重組架構(gòu)聚核心　說理溯源促交融

龔哲榮

［摘 要］對于交換律和結(jié)合律的教學(xué)內(nèi)容，各版本教材都編排了多個(gè)課時(shí)，導(dǎo)致知識點(diǎn)相對分散，這在一定程度上阻礙了學(xué)生對運(yùn)算律本質(zhì)的理解。文章嘗試對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化重組，借助兩組沒有符號的式子教學(xué)運(yùn)算律，使學(xué)生理解運(yùn)算律的本質(zhì)。

［關(guān)鍵詞］運(yùn)算律；整體；架構(gòu)

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）23-0072-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，通過實(shí)際問題和具體計(jì)算，引導(dǎo)學(xué)生用歸納的方法探索運(yùn)算律、用字母表示運(yùn)算律，感知運(yùn)算律是確定算理和算法的重要依據(jù)，形成初步的代數(shù)思維。運(yùn)算律的探索是學(xué)生在小學(xué)階段第一次全程經(jīng)歷合情推理的數(shù)學(xué)活動，正確運(yùn)用運(yùn)算律是形成運(yùn)算能力的關(guān)鍵，運(yùn)算律與運(yùn)算的意義、法則是并存的。

一、課前慎思

1.教材對比分析

現(xiàn)行五個(gè)版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材對運(yùn)算律內(nèi)容的編排有所不同（見表1）。

五個(gè)版本教材都把乘法分配律編排在最后面，加法、乘法交換律和加法、乘法結(jié)合律的編排順序各不相同。

推理路徑一般為“舊知引入→發(fā)現(xiàn)共性→舉例驗(yàn)證→總結(jié)規(guī)律→具體應(yīng)用”，在引入環(huán)節(jié)有解決問題和直接計(jì)算兩種方式。此外，北師大版教材在總結(jié)規(guī)律之后，還特別新增了事例解釋環(huán)節(jié)。

在溝通運(yùn)算律與計(jì)算之間的聯(lián)系上，北師大版教材和人教版教材都把結(jié)合律與驗(yàn)算、乘法分配律與乘法豎式聯(lián)系起來。五個(gè)版本教材都沒有涉及結(jié)合律的聯(lián)系感知。

2.學(xué)生學(xué)情調(diào)查

為了準(zhǔn)確把握教學(xué)起點(diǎn)，厘清教學(xué)順序，筆者對本校三年級學(xué)生進(jìn)行前測。前測情況如下。

（1）“解決問題”的前測情況如圖1所示。

分析：學(xué)生在解題過程中偏向按數(shù)字出現(xiàn)的先后順序進(jìn)行列式。

（2）“計(jì)算對比”的前測情況如圖2所示。

分析：超過75%的學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)運(yùn)用交換律、結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算的結(jié)果不變，近50%的學(xué)生對算式的特征有所發(fā)現(xiàn)。

二、課堂實(shí)踐

通過教材對比分析，結(jié)合學(xué)生學(xué)情調(diào)查，筆者選擇從具體計(jì)算入手，對四種運(yùn)算律進(jìn)行結(jié)構(gòu)重組，采取整體教學(xué)，聚焦四種運(yùn)算律的本質(zhì)特征。

1.算式對比，聚焦差異

師：有兩組沒有運(yùn)算符號的式子（如圖3），請你仔細(xì)觀察每組式子，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：第1組的第一個(gè)式子，5在前，3在后；第二個(gè)式子，3在前，5在后，它們的位置交換了。

生2：第2組式子中，小括號位置變了。

師：小括號的位置變了，在運(yùn)算的時(shí)候什么也會發(fā)生改變？

生3：運(yùn)算順序會發(fā)生改變。

師：這兩組式子中什么沒有變？

生4：每組數(shù)字都沒變。

師：同學(xué)們真能干，發(fā)現(xiàn)了第1組式子兩個(gè)數(shù)位置交換，第2組式子小括號位置變了。

【設(shè)計(jì)意圖】針對交換律和結(jié)合律的“交換”和“結(jié)合”這一核心，筆者直接呈現(xiàn)兩組最簡單的只有數(shù)字的式子，消除符號干擾，讓學(xué)生對比觀察，發(fā)現(xiàn)式子的變化本質(zhì)：每組數(shù)字都沒變；第1組數(shù)的前后位置變了，第2組數(shù)的運(yùn)算順序變了。

2.猜測論證，探索規(guī)律

任務(wù)一：添符號

師：如果上面式子里的所有圈中只能填同一種運(yùn)算符號，你覺得填哪種運(yùn)算符號能使每組式子的運(yùn)算結(jié)果相同？

生1：填“+”。第1組，5+3=8，3+5=8；第2組，（24+6）+2=32，24+（6+2）=32，結(jié)果都相等。

師：有誰填不一樣的符號？

生2：我填的是“×”。第1組，5×3=15，3×5=15；第2組，（24×6）×2=288，24×（6×2）=288，結(jié)果也都相等。

師：填“-”或“÷”可以嗎？

生3：3-5，是小數(shù)減大數(shù)，不夠減。

生4：（24-6）-2=16，24-（6-2）=20。它們的結(jié)果不相等。

生5：（24÷6）÷2=2，24÷（6÷2）=8。它們的結(jié)果也不相等。

師：看來只有填“+”或“×”的時(shí)候，加數(shù)（乘數(shù)）交換位置或改變運(yùn)算順序，算出來的結(jié)果是不變的。

任務(wù)二：變數(shù)字

師：如果把這幾個(gè)數(shù)變一變，剛才我們的發(fā)現(xiàn)還成立嗎？請你試著照樣子變一變。

學(xué)生嘗試，交流反饋。

生1：7+8=8+7=15，7×8=8×7=56。（25+8）+3=25+（8+3）=36，（25×8）×3=25×（8×3）=600。

師：換成其他數(shù)可以嗎？

生2：可以。

師：你覺得能換多少個(gè)數(shù)字？

生3：無數(shù)個(gè)。

師：看來不管數(shù)怎么變，這個(gè)規(guī)律都是成立的。像這種兩個(gè)數(shù)交換位置，結(jié)果不變的規(guī)律叫交換律。加法時(shí)就是加法交換律，乘法時(shí)就是乘法交換律。像這樣改變運(yùn)算順序但結(jié)果不變的規(guī)律叫結(jié)合律。加法的就是加法結(jié)合律，乘法的就是乘法結(jié)合律。

任務(wù)三：用字母

師：這樣的例子有無數(shù)個(gè)，那能不能統(tǒng)一用一個(gè)式子表示？

生1：可以用字母來代替數(shù)字，a+b=b+a。

師：按照這位同學(xué)的方法，其他式子可以怎么表示？

生2：a×b=b×a。

生3：（a+b）+c=a+（b+c）。

生4：（a×b）×c=a×（b×c）。

【設(shè)計(jì)意圖】通過對沒有運(yùn)算符號的兩組式子填入加、減、乘、除四種運(yùn)算符號的嘗試、驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)只有相加或相乘時(shí)結(jié)果不變。針對這一結(jié)論，通過“變數(shù)字”活動進(jìn)行舉例驗(yàn)證，從而體會規(guī)律的一般性。然后運(yùn)用不完全歸納法總結(jié)運(yùn)算律，并嘗試用字母來表示運(yùn)算律。整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)讓學(xué)生完整經(jīng)歷了一次合情推理的過程，積累活動經(jīng)驗(yàn)，萌發(fā)推理意識。

3.事例解釋，深化內(nèi)涵

師：剛才我們用舉例子的方法歸納總結(jié)加法、乘法的交換律和結(jié)合律，那它們?yōu)槭裁闯闪⒛?？你能結(jié)合例子（如圖4），嘗試解釋算式的意義嗎？

生1：5+3表示一支中性筆的價(jià)錢加上一塊橡皮的價(jià)錢，一共是8元。3+5表示一塊橡皮的價(jià)錢加上一支中性筆的價(jià)錢，也是8元。

生2： 不管是先算男生和女生跳繩人數(shù)，再加上女生踢毽子人數(shù)，還是先算女生跳繩和踢毽子人數(shù)，再加上男生人數(shù)，最后加起來結(jié)果都一樣。

……

師：對比算式中的變化，實(shí)際只是改變了什么？

生3：只是改變了計(jì)算的先后順序，最終的結(jié)果是不變的。

師：看來生活道理和數(shù)學(xué)中的運(yùn)算律的道理是一樣的。

【設(shè)計(jì)意圖】借助學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)生活事例，解釋不同運(yùn)算順序表示的含義，深化學(xué)生對運(yùn)算律現(xiàn)實(shí)意義的理解，從而體會生活事理和數(shù)學(xué)算理的一致性。

4.應(yīng)用拓展，內(nèi)化提升

師：請用數(shù)字32編一道可以運(yùn)用交換律和結(jié)合律進(jìn)行簡便計(jì)算的算式。

生1：32×50×2=32×（50×2）=32×100=3200。

生2：32+55+19+67+1+45+181=（32+67+1）+（55+45）+（19+181）=100+100+200=400。

師：為什么以上兩位同學(xué)寫的算式要么都是用“+”，要么都是用“×”？

生3：在加法和乘法中才能用這些運(yùn)算律。

師：在連加、連乘的時(shí)候，可以用交換律和結(jié)合律進(jìn)行簡便運(yùn)算。

【設(shè)計(jì)意圖】通過“為什么都是加號和乘號”的問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在連加、連乘的情況下，可以運(yùn)用交換律和結(jié)合律進(jìn)行簡便計(jì)算，提升運(yùn)算律運(yùn)用的廣度，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力。

三、課后反思

1.四律內(nèi)核互通，發(fā)展核心素養(yǎng)

加法交換律和結(jié)合律、乘法交換律和結(jié)合律，除了運(yùn)算符號不同，其結(jié)構(gòu)是相同的。交換律是兩個(gè)數(shù)交換位置，結(jié)合律是借助小括號來改變運(yùn)算順序，而交換位置其實(shí)也是計(jì)算的先后順序發(fā)生了改變。由此可見，交換律和結(jié)合律的本質(zhì)就是改變運(yùn)算順序，這也是同時(shí)運(yùn)用交換律和結(jié)合律延伸到多個(gè)數(shù)相加或相乘進(jìn)行簡便運(yùn)算的原因。

在教學(xué)時(shí)逐層深入，從兩、三個(gè)數(shù)的計(jì)算延展到多個(gè)數(shù)的計(jì)算，并聚焦于在連加或連乘的情況下，運(yùn)用交換律和結(jié)合律進(jìn)行簡便計(jì)算，從而提升學(xué)生的運(yùn)算能力和推理意識。

2.理律內(nèi)錯互融，架構(gòu)整體思維

算理是算法的基礎(chǔ)，算法是對算理的一種技能概括，運(yùn)算律是算法的再次優(yōu)化，又是算理意義理解和算法計(jì)算方法的支撐。三者相互依存，交錯相融。

數(shù)學(xué)源自對現(xiàn)實(shí)世界的觀察、思考和表達(dá)，數(shù)學(xué)最終用于解釋現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和客觀規(guī)律。計(jì)算教學(xué)的核心是對算理的理解。小學(xué)階段的規(guī)律探索都是運(yùn)用合情推理，是一種不完全歸納法。為此，及時(shí)借助生活事例、幾何圖形等多元表征有助于提升學(xué)生理解數(shù)學(xué)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)理和生活事理的一致性。

綜上所述，教師遵循規(guī)律探索的基本路徑，讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)特例—舉例驗(yàn)證—排除反例—?dú)w納總結(jié)”的過程，在發(fā)現(xiàn)規(guī)律之后，借助身邊的事例解釋運(yùn)算律，力求讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的相通性。引導(dǎo)學(xué)生感知運(yùn)算律既是一種運(yùn)算規(guī)律，又是算理的基礎(chǔ)，更是后續(xù)學(xué)習(xí)的依據(jù)，從而體會算理、算法、運(yùn)算律的一致性。

（責(zé)編 黃 露）