準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式壓電低頻振動能量采集方法1)

陳婷婷 王 凱,,2) 成 利 周加喜,)

* (湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院,長沙 410082)

? (香港理工大學(xué)機(jī)械工程系,香港 999077)

引言

壓電材料因其可實(shí)現(xiàn)機(jī)械能和電能互換的特性,受到工程應(yīng)用及科研人員的重視,被廣泛應(yīng)用于健康監(jiān)測、計(jì)量元件的傳感結(jié)構(gòu)及損傷探測等領(lǐng)域[1-4].從環(huán)境振動、機(jī)械振動或者人體運(yùn)動中采集能量,將其轉(zhuǎn)化為電能可以極大滿足傳感器自主供電的環(huán)保要求和經(jīng)濟(jì)需求[5-6].近些年來由于微電子及物聯(lián)網(wǎng)的高速發(fā)展,對μW/mW 級的電能應(yīng)用場景逐漸增多,因此將壓電材料用于能量俘獲并應(yīng)用于傳感器自供能設(shè)計(jì)也得到極大的關(guān)注[7-10].壓電俘能材料根據(jù)外力加載方向的不同,可以分為d33 和d31 兩種模式,d33 模式是施加的外力方向平行于壓電材料極化方向;而d31 模式是施加的外力方向垂直于壓電材料極化方向.其中,d33 模式更適用于高頻能量俘獲,而d31 模式一般由組合梁的方式呈現(xiàn),更適合于中低頻段能量俘獲[11],同時后者俘能結(jié)構(gòu)因可設(shè)計(jì)性更強(qiáng),得到更加廣泛的研究.

懸臂梁結(jié)構(gòu)是最常見的壓電俘能方式,Sun 等[12]綜述了超低頻振動能量采集的研究情況,其中懸臂梁式的壓電能量采集結(jié)構(gòu)在文中占了很重要的篇幅.傳統(tǒng)的線性懸臂梁壓電俘能器利用結(jié)構(gòu)共振獲取高效振動能量俘獲,但其工作頻帶窄,且必須要匹配到其共振頻率時才能實(shí)現(xiàn)高效俘能.因此,簡單的線性懸臂梁壓電俘能裝置因其低頻振動能量轉(zhuǎn)化效率較低、俘能頻帶較窄而難以勝任復(fù)雜環(huán)境的能量俘獲.為解決線性懸臂梁壓電俘能方法的局限性,研究人員設(shè)計(jì)了頻率可調(diào)[13-14]的壓電能量采集器來增加其實(shí)用性.為拓寬壓電俘能器的有效工作頻帶,研究人員在梁上加裝多個質(zhì)量塊構(gòu)造多模態(tài)懸臂梁[15-17],實(shí)現(xiàn)了振動能量高效俘獲頻帶的成倍拓寬.在提高能量轉(zhuǎn)化效率方面,利用多段懸臂梁協(xié)同工作,可以明顯提升能量采集系統(tǒng)的俘能效率[18].此外,Zou 等[19]構(gòu)建了機(jī)械調(diào)制能量采集方法體系,從激勵形式轉(zhuǎn)換、升頻與力和運(yùn)動放大等3 方面提高機(jī)械能量采集系統(tǒng)性能.但是,對于傳統(tǒng)線性共振型壓電能量采集系統(tǒng)而言,面臨著承載能力和低固有頻率之間的矛盾,難以實(shí)現(xiàn)低頻,甚至超低頻振動能量高效俘獲.

為克服線性共振型壓電能量采集方法在低頻振動能量高效俘獲方面的局限性,研究人員發(fā)展了非線性多穩(wěn)態(tài)振動能量俘獲方法,并迅速獲得極大的關(guān)注.例如,Liao 等[20]利用流體誘導(dǎo)振動設(shè)計(jì)了一種雙穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器(BS-PEH),其研究結(jié)果表明所提出的振動能量采集方法能夠明顯提高能量采集功率密度.Feng 等[21]提出了一種仿生雙穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器,并證明了其在寬頻振動能量俘獲方面的優(yōu)勢.Wang 等[22]也設(shè)計(jì)了一種基于彈簧的雙穩(wěn)態(tài)能量收集器(SBEH),并證明了其從不同低頻振動環(huán)境中俘能的能力.Zhou 等[23]受鳥類雙翅飛行機(jī)理的啟發(fā),提出一種新型仿生雙翅壓電能量采集器(BDEH),用于采集低頻振動能量.多穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)由于其運(yùn)動形式更加豐富,將其與壓電材料結(jié)合用于振動能量俘獲受到很多學(xué)者的關(guān)注和研究.Fang 等[24]綜述了多穩(wěn)態(tài)效應(yīng)特點(diǎn)及其在能量采集等多方面的應(yīng)用.以三穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)為例,其結(jié)構(gòu)有3 個對稱的勢能阱,且勢能阱的深度要比雙穩(wěn)態(tài)淺,寬度要比雙穩(wěn)態(tài)寬,因此能實(shí)現(xiàn)較低強(qiáng)度下更寬頻的振動能量采集.Zhou 等[25]探究了非對稱的三穩(wěn)態(tài)能量采集器的動力學(xué)行為以期能提高三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器的俘能效果.聶欣等[26]研究了窄帶隨機(jī)激勵下三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器,并且通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器在隨機(jī)振動能量俘獲方面的優(yōu)越性.

但是,不論是雙穩(wěn)態(tài)還是三穩(wěn)態(tài)等多穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),都難以擺脫勢能阱和勢壘的束縛,即只有當(dāng)系統(tǒng)跨越勢壘時才能產(chǎn)生較大的動力學(xué)響應(yīng)幅值,從而實(shí)現(xiàn)振動能量的高效俘獲.為克服勢壘對低頻振動能量高效俘獲的限制,Chen 等[27]設(shè)計(jì)了一種有自減勢壘效應(yīng)的雙穩(wěn)態(tài)能量收集器,采用彈簧磁振子對懸臂梁進(jìn)行雙向糾偏,使勢壘在返回平衡位置時動態(tài)降低;而當(dāng)遠(yuǎn)離平衡位置時,勢能增強(qiáng),實(shí)現(xiàn)了16.17 Hz的超寬高效率振動能量采集頻帶.鄭友成等[28]設(shè)計(jì)了一種線性放大與非線性磁力復(fù)合增強(qiáng)的三穩(wěn)態(tài)壓電俘能裝置,可以減小低能軌道到高能軌道所需的激發(fā)能量,同時還拓寬了阱間運(yùn)動的頻率范圍.

雖然研究人員在線性共振型壓電能量采集方法和非線性多穩(wěn)態(tài)壓電能量采集方法方面進(jìn)行了諸多研究,但要想實(shí)現(xiàn)低頻小振幅振動能量高效采集,尤其是在10 Hz 以下的超低頻俘能,還存在一定困難.鑒于此,本文提出了一種準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式壓電能量采集裝置.其中,壓電復(fù)合梁結(jié)合連桿形成負(fù)剛度機(jī)構(gòu),并在靜平衡位置處與正剛度相互抵消,使能量采集系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度特性.本文首先通過能量法求出機(jī)電耦合方程,并通過多項(xiàng)式對系統(tǒng)非線性回復(fù)力進(jìn)行擬合,結(jié)合諧波平衡法,推導(dǎo)動力學(xué)響應(yīng)與電學(xué)輸出的解析幅頻響應(yīng)方程.制備實(shí)驗(yàn)樣機(jī),搭建了實(shí)驗(yàn)測試平臺,驗(yàn)證了理論分析結(jié)果.本研究有望為低頻小振幅振動能量采集提供新思路.

1 模型設(shè)計(jì)及力學(xué)分析

1.1 模型及能量采集單元力學(xué)分析

圖1 展示了準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式壓電俘能裝置模型圖,整個裝置由一個底板、4 根導(dǎo)柱、兩根壓電復(fù)合梁和一個線性彈簧組成.壓電俘能裝置的結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖1 所示,其中基梁長113 mm,壓電薄膜長85 mm,基梁和壓電膜的寬度均為10 mm,連桿的長度b=25 mm.當(dāng)壓電復(fù)合梁處于自由狀態(tài)時,連桿傾斜,所對應(yīng)的水平距離a=17 mm.當(dāng)將附加質(zhì)量置于準(zhǔn)零剛度俘能系統(tǒng)時,系統(tǒng)處于靜平衡位置(連桿處于水平位置),壓電復(fù)合梁具有最大跨中撓度.此時,壓電復(fù)合梁同連桿共同組成俘能系統(tǒng)的負(fù)剛度機(jī)構(gòu),抵消正剛度彈簧的剛度值.當(dāng)系統(tǒng)受到外部激勵時,附加質(zhì)量向上或向下移動,當(dāng)附加質(zhì)量到達(dá)最高或者最低點(diǎn)后再回到平衡位置時,系統(tǒng)完成了半個運(yùn)動周期,此時壓電復(fù)合梁完成一個運(yùn)動周期.因此,準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集系統(tǒng)的電學(xué)輸出頻率是準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)頻率的兩倍.

圖1 俘能裝置結(jié)構(gòu)模型圖Fig.1 Structure model diagram of energy harvesting device

對壓電復(fù)合梁進(jìn)行力學(xué)分析,其模型示意圖以及局部坐標(biāo)系如圖2 所示.圖2(a)中L表示基梁的長度,Lp表示壓電膜的長度,H(t)表示壓電復(fù)合梁的跨中撓度.其中,黑色虛線表示復(fù)合梁在受集中力作用后,發(fā)生彎曲變形的形狀.圖2(b)展示了壓電復(fù)合梁的橫截面圖,其中db和hb分別代表梁的寬度和厚度,dp和hp分別代表壓電膜的寬度和厚度.

圖2 復(fù)合梁模型及其截面圖Fig.2 Composite beam model and its cross section

研究人員發(fā)現(xiàn),對于受跨中集中力作用的簡支梁而言,其撓曲線可以用半正弦波函數(shù)進(jìn)行近似描述[29-30],即復(fù)合梁的撓曲線方程可表示為

式中,H(t)是復(fù)合梁的跨中撓度,其表達(dá)式為

其中X(t)表示準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的位移響應(yīng).根據(jù)復(fù)合梁的撓曲線方程,梁的應(yīng)變與應(yīng)力方程可由系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)表示為

其中Yb表示梁的楊氏模量.假設(shè)壓電薄膜的應(yīng)變等于其與基體梁結(jié)合處基體梁表面的應(yīng)變,則壓電薄膜的應(yīng)變可以表示為

對于本文所研究的壓電片,其簡化本構(gòu)方程可寫為[31]

式中,σp是壓電膜的應(yīng)力,Yp是壓電膜的楊氏模量,e31為壓電片的應(yīng)力常數(shù),E3為電場強(qiáng)度,D3為電位移,η33為恒定應(yīng)變下的介電常數(shù).在均勻電場強(qiáng)度下,電場強(qiáng)度E3和電壓之間的關(guān)系可表達(dá)為

則壓電薄膜輸出的電流為

式中Ap是壓電膜的橫截面積.將式(5)、式(7)和式(8)代入式(9),電流方程可表示為

其中(t)和(t)分別表示壓電薄膜輸出電壓以及能量采集系統(tǒng)位移響應(yīng)對時間的導(dǎo)數(shù),若將壓電薄膜的等效電容引入式(10),即

則壓電薄膜的輸出電壓可改寫為

若假設(shè)壓電復(fù)合梁在其跨中有虛位移 δH,基體梁與壓電薄膜的虛應(yīng)變分別為 δεb與 δεp,此時壓電復(fù)合梁的虛應(yīng)變能可表示為

式中,Ab是基體梁的橫截面積,將式(3)、式(6)和式(8)代入到式(13),復(fù)合梁的整體虛應(yīng)變能可表示為

當(dāng)在壓電復(fù)合梁跨中處作用一定位移后,假設(shè)壓電復(fù)合梁提供的回復(fù)力為Fmid,根據(jù)虛功原理,復(fù)合梁的虛應(yīng)變能也可表示為

將式(14)代入到式(15),則集中力Fmid可以表示為

顯然,式(16)是一個機(jī)電耦合方程,若引入機(jī)電耦合系數(shù)

以及力學(xué)參數(shù)

壓電復(fù)合梁的電學(xué)回路方程可以表示為

顯然,當(dāng)給定系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)X(t)后,即可由式(19)與式(20)獲得壓電復(fù)合梁的跨中回復(fù)力以及能量轉(zhuǎn)化單元的電學(xué)回路方程.

1.2 系統(tǒng)的動力學(xué)分析

對準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式壓電能量采集系統(tǒng)而言,當(dāng)系統(tǒng)在豎直方向上運(yùn)動位移為X(t)時,其系統(tǒng)回復(fù)力可以表示為

式中,K表示豎直彈簧的剛度,θ表達(dá)當(dāng)系統(tǒng)偏離靜平衡位置X后連桿與水平線的夾角.將式(21)對位移X求導(dǎo),則準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式壓電能量采集系統(tǒng)的非線性剛度可以表示為

為獲得準(zhǔn)零剛度特性,假設(shè)在靜平衡位置處能量采集器的剛度值等于0,此時系統(tǒng)的響應(yīng)位移為0,進(jìn)而壓電薄膜的輸出電壓也為0,即

由式(23)可以得出,系統(tǒng)的準(zhǔn)零剛度條件為

將式(24)代入式(21),則具有準(zhǔn)零剛度特性的壓電能量采集器回復(fù)力表達(dá)式可以表示為

當(dāng)給定系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)以及電學(xué)響應(yīng)后,由式(25)即可獲得系統(tǒng)的回復(fù)力值.在基礎(chǔ)激勵U=U0cos(ωt)(式 中U0表示位移幅值,ω表示頻率)作用下,能量采集器的機(jī)電耦合動力學(xué)方程為

式中,M表示能量采集器質(zhì)量塊的質(zhì)量,C表示線性黏性阻尼系數(shù).

由于兩根壓電復(fù)合梁始終處于相同的變形狀態(tài),所以兩片壓電薄膜具有相同的電學(xué)輸出.若考慮外接電阻R,則由歐姆定律可知能量采集器的電學(xué)回路方程為

將式(27)代入式(20),則能量采集器的第2 個機(jī)電耦合方程可以表示為

以及

對于給定的外激勵頻率和外激勵幅值,通過求解式(29)和式(30)即可獲得能量采集器的動力學(xué)響應(yīng)和電學(xué)輸出.

1.3 機(jī)電響應(yīng)的解析表達(dá)

為獲得準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式壓電能量采集系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)與電學(xué)輸出的解析表達(dá)式,首先給出其在靜平衡位置處的回復(fù)力表達(dá)式

對回復(fù)力在靜平衡位置處進(jìn)行三階泰勒展開,即

對于準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)而言,其剛度值在靜平衡位置處等于0,即 κ1=0.

同時將機(jī)電耦合方程中機(jī)電耦合系數(shù)

在靜平衡位置處用泰勒級數(shù)展開,其三階展開表達(dá)式為

準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式壓電能量采集系統(tǒng)的回復(fù)力和機(jī)電耦合系數(shù)的原始表達(dá)式和多項(xiàng)式擬合對比如圖3 所示,其中黑色和紅色實(shí)線分別代表由精確表達(dá)式獲得的回復(fù)力和機(jī)電耦合系數(shù)曲線,而藍(lán)色米字和黃色星星分別表示由多項(xiàng)式擬合得到的回復(fù)力和機(jī)電耦合系數(shù)曲線.顯然,無論是回復(fù)力還是機(jī)電耦合系數(shù),其由精確表達(dá)式獲得的曲線能夠與由多項(xiàng)式擬合表達(dá)式獲得的曲線在設(shè)計(jì)使用范圍內(nèi)較好吻合,換言之,3 階泰勒展開表達(dá)式能夠表征能量采集系統(tǒng)的回復(fù)力和機(jī)電耦合特性,能夠用于推導(dǎo)機(jī)電響應(yīng)的解析表達(dá)式.

圖3 回復(fù)力和機(jī)電耦合系數(shù)的原函數(shù)和擬合函數(shù)圖(γ=1.562 5,θ=0.21,A=0.17,B=0.25)Fig.3 The original function and polynomial approximation diagram of restoring force and electromechanical coupling coefficient (γ=1.562 5,θ=0.21,A=0.17,B=0.25)

將式(32)與式(35)代入式(29)與式(30),準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式壓電能量采集系統(tǒng)的機(jī)電耦合動力學(xué)方程可以改寫為

從能量俘獲單元的俘能原理分析可知,準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式壓電能量采集系統(tǒng)的位移響應(yīng)頻率等于激勵頻率,而電學(xué)響應(yīng)頻率是外激勵頻率的二倍.因此,假設(shè)系統(tǒng)的位移響應(yīng)和電學(xué)響應(yīng)的表達(dá)式為

其中 ?1和 ?2分別表示力學(xué)響應(yīng)和電學(xué)響應(yīng)的相位.將式(38)代入式(36),并令左右兩邊相同諧波的系數(shù)相等,可以得到

將式(38)代入到式(37)中,使兩邊諧波相等的各項(xiàng)系數(shù)和相等,可以得到

結(jié)合式(41)可以得出 cos(2?1-?2)和 sin(2?1-?2)異號,結(jié)合式(4 2)可以得到 cos(2?1-?2)>0,sin(2?1-?2)<0.同時將式cos2(2?1-?2)=1-sin2(2?1-?2)代入到式(41),可以解得

將式(43)、式(44)代入到式(42)中,可以得到

將式(43)～式(45)代入到式(39)和式(40)中,可得到準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)方程

此外,由式(45)可得出A12和B1的關(guān)系

將式(47)代入式(46),即可獲得準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集系統(tǒng)電學(xué)輸出的幅頻響應(yīng)方程.對于給定的外激勵頻率與幅值,由力學(xué)與電學(xué)幅頻響應(yīng)方程即可獲得系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)與電學(xué)輸出,并評估系統(tǒng)在低頻振動能量采集方面的優(yōu)勢.

2 結(jié)果比對與參數(shù)分析

2.1 數(shù)值結(jié)果與解析解結(jié)果比對

準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集系統(tǒng)的位移幅頻響應(yīng)曲線與電學(xué)輸出幅頻響應(yīng)曲線如圖4 所示,其中黑色實(shí)線表示由解析表達(dá)式獲得的結(jié)果,紅色正六邊形表示數(shù)值解正向掃頻結(jié)果,藍(lán)色十字表示數(shù)值解逆向掃頻結(jié)果.如圖4(a)所示,準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集系統(tǒng)的解析位移幅頻響應(yīng)曲線與通過直接求解系統(tǒng)機(jī)電耦合動力學(xué)方程獲得的數(shù)值位移幅頻響應(yīng)曲線具有較高的一致性: 在下跳頻率之前的低頻范圍以及在下跳頻率之后的高頻范圍內(nèi),由解析表達(dá)式獲得的系統(tǒng)動力學(xué)幅頻響應(yīng)曲線與由數(shù)值求解系統(tǒng)機(jī)電耦合方程獲得的數(shù)值解完全一致,曲線相互重疊;數(shù)值幅頻響應(yīng)曲線的下跳頻率高于解析幅頻響應(yīng)曲線的下跳頻率,且數(shù)值幅頻響應(yīng)曲線在下跳頻率處所對應(yīng)的位移響應(yīng)幅值略高于解析幅頻響應(yīng)曲線下跳頻率所對應(yīng)的幅值,主要原因?yàn)楫?dāng)使用諧波平衡法推導(dǎo)系統(tǒng)機(jī)電響應(yīng)時對系統(tǒng)的回復(fù)力與機(jī)電耦合力進(jìn)行多項(xiàng)式擬合,產(chǎn)生擬合誤差.此外,在推導(dǎo)系統(tǒng)機(jī)電響應(yīng)的解析表達(dá)式時,舍去了機(jī)電響應(yīng)的高階諧波項(xiàng),導(dǎo)致由解析表達(dá)式獲得的系統(tǒng)響應(yīng)幅值略小于由求解原始機(jī)電耦合方程所獲得的數(shù)值結(jié)果.

圖4 數(shù)值結(jié)果與解析解結(jié)果對比(γ=1.562 5,ζ=0.055,ρ=2,θ=0.21,u0=0.03)Fig.4 Comparison of numerical results and analytical results(γ=1.562 5,ζ=0.055,ρ=2,θ=0.21,u0=0.03)

圖4(b)為準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集系統(tǒng)輸出電壓的幅頻響應(yīng)曲線.顯然,輸出電壓的幅頻響應(yīng)曲線與如圖4(a)所示的位移幅頻響應(yīng)曲線具有一致性,即在低于下跳頻率與高于下跳頻率的頻率范圍內(nèi),輸出電壓的數(shù)值結(jié)果與由解析表達(dá)式獲得的理論結(jié)果相互吻合,但是數(shù)值下跳頻率略高于解析下跳頻率,且數(shù)值下跳頻率對應(yīng)的電壓幅值略高于解析下跳頻率對應(yīng)的電壓幅值.實(shí)際上,電學(xué)響應(yīng)與位移響應(yīng)的一致性主要是因?yàn)闇?zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)化單元(壓電復(fù)合梁)由準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)進(jìn)行驅(qū)動,其形變與系統(tǒng)的位移響應(yīng)嚴(yán)格相關(guān).換句話說,當(dāng)準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)幅值較大時,壓電復(fù)合梁產(chǎn)生較大的跨中撓度,進(jìn)而使壓電薄膜產(chǎn)生較大應(yīng)變并輸出較大電壓.綜上所述,由諧波平衡法獲得的解析表達(dá)式能夠用于計(jì)算準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)與電學(xué)輸出,以快速評估系統(tǒng)的機(jī)電性能.

2.2 參數(shù)分析

2.2.1 阻尼比的影響

本文所提出的準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集系統(tǒng)不可避免地存在著機(jī)械摩擦與結(jié)構(gòu)阻尼.本節(jié)通過改變系統(tǒng)阻尼比,并結(jié)合動力學(xué)響應(yīng)與電學(xué)輸出的解析表達(dá)式,定性分析機(jī)械摩擦與結(jié)構(gòu)阻尼對系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)與電學(xué)輸出特性的影響,如圖5 所示.顯然,當(dāng)阻尼比從0.045 增大至0.065 時,準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集系統(tǒng)在外激勵頻率小于下跳頻率的頻率范圍內(nèi)動力學(xué)響應(yīng)幅值逐漸減小,下跳頻率向低頻移動,具有大位移響應(yīng)幅值的頻帶變窄,如圖5(a)所示.此外,當(dāng)阻尼比增大至0.06 時,準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集系統(tǒng)位移幅頻響應(yīng)曲線的下跳現(xiàn)象消失;當(dāng)阻尼比增大至0.065 時,準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集系統(tǒng)位移幅頻響應(yīng)曲線無明顯共振現(xiàn)象.需要注意的是,當(dāng)外激勵頻率大于下跳頻率時,無論阻尼系數(shù)如何變化,準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集系統(tǒng)的相對位移響應(yīng)幅值基本等于外激勵幅值,即基礎(chǔ)激勵被準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)隔離,能量采集系統(tǒng)的振動幅值明顯減小.

圖5 阻尼對位移及電壓響應(yīng)的影響(γ=1.562 5,ρ=2,θ=0.21,u0=0.03)Fig.5 Influence of damping on displacement and voltage response(γ=1.562 5,ρ=2,θ=0.21,u0=0.03)

系統(tǒng)阻尼對準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集系統(tǒng)無量綱輸出電壓幅頻響應(yīng)曲線的影響如圖5(b)所示.同位移幅頻響應(yīng)曲線一致,當(dāng)阻尼系數(shù)由0.045 增大至0.065 時,輸出電壓幅值在下跳頻率之前的頻率范圍內(nèi)明顯減小,電壓幅頻響應(yīng)曲線的下跳頻率向低頻范圍內(nèi)移動,準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集系統(tǒng)在低頻范圍內(nèi)的能量采集效率降低,高效能量采集頻帶變窄.當(dāng)阻尼比增大至0.06 時,無量綱輸出電壓幅頻響應(yīng)曲線無明顯共振現(xiàn)象,且隨外激勵頻率增加,輸出電壓保持不變.綜上所述,對于準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集系統(tǒng)而言,減小阻尼比有利于拓寬高效能量采集頻帶并提高振動能量轉(zhuǎn)化效率.

2.2.2 激勵幅值的影響

圖6 表示當(dāng)阻尼比等于0.055 時激勵幅值對動力學(xué)響應(yīng)和電學(xué)輸出幅頻響應(yīng)曲線的影響,其中紅色空心球,藍(lán)色星星,玫紅色四邊形和綠色實(shí)心球形分別代表無量綱激勵幅值為0.02,0.025,0.03 和0.035 時對應(yīng)的動力學(xué)和電學(xué)響應(yīng).從圖6(a)中可以看出,隨著激勵幅值的減小,準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集系統(tǒng)位移幅頻響應(yīng)曲線的下跳頻率向低頻移動,且下跳頻率對應(yīng)的位移幅值明顯增大.當(dāng)無量綱外激勵幅值減小至0.03 時,位移幅頻響應(yīng)曲線的下跳現(xiàn)象消失;當(dāng)外激勵幅值進(jìn)一步降低時,系統(tǒng)再無明顯共振現(xiàn)象,且在高頻區(qū)域內(nèi)位移響應(yīng)幅值隨外激勵頻率的增加而保持不變.

圖6 激勵幅值對位移和輸出電壓響應(yīng)的影響(γ=1.562 5,ζ=0.055,ρ=2,θ=0.21)Fig.6 Influence of excitation amplitude on displacement and output voltage (γ=1.562 5,ζ=0.055,ρ=2,θ=0.21)

外激勵幅值對準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集系統(tǒng)無量綱輸出電壓幅頻響應(yīng)曲線的影響如圖6(b)所示.因能量轉(zhuǎn)化單元的運(yùn)動幅值與準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)嚴(yán)格相關(guān),即壓電薄膜的應(yīng)變隨系統(tǒng)的運(yùn)動位移增大而增大,所以外激勵幅值對輸出電壓幅頻響應(yīng)曲線的影響與對位移幅頻響應(yīng)曲線的影響完全一致.即,當(dāng)外激勵幅值增大后,輸出電壓的下跳頻率向高頻區(qū)域移動,能量采集系統(tǒng)具有更寬的高效能量轉(zhuǎn)化頻帶,且在低頻區(qū)域內(nèi)具有更高的輸出電壓.

3 實(shí)驗(yàn)與討論

為驗(yàn)證機(jī)電耦合動力學(xué)方程以及動力學(xué)與電學(xué)響應(yīng)解析表達(dá)式的正確性,結(jié)合增材制造技術(shù)與數(shù)控加工技術(shù),加工制備了準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集系統(tǒng)樣機(jī),并搭建了實(shí)驗(yàn)測試平臺,實(shí)驗(yàn)樣機(jī)中壓電薄膜的材料與幾何參數(shù)如表1 所示,準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集器的幾何參數(shù)見圖1.

表1 模型的相關(guān)物理參數(shù)Table 1 Relevant parameters of the prototype

圖7 展示了實(shí)驗(yàn)設(shè)備和實(shí)驗(yàn)測試過程.其中,實(shí)驗(yàn)測試平臺主要包括靜電計(jì)(吉時利6514)、激光位移傳感器(LTS-200-100)、激振器(JZK-10)、筆記本電腦、信號發(fā)生器(VT-9008)和功率放大器(YE5874 A)等.實(shí)驗(yàn)中,準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集器(即QZSE-PEH)固定在激振器上,激光位移傳感器置于黑色橫梁上且可左右移動,以測試輸入激勵幅值及能量采集系統(tǒng)的位移響應(yīng).壓電薄膜通過兩根導(dǎo)線與靜電計(jì)相連,以測試能量采集系統(tǒng)在受到外激勵時壓電薄膜的輸出電壓.需要注意的是,因準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集系統(tǒng)左右兩側(cè)壓電復(fù)合梁的幾何屬性、材料屬性以及動力學(xué)響應(yīng)均完全一致,僅需測量一片壓電薄膜的輸出電壓即可獲得另外一片壓電薄膜的電學(xué)輸出.本次實(shí)驗(yàn)所使用靜電計(jì)的內(nèi)阻為200 TΩ,其數(shù)值遠(yuǎn)大于一般電阻元件的電阻值,所以由靜電計(jì)測試得到的輸出電壓可近似認(rèn)為是系統(tǒng)開路電壓.實(shí)驗(yàn)測試條件為在激勵頻率0～8 Hz 范圍內(nèi)進(jìn)行定幅值正弦激勵,單個頻率點(diǎn)駐留時間為2 min.為消除測試誤差,每組實(shí)驗(yàn)都重復(fù)3 次.

圖8 展示了在激勵幅值分別為2 mm,3 mm和3.5 mm 時,準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集系統(tǒng)的絕對位移幅頻響應(yīng)曲線和峰值電壓幅頻響應(yīng)曲線.其中藍(lán)色實(shí)線,綠色實(shí)線和紅色實(shí)線分別代表激勵幅值為3.5 mm,3 mm 和2 mm 時系統(tǒng)的輸出.從圖中可以看出,隨著激勵幅值的增大,系統(tǒng)的絕對位移響應(yīng)逐漸增大.如圖8(b)所示的輸出電壓幅頻響應(yīng)曲線展示出與系統(tǒng)位移幅頻響應(yīng)曲線完全一致的趨勢,即隨著外激勵幅值的增加,能量采集系統(tǒng)的輸出電壓逐漸增大,這與通過數(shù)值求解系統(tǒng)機(jī)電耦合方程獲得的數(shù)值幅頻響應(yīng)曲線以及由解析表達(dá)式獲得的解析幅頻響應(yīng)曲線具有一致性.本文所推導(dǎo)的機(jī)電耦合方程以及解析表達(dá)式可用于評估能量采集系統(tǒng)的能量采集性能.

圖8 不同激勵幅值下絕對位移響應(yīng)與峰值電壓的輸出結(jié)果Fig.8 Output results of absolute displacement response and peak voltage under different excitation amplitudes

為進(jìn)一步觀察位移響應(yīng)和輸出電壓響應(yīng)的細(xì)節(jié)情況,圖9 展示了在2.5 Hz 時絕對位移響應(yīng)和輸出電壓響應(yīng)的時域圖.圖9(a)、圖9(b)和圖9(c)分別展示了激勵幅值為2 mm,3 mm 和3.5 mm 時輸入幅值(input)與響應(yīng)幅值(output)的情況,其中黑色實(shí)線表示輸入激勵幅值,紅色、綠色及藍(lán)色短點(diǎn)畫線分別表示激勵幅值為2/3/3.5 mm 時位移響應(yīng)的幅值.顯然,準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集系統(tǒng)的絕對位移響應(yīng)具有與輸入激勵完全一致的頻率.激勵幅值越大,對應(yīng)的輸出響應(yīng)也越大.圖9(d)展示了激勵幅值為2 mm,3 mm 和3.5 mm 時能量采集系統(tǒng)的開路電壓時域響應(yīng)曲線,分別用紅色實(shí)線、綠色雙畫線、藍(lán)色點(diǎn)畫線表示.可以看出隨著激勵幅值的增大,對應(yīng)的開路電壓響應(yīng)的值也越大.在激勵幅值等于3.5 mm 時,系統(tǒng)開路電壓峰值達(dá)到最大值25 V.需要注意的是,準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集系統(tǒng)輸出電壓的頻率為基礎(chǔ)激勵頻率以及系統(tǒng)絕對位移響應(yīng)頻率的兩倍,這與準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集系統(tǒng)工作原理分析結(jié)果一致.此外,當(dāng)壓電薄膜只受到單邊彎矩且無電荷泄露時,其輸出電壓表現(xiàn)為單方向.文獻(xiàn)[32-33]中給出了解釋,即只有當(dāng)電壓表的內(nèi)阻大于臨界有效值時,測得的電壓才能與理論分析中的一致.

圖9 在2.5 Hz 時,不同激勵幅值的位移時域響應(yīng)曲線Fig.9 The displacement time-domain response curve with different excitation amplitude at 2.5 Hz

4 結(jié)論

本文針對傳統(tǒng)線性共振型振動能量采集方法以及非線性多穩(wěn)態(tài)振動能量俘獲方法難以實(shí)現(xiàn)低頻小幅值工況下振動能量的高效俘獲難題,創(chuàng)新設(shè)計(jì)了一種由準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)驅(qū)動能量轉(zhuǎn)化單元實(shí)現(xiàn)大幅值運(yùn)動響應(yīng)的準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式壓電能量采集系統(tǒng).因能量轉(zhuǎn)化單元為構(gòu)成準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的一部分,所以其高效能量采集頻率與頻帶不依賴于能量轉(zhuǎn)化單元的固頻,而是與準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)嚴(yán)格相關(guān),克服了傳統(tǒng)線性共振型能量采集難以實(shí)現(xiàn)低頻俘能的難題.另外,準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集系統(tǒng)在靜平衡位置處剛度等于零,在靜平衡位置附近趨近于零,能夠在低頻小幅值工況下實(shí)現(xiàn)較大動力學(xué)響應(yīng),進(jìn)而驅(qū)動能量轉(zhuǎn)化單元實(shí)現(xiàn)振動能量高效采集.本文首先用能量法獲得機(jī)電耦合動力學(xué)方程,再結(jié)合諧波平衡法推導(dǎo)出動力學(xué)響應(yīng)與電學(xué)輸出的解析解.對比數(shù)值幅頻響應(yīng)曲線與解析幅頻響應(yīng)曲線發(fā)現(xiàn),數(shù)值解與解析解結(jié)果相互吻合.進(jìn)一步分析了系統(tǒng)阻尼系數(shù)與外激勵幅值對準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集系統(tǒng)動力學(xué)與電學(xué)輸出的影響,并加工制備了能量采集系統(tǒng)樣機(jī),搭建了實(shí)驗(yàn)測試平臺進(jìn)行驗(yàn)證.研究結(jié)果顯示,當(dāng)外激勵頻率等于2.5 Hz、激勵幅值等于3.5 mm 時,所提出的準(zhǔn)零剛度驅(qū)動式能量采集系統(tǒng)能夠產(chǎn)生25 V 的輸出電壓.本文研究成果有望進(jìn)一步夯實(shí)低頻振動能量采集理論,為低頻小幅值振動能量采集提供新思路.