(jì)傳感器,原胞內(nèi)通過電壓跟隨器實(shí)現(xiàn)格點(diǎn)間的非互易躍遷.該傳感器根據(jù)電容的阻值以及測得的頻率偏移可以對位置、角度以及水位變化高度等物理量進(jìn)行表征.

非厄米系統(tǒng)中的增益和損耗不可避免地會引入噪聲[153].最近,研究者們注意到在利用EP 傳感器進(jìn)行信號放大的過程中往往伴隨著噪聲的增強(qiáng),因此亟待解決的問題是如何提高EP 傳感器的信噪比.噪聲增強(qiáng)的來源可分為兩種:一是物理上的,來源于產(chǎn)生EP 過程中本征矢的重合;另一種是技術(shù)上的,來源于EP 傳感器實(shí)現(xiàn)中的放大機(jī)制[154].物理學(xué)家嘗試從多個角度解決噪聲對EP 傳感器的影響.理論上,Langbein[155]在2018 年討論了EP 傳感器的量子有限信噪比與擾動,Zhang 等[153]在2019 年提出計(jì)算EP 傳感器信噪比的量子噪聲理論;實(shí)驗(yàn)上,Kononchuk 等[154]在2022 年設(shè)計(jì)了PT 對稱式的機(jī)電EP 傳感器等.

5 總結(jié)

本文通過簡單介紹非厄米物理的基本理論和新奇現(xiàn)象,結(jié)合經(jīng)典電路模擬的理論基礎(chǔ),概述了當(dāng)下經(jīng)典電路模擬非厄米格點(diǎn)模型的實(shí)驗(yàn)進(jìn)展.目前的實(shí)驗(yàn)進(jìn)展主要涵蓋對PT 對稱破缺、非厄米趨膚效應(yīng)以及各類新奇非厄米拓?fù)湮飸B(tài)的經(jīng)典電路模擬.實(shí)驗(yàn)的模擬對象也從簡單的一維單體格點(diǎn)模型逐漸推廣至高維多體等更復(fù)雜的格點(diǎn)模型.此外,基于經(jīng)典電路對非厄米新奇效應(yīng)的應(yīng)用也是重要的研究方向,比如高靈敏度的EP 傳感器等.相比于量子模擬平臺的高技術(shù)門檻,經(jīng)典電路的低成本、易擴(kuò)展等特點(diǎn)使其成為模擬和研究豐富的非厄米新奇現(xiàn)象的首選平臺,表現(xiàn)出廣闊的研究和應(yīng)用前景.