在轉(zhuǎn)化中融會貫通 在探究中深度理解
——以北師大版數(shù)學(xué)五年級（上冊）“打掃衛(wèi)生”一課的教學(xué)為例

文/白 靈

學(xué)生面對的各種數(shù)學(xué)問題可以簡單地分為兩類：一類是直接運用已有知識便可順利解答的問題；另一類是不能直接運用已有知識解答的問題。對于后者，學(xué)生往往需要不斷轉(zhuǎn)化形式，把它歸結(jié)為能夠解決的問題，這就是轉(zhuǎn)化思想。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生需要掌握小數(shù)除法的計算方法，提高應(yīng)用四則運算解決實際問題的能力，達到對算理的深度理解。

一、課前思考

小數(shù)除法可以解決整數(shù)除法中不能解決的問題，而除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法又是學(xué)習(xí)小數(shù)除法的基礎(chǔ)。這部分內(nèi)容的基本教學(xué)思路是讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀運算到算法運算的探索過程，也就是從借助小數(shù)的現(xiàn)實模型“元、角、分”進行直觀運算，過渡到脫離直觀進行豎式運算。豎式計算的探索能幫助學(xué)生深刻感悟從未知轉(zhuǎn)化為已知的思維方式，因此本節(jié)課的關(guān)鍵詞為“轉(zhuǎn)化”。那么，如何把除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法呢？如何借助直觀現(xiàn)實模型，讓學(xué)生理解除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法可以轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法來進行計算呢？如何讓學(xué)生最終達到理解除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的算理，掌握除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的算法呢？

二、教材分析

“打掃衛(wèi)生”是北師大版數(shù)學(xué)五年級（上冊）第一單元“小數(shù)除法”的第二課，主要研究小數(shù)除以整數(shù)，除到被除數(shù)末尾有余數(shù)需要添0 后繼續(xù)除，以及整數(shù)除法中含有余數(shù)，能夠繼續(xù)除的問題。這部分內(nèi)容的教學(xué)主要是引導(dǎo)學(xué)生探索除數(shù)是整數(shù)，需要在余數(shù)中補0 的小數(shù)除法的計算方法，并結(jié)合“元、角、分”的背景理解補0 的意義。

針對本節(jié)課的內(nèi)容，北師大版教材結(jié)合問題解決的過程安排了三個問題：（1）解答“18.9÷6”，借助元、角、分的生活經(jīng)驗和前一節(jié)課的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，理解小數(shù)除法的計算過程；（2）借助元、角、分理解小數(shù)除法豎式計算的過程，理解算理，解決余數(shù)補0 的問題；（3）動態(tài)呈現(xiàn)學(xué)生解答“26÷4”的學(xué)習(xí)過程，解決整數(shù)除法中含有余數(shù)，如何繼續(xù)除下去的問題。

三、學(xué)情分析

“打掃衛(wèi)生”一課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了解決除到被除數(shù)的末尾無余數(shù)，商不需要補0 的情況后進行學(xué)習(xí)的。前一節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了知識基礎(chǔ)和活動經(jīng)驗，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

學(xué)習(xí)本節(jié)課時，由于對算理理解不深刻，學(xué)生經(jīng)常會把商的小數(shù)點點錯位置或漏點，對“商的小數(shù)點要與被除數(shù)的小數(shù)點對齊”這一知識點也是機械套用，似懂非懂。為突破此難點，在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生弄清楚關(guān)鍵問題：在小數(shù)除法中，商包含整數(shù)部分和小數(shù)部分，商的整數(shù)部分就是被除數(shù)除以除數(shù)的整數(shù)部分的結(jié)果，是已學(xué)過的整數(shù)除法，所以商的小數(shù)點要與被除數(shù)的小數(shù)點對齊；商的小數(shù)部分是余數(shù)部分除以除數(shù)所得的結(jié)果，計算的策略仍沿襲整數(shù)除法的策略，即高一級的計數(shù)單位不夠除時，就要對計數(shù)單位細分，轉(zhuǎn)化為低一級的計數(shù)單位繼續(xù)除，直至得到結(jié)果。所以，小數(shù)點的作用就是指出個位的位置。

四、學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）結(jié)合情境，探索除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法（被除數(shù)需要補0 后繼續(xù)除）的計算方法，并能正確進行豎式計算。（2）借助已有知識，理解在余數(shù)中補0 的意義，滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。（3）在解決簡單問題的過程中，能結(jié)合具體情境進行小數(shù)除法的估算。

五、教學(xué)重點

引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握小數(shù)除以整數(shù)（除到被除數(shù)末尾有余數(shù)，需要添0 后繼續(xù)除）的計算方法，以及整數(shù)除法中含有余數(shù)，能夠繼續(xù)除下去的問題。

六、教學(xué)過程

（一）情境聚焦，提出問題

“學(xué)校要進行大掃除，班委會買回來這么多清潔工具（如圖1）?？匆豢矗隳芴岢鲆粋€用除法解決的數(shù)學(xué)問題嗎？”

圖1

在學(xué)生表達的過程中，教師應(yīng)鼓勵他們把話說完整，同時將問題逐條寫在黑板上。

設(shè)計意圖：用貼近學(xué)生生活的情景引入，直接清晰，便于學(xué)生在整理信息、提出問題的過程中迅速聚焦本課的研究問題。

（二）嘗試探究，展示分享

1.探究小數(shù)除以整數(shù)（除到被除數(shù)末尾有余數(shù)，需要添0 后繼續(xù)除）的計算方法

核心問題：買6 把笤帚共花了18.9 元，每把笤帚多少元？

（學(xué)習(xí)方式：嘗試估算→獨立精算→交流分享→回顧小結(jié)）

（1）獨立列式，嘗試估算。

（2）每把笤帚的價格在3～4 元之間，那到底是多少元呢？獨立算一算，將你的想法記錄在學(xué)習(xí)單上，把你是怎樣轉(zhuǎn)化的用鉛筆標(biāo)出來。學(xué)生呈現(xiàn)如下：

（3）學(xué)生完成后進行全班交流，教師在巡視過程中關(guān)注不同算法，可以按以下順序進行展示。

展示1：利用“元、角、分”的現(xiàn)實模型計算。

追問：0.9 元也是9 角，這里為什么要轉(zhuǎn)化為90分而不是9 角呢？

小結(jié)：當(dāng)把“元”轉(zhuǎn)化成“角”做單位依然不能整除時，可以轉(zhuǎn)化成“分”做單位，也就是轉(zhuǎn)化成更小的計數(shù)單位，可以繼續(xù)除下去，如下所示：

展示2：借助前一節(jié)課的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，呈現(xiàn)豎式計算的一部分。

追問1：這里的余數(shù)“3”表示什么？

追問2：當(dāng)“3÷6”除不盡時，可以轉(zhuǎn)化為更小的計數(shù)單位繼續(xù)除，想一想，怎樣繼續(xù)算下去？

追問3：結(jié)合剛才的轉(zhuǎn)化過程，繼續(xù)算一算。

（4）通過精確計算，得到每把笤帚3.15 元，對比估算的結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（5）通過探索，當(dāng)豎式計算出現(xiàn)余數(shù)時，怎樣就能繼續(xù)算下去？

小結(jié)：遇到除不盡時，在余數(shù)的后面添0 后繼續(xù)除，實際意義就是將余數(shù)轉(zhuǎn)化為更小的計數(shù)單位，繼續(xù)除下去。

設(shè)計意圖：在解決問題的過程中，注重讓學(xué)生經(jīng)歷小數(shù)除法計算方法的探究過程，在交流的過程中，引導(dǎo)學(xué)生把算法表述清楚，并及時抓住關(guān)鍵處追問，讓學(xué)生感受轉(zhuǎn)化思想的重要意義和作用。

2.探索整數(shù)除法中含有余數(shù)，能夠繼續(xù)除下去的問題

核心問題：4 個簸箕共26 元，每個簸箕多少元?

（學(xué)習(xí)方式：獨立計算→交流分享→算法對比→回顧小結(jié)）

（1）獨立列式，用豎式算一算。

在學(xué)生獨立完成后，教師展示以下錯誤算法：

追問1：“每個簸箕65 元”為什么不對？

追問2：這個豎式哪里出了問題？

追問3：通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道商的小數(shù)點要和被除數(shù)對齊，這里的被除數(shù)沒有小數(shù)點，是不是不需要對齊？

（2）你能借助“元、角、分”的現(xiàn)實模型，用橫式記錄計算的過程嗎？

（3）觀察橫式和豎式（如圖2），說一說它們之間的聯(lián)系。

圖2

小結(jié)：原來這兩種方法是相通的，豎式和橫式都記錄了我們計算的過程，只是記錄的方式不同而已。

（4）整數(shù)除法計算時，五年級探討的豎式計算，與二年級用豎式計算有什么不同？

（5）整數(shù)除法有余數(shù)時，如何繼續(xù)除下去？

小結(jié)：整數(shù)除法有余數(shù)時，也可以在余數(shù)添0 繼續(xù)除，商的小數(shù)點和被除數(shù)的對齊，小數(shù)點隱藏在個位的右下角。

設(shè)計意圖：在解決問題的過程中，學(xué)生在上一環(huán)節(jié)已經(jīng)積累了在余數(shù)補0 繼續(xù)計算的經(jīng)驗，能繼續(xù)算下去。教師順著學(xué)生思維不斷追問引發(fā)思辨，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)橫式和豎式計算之間的聯(lián)系，使他們加深對豎式計算算理的理解，逐步突破小數(shù)除法計算的難點。

（三）鞏固內(nèi)化，融會貫通

練習(xí)1：獨立思考，個別匯報、交流（如圖3）。

圖3

練習(xí)重點：（1）關(guān)注學(xué)生的估算意識，有意識地讓學(xué)生先估算再精算，提高學(xué)生的估算能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感；（2）鼓勵學(xué)生再次經(jīng)歷探索除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的計算方法的過程，使學(xué)生能結(jié)合情境解釋除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法豎式的實際含義，加深理解。

練習(xí)2：獨立完成，同桌說一說豎式中每一步的意思（如圖4）。

圖4

練習(xí)重點：加深對除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法豎式的理解。

設(shè)計意圖：練習(xí)部分完全采用教材中的習(xí)題，在交流和匯報的環(huán)節(jié)，關(guān)注學(xué)生對算理的理解，給學(xué)生足夠的時間，讓學(xué)生在練習(xí)中充分了解“在哪里添0”“為什么可以添0”“添0 之后怎么繼續(xù)算”等問題，幫助學(xué)生繼續(xù)感受轉(zhuǎn)化思想的普遍意義，實現(xiàn)算理和算法的真正融通。

（四）歸納總結(jié)，問題延伸

問題：同學(xué)們，通過今天的探索，你有什么收獲？你對小數(shù)除法有了哪些新的認(rèn)識？你還有哪些問題？

總結(jié)：（1）在除數(shù)是整數(shù)的情況下，不論被除數(shù)是整數(shù)還是小數(shù)，凡是高位上的數(shù)字或余數(shù)不夠除時，只需把它轉(zhuǎn)化成低位上的數(shù)，也就是在余數(shù)的末尾添0 后繼續(xù)算下去，小數(shù)點在個位的右下角；（2）將未知轉(zhuǎn)化為已知，把復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單，是解決數(shù)學(xué)問題的常見策略，也是重要的數(shù)學(xué)思想方法。

設(shè)計意圖：經(jīng)歷了算法探索、算理分析之后，適時提供總結(jié)、建構(gòu)的機會，能讓學(xué)生對學(xué)習(xí)過程和學(xué)習(xí)內(nèi)容進行歸納梳理，形成整體印象，實現(xiàn)對本課所學(xué)知識及思想方法的深度理解。

七、結(jié)束語

本節(jié)課順應(yīng)學(xué)生的思維特點，通過對核心問題的討論，逐步幫助學(xué)生理解算理；通過精心設(shè)計的追問讓探究更具層次性；通過合理的引導(dǎo)鼓勵學(xué)生完整地表達，讓學(xué)生思維可視化，使學(xué)生在解決問題的過程中，逐步體會轉(zhuǎn)化思想。