思辨中彰顯關(guān)聯(lián)　演繹中由表及里

潘夢瑤

［摘 要］經(jīng)歷演繹推理的過程是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)思考、學(xué)會辯證看待事物的重要途徑之一。以反思“四邊形的認(rèn)識”一課為例，梳理教材和學(xué)情，在此基礎(chǔ)上以圖形的邊角為切入點(diǎn)，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“證據(jù)”提煉、論證及梳理的過程，使學(xué)生在觸及本質(zhì)的推理表達(dá)中，不斷發(fā)展演繹推理能力，逐漸養(yǎng)成理性的思考方式，形成對立統(tǒng)一的辯證思維。

［關(guān)鍵詞］四邊形；演繹推理；關(guān)聯(lián)視角

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）23-0034-04

推理是數(shù)學(xué)思維的主要表現(xiàn)之一，“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”的核心素養(yǎng)的落實(shí)離不開推理意識的培育與發(fā)展。推理可分為從特殊到一般的合情推理和從一般到特殊的演繹推理。當(dāng)前，小學(xué)階段的推理教學(xué)更多地將關(guān)注點(diǎn)落在合情推理的滲透上，演繹推理的教學(xué)則主要集中于初中和高中。實(shí)際上，小學(xué)許多知識點(diǎn)的背后也暗含著演繹推理的思想，下面將以“四邊形的認(rèn)識”教學(xué)為例進(jìn)行論述。

一、全局視角，深度剖析，探尋關(guān)鍵的思想理念

滲透重論據(jù)、講邏輯的演繹推理能夠有效促進(jìn)學(xué)生理性思維的成長，助力學(xué)生辯證思維的萌發(fā)。

1.為“源”而理，著眼整體聯(lián)系

首先，對認(rèn)識四邊形這一內(nèi)容進(jìn)行了單元內(nèi)的橫向梳理（如圖1）?！八倪呅蔚恼J(rèn)識”是人教版教材三年級上冊第7單元“長方形和正方形”的教學(xué)內(nèi)容，這一單元的教學(xué)分為四邊形和周長兩部分：四邊形→長方形→正方形，四邊形周長→長方形周長→正方形周長。可以發(fā)現(xiàn)，這兩條教學(xué)主線都是從一般走向特殊，這實(shí)際上就是演繹推理的過程。

其次，對這一內(nèi)容進(jìn)行了縱向?qū)Ρ龋ㄈ鐖D2），發(fā)現(xiàn)“平面圖形的認(rèn)識”這一板塊的教學(xué)編排上也體現(xiàn)著這樣一條思想暗線：三年級本單元的內(nèi)容是從一般走向特殊，后面平行四邊形、三角形的教學(xué)也是如此，最后是從“一般”的直邊圖形走向“特殊”的曲線圖形?？梢姡八倪呅蔚恼J(rèn)識”是圖形認(rèn)識領(lǐng)域演繹推理思想的初次滲透，是后續(xù)圖形關(guān)系推理的基礎(chǔ)。

再從學(xué)習(xí)方法來看，掌握四邊形、長方形、正方形的特征提煉技巧是本課的重點(diǎn)。在一年級時(shí)，學(xué)生已經(jīng)有了根據(jù)外觀辨認(rèn)圖形的經(jīng)驗(yàn)，本課則是要幫助學(xué)生從表象認(rèn)知水平進(jìn)入到依托特征判斷的定性分析水平。在二年級時(shí)，學(xué)生已經(jīng)有了基于邊、角認(rèn)識圖形的經(jīng)驗(yàn)，本課以及后續(xù)的平行四邊形、梯形、三角形都可以從這兩個(gè)要素出發(fā)去研究。因而，在教學(xué)中凸顯“邊”和“角”這兩個(gè)判斷圖形特征的要素，既能讓學(xué)生的推理有依據(jù)、有方向，也能為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.為“診”而測，把握教學(xué)起點(diǎn)

為了更精準(zhǔn)地把握學(xué)生對于四邊形、長方形以及正方形的已有經(jīng)驗(yàn)，以學(xué)定教，筆者抽取了城鎮(zhèn)中心小學(xué)三年級全體學(xué)生（共225人）進(jìn)行前測，結(jié)果見表1。

從第1題的作答情況中可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生借助點(diǎn)子圖畫一個(gè)任意四邊形的正確率是較高的。問題在于，多數(shù)學(xué)生只能畫出生活中常見的特殊四邊形。這表明，學(xué)生對四邊形的認(rèn)知是不全面的。從第2題和第3題的作答情況可以看出，在辨認(rèn)正向擺放的長方形和正方形時(shí)學(xué)生是沒有問題的，將長方形和正方形傾斜放置后會對部分學(xué)生的判斷產(chǎn)生一定的干擾，而那些非常近似長方形或正方形的四邊形（打*的選項(xiàng)）是學(xué)生最容易錯(cuò)選的。這就反映出學(xué)生對這些看似熟悉的圖形有一定的認(rèn)識，但在辨別時(shí)缺少理性的判斷方法和依據(jù)?？梢?，教學(xué)素材的選取以及判斷依據(jù)的提煉是本課需要關(guān)注的點(diǎn)。

整體考量教材和學(xué)情可以發(fā)現(xiàn)，本課在整個(gè)“圖形與幾何”領(lǐng)域起著承上啟下的作用。因此，本課僅止步于知識點(diǎn)的教學(xué)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，知識背后的思想方法也尤為重要。挖掘與凸顯方法的相似性，緊抓邊和角，展開由表及里的演繹推理，既能幫助學(xué)生走出僅憑直覺判斷的前經(jīng)驗(yàn)，也能讓學(xué)生形成圖形關(guān)系探究的自主遷移能力。

二、站穩(wěn)學(xué)生立場，強(qiáng)化推理，搭建有效的學(xué)習(xí)路徑

如何讓抽象的演繹推理在學(xué)生的腦海中鮮活起來呢？讓學(xué)生完整地經(jīng)歷演繹推理的過程，是使其領(lǐng)悟并發(fā)展推理能力的有效途徑。

1.順藤摸瓜——拾“證據(jù)”基礎(chǔ)，孕伏演繹推理

演繹推理是借助邏輯推演獲取結(jié)論的一種思維方式，需要有一般性“證據(jù)”作為推理前提。四邊形、長方形、正方形的特征便是本課演繹推理的關(guān)鍵證據(jù)。而邊和角作為構(gòu)成平面圖形的兩個(gè)基本要素，能為學(xué)生提煉特征、展開推理指明方向，以保證學(xué)生能夠快速地尋得并列舉出符合目標(biāo)的“證據(jù)”。

（1）寓學(xué)于趣——著眼起點(diǎn)，凸顯邊角明方向

演繹推理的過程是抽象的，數(shù)學(xué)知識本身又較為枯燥，因此筆者以“四邊形派對”為主情境展開教學(xué)（如圖3）。

“你心目中的四邊形有怎樣的特征？”這一問題，能促進(jìn)學(xué)生新舊知識的銜接，讓學(xué)生初步感知研究圖形的要素，為后續(xù)的分類活動提供一定的標(biāo)準(zhǔn)和方向。

分類活動則是將學(xué)生“原認(rèn)知”中的誤區(qū)和難點(diǎn)直接暴露在課堂中，通過辨析幫助學(xué)生的思維逐漸聚焦到圖形的邊和角的特點(diǎn)分析上，使“證據(jù)”的提煉更具指向性。

（2）返璞歸真——巧選素材，去除干擾明本質(zhì)

演繹推理需要學(xué)生具有一定的抽象能力，讓學(xué)生經(jīng)歷去除外在非本質(zhì)要素、明確內(nèi)在本質(zhì)特征的過程，是提升抽象思維、發(fā)展辯證眼光的重要途徑。合理選取和使用學(xué)習(xí)素材能有效助推學(xué)生尋得圖形背后的秘密，習(xí)得透過現(xiàn)象看本質(zhì)的能力。

層次一：多元表征，去“飾”留“形”

在特征提煉環(huán)節(jié)，筆者提供了形狀、顏色、大小以及擺放方向各不相同的材料（見表2）供學(xué)生觀察思考，讓學(xué)生根據(jù)觀察“邊”和“角”的經(jīng)驗(yàn)，準(zhǔn)確提煉出這些看似不同的長方形、正方形的共同特征。

層次二：素材整合，求“同”存“異”

在上述探究活動結(jié)束后，筆者將素材（如圖4）整理后再次展現(xiàn)在學(xué)生眼前。經(jīng)過進(jìn)一步的觀察、分析、比較，學(xué)生對長方形和正方形有了更準(zhǔn)確的認(rèn)識。

比較：觀察這些剛才驗(yàn)證過的長方形和正方形，你有什么發(fā)現(xiàn)？

追問：為什么正方形始終是方方正正的，而長方形卻有高矮胖瘦之分？

本次觀察任務(wù)，以舊素材、新視角去分析長方形和正方形的特征，讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識到影響長方形、正方形形狀的仍舊是它們的邊和角，即長方形的形狀同時(shí)受到長和寬的影響，所以長方形會有不同的形狀，而正方形無論邊長是多少，它的四條邊始終相等。

2.精準(zhǔn)表達(dá)——用“證據(jù)”說話，外顯演繹推理

演繹推理強(qiáng)調(diào)推理過程的嚴(yán)謹(jǐn)性，用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言描述內(nèi)在的思維邏輯是演繹推理得以發(fā)展的關(guān)鍵。

（1）“演”：關(guān)注過程——從合情走向合理

本環(huán)節(jié)若直接用語言描述，并不利于學(xué)生理解與接納。為此，筆者給學(xué)生提供了彩色水筆和若干正方形、長方形卡片，讓學(xué)生在邊演示邊解說的過程中清晰地呈現(xiàn)演繹推理的過程。

【教學(xué)片段1】如圖5所示，論證正方形的4個(gè)角都是直角

生：（大前提）首先通過對折發(fā)現(xiàn)正方形的4個(gè)角完全重合，可以得到正方形的4個(gè)角相等。（小前提）其次借助三角尺比照，發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)角是直角。（結(jié)論）由此可以得到正方形的4個(gè)角都是直角。

【教學(xué)片段2】論證正方形的4條邊都相等

生1：如圖6所示，（大前提）通過上下對折發(fā)現(xiàn)紅色的這組對邊相等，左右對折發(fā)現(xiàn)藍(lán)色的這組對邊相等。（小前提）沿對角線對折發(fā)現(xiàn)紅色和藍(lán)色這兩條鄰邊也相等。（結(jié)論）因此，正方形的4條邊都相等。

生2：如圖7所示，（大前提）第一次沿對角線對折發(fā)現(xiàn)紅色這組鄰邊相等，藍(lán)色這組鄰邊也相等。（小前提）第二次沿對角線對折發(fā)現(xiàn)紅色和藍(lán)色這兩條鄰邊也相等。（結(jié)論）因此，正方形的4條邊都相等。

以上學(xué)生給出的3種驗(yàn)證方法其實(shí)都蘊(yùn)含著“三段論”形式的演繹推理，即2個(gè)前提加1個(gè)結(jié)論。在說理時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生用邏輯語言來完整地表述推理過程，感悟“三段論”推理的模型。

（2）“繹”：抽出精髓——從對立走向統(tǒng)一

在演繹推理的過程中，不僅要讓學(xué)生明確“證據(jù)”的可靠性，更應(yīng)讓其關(guān)注到“證據(jù)”背后的關(guān)聯(lián)，從二元對立的思維中走出來，整體把握圖形之間的關(guān)系，使得部分與整體的關(guān)系教學(xué)得以突破。

本課先由推理簡單的關(guān)系入手，借助“形”來引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，通過“理”幫助學(xué)生擺脫刻板印象，讓演繹自然發(fā)生。

【教學(xué)片段3】探究凹四邊形是不是四邊形

師（出示圖8）：看看這個(gè)圖形，你們的疑問消除了嗎？它到底是不是四邊形？

生1：不是。因?yàn)樗挥?個(gè)角。

生2：不是。因?yàn)樗牡?個(gè)角在外面。

生3：是。因?yàn)樗?個(gè)角和4條直邊。

師：四邊形有4個(gè)角和4條直邊，這個(gè)圖形也有4個(gè)角、4條直邊，符合四邊形的所有特征，所以它也是四邊形。

上述三位學(xué)生的推理過程實(shí)際都是省略形式的演繹推理，推理時(shí)把“四邊形有4個(gè)角和4條直邊”這個(gè)大家一致認(rèn)可的大前提隱去了。盡管學(xué)生的表述并不屬于嚴(yán)謹(jǐn)形式的“三段論”，但他們的推理過程是嚴(yán)密且富有邏輯的。教師可以有意識地帶領(lǐng)學(xué)生做總結(jié)，為其進(jìn)行更復(fù)雜的演繹推理打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

直觀地展示圖形間的關(guān)聯(lián)是破除對立思維、展開深度推理的有效途徑。因此筆者讓4個(gè)頂點(diǎn)“動”起來，呈現(xiàn)由普通凸四邊形到長方形，再到長邊縮短的長方形，乃至正方形的變化過程（如圖9）。

通過動態(tài)演示，學(xué)生能夠直觀地看到“邊帶動角”“角帶動邊”的過程，初步感知三個(gè)圖形的關(guān)聯(lián)。此時(shí)，借助問題“長方形是不是四邊形？”“正方形是不是長方形？”，引發(fā)學(xué)生的思辨。在演繹推理中，學(xué)生的思維從直觀過渡到抽象：因?yàn)樗倪呅斡?條直邊和4個(gè)角，長方形也有4條直邊和4個(gè)角，所以長方形是四邊形；因?yàn)殚L方形的4個(gè)角都是直角且兩組對邊相等，正方形也有4個(gè)直角且對邊相等，所以正方形是長方形。每一次都把推理依據(jù)與結(jié)論的過程說清楚，就能加深學(xué)生對四邊形、長方形和正方形這三者本質(zhì)的認(rèn)識，幫助學(xué)生搭建起關(guān)系結(jié)構(gòu)，養(yǎng)成“對立統(tǒng)一”的辯證思維。

3.見微知著——擴(kuò)“證據(jù)”體系，伸展演繹推理

演繹推理的價(jià)值不僅在于得到一個(gè)科學(xué)的結(jié)論，還在于使學(xué)生掌握這種思維能力。恰當(dāng)?shù)臏贤ㄅc聯(lián)系，不但能凸顯不同事物之間的相似性，還能使思想方法得以遷移。

師：這些留下來的四邊形中，有你熟悉的“老朋友”嗎？

生：有。梯形、長方形、正方形、菱形、平行四邊形。

師：其實(shí)這些有特殊名稱的四邊形，除了有4個(gè)角和4條直邊，各自還有特點(diǎn)，我們?nèi)匀豢梢詮慕呛瓦吶胧謱λ鼈冞M(jìn)行更深入的研究。

師：以后我們還會學(xué)習(xí)前面提到的平行四邊形、菱形和梯形，在研究它們時(shí)同樣可以從邊、角入手。這些圖形與我們今天學(xué)過的圖形存在著密切的聯(lián)系，同樣可以用關(guān)聯(lián)的視角去推理驗(yàn)證。

平面圖形的特征提煉過程存在相似性，甚至圖形關(guān)系的推理過程也存在相似性。借助語言外顯圖形內(nèi)在的聯(lián)系，能為新知識與新結(jié)論的獲取指明方向和思路，能讓學(xué)生的思維完成從此類到彼類的跨越，進(jìn)而讓演繹推理的遷移有跡可循。

綜上，教師在日常教學(xué)中應(yīng)不斷挖掘教材背后的演繹推理，幫助學(xué)生養(yǎng)成抽象辯證的“數(shù)學(xué)眼光”，形成注重邏輯的“數(shù)學(xué)語言”，達(dá)成嚴(yán)謹(jǐn)審慎的“數(shù)學(xué)思維”，讓核心素養(yǎng)真正落地。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 成婕妤.小學(xué)生數(shù)學(xué)演繹推理能力發(fā)展研究[D].上海：上海師范大學(xué)，2022.

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[3] 郝連明.數(shù)學(xué)演繹推理能力測評研究：以八年級學(xué)生為例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（4）：14-20.

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（責(zé)編 吳美玲）