拓?fù)洳牧现械钠矫婊魻栃?yīng)*

巴佳燕 陳復(fù)洋 段后建 鄧明勛 王瑞強(qiáng)

(華南師范大學(xué)物理學(xué)院,廣東省高等學(xué)校物質(zhì)結(jié)構(gòu)與相互作用基礎(chǔ)研究卓越中心,廣東省量子調(diào)控工程與材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣州 510006)

(華南師范大學(xué)物理前沿科學(xué)研究院,粵港量子物質(zhì)聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室,廣州 510006)

平面霍爾效應(yīng)(planar Hall effect,PHE)是當(dāng)前凝聚態(tài)輸運(yùn)中研究的熱點(diǎn)之一.近年來,平面霍爾效應(yīng),尤其是拓?fù)洳牧现械钠矫婊魻栃?yīng),引起了人們的廣泛關(guān)注和研究,并取得了很大的進(jìn)展.不同于普通霍爾效應(yīng),平面霍爾效應(yīng)中的橫向電流、磁場(chǎng)和電場(chǎng)可以出現(xiàn)在同一平面,無(wú)法用洛倫茲力解釋,其很大程度上依賴于磁電阻的各向異性.本文從理論和實(shí)驗(yàn)兩個(gè)角度介紹拓?fù)洳牧现衅矫婊魻栃?yīng)的研究進(jìn)展,深入分析了導(dǎo)致線性和非線性平面霍爾效應(yīng)的各種外稟和內(nèi)稟機(jī)制,并討論尚待解決的相關(guān)問題和未來的發(fā)展方向.

1 引言

霍爾效應(yīng)是物理學(xué)中最基本和研究最廣泛的現(xiàn)象之一[1,2].1879年,美國(guó)物理學(xué)家埃德溫·霍爾(E.H.Hall)在研究金屬的導(dǎo)電機(jī)制時(shí)發(fā)現(xiàn),當(dāng)電流垂直于外磁場(chǎng)通過導(dǎo)體時(shí),將在垂直于電流和磁場(chǎng)的方向上產(chǎn)生電勢(shì)差[1,3],這種現(xiàn)象被稱為霍爾效應(yīng).研究表明,霍爾電壓與磁場(chǎng)強(qiáng)度呈線性關(guān)系,其斜率(霍爾系數(shù))的大小和符號(hào)取決于導(dǎo)體中的載流子濃度和載流子類型(電子或空穴).隨后,霍爾在研究磁性金屬的霍爾效應(yīng)時(shí)又發(fā)現(xiàn)了反常霍爾效應(yīng):磁性金屬的霍爾電阻率包含了一個(gè)不需要外磁場(chǎng)且比普通霍爾效應(yīng)大得多的反常貢獻(xiàn),它直接取決于材料的磁化強(qiáng)度,并且偏離與磁場(chǎng)的線性關(guān)系.例如,金屬鎳的反?；魻栂禂?shù)在居里溫度附近大約比普通霍爾系數(shù)大100 倍[4].1980年,德國(guó)物理學(xué)家馮·克利欽(Klaus von Klitzing)在研究二維電子氣在強(qiáng)磁場(chǎng)和低溫環(huán)境下的輸運(yùn)性質(zhì)時(shí)發(fā)現(xiàn)分立的霍爾電導(dǎo),即所謂的量子霍爾效應(yīng),其數(shù)值上等于電導(dǎo)量子單位e2/h的整數(shù)倍[5].后來,人們又相繼發(fā)現(xiàn)了自旋霍爾效應(yīng)[6]、分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)[7]、量子反?；魻栃?yīng)[8,9]、三維量子霍爾效應(yīng)[10,11]、平面霍爾效應(yīng)(planar Hall effect,PHE)[12-14],以及非線性平面霍爾效應(yīng)(nonlinear planar Hall effect,NPHE)[15]等.在此領(lǐng)域已經(jīng)誕生了多個(gè)諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng).近年來,平面霍爾效應(yīng)和非線性平面霍爾效應(yīng)引起了人們的廣泛關(guān)注和研究,并迅速取得了進(jìn)展[16-18].本文將從理論和實(shí)驗(yàn)兩個(gè)方面介紹拓?fù)洳牧现械木€性和非線性平面霍爾效應(yīng)研究進(jìn)展,及涉及的相關(guān)物理機(jī)制.

2 平面霍爾效應(yīng)

物理上,霍爾效應(yīng)的出現(xiàn)是由于帶電粒子受到洛倫茲力發(fā)生軌道偏轉(zhuǎn),而反?；魻栃?yīng)不需要洛倫茲力的作用,因而與普通霍爾效應(yīng)存在本質(zhì)上的不同.反?；魻栃?yīng)的物理機(jī)制直到二十世紀(jì)八十年代貝里(Berry)相位理論建立起來后才逐漸被揭示[19].事實(shí)上,反常霍爾效應(yīng)與材料的電子自旋軌道耦合作用以及電子能帶的拓?fù)湫再|(zhì)相關(guān).在鐵磁材料中,反?；魻栃?yīng)可以由外稟和內(nèi)稟機(jī)制貢獻(xiàn)[4,20].外稟機(jī)制由晶體周期勢(shì)的突然變化,如結(jié)構(gòu)缺陷或雜質(zhì)導(dǎo)致載流子的不對(duì)稱散射引起[21-23],而內(nèi)稟反?；魻栃?yīng)源于材料的量子力學(xué)特性,由晶體動(dòng)量空間中的貝里曲率導(dǎo)致[24,25].從理論上說,霍爾效應(yīng)和反?；魻栃?yīng)都可以歸結(jié)于傳導(dǎo)電子由于某種機(jī)制而獲得一個(gè)橫向的速度.在半經(jīng)典理論框架下,能帶電子在實(shí)空間的運(yùn)動(dòng)速度滿足半經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程[25]:,其中表示電子速度,Ωn?k×An(k) 為貝里曲率矢量.An(k)i〈unk|?k|unk〉代表貝里聯(lián)絡(luò),描述相鄰兩個(gè)k點(diǎn)之間波函數(shù)的交疊程度.形式上,An(k)可以看作是動(dòng)量空間中的“矢勢(shì)”,相應(yīng)地,Ωn可以看作動(dòng)量空間中的“磁場(chǎng)”.因此,貝里曲率將貢獻(xiàn)一個(gè)垂直于電場(chǎng)和“磁場(chǎng)”方向的反常速度項(xiàng),導(dǎo)致內(nèi)稟反?；魻栃?yīng)的出現(xiàn),其霍爾電導(dǎo)率由反常速度項(xiàng)在布里淵區(qū)內(nèi)的積分給出:

最近,另一種霍爾效應(yīng)引起了人們的廣泛關(guān)注和研究,其橫向電流、磁場(chǎng)和電場(chǎng)三者共面,故稱為平面霍爾效應(yīng).通常,平面霍爾效應(yīng)出現(xiàn)在磁性材料中,如鐵磁和反鐵磁半導(dǎo)體[12,14,26,27],并伴隨著大各向異性磁電阻(anisotropic magnetoresistivity,AMR)效應(yīng)的出現(xiàn).最近的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),在強(qiáng)自旋軌道耦合系統(tǒng)中,如二維電子氣體[28,29]、拓?fù)浣^緣體[15,30]和狄拉克/外爾半金屬[31-36]等非磁性材料,也能出現(xiàn)平面霍爾效應(yīng),掀起了研究平面霍爾效應(yīng)的熱潮[37-39].

2.1 三維拓?fù)浣^緣體中的線性平面霍爾效應(yīng)

2017年,Taskin 等[30]首次在非磁性三維拓?fù)浣^緣體 Bi2-xSbxTe3中觀測(cè)到了平面霍爾效應(yīng),他們的實(shí)驗(yàn)裝置如圖1(a)所示.測(cè)量的平面霍爾效應(yīng)和各向異性磁電阻隨電場(chǎng)和磁場(chǎng)的夾角變化滿足標(biāo)準(zhǔn)的正余弦函數(shù)關(guān)系,同時(shí),平面霍爾電阻的幅值在狄拉克點(diǎn)附近出現(xiàn)一個(gè)雙峰特征結(jié)構(gòu),如圖1(c)和圖1(d)所示.隨后,在 Sn 摻雜拓?fù)浣^緣體 Bi1.1Sb0.9Te2中觀測(cè)到了平面霍爾效應(yīng)的SdH(Shubnikov-de-Haas)振蕩,由此確定了三維拓?fù)浣^緣體中的平面霍爾效應(yīng)源于螺旋拓?fù)浔砻鎽B(tài)的自旋動(dòng)量鎖定[40].Taskin 等理論上將觀測(cè)到的平面霍爾效應(yīng)歸因于磁性雜質(zhì)導(dǎo)致的各向異性電子散射,而事實(shí)上實(shí)驗(yàn)中并沒有摻磁性雜質(zhì).因此,探索平面霍爾效應(yīng)的物理機(jī)制成為大家關(guān)注的焦點(diǎn).

圖1 (a) Bi2-xSbxTe3 的薄膜雙門霍爾棒控器件簡(jiǎn)圖;(b)自旋極化雜質(zhì)背散射以及背散射鎖定的示意圖;(c)磁場(chǎng)下PHE 和縱向磁電阻振幅隨著角度的變化;(d)磁場(chǎng)下的PHE 振幅(左軸)以及有效總載流子密度(右軸)關(guān)于門電壓的依賴性[30]Fig.1.(a) A sketch of the Bi2-xSbxTe3 dual-gate Hall-bar device and the measurement configuration;(b) schematic diagram of spin-polarized impurity backscattering and backscattering locking;(c) PHE and longitudinal magnetoresistance variation with angle at magnetic field;(d) dependence of PHE amplitude(left axis) and effective total carrier density(right axis) about gate voltage under magnetic field.Image cited from Ref.[30].

2.1.1 狄拉克錐傾斜機(jī)制

我們研究組發(fā)現(xiàn)不需要磁性雜質(zhì)散射也能導(dǎo)致平面霍爾效應(yīng),提出拓?fù)浔砻鎽B(tài)在面內(nèi)磁場(chǎng)作用下的狄拉克錐傾斜與表面態(tài)自旋動(dòng)量鎖定是導(dǎo)致平面霍爾效應(yīng)的根源[41].水平磁場(chǎng)作用下的三維拓?fù)浣^緣體表面態(tài)可表示為

其中υF是費(fèi)米速度;σ(σx,σy,σz) 為泡利矩陣;μ表示化學(xué)勢(shì);B//(Bx,By)B(cosθB,sinθB)代表外加水平磁場(chǎng);動(dòng)量的平方項(xiàng)對(duì)應(yīng)于費(fèi)米子的牛頓質(zhì)量項(xiàng),由電子-空穴不對(duì)稱性引起[42].若哈密頓量不含平方項(xiàng)(D0),面內(nèi)磁場(chǎng)的作用只是在動(dòng)量空間平移狄拉克錐,因此不會(huì)產(chǎn)生任何可觀測(cè)的物理效應(yīng).若D0,在平移后的狄拉克點(diǎn)附近,對(duì)哈密頓量作泰勒展開可得到:

其中ε0(k) 表示動(dòng)量的平方項(xiàng),?υB2DB/?υF.顯然,面內(nèi)磁場(chǎng)使得哈密頓量多出一項(xiàng),由此導(dǎo)致狄拉克錐傾斜,見圖2(a)和圖2(b).狄拉克錐傾斜后,電子的自旋動(dòng)量鎖定將發(fā)生變化.如圖2(c)和圖2(d)所示,狄拉克錐傾斜后,等能面由圓變成橢圓,使得平行于磁場(chǎng)方向的態(tài)|k〉和|-k〉的自旋不再反平行,從而打開背散射通道,而垂直于磁場(chǎng)的方向上背散射仍被抑制.各向異性電子散射將導(dǎo)致磁電阻的各向異性,從而產(chǎn)生平面霍爾效應(yīng).

圖2 (a)和(b)展現(xiàn)了包含動(dòng)量平方項(xiàng)的狄拉克錐在平面磁場(chǎng)下發(fā)生傾斜;(c)和(d) 展示了加入面內(nèi)磁場(chǎng)后造成的背散射鎖定的解除,從而導(dǎo)致各向異性的縱向磁電阻率[41]Fig.2.(a) and(b) exhibit the Dirac cone containing the momentum squared term tilted under a planar magnetic field;in(c) and(d) the unlocking of the backscattering caused by the addition of an in-plane magnetic field is shown,resulting in an anisotropic longitudinal magnetoresistivity.Image cited from Ref.[41].

進(jìn)一步通過格林函數(shù)形式下的久保(Kubo)公式

圖3 (a)平面霍爾電阻(planar Hall resistivity,PHR)和(b)各向異性磁電阻(anisotropic magnetoresistivity,AMR)隨著磁場(chǎng)與電場(chǎng)的角度 θB 振蕩;(c) 在不同化學(xué)勢(shì)下,PHR 和AMR 的振幅與雜質(zhì)勢(shì)U 的關(guān)系;(d) PHR 和AMR 的振幅與化學(xué)勢(shì)μ 的關(guān)系(其中 U 50)[41]Fig.3.(a) Planar Hall resistivity(PHR) and(b) anisotropic magnetoresistivity(AMR) oscillate with the angle θB of the magnetic and electric fields;(c) amplitudes of PHR and AMR versus impurity potential U at different chemical potentials;(d) amplitudes of PHR and AMR versus chemical potential μ where U=50.Image cited from Ref.[41].

研究還發(fā)現(xiàn),無(wú)論雜質(zhì)勢(shì)和化學(xué)勢(shì)如何變化,PHR 的振幅不變號(hào),然而AMR 的振幅卻會(huì)隨著兩者變號(hào),如圖3(c)和圖3(d)所示,這與文獻(xiàn)[30]中的觀測(cè)一致.該理論很好地復(fù)現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到的特征雙峰結(jié)構(gòu),如圖4 所示,該雙峰結(jié)構(gòu)對(duì)雜質(zhì)勢(shì)和磁場(chǎng)很敏感.

圖4 平面霍爾電阻(planar Hall resistivity,PHR)隨化學(xué)勢(shì)的演化圖(a)不同雜質(zhì)勢(shì)取值對(duì)雙峰的影響;(b)不同磁場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)雙峰的影響.插入圖展示了PHR 振幅隨磁場(chǎng)強(qiáng)度B 的變化,當(dāng)B 較小時(shí)呈二次方關(guān)系,較大時(shí)呈線性關(guān)系[41]Fig.4.Evolution of the double-peak structure in planar Hall resistivity(PHR) amplitude Δρxy with(a) Effect of different U values on double-peaks,and(b) effect of different magnetic field strength on double-peaks.The inset of(b) shows the Δρxy as a function of the magnetic field strength B.Image cited from Ref.[41].

2.1.2 磁振子散射機(jī)制

盡管在不同體系中平面霍爾效應(yīng)的機(jī)制可能不同,但其縱向和橫向電導(dǎo)率普遍滿足(5)式和(6)式.最近在拓?fù)浣^緣體/鐵磁層中發(fā)現(xiàn),平面霍爾效應(yīng)在電場(chǎng)和磁場(chǎng)共線的情況下也能出現(xiàn),并表現(xiàn)出復(fù)雜的角度依賴關(guān)系[29,38,43].如何從理論上理解這些實(shí)驗(yàn)結(jié)果,也是一個(gè)開放的問題.

為了解釋實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到的復(fù)雜平面霍爾效應(yīng),我們研究組從鐵磁/拓?fù)浣^緣體異質(zhì)結(jié)模型出發(fā)[16],如圖5(a)所示,其哈密頓量可以寫為

圖5 (a)鐵磁絕緣體/拓?fù)浣^緣體雙層異質(zhì)結(jié)構(gòu)裝置以及所選坐標(biāo)系示意圖,其中 θB 為外磁場(chǎng)與x 軸的夾角.這里假設(shè)鐵磁體被完全磁化(S 與B 平行).(b)各向同性費(fèi)米表面上的磁振子散射示意圖[16]Fig.5.(a) Schematic diagram of the ferromagnetic insulator/topological insulator bilayer heterostructure device and the chosen coordinate system,where θB is the angle between the external magnetic field and the x-axis.We assume that the ferromagnet is fully magnetized,which leads to S//B.(b) Schematic of the magnon scattering for isotropic Fermi surface.Image cited from Ref.[16].

由Kubo-Streda 公式可以得到沿電場(chǎng)方向(縱向)和垂直于電場(chǎng)方向(橫向)的電導(dǎo)率:

其中 Δσσ//-σ⊥,θθB-θE為電場(chǎng)和磁場(chǎng)的相對(duì)夾角.這里采用縮寫σ⊥≡σ⊥⊥,σ//≡σ////,其中,// 對(duì)應(yīng)x?方向,即平行于磁場(chǎng)的方向,⊥對(duì)應(yīng)y?方向,即垂直于磁場(chǎng)的方向.電導(dǎo)率的數(shù)值結(jié)果表明,Δσσ//-σ⊥在零溫下等于零.隨著溫度升高,磁振子散射過程被激活,Δσ變?yōu)橛邢拗?從而導(dǎo)致各向同性的線性色散下也能出現(xiàn)平面霍爾效應(yīng).與(5)式和(6)式比較可知,這里的(8)式和(9)式新增了后面一項(xiàng),來自于非對(duì)角的霍爾效應(yīng),它們依賴于角度,最終導(dǎo)致復(fù)雜的角度依賴關(guān)系.此外,在翹曲效應(yīng)的作用下,即λ0時(shí),系統(tǒng)將會(huì)打開能隙,出現(xiàn)非零的貝里曲率,產(chǎn)生非平庸陳數(shù),因而產(chǎn)生內(nèi)稟的平面霍爾電導(dǎo),對(duì)(9) 式中的第一項(xiàng)產(chǎn)生貢獻(xiàn).

2.2 外爾半金屬中的線性平面霍爾效應(yīng)

在過去的幾年里,從有能隙的拓?fù)浣^緣體到各種無(wú)能隙的拓?fù)浒虢饘?物質(zhì)的拓?fù)湎嗍艿搅藰O大的關(guān)注[47-49].外爾半金屬作為三維拓?fù)浒虢饘俚囊粋€(gè)典型例子,在理論[33-35,50,51]和實(shí)驗(yàn)[52-54]方面都得到了廣泛研究.外爾半金屬在外爾點(diǎn)附近激發(fā)的外爾費(fèi)米子具有線性色散關(guān)系,并且費(fèi)米面包圍的貝里通量在外爾點(diǎn)附近被量子化.外爾點(diǎn)可以看成具有明確手性的拓?fù)潆姾?并且在動(dòng)量空間充當(dāng)貝里曲率的源或匯[55].

理論預(yù)言不久[56,57],外爾半金屬態(tài)在TaAs[58,59]以及幾種不同的化合物[60-62]中被實(shí)驗(yàn)所證實(shí).它們獨(dú)特的拓?fù)湫再|(zhì)賦予了外爾半金屬態(tài)許多有趣的物理特性,其中,手征反常和手征磁效應(yīng)最為突出.在拓?fù)鋱?chǎng)論框架下,若配對(duì)的外爾點(diǎn)在能量-動(dòng)量空間沿四維軸矢量(b0,b) 分離,則可以在外爾半金屬中觀察到手征反常和手征磁效應(yīng).雖然四維軸矢量沒有打破系統(tǒng)的手征對(duì)稱性,但它打破了體系的洛倫茲對(duì)稱性[63].因此,通過局域手征變換消除四維軸矢量后,將會(huì)在路徑積分測(cè)度中引入一個(gè)類Chern-Siomons 項(xiàng)[63,64],由此導(dǎo)致反常電磁響應(yīng)(b0B+b×E).由規(guī)范不變性,可以推導(dǎo)出連續(xù)性方程

圖6 (a)在磁場(chǎng)B 存在下,左手性和右手性費(fèi)米子填充的能譜;(b) 存在額外平行于磁場(chǎng)B 的電場(chǎng)E 時(shí)左手性和右手性費(fèi)米子的能譜填充圖[65]Fig.6.(a) Energy spectra of left-handed and right-handed fermions in the presence of a magnetic field B;(b) energy spectra of left-handed and right-handed fermions in the presence of an electric field E additionally parallel to the magnetic field B.Image cited from Ref.[65].

2.2.1 (類)手征反常機(jī)制

一般情況下,單手性外爾點(diǎn)附近的低能有效哈密頓量可以表示為

其中χ±1 表示外爾費(fèi)米子的手征荷,常數(shù)C是傾斜因子.在弱磁場(chǎng)下,朗道量子化可以忽略,電子輸運(yùn)可以用半經(jīng)典玻爾茲曼方程描述:

其中,fk是電子的分布函數(shù),?k是準(zhǔn)動(dòng)量,Icoll{fk}是碰撞積分.通過解r和k滿足的半經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程可得:

其中,vk?εk/?k為電子的群速度.這里,除了洛倫茲力的貢獻(xiàn),動(dòng)量空間下的反常速度出現(xiàn)了E·B項(xiàng),并且與貝里曲率綁定.實(shí)際上,這一項(xiàng)對(duì)應(yīng)了手征反常的貢獻(xiàn).

在弛豫時(shí)間近似下,考慮洛倫茲力的影響,將(13)式代入電流密度公式,可求得體系的電導(dǎo)率表達(dá)式[31]:

圖7 (a)平面霍爾效應(yīng)測(cè)量裝置示意圖;(b)平面霍爾電導(dǎo)率振幅隨磁場(chǎng)強(qiáng)度B 的變化(其中插入圖為縱向電導(dǎo)率);(c),(d)B 5 T時(shí)縱向磁電導(dǎo)率和平面霍爾電導(dǎo)率隨角度 θ 的變化[31]Fig.7.(a) Schematic diagram of the planar Hall effect measurement device;(b) amplitude of planar Hall conductivity as a function of magnetic field(the inset is the longitudinal conductivity);(c),(d) variation of longitudinal magnetoconductivity and planar Hall conductivity with angle θ for B 5 T.Image cited from Ref.[31].

我們研究組發(fā)現(xiàn),若外爾半金屬存在電子-空穴不對(duì)稱tk2,手征化學(xué)勢(shì)除了手征反常的拓?fù)漤?xiàng)貢獻(xiàn),還包含非拓?fù)涞呢暙I(xiàn)[70].考慮外爾半金屬的電子-空穴不對(duì)稱后,不加磁場(chǎng)時(shí),外爾錐不傾斜,如圖8(a) 所示.隨著外磁場(chǎng)的加入,兩個(gè)外爾錐將沿著磁場(chǎng)向相反方向移動(dòng)并傾斜,見圖8(b).此時(shí),兩個(gè)費(fèi)米子口袋中電子的填充形式是相互對(duì)稱的,因此具有相同高度的費(fèi)米面.然而,在電場(chǎng)的作用下,這種對(duì)稱性會(huì)被破壞,導(dǎo)致不同手性外爾錐的費(fèi)米面不再對(duì)齊,從而產(chǎn)生手征化學(xué)勢(shì).因此,即使沒有手征反常效應(yīng),也可能在兩個(gè)外爾谷之間建立非零手征化學(xué)勢(shì),如圖8(d)所示.在弱磁場(chǎng)和零溫近似下,應(yīng)用玻爾茲曼方程可以獲得手征化學(xué)勢(shì)如下:

圖8 塞曼場(chǎng)不存在[(a),(c)]和存在[(b),(d)]時(shí)的Weyl錐和費(fèi)米子填充,第一行和第二行分別為 E 0和E0.我們注意兩個(gè)錐之間的手征化學(xué)勢(shì)可以分別由(c)手征反常,或是(d)傾斜效應(yīng)產(chǎn)生[70]Fig.8.Weyl cone and fermion filling in the absence [(a),(c)] and presence [(b),(d)] of the Seeman field with E 0 and E0 in the first and second rows,respectively.We note that the chiral chemical potential between the two Weyl cones can be generated by(c) the chiral anomaly,or(d) the tilt effect,respectively.Image cited from Ref.[70].

其中τinter(τintra)代表谷間(谷內(nèi))弛豫時(shí)間,α2tgμBB/(?υF)2,kFEF/(?υF) 為費(fèi)米波矢,EF表示費(fèi)米能.由(16)式可以看到,外爾錐的傾斜效應(yīng)不僅會(huì)抑制手征反常,還會(huì)產(chǎn)生一個(gè)正比于傾斜參數(shù)和磁場(chǎng)的額外類手征化學(xué)勢(shì).此外,這里的貝里曲率Ωχ-χk/(2|k|3) 與傾斜因子完全無(wú)關(guān),這意味著傾斜機(jī)制并不會(huì)影響手征反常的拓?fù)湫再|(zhì),也就是說它所導(dǎo)致的類手征化學(xué)勢(shì)可以是非拓?fù)涞?

計(jì)算的縱向磁電導(dǎo)率和平面霍爾電導(dǎo)率分解成三部分[70]:ΔσizσDδiz+其中σD為Drude 電導(dǎo),

ne(1/3π2) Δne(α)-δizne代表磁場(chǎng)修正后的載流子濃度.當(dāng)t0時(shí),手征反常(B) 項(xiàng)滿足標(biāo)準(zhǔn)的角度依賴關(guān)系[31],而外爾錐傾斜項(xiàng)為零.有限t下,手征反常項(xiàng)會(huì)被抑制,導(dǎo)致 Δσiz(B) 表現(xiàn)出復(fù)雜的角度依賴.此外,(18)式第二項(xiàng)來自于反常速度與傾斜效應(yīng)的共同作用,若α與磁場(chǎng)無(wú)關(guān),將導(dǎo)致正比于磁場(chǎng)強(qiáng)度B和傾斜參數(shù)t的磁電導(dǎo)率[50,51,71].

3 非線性平面霍爾效應(yīng)

非線性效應(yīng)的早期研究主要是探討半導(dǎo)體的非線性光學(xué)現(xiàn)象[72].近年來,隨著拓?fù)淞孔硬牧系拇罅坑楷F(xiàn),拓?fù)洳牧现械姆蔷€性效應(yīng)(即電流對(duì)外部電場(chǎng)的二階響應(yīng)J ∝E2)也引起了人們的關(guān)注.在Sodemann 和Fu[73]提出非線性霍爾效應(yīng)的概念后,人們?cè)谄淅碚摵蛯?shí)驗(yàn)方面的研究中均取得了很大的進(jìn)展[74-77].在非線性霍爾效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)裝置中,如圖9所示,如果施加面內(nèi)磁場(chǎng),且固定外加電場(chǎng)的方向(沿著x方向),通過在y方向和x方向測(cè)量電壓、電阻,便可以分別討論非線性平面霍爾效應(yīng)和非線性磁電阻效應(yīng)[15,78-83].此外,旋轉(zhuǎn)面內(nèi)磁場(chǎng)的方向,還可以得到電壓、電阻(或電流)與磁場(chǎng)角度的依賴關(guān)系.在對(duì)非線性磁電阻效應(yīng)的深入研究中,人們發(fā)現(xiàn),各向異性的非線性磁電阻可以被用來預(yù)測(cè)霍爾電壓的產(chǎn)生.基于實(shí)驗(yàn)上的重要進(jìn)展,非線性平面霍爾效應(yīng)引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.最近,Yasuda 等[83]在非磁性雙層拓?fù)浣^緣體中觀察到了非線性霍爾效應(yīng),該效應(yīng)被認(rèn)為是由磁振子的不對(duì)稱散射導(dǎo)致的.隨后,He 等[15]在非磁性拓?fù)浣^緣體Bi2Se3中也觀察到了非線性平面霍爾效應(yīng),其物理機(jī)制被歸結(jié)為自旋電流與電荷電流的轉(zhuǎn)換,且該轉(zhuǎn)換是在自旋動(dòng)量鎖定和時(shí)間反演對(duì)稱破缺的共同作用下發(fā)生的.實(shí)驗(yàn)上的發(fā)現(xiàn)推動(dòng)了理論方面的研究.為更好地解釋非線性平面霍爾效應(yīng)的起源,人們相繼提出了諸多微觀物理機(jī)制.對(duì)非線性平面霍爾效應(yīng)的研究開辟了一個(gè)新的研究課題,即利用磁場(chǎng)來控制霍爾電壓,這也為電子器件的多樣化發(fā)展提供了一個(gè)新的路徑.

圖9 非線性平面霍爾效應(yīng)和非線性磁電阻的測(cè)量示意圖[15]Fig.9.Schematic illustration of the simultaneous measurements of nonlinear planar Hall effect and nonlinear magnetoresistance.Image cited from Ref.[15].

圖10 (a)電場(chǎng)作用于三維拓?fù)浣^緣體上,橫向產(chǎn)生電場(chǎng)E 的二階非線性自旋電流 ;(b)外加磁場(chǎng) B//E,橫向非線性自旋電流部分轉(zhuǎn)換為電荷電流 Jy(E2),產(chǎn)生非線性霍爾效應(yīng)[15]Fig.10.(a) When an electric field E is applied to three dimensional(3D) topological insulators,a transverse nonlinear spin current at the second order of E is generated;(b) when an external magnetic field B//E,the transverse nonlinear spin current is partially converted into a charge current Jy(E2),giving rise to the nonlinear Hall effect.Image cited from Ref.[15].

最近,Rakhmilevich 等[43]在鐵磁絕緣體/拓?fù)浣^緣體異質(zhì)結(jié)上觀察到非常規(guī)的平面霍爾效應(yīng),即當(dāng)面內(nèi)的磁場(chǎng)平行于電流時(shí),平面霍爾效應(yīng)信號(hào)顯著,而在磁場(chǎng)垂直于電流時(shí),平面霍爾效應(yīng)反而受到抑制,這與以前觀察到的平面霍爾效應(yīng)完全不同.在排除線性平面霍爾效應(yīng)的機(jī)制解釋后,人們將目標(biāo)轉(zhuǎn)向非線性平面霍爾效應(yīng).為了更好地解釋非線性平面霍爾效應(yīng)的起源,人們提出了各種微觀物理機(jī)制.He 等[15]在非磁性拓?fù)浣^緣體Bi2Se3薄膜實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了非線性平面霍爾效應(yīng),其非線性霍爾電阻與外加電場(chǎng)和磁場(chǎng)成線性關(guān)系.該現(xiàn)象的物理機(jī)制被總結(jié)為:在引入翹曲項(xiàng)或電子-空穴不對(duì)稱的質(zhì)量項(xiàng)后,在自旋動(dòng)量鎖定和時(shí)間反演破缺的作用下,非線性的橫向自旋電流可以轉(zhuǎn)換為電荷電流,由此導(dǎo)致非線性平面霍爾效應(yīng)的出現(xiàn)[15,78].Yasuda等[82,83]在反鐵磁/拓?fù)浣^緣體異質(zhì)結(jié)構(gòu)中也觀察到了非線性霍爾效應(yīng),不同的是,他們將其物理機(jī)制歸結(jié)為磁振子的不對(duì)稱散射.針對(duì)實(shí)驗(yàn)上出現(xiàn)的現(xiàn)象,我們研究組提出了兩種不同的機(jī)制[41,79]:其一,在考慮非線性動(dòng)量項(xiàng)的基礎(chǔ)上,由外加磁場(chǎng)導(dǎo)致的狄拉克錐的傾斜;其二,在拓?fù)浣^緣體薄膜中考慮上下表面的耦合,由外加磁場(chǎng)導(dǎo)致的狄拉克錐的位移效應(yīng).上述兩種不同的機(jī)制均能誘導(dǎo)線性和非線性平面霍爾效應(yīng),且兩種機(jī)制之間存在著競(jìng)爭(zhēng).綜合目前已有的理論,我們可以將非線性平面霍爾效應(yīng)的起源歸結(jié)為外稟貢獻(xiàn)和內(nèi)稟貢獻(xiàn),下面分析幾種代表性的機(jī)制.

3.1 外稟機(jī)制

3.1.1 非線性Drude項(xiàng)

在物理機(jī)制方面,這種非線性平面霍爾效應(yīng)所產(chǎn)生的原因被總結(jié)為:在與自旋共線的面內(nèi)磁場(chǎng)中,由于自旋動(dòng)量鎖定和時(shí)間反演破缺的共同作用,非線性橫向自旋電流將轉(zhuǎn)換為電荷電流[15,78].下面是該物理機(jī)制的詳細(xì)解釋.

值得注意的是,當(dāng)色散是關(guān)于k的線性依賴關(guān)系時(shí),面內(nèi)磁場(chǎng)僅在k空間中平移狄拉克點(diǎn),并不能使自旋電流和電荷電流之間發(fā)生轉(zhuǎn)換.只有考慮動(dòng)量的高階項(xiàng)如拓?fù)浣^緣體的六角翹曲效應(yīng)時(shí),非線性平面霍爾效應(yīng)才會(huì)出現(xiàn).

3.1.2 位移效應(yīng)機(jī)制

我們研究組還發(fā)現(xiàn),在拓?fù)浣^緣體薄膜中考慮上下表面態(tài)的耦合作用,由面內(nèi)磁場(chǎng)導(dǎo)致的狄拉克錐的位移效應(yīng)也能產(chǎn)生平面霍爾效應(yīng)[79].該效應(yīng)不僅存在于線性平面霍爾中,還能貢獻(xiàn)非線性平面霍爾效應(yīng).這里暫且忽略拓?fù)浣^緣體薄膜中高階項(xiàng)的影響.在面內(nèi)磁場(chǎng)的作用下,拓?fù)浣^緣體薄膜的表面態(tài)的低能有效哈密頓量模型可表示為

其中,Δ是上下表面的耦合強(qiáng)度[84],τ(τx,τy,τz) 表示作用于上下表面的泡利矩陣,τ0和σ0為單位矩陣.由于面內(nèi)磁場(chǎng)的作用,兩個(gè)狄拉克錐在垂直于磁場(chǎng)B的方向上向相反的方向移動(dòng),如圖11(a)所示.當(dāng)兩個(gè)狄拉克錐的部分重疊時(shí),會(huì)在平行于磁場(chǎng)的方向上出現(xiàn)非零的凈自旋極化,如圖11(b)所示.根據(jù)圖11(c)所示的凈自旋極化|S|可以發(fā)現(xiàn),在弱磁場(chǎng)下(即B的取值相對(duì)較小),沿磁場(chǎng)的方向存在著明顯的凈自旋極化.由于自旋動(dòng)量鎖定,狄拉克電子的電流所誘導(dǎo)的自旋(紅色細(xì)箭頭)和凈自旋(紅色粗箭頭)之間形成自旋閥的結(jié)構(gòu),如圖11(b).該自旋極化引起各向異性的自旋輸運(yùn),進(jìn)而導(dǎo)致橫向平面霍爾效應(yīng)的產(chǎn)生.由位移效應(yīng)貢獻(xiàn)的平面霍爾電阻與角度的關(guān)系雖然不是余弦或正弦關(guān)系,但依然保持著 2π 的振蕩周期.

圖11 (a)平面磁場(chǎng)作用下的位移效應(yīng)Dirac 錐的變化示意圖;(b)位移效應(yīng)的自旋閥結(jié)構(gòu)示意圖;(c)磁場(chǎng)B 相關(guān)的凈自旋極化|S| [79]Fig.11.(a) Schematic illustration of Dirac cones of top and bottom surfaces in topological insulator thin films with shift effect induced by the in-plane magnetic field B;(b) schematic pictures of spin valve structure with shift effect;(c) the dependence of net spin polarization|S| on the field strength B.Image cited from Ref.[79].

3.1.3 貝里偶極子機(jī)制

3.1.4 磁振子散射機(jī)制

在前面提及的機(jī)制中,沒有涉及溫度的影響.當(dāng)考慮有限溫時(shí),磁振子散射可以誘導(dǎo)拓?fù)浣^緣體產(chǎn)生非線性平面霍爾效應(yīng)[82,83].由于阻尼自旋軌道耦合貢獻(xiàn)可以忽略,因此,在平面磁場(chǎng)的作用下,二階非線性霍爾電壓將主要來源于非線性傳導(dǎo)其在CBST/BST/InP 樣品上與平面內(nèi)磁場(chǎng)和電場(chǎng)的相對(duì)角度依賴關(guān)系如圖12(a)所示.

二階非線性平面霍爾電阻的起源可用不對(duì)稱的磁振子散射進(jìn)行解釋[82,83],如圖12(b)所示.當(dāng)J//M時(shí),一方面,當(dāng)B點(diǎn)附近的電子(群速度為正、角動(dòng)量為 +1/2)散射至D點(diǎn)附近時(shí),其動(dòng)量將變?yōu)?-1/2.由于自旋動(dòng)量鎖定和角動(dòng)量守恒的影響,該過程將必然伴隨著角動(dòng)量為 +1 的磁振子發(fā)射.相反地,當(dāng)它從D點(diǎn)處散射到B點(diǎn)附近時(shí),則必須吸收磁振子.這種不對(duì)稱的磁振子散射將導(dǎo)致弛豫時(shí)間的不對(duì)稱,進(jìn)而引起D點(diǎn)和B點(diǎn)周圍電子分布的不對(duì)稱.這種不對(duì)稱的磁振子散射模型可以用來評(píng)估二階非線性平面霍爾電阻.

3.2 內(nèi)稟機(jī)制

3.2.1 貝里聯(lián)絡(luò)極化機(jī)制上述提及的各種機(jī)制均屬于外稟機(jī)制,因此與弛豫時(shí)間相關(guān).最近,與散射無(wú)關(guān)的內(nèi)稟非線性霍爾效應(yīng)引起人們極大的興趣[88-91],研究者們用貝里聯(lián)絡(luò)極化(Berry-connection polarizability,BCP)來表征這一效應(yīng).當(dāng)施加平面磁場(chǎng)時(shí),在塞曼效應(yīng)的耦合下,內(nèi)稟的非線性霍爾效應(yīng)推廣至非線性平面霍爾效應(yīng)[18].在外加電場(chǎng)的作用下,貝里聯(lián)絡(luò)被附加上電場(chǎng)的修正項(xiàng)Gab(k)Eb,其中Gab(k)為貝里聯(lián)絡(luò)極化張量,具有如下形式:

Huang 等[18]通過對(duì)稱性分析得到了內(nèi)稟非線性平面霍爾電流與磁場(chǎng)和電場(chǎng)的相對(duì)角度依賴關(guān)系,相比于外稟誘導(dǎo)的非線性平面霍爾效應(yīng),他們給出了不同的角度依賴性.重要的是,內(nèi)稟非線性平面霍爾電流被認(rèn)為可以作為表征不支持非線性反?；魻栃?yīng)這一類材料的工具.

至此,我們介紹了拓?fù)洳牧现芯€性和非線性平面霍爾效應(yīng)相關(guān)的主要物理機(jī)制,這些機(jī)制雖然分別從線性和非線性平面霍爾效應(yīng)進(jìn)行討論,有些機(jī)制其實(shí)可以同時(shí)導(dǎo)致線性和非線性平面霍爾效應(yīng),比如,位移效應(yīng)不僅可以導(dǎo)致非線性平面霍爾效應(yīng),也可以導(dǎo)致線性平面霍爾效應(yīng),手征反常不僅可以出現(xiàn)在線性平面霍爾效應(yīng)中,也可以出現(xiàn)在非線性平面霍爾效應(yīng)中.本文將其總結(jié)如表1 所列.總體來說,平面霍爾效應(yīng)目前仍是一個(gè)非?；钴S的研究領(lǐng)域,非線性平面霍爾效應(yīng)更是一個(gè)相對(duì)較新的研究領(lǐng)域,各種新的物理機(jī)制正不斷地涌現(xiàn),它們彼此相互補(bǔ)充并被用于解釋相關(guān)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象.

表1 拓?fù)洳牧现械木€性和非線性平面霍爾效應(yīng)的主要物理機(jī)制Table 1.Main physics mechanisms of linear and nonlinear planar Hall effect in topological materials.

4 實(shí)驗(yàn)進(jìn)展

非磁拓?fù)洳牧现械木€性平面霍爾效應(yīng)最早是由Taskin 等[30]在三維拓?fù)浣^緣體 Bi2-xSbxTe3中觀測(cè)到的,他們發(fā)現(xiàn)拓?fù)浣^緣體表面態(tài)的PHE 會(huì)隨著磁場(chǎng)方向的變化呈現(xiàn)出六重對(duì)稱性的振蕩,這與材料的晶體對(duì)稱性和狄拉克錐的形狀一致.通過分析霍爾電阻率的溫度依賴性和磁場(chǎng)依賴性,確定了電子態(tài)的有效質(zhì)量和自旋軌道耦合強(qiáng)度,以及狄拉克錐的能隙大小與畸變程度.不久,Kumar 等[92]在Weyl 半金屬GdPtBi 中觀察到了比鐵磁材料中大得多的線性平面霍爾效應(yīng),這可以歸因于材料中的手征反常和貝里曲率.他們發(fā)現(xiàn),在施加平行于[111]方向的電場(chǎng)和磁場(chǎng)后,出現(xiàn)了負(fù)磁阻率和量子振蕩.另外還發(fā)現(xiàn),PHE 的振幅不僅會(huì)受到手征反常的影響,還會(huì)受到軌道磁阻的影響.因此,要觀察到明顯的PHE,需要選擇軌道磁阻較小的Weyl 半金屬.2018年,Singha 團(tuán)隊(duì)[93]報(bào)道了一種Type-II 型拓?fù)涞依税虢饘?VAl3的磁輸運(yùn)性質(zhì).他們通過四探針技術(shù)測(cè)量了其單晶樣品的線性平面霍爾電阻率,并發(fā)現(xiàn)VAl3可以出現(xiàn)很大的、不飽和的磁阻效應(yīng),以及高遷移率的電子和空穴型載流子.最重要的是觀測(cè)到了一個(gè)很大的線性平面霍爾效應(yīng),作者認(rèn)為平面霍爾效應(yīng)是一種可以用來鑒別拓?fù)浒虢饘僦械依?外爾費(fèi)米子的有效方法.隨后一年,Yin 等[27]報(bào)道了反鐵磁半導(dǎo)體MnTe 的線性平面霍爾效應(yīng),并揭示了其自旋軌道耦合和能帶各向異性.

2020年,Wadehra 等[28]在LaVO3-KTaO3的極性-極性界面上觀測(cè)到了線性平面霍爾效應(yīng)和各向異性磁阻,表明材料中存在強(qiáng)自旋軌道耦合.實(shí)驗(yàn)團(tuán)隊(duì)用X 射線衍射和透射電子顯微鏡等方法表征了其分子結(jié)構(gòu),并通過霍爾探針測(cè)量了不同溫度和磁場(chǎng)下的電阻率和霍爾系數(shù),觀測(cè)到PHE 和AMR 特征信號(hào).2021年,人們?cè)贒irac 反鈣鈦礦Sr3SnO 中也觀察到了類似拓?fù)浣^緣體的六重振蕩線性平面霍爾效應(yīng)[94].實(shí)驗(yàn)組測(cè)量了不同厚度Sr3SnO 薄膜的電阻率張量,并發(fā)現(xiàn)在平面磁場(chǎng)下,縱向電阻率和橫向電阻率都顯示出多個(gè)諧波,其中包括二階、四階甚至六階.這些諧波具有對(duì)不同磁場(chǎng)、溫度以及薄膜厚度的依賴性,表現(xiàn)出了復(fù)雜的微觀機(jī)制.初步的研究表明:自旋軌道耦合的J3/2費(fèi)米子可能在其中起到了重要的作用,該實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步展現(xiàn)出了PHE 的豐富性,并推動(dòng)了對(duì)拓?fù)洳牧现懈唠A諧波的進(jìn)一步研究.最近,人們?cè)诜磋F磁拓?fù)浣^緣體MnBi2Te4薄片中觀察到了一種具有 π/2 周期的線性平面霍爾效應(yīng)[95],并指出其來源于體態(tài)Dirac 電子的拓?fù)滠壍来啪?實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),在弱磁場(chǎng)下PHE 具有 π 周期和正的幅值,類似于非磁性拓?fù)浣^緣體中表面態(tài)的PHE.但在強(qiáng)磁場(chǎng)下,PHE 的周期會(huì)變?yōu)?π/2 并且振幅會(huì)變成負(fù).此外,隨著溫度的變化,由于體態(tài)和表面態(tài)之間的競(jìng)爭(zhēng),PHE 和各向異性磁阻的振幅和相位都發(fā)生了非平庸的演化.

非線性平面霍爾效應(yīng)最早是由He 等[15]在拓?fù)浣^緣體Bi2Se3中發(fā)現(xiàn)的,該效應(yīng)源于非線性自旋流向電荷流的轉(zhuǎn)換.非線性霍爾電阻與外加電場(chǎng)和磁場(chǎng)成線性比例,并與外加磁場(chǎng)和電場(chǎng)的相對(duì)角度呈余弦關(guān)系,因此可用來探測(cè)自旋紋理.這種非線性平面霍爾效應(yīng)存在于非中心對(duì)稱的材料中.最近,Kozuka 等[96]于室溫下在中心對(duì)稱的狄拉克半金屬SrIrO3薄膜中也觀察到非線性平面霍爾效應(yīng),與在Bi2Se3上觀察到的結(jié)果一致[15,78].Kozuka等將這種現(xiàn)象歸結(jié)為界面上的反對(duì)稱自旋軌道相互作用引起的動(dòng)量相關(guān)的自旋分裂,這會(huì)進(jìn)一步導(dǎo)致兩個(gè)狄拉克帶中出現(xiàn)復(fù)雜的自旋紋理.因此,雙線性的磁電效應(yīng)可以用于捕獲復(fù)雜的自旋紋理[96],并在不同的鏡面對(duì)稱性下表現(xiàn)出各向異性的非線性平面霍爾效應(yīng)[96,97].這也表明:在界面上具有強(qiáng)自旋軌道相互作用的材料中,通過打破局部反轉(zhuǎn)對(duì)稱性便可引起非線性自旋電荷的轉(zhuǎn)換.Li 等[98]在室溫下于InSb/CdTe 異質(zhì)結(jié)構(gòu)中研究了由界面Rashba 自旋軌道耦合引起的非互易磁輸運(yùn)現(xiàn)象,同樣測(cè)得與平面角度呈余弦關(guān)系的非線性平面霍爾電阻.

最近,人們?cè)诖沤^緣體/拓?fù)浣^緣體異質(zhì)結(jié)構(gòu)中也觀察到了非線性平面霍爾效應(yīng)[99].初步的研究表明:該效應(yīng)與拓?fù)浣^緣體表面態(tài)中磁近鄰效應(yīng)誘導(dǎo)的交換能隙和平面外的自旋紋理有關(guān),可用于探測(cè)磁絕緣體/拓?fù)浣^緣體異質(zhì)結(jié)構(gòu)中磁近鄰效應(yīng).在不同襯底上的薄膜中,實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的二次諧波霍爾電阻對(duì)磁場(chǎng)B呈現(xiàn)出顯著不同的響應(yīng),具體表現(xiàn)為:1) 在Tm3Fe5O12和Y3Fe5O12/Bi2Se3樣品中測(cè)得的非線性平面霍爾的幅值比在Gd3Ga5O12/Bi2Se3樣品中測(cè)得的要大1 個(gè)數(shù)量級(jí);2) Tm3Fe5O12/Bi2Se3的非線性霍爾電阻與面內(nèi)磁場(chǎng)呈線性相關(guān),而Y3Fe5O12/Bi2Se3的非線性霍爾電阻除了與磁場(chǎng)呈線性依賴之外,在零場(chǎng)附近有一個(gè)額外的磁滯回線.雖然上述實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象可通過翹曲效應(yīng)和電子-空穴不對(duì)稱誘導(dǎo)的非線性平面霍爾效應(yīng)機(jī)制進(jìn)行解釋[15,79],但是都無(wú)法解釋在Tm3Fe5O12和Y3Fe5O12/Bi2Se3樣品中非線性平面霍爾效應(yīng)大小的增強(qiáng).與磁相關(guān)的機(jī)制是磁振子的散射機(jī)制[82,83],該機(jī)制可以解釋Y3Fe5O12/Bi2Se3在零場(chǎng)附近的磁滯回線,但在Tm3Fe5O12/Bi2Se3樣品中磁振子沿z方向極化,無(wú)法參與自旋面內(nèi)極化的表面態(tài)電子的散射過程.因此,磁振子散射機(jī)制也無(wú)法同時(shí)解釋兩種磁性襯底的結(jié)果.目前仍無(wú)可靠的理論機(jī)制對(duì)其進(jìn)行統(tǒng)一解釋,需進(jìn)一步進(jìn)行實(shí)驗(yàn)和理論研究來揭示其潛在機(jī)制.

目前,線性平面霍爾效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)研究已經(jīng)取得重大進(jìn)展,這也推動(dòng)著人們更進(jìn)一步地研究非線性平面霍爾效應(yīng).雖然非線性平面霍爾效應(yīng)的相關(guān)實(shí)驗(yàn)較少,但我們可以從非線性磁電阻的角度入手.當(dāng)非線性磁電阻存在各向異性時(shí),理論研究表明也可能存在非線性平面霍爾效應(yīng),這在一定程度上也能推動(dòng)相關(guān)實(shí)驗(yàn)的進(jìn)展.

5 總結(jié)與展望

本文介紹了平面霍爾效應(yīng)的若干物理機(jī)制,并總結(jié)了最新的實(shí)驗(yàn)進(jìn)展.可以發(fā)現(xiàn),對(duì)于線性平面霍爾效應(yīng)而言,實(shí)驗(yàn)與理論的結(jié)合已經(jīng)取得了重大的進(jìn)展,在眾多拓?fù)洳牧现杏^測(cè)到的PHE,大多數(shù)都能和理論結(jié)合在一起.但是對(duì)于線性PHE 更進(jìn)一步的理論研究,如帶間度規(guī)項(xiàng)或是類手征反常項(xiàng)的貢獻(xiàn),亦或是未知機(jī)制與現(xiàn)有機(jī)制的相互競(jìng)爭(zhēng)作用,還有待進(jìn)一步的探究.

對(duì)于非線性平面霍爾效應(yīng)而言,在給定外加電流(或電場(chǎng))的情況下,霍爾電壓與平面內(nèi)的磁場(chǎng)相對(duì)于電流的角度θB呈現(xiàn)出余弦關(guān)系.部分研究表明,在弱磁場(chǎng)時(shí),霍爾電阻與磁場(chǎng)強(qiáng)度呈線性關(guān)系;也有研究表明,在反鐵磁襯底上,霍爾電阻在零磁場(chǎng)附近出現(xiàn)了磁滯回線,并且在弱磁場(chǎng)時(shí)隨著磁場(chǎng)的增大而增強(qiáng),但這種增幅并不遵循線性規(guī)律.不同的是,所有實(shí)驗(yàn)在強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)均得到了非線性的關(guān)系,但其理論機(jī)制還有待進(jìn)一步研究.

目前,現(xiàn)有的理論仍無(wú)法完美地解釋實(shí)驗(yàn)上的各種現(xiàn)象,這意味著理論工作還需不斷發(fā)展和完善.目前最大的問題是同一系統(tǒng)中存在多種物理機(jī)制,如何將多種機(jī)制統(tǒng)一成一套完善的理論是當(dāng)下值得探討的問題.此外,上述理論機(jī)制均在半經(jīng)典理論的框架下進(jìn)行,所得到的非線性平面霍爾效應(yīng)主要為帶內(nèi)貢獻(xiàn)(如非線性Drude 貢獻(xiàn)、貝里偶極子、貝里聯(lián)絡(luò)極化),是否存在帶間貢獻(xiàn)(如注入電流、位移電流)? 這也是值得研究者們深入探討的一個(gè)問題.最近,人們?cè)谌S拓?fù)浒虢饘僦邪l(fā)現(xiàn)了由類手征反常[70]、洛倫茲力[100]所導(dǎo)致的線性平面霍爾效應(yīng).那么,三維拓?fù)浒虢饘僦惺欠褚泊嬖谙鄳?yīng)機(jī)制的非線性平面霍爾效應(yīng)? 這還有待進(jìn)一步研究和探討.

總而言之,平面霍爾效應(yīng)理論推動(dòng)了量子輸運(yùn)和拓?fù)湮锢淼难芯?也為電子器件的制備提供了很多有趣的應(yīng)用前景.非線性平面霍爾效應(yīng)的概念已經(jīng)在大量的實(shí)驗(yàn)中得到了驗(yàn)證.在理論方面,我們急需應(yīng)對(duì)的是對(duì)其物理機(jī)制的全面理解,這些研究不僅能夠促進(jìn)實(shí)驗(yàn)的進(jìn)展,還能夠加速非線性平面霍爾效應(yīng)的應(yīng)用進(jìn)程.